群 论
? 参考书：
《群论》，韩其智、孙洪州，北京大学出版社
《物理学中的群论》，马中骐，科学出版社
《典型群及其在物理学中的应用》，怀邦，冯承天
等译，科学出版社
第一章 群的基本知识
1 群
◆ 群的定义：假设 G是由一些元素组成的集合，即 G={…,g,… },在 G中各
元素间定义了一种合成规则 ( 操作，运算，群的乘法 ),如果 G对这种合
成规则满足以下四个条件：
a） 封闭性, G中任意两个元素的乘积仍然属于 G.
b) 结合律,
c) 单位元素, 集合 G中存在一个单位元素 e,对任意元素,有
d) 可逆性, 对任意元素,存在逆元素,使
则称集合 G为一个群,
GhfgGgf ?????,
effff ?? ?? 11
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Gf ? Gf ??1
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Gf ?
● 有限群, 由有限个元素构成的群, 群元的个数定义为群的阶,
例子,
1) 由 {－ 1,0,1} 三个数组成的集合,定义数的加法为群的乘法运算,
构成一个三阶有限群,单位元素为 0.
2) 空间反演群, 三维实空间中的恒等变换 E ( )和反演变换 I
( ),如果定义群的乘法为从左向右依次施行变换,则 E 和 I 构
成一个二阶有限群,称为空间反演群,
3) n阶循环群, 由一个元素 a 的幂构成的有限群, 设,则
构成一个群,称为 n阶循环群, 空间反演群是一个 2阶循环群,
4) 平面正三角形对称群, 保持平面正三角形空间
位置不变的所有转动变换
e, 不转 d, 绕 z 轴转 2π/3
f, 绕 z 轴转 4π/3 a, 绕 1 轴转 π
b, 绕 2 轴转 π c, 绕 3 轴转 π
定义群的乘法为从左向右依次施行变换,构成一个群,
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nC ea
n ?
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1
23
A
B C
O
● 有限群的乘法表, 将有限中所有元素的乘积列为一个表,称为乘法表,
例, 1) n阶循环群的乘法表
e a 2a 3a 1?na?
e
a
2a
3a
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1?na
e
e
e
2a
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2a
2a
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a
a
a
a
3a
3a
3a
3a
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1?na
4a
4a
4a
5a
5a 6a
2?na
例, 2) 平面正三角形对称 群的乘法表
{ e,d,f } 构成三阶循环群
{ e,a },{ e,b }和 { e,c }均构成二阶循环群,
e d f a b c
e e d f a b c
d d f e c a b
f f e d b c a
a a b c e d f
b b c a f e d
c c a b d f e
2g
1g
21gg
● 无限群, 由无限个元素构成的群,
例子,
1) 由所有整数组成的集合,定义数的加法为群的乘法运算,构成一个分立无
限群,单位元素为 0,分立无限群, 群元无限可数,
2) 空间平移群, 三维实空间中的所有平移变换 对于变换乘
法构成一个连续无限群,
变换乘法, 从左向右依次施行变换, 连续无限群, 群元无限不可数,可用一
组连续变化的参数来描述,
3) 三维转动群 SO(3),三维空间保持原点不变的所有转动变换构成一个连续
无限群, SO(3)群元可用绕通过原点的任何一个转动轴 k 转 ψ 的转动
示,由三个连续变化的有界参数 （ θ,φ,ψ） 标记,
● 满秩 (正则,非奇异 )矩阵构成的群, 以矩阵的乘法作为群的乘法
1) 一般复线性群 GL(n,C),所有 n阶正则复矩阵构成一个 2 维连续群,群元
可用 2 个实参数标记,
一般实线性群 GL(n,R),所有 n阶正则实矩阵构成一个 维连续群,群元
可用 个实参数标记,
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2n
2n
2n
2n
2) 特殊复线性群 SL(n,C),所有行列式为 +1 的 n阶正则复矩阵构成的
维连续群,群元由 个实参数标记,
特殊实线性群 SL(n,R),所有行列式为 +1 的 n阶正则实矩阵构成的
维连续群,群元由 个实参数标记,
3) 酉群 U(n),所有 n阶酉矩阵 构成的 维连续群,
群元由 个实参数标记,
特殊酉群 SU(n),所有行列式为 +1 的 n阶酉矩阵构成的 维
连续群,群元由 个实参数标记,
4) 正交群 O(n,C),所有 n阶复正交矩阵 构成的
维连续群,群元由 个实参数标记,
实特殊正交群 SO(n,R),所有行列式为 +1 的 n阶实正交矩阵构成的
维连续群,群元由 个实参数标记,
2n
)1(2 2 ?n
2n
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)1( 2 ?n )1( 2 ?n
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)1( 2 ?n
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2/)( 2 nn ? 2/)( 2 nn ?
2 子 群和陪集
◆ 子群的定义,假设 H 是群 G 的一个非空子集，若 子集 H 中的元素按照
群 G 的乘法构成一个群,则称 H 为 G 的子群, 记为,
单位元和群 G 本身都是群 G 的子群,称为平庸子群,
如果 G1 为 G 的子群,G2 为 G1 的子群,则 G2 为 G的子群,
例, 1） 平面正三角形对称群 D3, {e,d,f },{e,a },{e,b },{e,c } 均为 D3的子群,
2) 奇 n阶循环群没有非平庸子群,
3) 从有限群中的任一元素 a 出发,都能生成该群的一个循环子群,
4) 一般复线性群 GL(n,C)?特殊复线性群 SL(n,C) ? 特殊实线性 SL(n,R)
一般复线性群 GL(n,C)?酉群 U(n) ?特殊酉群 SU(n)
一般复线性群 GL(n,C)?复 正交群 O(n,C) ?实 正交群 O(n,R) ?特殊实
正交群 SO(n,R)
GH ?
◆ 陪集的定义,假设 H 是群 G 的一个子群,H = { hα },对于群 G 中任意一个不属于子
群 H 的元素 g,可生成子群 H 的左陪集 gH和右陪集 Hg
gH = { ghα | hα ∈ H },Hg = {hα g| hα ∈ H }
根据群的定义,有 ghα ? H,hα g ? H, 陪集元素的个数等与相应子群的阶,
陪集定理, 设 H 是群 G 的一个子群,则 H 的两个左陪集 gH 和 fH 要么完全相等,要
么没有任何公共元素,
证明, 假设 gH 和 fH 中有一个公共元素 ghα = fhβ,则有 f –1g =hβ hα-1?H.
根据重排定理,有 f –1g H = H,即 g H = fH
拉格朗日定理, 有限群的阶是其子群的阶的整数倍,
证明, 设 G 的一个 n 阶有限群,H 是群 G 的一个 m 阶子群, 根据拉格朗日
定理,可以构造一个包括 H 在内的左陪集串,其中每个陪集没有公共
元素且整个陪集串充满群 G,即
G=H?g1H?g2H?g3H?… ?gL-1H
则有 n = Lm,
根据拉格朗日定理,可以得到有限群的一种分割方式,即有限群可以分割其子群的陪集串,
推论, 阶为素数的群没有非平庸子群,
例,平面正三角形对称群 D3 可以按子群 H1={e,a}分为陪集串 H1={e,a},bH1={b,f},
cH1={c,d},也可按 子群 H4={e,d,f}分为陪集串 H4={e,d,f},aH4=bH4=cH4={a,b,c}.
3 类和不变子群
◆ 共轭元素的定义,对于群 G中的任意元素 s,元素 g 和 f =sgs-1定义为互共轭元素, 记
为 g~f,
自轭性, 任何元素与其本身共轭,即 g~g
对称性, 若 g~f,则 f ~ g.
传递性, 若 g~f1,g~f2,则 f1~f2
◆ 类的定义,群 G中所有相互共轭的元素构成的集合称为群 G的一个类,
根据 共轭关系的性质,群 G的一个类中的元素可由该类中任一元素生成,即
f类 ={ f’|f’ = sfs-1,s ?G},s取遍群 G所有元素,重复元素 sfs-1只取一次,
根据 共轭的传递性可证, 两个不同的类没有公共元素,
定理, 有限群的阶是每一个类的元素个数的整数倍,
证明, 设 G是 n阶有限群,对 G中的任一元素 g,作子
Hg= { h?G|hgh?1=g }
根据陪集定理,可将群 G分割成 Hg的陪集串, 考察陪集串中任一陪集 g1Hg,
有 g1Hg g (g1Hg )?1= g1Hg g Hg ?1 g1?1= g1g g1?1,
对于任何 g2g g2?1=g1g g1?1,都有 g2?1g1g（ g2 ?1 g1） ?1 =g,即 g2?1g1?Hg,
从而 g2?g1Hg 。
综上,Hg的陪集串中每一个陪集对应于 g类的一个元素，即 g类中的元素的个数
等于 Hg的陪集串中陪集的个数。
例,1） 群 G中的单位元素自成一类。
2） 阿贝尔群的每个元素自成一类。
3） 平面正三角形对称群 D3 可以分割为三个类,{ e },{ d,f },{ a,b,c},
◆ 不变子群, 设 H是群 G的子群,h是 H中任意元素,若 H包含所有与 h同类的元素,即
对于群 G中任意一个元素 g,有 gHg?1=H,则称 H是群 G的不变子群,
等价定义, 设 H是群 G的子群,如果 H的任意一个左陪集与相应的右陪集相等,即
gH=Hg,则 H是群 G的不变子群,
定理, 设 H是 G的不变子群,对于 G中的任意一个固定元素 f,当 H中的元素 h取变整个
H时,fhf?1一次并仅仅一次给出 H的所有元素,
例, 1) 阿贝尔群的任意一个子群都是不变子群,
2)平面正三角形对称群 D3 中绕 z轴转动的元素构成的子群 { e,d,f } 是一个不变子
群, 它的任意一个左陪集与相应的右陪集重合,a{e,d,f} = {e,d,f}a = {a,b,c}.
◆ 商群, 设群 G的不变子群 H生成的陪集串为 H,g1H,g2H,…,,giH,…,,将其中每一个
陪集作为一个元素 Fi 可构成一个集合, 定义两个陪集的乘法运算为, 由这两个陪集
中的所有元素相乘得到另一个陪集, 即
giH→ F i,gjH→ F j,gkH→ F k
giHgjH=gigjHgj－ 1gjH=gigjH=gkH → F i Fj =Fk
这样得到的群 {…,Fi … } 称为 G的不变子群 H的商群,记作 G/H,
例,平面正三角形对称群 D3 的不变子群 H= {e,d,f} 的商群为二阶群 {{e,d,f},{a,b,c}}
4 群的同构与同态
A,同构
◆ 定义, 设由 群 G到群 F,如果存在一个 一一对应 的满映射 ?,且 映射 ?保持
群的基本运算规律不变,即群 G中 任意两个元素乘积的映射等于 F中这两
个元素映射的乘积, 则称群 G和群 F同构,记作 G?F,映射 ?称为同构映射,
同构映射 ?将 G中的单位元素映射为群 F中的单位元素,将群 G中的互逆
元映射为 F中的相应的互逆元,
对于同构映射 ?,存在一个逆映射 ?–1,逆映射 ?–1将 F中的元素一一映射
到 G的元素,
例, 1) 所有的二阶群同构,
2) 绕 z轴转过 2πn/N角度的所有转动变换与 N阶级教育循环群同构,
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B,同态
◆ 定义, 设由 群 G到群 F,如果存在一个满映射 ?,且 映射 ?保持群的基本运算规律不
变,即群 G中 任意两个元素乘积的映射等于 F中这两个元素映射的乘积, 则称群 G
和群 F同态,记作 G≈F,映射 ?称为由群 G到群 F的同态映射,
同态映射 ?将 G中的单位元素映射为群 F中的单位元素,将群 G中的互逆元映射为 F
中的相应的互逆元,
◆ 同态核, 设群 G与群 F同态,G中与 F的单位元素 f0 对应的所有元素构成的集合,称为
同态核, 记为 H.
同态核定理,设群 G与群 F同态,则有
1) 同态核 H是 G的不变子群,
2) 商群 G/H与 F同构,
证明, 1) 对于同态核 H中任意两个元素 hi 和 hj,根据同态的定义,有
?(hi hj )= ?(hi ) ?(hj )=f0f0=f0,再由同态核定义知 hi hj属于 H.
对于同态核 H中任意一个元素 h,根据同态及同态核的定义,有
?(h h－ 1 )= ?(h ) ?(h－ 1 )=f0 ?(h－ 1 )= ?(h－ 1 )= f0,于是 h－ 1 属于 H.
故 H是 G的子群,
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对于同态核 H中任意元素 h 和群 G中的任意元素 g,有
?(g hg－ 1 )= ?(g ) ?(h ) ?(g－ 1 )= ?(g ) f0 ?(g－ 1 )= f0,
即 g hg－ 1属于 H,故 H是 G的不变子群,
2) 设 H的陪集串为 H,g1H,… giH,…,考虑其中的任意一个陪集 gH.
首先,对于 gH中任意元素 gh,根据同态定义,有
?(g h) = ?(g ) ?(h ) = ?(g ),即陪集 gH对应于 F中的一个元素,
其次,设 giH 和 gjH 是陪集串中两个不同的陪集，根据同态定义,有
?(gi － 1gj h) = ?(gi － 1 ) ?(gj ) ?(h ) = ?(g i－ 1 ) ?(gj) = ?(g i) － 1 ?(gj),
若 ?(g i) =?(gj),?(g i) － 1 ?(gj)=f0,由同态核定义,有 gi － 1gj h属
于 H,即 giH 和 gjH重合。 故陪集串中不同的陪集对应 F中不同元素。
综上,商群 G/H中的元素与 F中元素一一对应。 G/H与 F同态。
例,1）任意群与单位元素构成的一阶群同态。
2） 平面正三角形对称群 D3 与二阶循环群同态。
同构：两个群中元素一一对应。两个同构的群具有完全相同的乘法表和
群结构。
同态,G中的多个元素对应于 F中一个元素。
5,群的直积
◆ 定义, 考虑两个 群 G1到 G2。 设 g1α∈G 1,g2β∈G 2,定义 G1到 G2的直积
群 G的元素 gαβ为：
gαβ= g1αg2β= g2β g1α
定义直积群的乘法运算为：
gαβ gα‘β’= (g1αg2β)(g1α’g2β’)=(g1α g1α’)( g2β g2β’ )= ( g2β g2β’ ) (g1α g1α’)
满足群的四个条件，单位元素为 e1e2, 所有的元素 gαβ按上述 乘法运算
构成群 G1和 G2的直积群, 记为 G=G1?G2
设群 G有两个子群 G1和 G2,如果下列条件满足：
1） G中的所有元素都能唯一地表示为
gαβ=g1αg2β
其中 g1α∈ G 1, g2β∈ G 2
2） G的乘法满足：
g1αg2β =g2β g1α
则 G可以表示为 G1和 G2的直积，三个群的乘法规则相同, 即 G=G1?G2
G1和 G2称为 G的直积因子,
◆ 群 G的直积因子 G1和 G2都是 G的不变子群。
设 g1α,g1α’∈G 1,g2β∈G 2,则
gαβ g1α’ gαβ － 1= g1αg2β g1α’ g2β － 1 g1α － 1= g1αg1α’ g1α － 1∈G 1
故 G1是 G的不变子群。
◆ 群 G的商群 G/ G1与 G2同构
? 参考书：
《群论》，韩其智、孙洪州，北京大学出版社
《物理学中的群论》，马中骐，科学出版社
《典型群及其在物理学中的应用》，怀邦，冯承天
等译，科学出版社
第一章 群的基本知识
1 群
◆ 群的定义：假设 G是由一些元素组成的集合，即 G={…,g,… },在 G中各
元素间定义了一种合成规则 ( 操作，运算，群的乘法 ),如果 G对这种合
成规则满足以下四个条件：
a） 封闭性, G中任意两个元素的乘积仍然属于 G.
b) 结合律,
c) 单位元素, 集合 G中存在一个单位元素 e,对任意元素,有
d) 可逆性, 对任意元素,存在逆元素,使
则称集合 G为一个群,
GhfgGgf ?????,
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)()(,,ghfhfgGhgf ????
Gf ? Gf ??1
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Gf ?
● 有限群, 由有限个元素构成的群, 群元的个数定义为群的阶,
例子,
1) 由 {－ 1,0,1} 三个数组成的集合,定义数的加法为群的乘法运算,
构成一个三阶有限群,单位元素为 0.
2) 空间反演群, 三维实空间中的恒等变换 E ( )和反演变换 I
( ),如果定义群的乘法为从左向右依次施行变换,则 E 和 I 构
成一个二阶有限群,称为空间反演群,
3) n阶循环群, 由一个元素 a 的幂构成的有限群, 设,则
构成一个群,称为 n阶循环群, 空间反演群是一个 2阶循环群,
4) 平面正三角形对称群, 保持平面正三角形空间
位置不变的所有转动变换
e, 不转 d, 绕 z 轴转 2π/3
f, 绕 z 轴转 4π/3 a, 绕 1 轴转 π
b, 绕 2 轴转 π c, 绕 3 轴转 π
定义群的乘法为从左向右依次施行变换,构成一个群,
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1
23
A
B C
O
● 有限群的乘法表, 将有限中所有元素的乘积列为一个表,称为乘法表,
例, 1) n阶循环群的乘法表
e a 2a 3a 1?na?
e
a
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e
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1?na
4a
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4a
5a
5a 6a
2?na
例, 2) 平面正三角形对称 群的乘法表
{ e,d,f } 构成三阶循环群
{ e,a },{ e,b }和 { e,c }均构成二阶循环群,
e d f a b c
e e d f a b c
d d f e c a b
f f e d b c a
a a b c e d f
b b c a f e d
c c a b d f e
2g
1g
21gg
● 无限群, 由无限个元素构成的群,
例子,
1) 由所有整数组成的集合,定义数的加法为群的乘法运算,构成一个分立无
限群,单位元素为 0,分立无限群, 群元无限可数,
2) 空间平移群, 三维实空间中的所有平移变换 对于变换乘
法构成一个连续无限群,
变换乘法, 从左向右依次施行变换, 连续无限群, 群元无限不可数,可用一
组连续变化的参数来描述,
3) 三维转动群 SO(3),三维空间保持原点不变的所有转动变换构成一个连续
无限群, SO(3)群元可用绕通过原点的任何一个转动轴 k 转 ψ 的转动
示,由三个连续变化的有界参数 （ θ,φ,ψ） 标记,
● 满秩 (正则,非奇异 )矩阵构成的群, 以矩阵的乘法作为群的乘法
1) 一般复线性群 GL(n,C),所有 n阶正则复矩阵构成一个 2 维连续群,群元
可用 2 个实参数标记,
一般实线性群 GL(n,R),所有 n阶正则实矩阵构成一个 维连续群,群元
可用 个实参数标记,
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2n
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2) 特殊复线性群 SL(n,C),所有行列式为 +1 的 n阶正则复矩阵构成的
维连续群,群元由 个实参数标记,
特殊实线性群 SL(n,R),所有行列式为 +1 的 n阶正则实矩阵构成的
维连续群,群元由 个实参数标记,
3) 酉群 U(n),所有 n阶酉矩阵 构成的 维连续群,
群元由 个实参数标记,
特殊酉群 SU(n),所有行列式为 +1 的 n阶酉矩阵构成的 维
连续群,群元由 个实参数标记,
4) 正交群 O(n,C),所有 n阶复正交矩阵 构成的
维连续群,群元由 个实参数标记,
实特殊正交群 SO(n,R),所有行列式为 +1 的 n阶实正交矩阵构成的
维连续群,群元由 个实参数标记,
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2 子 群和陪集
◆ 子群的定义,假设 H 是群 G 的一个非空子集，若 子集 H 中的元素按照
群 G 的乘法构成一个群,则称 H 为 G 的子群, 记为,
单位元和群 G 本身都是群 G 的子群,称为平庸子群,
如果 G1 为 G 的子群,G2 为 G1 的子群,则 G2 为 G的子群,
例, 1） 平面正三角形对称群 D3, {e,d,f },{e,a },{e,b },{e,c } 均为 D3的子群,
2) 奇 n阶循环群没有非平庸子群,
3) 从有限群中的任一元素 a 出发,都能生成该群的一个循环子群,
4) 一般复线性群 GL(n,C)?特殊复线性群 SL(n,C) ? 特殊实线性 SL(n,R)
一般复线性群 GL(n,C)?酉群 U(n) ?特殊酉群 SU(n)
一般复线性群 GL(n,C)?复 正交群 O(n,C) ?实 正交群 O(n,R) ?特殊实
正交群 SO(n,R)
GH ?
◆ 陪集的定义,假设 H 是群 G 的一个子群,H = { hα },对于群 G 中任意一个不属于子
群 H 的元素 g,可生成子群 H 的左陪集 gH和右陪集 Hg
gH = { ghα | hα ∈ H },Hg = {hα g| hα ∈ H }
根据群的定义,有 ghα ? H,hα g ? H, 陪集元素的个数等与相应子群的阶,
陪集定理, 设 H 是群 G 的一个子群,则 H 的两个左陪集 gH 和 fH 要么完全相等,要
么没有任何公共元素,
证明, 假设 gH 和 fH 中有一个公共元素 ghα = fhβ,则有 f –1g =hβ hα-1?H.
根据重排定理,有 f –1g H = H,即 g H = fH
拉格朗日定理, 有限群的阶是其子群的阶的整数倍,
证明, 设 G 的一个 n 阶有限群,H 是群 G 的一个 m 阶子群, 根据拉格朗日
定理,可以构造一个包括 H 在内的左陪集串,其中每个陪集没有公共
元素且整个陪集串充满群 G,即
G=H?g1H?g2H?g3H?… ?gL-1H
则有 n = Lm,
根据拉格朗日定理,可以得到有限群的一种分割方式,即有限群可以分割其子群的陪集串,
推论, 阶为素数的群没有非平庸子群,
例,平面正三角形对称群 D3 可以按子群 H1={e,a}分为陪集串 H1={e,a},bH1={b,f},
cH1={c,d},也可按 子群 H4={e,d,f}分为陪集串 H4={e,d,f},aH4=bH4=cH4={a,b,c}.
3 类和不变子群
◆ 共轭元素的定义,对于群 G中的任意元素 s,元素 g 和 f =sgs-1定义为互共轭元素, 记
为 g~f,
自轭性, 任何元素与其本身共轭,即 g~g
对称性, 若 g~f,则 f ~ g.
传递性, 若 g~f1,g~f2,则 f1~f2
◆ 类的定义,群 G中所有相互共轭的元素构成的集合称为群 G的一个类,
根据 共轭关系的性质,群 G的一个类中的元素可由该类中任一元素生成,即
f类 ={ f’|f’ = sfs-1,s ?G},s取遍群 G所有元素,重复元素 sfs-1只取一次,
根据 共轭的传递性可证, 两个不同的类没有公共元素,
定理, 有限群的阶是每一个类的元素个数的整数倍,
证明, 设 G是 n阶有限群,对 G中的任一元素 g,作子
Hg= { h?G|hgh?1=g }
根据陪集定理,可将群 G分割成 Hg的陪集串, 考察陪集串中任一陪集 g1Hg,
有 g1Hg g (g1Hg )?1= g1Hg g Hg ?1 g1?1= g1g g1?1,
对于任何 g2g g2?1=g1g g1?1,都有 g2?1g1g（ g2 ?1 g1） ?1 =g,即 g2?1g1?Hg,
从而 g2?g1Hg 。
综上,Hg的陪集串中每一个陪集对应于 g类的一个元素，即 g类中的元素的个数
等于 Hg的陪集串中陪集的个数。
例,1） 群 G中的单位元素自成一类。
2） 阿贝尔群的每个元素自成一类。
3） 平面正三角形对称群 D3 可以分割为三个类,{ e },{ d,f },{ a,b,c},
◆ 不变子群, 设 H是群 G的子群,h是 H中任意元素,若 H包含所有与 h同类的元素,即
对于群 G中任意一个元素 g,有 gHg?1=H,则称 H是群 G的不变子群,
等价定义, 设 H是群 G的子群,如果 H的任意一个左陪集与相应的右陪集相等,即
gH=Hg,则 H是群 G的不变子群,
定理, 设 H是 G的不变子群,对于 G中的任意一个固定元素 f,当 H中的元素 h取变整个
H时,fhf?1一次并仅仅一次给出 H的所有元素,
例, 1) 阿贝尔群的任意一个子群都是不变子群,
2)平面正三角形对称群 D3 中绕 z轴转动的元素构成的子群 { e,d,f } 是一个不变子
群, 它的任意一个左陪集与相应的右陪集重合,a{e,d,f} = {e,d,f}a = {a,b,c}.
◆ 商群, 设群 G的不变子群 H生成的陪集串为 H,g1H,g2H,…,,giH,…,,将其中每一个
陪集作为一个元素 Fi 可构成一个集合, 定义两个陪集的乘法运算为, 由这两个陪集
中的所有元素相乘得到另一个陪集, 即
giH→ F i,gjH→ F j,gkH→ F k
giHgjH=gigjHgj－ 1gjH=gigjH=gkH → F i Fj =Fk
这样得到的群 {…,Fi … } 称为 G的不变子群 H的商群,记作 G/H,
例,平面正三角形对称群 D3 的不变子群 H= {e,d,f} 的商群为二阶群 {{e,d,f},{a,b,c}}
4 群的同构与同态
A,同构
◆ 定义, 设由 群 G到群 F,如果存在一个 一一对应 的满映射 ?,且 映射 ?保持
群的基本运算规律不变,即群 G中 任意两个元素乘积的映射等于 F中这两
个元素映射的乘积, 则称群 G和群 F同构,记作 G?F,映射 ?称为同构映射,
同构映射 ?将 G中的单位元素映射为群 F中的单位元素,将群 G中的互逆
元映射为 F中的相应的互逆元,
对于同构映射 ?,存在一个逆映射 ?–1,逆映射 ?–1将 F中的元素一一映射
到 G的元素,
例, 1) 所有的二阶群同构,
2) 绕 z轴转过 2πn/N角度的所有转动变换与 N阶级教育循环群同构,
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B,同态
◆ 定义, 设由 群 G到群 F,如果存在一个满映射 ?,且 映射 ?保持群的基本运算规律不
变,即群 G中 任意两个元素乘积的映射等于 F中这两个元素映射的乘积, 则称群 G
和群 F同态,记作 G≈F,映射 ?称为由群 G到群 F的同态映射,
同态映射 ?将 G中的单位元素映射为群 F中的单位元素,将群 G中的互逆元映射为 F
中的相应的互逆元,
◆ 同态核, 设群 G与群 F同态,G中与 F的单位元素 f0 对应的所有元素构成的集合,称为
同态核, 记为 H.
同态核定理,设群 G与群 F同态,则有
1) 同态核 H是 G的不变子群,
2) 商群 G/H与 F同构,
证明, 1) 对于同态核 H中任意两个元素 hi 和 hj,根据同态的定义,有
?(hi hj )= ?(hi ) ?(hj )=f0f0=f0,再由同态核定义知 hi hj属于 H.
对于同态核 H中任意一个元素 h,根据同态及同态核的定义,有
?(h h－ 1 )= ?(h ) ?(h－ 1 )=f0 ?(h－ 1 )= ?(h－ 1 )= f0,于是 h－ 1 属于 H.
故 H是 G的子群,
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对于同态核 H中任意元素 h 和群 G中的任意元素 g,有
?(g hg－ 1 )= ?(g ) ?(h ) ?(g－ 1 )= ?(g ) f0 ?(g－ 1 )= f0,
即 g hg－ 1属于 H,故 H是 G的不变子群,
2) 设 H的陪集串为 H,g1H,… giH,…,考虑其中的任意一个陪集 gH.
首先,对于 gH中任意元素 gh,根据同态定义,有
?(g h) = ?(g ) ?(h ) = ?(g ),即陪集 gH对应于 F中的一个元素,
其次,设 giH 和 gjH 是陪集串中两个不同的陪集，根据同态定义,有
?(gi － 1gj h) = ?(gi － 1 ) ?(gj ) ?(h ) = ?(g i－ 1 ) ?(gj) = ?(g i) － 1 ?(gj),
若 ?(g i) =?(gj),?(g i) － 1 ?(gj)=f0,由同态核定义,有 gi － 1gj h属
于 H,即 giH 和 gjH重合。 故陪集串中不同的陪集对应 F中不同元素。
综上,商群 G/H中的元素与 F中元素一一对应。 G/H与 F同态。
例,1）任意群与单位元素构成的一阶群同态。
2） 平面正三角形对称群 D3 与二阶循环群同态。
同构：两个群中元素一一对应。两个同构的群具有完全相同的乘法表和
群结构。
同态,G中的多个元素对应于 F中一个元素。
5,群的直积
◆ 定义, 考虑两个 群 G1到 G2。 设 g1α∈G 1,g2β∈G 2,定义 G1到 G2的直积
群 G的元素 gαβ为：
gαβ= g1αg2β= g2β g1α
定义直积群的乘法运算为：
gαβ gα‘β’= (g1αg2β)(g1α’g2β’)=(g1α g1α’)( g2β g2β’ )= ( g2β g2β’ ) (g1α g1α’)
满足群的四个条件，单位元素为 e1e2, 所有的元素 gαβ按上述 乘法运算
构成群 G1和 G2的直积群, 记为 G=G1?G2
设群 G有两个子群 G1和 G2,如果下列条件满足：
1） G中的所有元素都能唯一地表示为
gαβ=g1αg2β
其中 g1α∈ G 1, g2β∈ G 2
2） G的乘法满足：
g1αg2β =g2β g1α
则 G可以表示为 G1和 G2的直积，三个群的乘法规则相同, 即 G=G1?G2
G1和 G2称为 G的直积因子,
◆ 群 G的直积因子 G1和 G2都是 G的不变子群。
设 g1α,g1α’∈G 1,g2β∈G 2,则
gαβ g1α’ gαβ － 1= g1αg2β g1α’ g2β － 1 g1α － 1= g1αg1α’ g1α － 1∈G 1
故 G1是 G的不变子群。
◆ 群 G的商群 G/ G1与 G2同构
