第三章 点群
■ 定义, 三维实正交群 O(3)的有限子群,
第一类点群, 只含转动元素,SO(3)的有限子群,也称为
固有点群 ;
第二类点群, 除含有转动元素外,还含有转动反演元素,
■ n阶转动轴, 设点群 G是由绕固定轴 k 转动生成的 n阶群,则
G由 Ck(2?/n)生成,固定轴 k 称为 n阶轴, 将元素 Ck(2?/n)记
为 Cn,群 G是由 Cn生成的 n阶循环群 {Cn,Cn2,…,Cnn=E},
记为 Cn.
■ 定理,设 G是点群,K是 G的转动子群,即 K=G∩SO(3),则有
三种可能,
1) G=K,G是 SO(3)的有限子群,即 G是第一类点群 ;
2) G≠K,G 包含空间反演元素 I,则 G=K∪IK=K ?{E,I},称
为 I型非固有点群 ;
3) G≠K,且 I?G,则 G与转动群 G=K∪K +同构,其中
K+ ={Ig|g∈G,g ? K}
称为 P型非固有点群,
■ 由第一类点群可构造出第二类点群,
1) G=K∪IK=K ?{E,I}
2) G=K∪IK +
■ 点群是群,满足群的封闭性 ; 点群是有限群,具有有限的元
素 ;第一类点群是 SO(3)的子群,群元具有 SO(3)群元特点,
点群 G的阶 n和转动轴阶 ni的关系,
1) l是极点 G轨道的个数,同一轨道上的极点是具有相同阶数
ni的转动轴与球面的交点。
2） ni是第 i条 G轨道中极点对应的转动轴的阶。
3） n是点群 G的阶数。
4） n/ni是第 i条 G轨道上点的个数。一个转动轴对应两个 G轨
道点。
2,)11(2)11(
1
??????
?
i
l
i i
nnnn
3,第一类点群
■ 第一类点群的分类,
5种可能情况,
?,3,2,,2)1 21 ???? nnnnl
?,6,4,2/,2,3)2 321 ????? nnnnnl
12,3,3,2,3)3 321 ????? nnnnl
24,4,3,2,3)4 321 ????? nnnnl
60,5,3,2,3)5 321 ????? nnnnl
1) n阶循环群 Cn群,
2条极点 G轨道,每一条轨道上有一个点,则点群中所有转
动元素保持极点不变,
转动轴阶数为 n,转动轴与球面的两个交点各自组成一条 G
轨道,
? 一个以固定 n阶转动轴 k生成的 n阶循环群 cn ={Cn,Cn2,…,
Cnn=E},Cn=Ck(2?/n).
?,3,2,,2 21 ???? nnnnl
1) 每个元素自成一类,共有 n个类, {E},{Cn},{Cn2},…,{Cnn-1}
2) 共有 n个一维不可约不等价表示,
分别由 AP(Cn)=exp[(p-1)2?i/n],p=1,2,… n生成,
3) 每一个表示的特征标为 ?p(Cnm)=exp[(p-1) 2?mi/n],
2) 二面体群 Dm群,
3条极点 G轨道, 第一条和第二条轨道上各有 (n/2)=m个点,
均对应于二阶轴,共有 2(m/2)=m条 ; 第三条轨道上有
(n/m)=2个点,对应于一个 m阶转动轴的两个极点,
因为 m阶转动轴的两个极点 rm与 (–rm)在同一条轨道上,故
对点群中任意元素 g,使 g rm= rm或 g rm=–rm,因而所有 m个
二阶轴与 m阶转动轴垂直,
? 保持正多边形空间位置不变的有限转动群,称为二面体群,
?,3,2,2,,2,3 321 ?????? mmnmnnnl
)(2)(2)2(2)1(212 },,,,,,,,,{ immmmmmm CCCCCCCCED ?? ? ??
相邻二阶轴的夹角相等,
m=奇数时,为 2?/m; m=偶数时,为 ?/m
与 m阶轴垂直的二阶轴将绕 m阶轴的转动
元素与其逆转动通过相似变换联系起来,
单位元素 E自成一类 ; Cmk和 Cmm-k成一类,
k=1,2,… (m-1)/2;
m个二阶轴为一类 ; 共有 (m+3)/2类,
m=奇数时
m=偶数时
单位元素 E自成一类 ; Cmk和 Cmm-k成一类,
k=1,2,… (m-2)/2;
Cmm/2自成一类 ; m个二阶轴分为两类,
夹角为 2?/m的 二阶轴各为一类 ;
共有 m/2+3类,
D2群, 由三个垂直的二阶轴生成
1) 共分为 4个类
}{},{},{},{ )3(2)2(2)1(2 CCCE
2) 4个一维不可约不等价表示 4
24232221 ???? SSSS
{E,C2(1)},{E,C2(2)},{E,C2(3)}均是 D2的不变子群,
D2是 {E,C2(1)}和 {E,C2(2)}的直积群,D2=C2?C2
可由两个二阶循环群 C2表示的直积给出,
正方形对称群 D4, 1) 共分为 5个类
},{},,{},{},,{},{ )4(2)2(2)3(2)1(224344 CCCCCCCE
2) 5个不可约不等价表示 82524232221 ????? SSSSS
4个一维不可约不等价表示,一个二维表示,
D4有三个三阶不变子群,
},,,{},,,,{},,,,{ )4(2)2(224)3(2)1(22434244 CCCECCCECCCE
D4有到二阶循环群的三个同态,可得到 D4的三个
一维非恒等不可约不等价表示
1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,1,1,1
,,,,,,,)4(2)3(2)2(2)1(234244
????
????
????
CCCCCCCE
x
y
1 3
2
4
3) 四面体群 T群,
12,3,3,2,3 321 ????? nnnnl
3条极点 G轨道, 第一条轨道上有 (n/2)=6个点,均对应于
三个二阶轴,共有 (6/2)=3条 ;第二条和第三条轨道上各有
有 (n/3)=4个点,对应于 4个 3阶转动轴的 8个极点,
? 保持正四面体空间位置不变的有限转动群,称为四面体群,
T群 12个元素分 4个类,
)1(2C
)2(2C
)3(2C
)1(3C )2(3C
)3(3C
)4(3C })(,)(,)(,){(
},,,,{
},,,{},{
2)4(
3
2)3(
3
2)2(
3
2)1(
3
)4(
3
)3(
3
)2(
3
)1(
3
)3(
2
)2(
2
)1(
2
CCCC
CCCC
CCCE
T群有 4个不等价不可约表示,
1224232221 ???? SSSS
T群不变子群
},,,{ )3(2)2(2)1(2 CCCE
与 D2同构，其商群 T/D2={D2,C3 D2,C32 D2}与三
阶
循环群同构，可得 T群的三个一维不等价表示
)3/2e x p ()3/4e x p (11
)3/4e x p ()3/2e x p (11
})(,)(,)(,){(},,,,{},,,{},{ 2)4(32)3(32)2(32)1(3)4(3)3(3)2(3)1(3)3(2)2(2)1(2
ii
ii
CCCCCCCCCCCE
??
??
)1(2C
)2(2C
)3(2C
)1(3C )2(3C
)3(3C
)4(3C
T群有 1个 3维表示, 34 ?S
?
?
?
?
?
?
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010
001
100
010
001
100
010
001
100
010
001
100
100
010
001
100
010
001
100
010
001
100
010
001
)4(
3
)3(
3
)2(
3
)1(
3
)3(
2
)2(
2
)1(
2 CCCCCCCE
y
z
x
4) 八面体群 O群,
24,4,3,2,3 321 ????? nnnnl
3条极点 G轨道, 第一条轨道上有 (n/2)=12个点,对应于 6
个二阶轴,共有 (12/2)=6条 ;第二条轨道上有 (n/3)=8个点,
对应于 4个 3阶转动轴的 8个极点； 第三条轨道上有
(n/4)=6个点,对应于 3个 4阶转动轴的 6个极点,
? 正八面体对称转动群,称为八面体群,
12个棱边中相对棱中点连线给出 6个 2阶轴；
8个面中相对面重心连线给出 4个 3阶轴；
6个顶点中相对顶点连线给出 3个 4阶轴。
共有 5个类，故有 5个不等价不可约表示
})(,...,){(},)(,...,)(,,...,{
})(,...,)(,,...,{},,...,{},{
2)4(
4
2)1(
4
3)4(
4
3)1(
4
)4(
4
)1(
4
2)4(
3
2)1(
3
)4(
3
)1(
3
)6(
2
)1(
2
CCCCCC
CCCCCCE
242524232221 ????? SSSSS 2个一维表示，一个二维表示，二个三维表示
5) 十二面体群 Y群,
60,5,3,2,3 321 ????? nnnnl
3条极点 G轨道, 第一条轨道上有 (n/2)=30个点,对应于 15
个二阶轴,共有 (30/2)=6条 ;第二条轨道上有 (n/3)=20个
点,对应于（ 20/2） =10个 3阶转动轴； 第三条轨道上有
(n/5)=12个点,对应于（ 12/2） =6个 5阶转动轴,
? 正十二面体对称转动群,称为十二面体群,
■ 第二类点群可由第一类群构造。分为 9类：
1) Cn∪I Cn= Cn?{E,I},2n阶阿贝尔群，共有 2n个
共轭类。
2） Dn∪I Dn = Dn?{E,I}, 2n阶群 。
3） T∪ I T = T?{E,I}, 24阶群,称为 Th群。共有 8个共
轭类。
4） O∪ I O = O?{E,I}, 48阶群,称为 Oh群。共有 10个
共轭类。
5） Y∪ I Y = Y?{E,I}, 48阶群,称为 Oh群。共有 10个
共轭类。
表示可由第一类点群的表示与二阶循环群表示直积得到
4,第二类点群
7） 与 Dn同构的 P型第二类点群。
},...,,{},,...,,{
},...,,,,,...,,,{
)(
2
)2()1(
2
12
)(
2
)2(
2
)1(
2
132
n
n
n
n
n
nnn
nn
n
n
nnnnn
CCCECCCC
CCCECCCCCD
???
??
?
?
},...,,{ )(2)2(2)1(2 nCCCK ??
K=Cn={Cn,Cn2,… Cnn}是 Dn的不变子群,陪集 K+为
Dn=K∪K +,与 Dn同构的第二类点群为 K∪IK +
8） 与 D2n同构的 P型第二类点群。
},.,,,,,,.,,,,{
},.,,,,,,,.,,,,{
)12(
2
)3()1(
2
12
2
3
22
)2(
2
)4(
2
)2(
2
2
2
)1(2
2
4
2
2
22
??
? ??
n
n
n
nnn
nn
n
n
nnnn
CCCCCC
CCCECCCCD
?
K=Dn是 D2n的不变子群,
D2n=K∪K +,与 D2n同构的第二类点群为 K∪IK +
},.,,,,,,,.,,,,{ )2(2)4(2)2(222)1(224222 nnnnnnnn CCCECCCCDK ??? ?
陪集 K+为
},...,,,,...,,{ )12(2)3()1(2122322 ??? ? nnnnnn CCCCCCK
9） 与 O同构的 P型第二类点群。
},,,,,,,,,,,{
},,,,,,,,,,,{
)6(
2
)5(
2
)4(
2
)3(
2
)2(
2
)1(
2
3)3(
4
3)2(
4
3)1(
4
)3(
4
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3
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4
2)2(
4
2)1(
4
CCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCEO
?
?
K=T是 O的不变子群,
O=K∪K +,与 O同构的第二类点群为 K∪IK +
陪集 K+为
},,,,,,,,,,,{ 2)4(32)3(32)2(32)1(3)4(3)3(3)2(3)1(32)3(42)2(42)1(4 CCCCCCCCCCCEK ?
},,,,,,,,,,,{ )6(2)5(2)4(2)3(2)2(2)1(23)3(43)2(43)1(4)3(4)2(4)1(4 CCCCCCCCCCCCK ??
? )}()],12(
24
2
[],.,,,,
24
2
[)],14(
24
2
[) ],.,,32(
24
2
[
2,12,...1,,1,...1,0)]}322(
24
2
[{
2,.,,,2,1,0})
12
2
({}{ 12
12
12
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?
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kkkkk
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n
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n
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n
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■ 偶数阶转动反射轴 S4n生成的元素
nkk
m
k
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n
Cm
n
Cm
n
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n
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2
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???
???
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4
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[)],12(
4
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[
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4
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nm
n
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kkk
kkk
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m
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■ 偶数阶转动反射轴 S4n+2生成的元素
12
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12
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12,2,.,,,2,1})]
24
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n
n
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n
ICn
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nm
n
IC
m
n
C
n
ICS
????
???
?
?
?
?
3） Th群, T∪ I T = T?{E,I} 。
取 Th群 的一个二阶轴 C2为主轴,与主轴垂直的平
面称为水平反射平面,记作 ?h,
第二类点群与 Schoenflie分类的对应
hIC ??2Th可由 T和对 T的反射操作
得到
TTTICTITTT hh ???? ??? 2
4） Oh群, O∪ I O
取 Oh群 的一个四阶轴 C4为主轴,
OOOICOIOOO hh ???? ??? 24
1） Cn∪ ICn 群
n为奇数时,
第二类点群与 Schoenflie分类的对应
称为 S4n+2群,
121224 ??? ? nnn ICCS ?
n为偶数时,有 IC2nn=?h,故
nhnnnnn nnnn CCCCICCICC 22222222 }{ ???? ?? ?
记作 C2nh群,
7）与 Dn同构的 P型第二类点群。
第二类点群与 Schoenflie分类的对应
)()(2 iViIC ??
上述点群可由 Cn群加上对
垂直反射平面反射操作得到,
称为 Cnv群,
取 Cn为主轴,过主轴且垂直于 C2(i)的
平面称为垂直反射面,记作 ?V(i)
},.,,,,{},,.,,,,{ )(2)2()1(212 nnnnnnnn CCCIECCCC ???
第二类点群在 Schoenflie分类中分为 9类,
dhhhndnhnhnVn TYOTDDCCS,,,,,,,,2
9）与 O同构的 P型第二类点群。
第二类点群与 Schoenflie分类的对应
)()(2 iViIC ??
上述点群可由 Cn群加上对
垂直反射平面反射操作得到,
称为 Cnv群,
取 Cn为主轴,过主轴且垂直于 C2(i)的
平面称为垂直反射面,记作 ?V(i)
},.,,,,{},,.,,,,{ )(2)2()1(212 nnnnnnnn CCCIECCCC ???
■ 定义, 三维实正交群 O(3)的有限子群,
第一类点群, 只含转动元素,SO(3)的有限子群,也称为
固有点群 ;
第二类点群, 除含有转动元素外,还含有转动反演元素,
■ n阶转动轴, 设点群 G是由绕固定轴 k 转动生成的 n阶群,则
G由 Ck(2?/n)生成,固定轴 k 称为 n阶轴, 将元素 Ck(2?/n)记
为 Cn,群 G是由 Cn生成的 n阶循环群 {Cn,Cn2,…,Cnn=E},
记为 Cn.
■ 定理,设 G是点群,K是 G的转动子群,即 K=G∩SO(3),则有
三种可能,
1) G=K,G是 SO(3)的有限子群,即 G是第一类点群 ;
2) G≠K,G 包含空间反演元素 I,则 G=K∪IK=K ?{E,I},称
为 I型非固有点群 ;
3) G≠K,且 I?G,则 G与转动群 G=K∪K +同构,其中
K+ ={Ig|g∈G,g ? K}
称为 P型非固有点群,
■ 由第一类点群可构造出第二类点群,
1) G=K∪IK=K ?{E,I}
2) G=K∪IK +
■ 点群是群,满足群的封闭性 ; 点群是有限群,具有有限的元
素 ;第一类点群是 SO(3)的子群,群元具有 SO(3)群元特点,
点群 G的阶 n和转动轴阶 ni的关系,
1) l是极点 G轨道的个数,同一轨道上的极点是具有相同阶数
ni的转动轴与球面的交点。
2） ni是第 i条 G轨道中极点对应的转动轴的阶。
3） n是点群 G的阶数。
4） n/ni是第 i条 G轨道上点的个数。一个转动轴对应两个 G轨
道点。
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1
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3,第一类点群
■ 第一类点群的分类,
5种可能情况,
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?,6,4,2/,2,3)2 321 ????? nnnnnl
12,3,3,2,3)3 321 ????? nnnnl
24,4,3,2,3)4 321 ????? nnnnl
60,5,3,2,3)5 321 ????? nnnnl
1) n阶循环群 Cn群,
2条极点 G轨道,每一条轨道上有一个点,则点群中所有转
动元素保持极点不变,
转动轴阶数为 n,转动轴与球面的两个交点各自组成一条 G
轨道,
? 一个以固定 n阶转动轴 k生成的 n阶循环群 cn ={Cn,Cn2,…,
Cnn=E},Cn=Ck(2?/n).
?,3,2,,2 21 ???? nnnnl
1) 每个元素自成一类,共有 n个类, {E},{Cn},{Cn2},…,{Cnn-1}
2) 共有 n个一维不可约不等价表示,
分别由 AP(Cn)=exp[(p-1)2?i/n],p=1,2,… n生成,
3) 每一个表示的特征标为 ?p(Cnm)=exp[(p-1) 2?mi/n],
2) 二面体群 Dm群,
3条极点 G轨道, 第一条和第二条轨道上各有 (n/2)=m个点,
均对应于二阶轴,共有 2(m/2)=m条 ; 第三条轨道上有
(n/m)=2个点,对应于一个 m阶转动轴的两个极点,
因为 m阶转动轴的两个极点 rm与 (–rm)在同一条轨道上,故
对点群中任意元素 g,使 g rm= rm或 g rm=–rm,因而所有 m个
二阶轴与 m阶转动轴垂直,
? 保持正多边形空间位置不变的有限转动群,称为二面体群,
?,3,2,2,,2,3 321 ?????? mmnmnnnl
)(2)(2)2(2)1(212 },,,,,,,,,{ immmmmmm CCCCCCCCED ?? ? ??
相邻二阶轴的夹角相等,
m=奇数时,为 2?/m; m=偶数时,为 ?/m
与 m阶轴垂直的二阶轴将绕 m阶轴的转动
元素与其逆转动通过相似变换联系起来,
单位元素 E自成一类 ; Cmk和 Cmm-k成一类,
k=1,2,… (m-1)/2;
m个二阶轴为一类 ; 共有 (m+3)/2类,
m=奇数时
m=偶数时
单位元素 E自成一类 ; Cmk和 Cmm-k成一类,
k=1,2,… (m-2)/2;
Cmm/2自成一类 ; m个二阶轴分为两类,
夹角为 2?/m的 二阶轴各为一类 ;
共有 m/2+3类,
D2群, 由三个垂直的二阶轴生成
1) 共分为 4个类
}{},{},{},{ )3(2)2(2)1(2 CCCE
2) 4个一维不可约不等价表示 4
24232221 ???? SSSS
{E,C2(1)},{E,C2(2)},{E,C2(3)}均是 D2的不变子群,
D2是 {E,C2(1)}和 {E,C2(2)}的直积群,D2=C2?C2
可由两个二阶循环群 C2表示的直积给出,
正方形对称群 D4, 1) 共分为 5个类
},{},,{},{},,{},{ )4(2)2(2)3(2)1(224344 CCCCCCCE
2) 5个不可约不等价表示 82524232221 ????? SSSSS
4个一维不可约不等价表示,一个二维表示,
D4有三个三阶不变子群,
},,,{},,,,{},,,,{ )4(2)2(224)3(2)1(22434244 CCCECCCECCCE
D4有到二阶循环群的三个同态,可得到 D4的三个
一维非恒等不可约不等价表示
1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,1,1,1
,,,,,,,)4(2)3(2)2(2)1(234244
????
????
????
CCCCCCCE
x
y
1 3
2
4
3) 四面体群 T群,
12,3,3,2,3 321 ????? nnnnl
3条极点 G轨道, 第一条轨道上有 (n/2)=6个点,均对应于
三个二阶轴,共有 (6/2)=3条 ;第二条和第三条轨道上各有
有 (n/3)=4个点,对应于 4个 3阶转动轴的 8个极点,
? 保持正四面体空间位置不变的有限转动群,称为四面体群,
T群 12个元素分 4个类,
)1(2C
)2(2C
)3(2C
)1(3C )2(3C
)3(3C
)4(3C })(,)(,)(,){(
},,,,{
},,,{},{
2)4(
3
2)3(
3
2)2(
3
2)1(
3
)4(
3
)3(
3
)2(
3
)1(
3
)3(
2
)2(
2
)1(
2
CCCC
CCCC
CCCE
T群有 4个不等价不可约表示,
1224232221 ???? SSSS
T群不变子群
},,,{ )3(2)2(2)1(2 CCCE
与 D2同构，其商群 T/D2={D2,C3 D2,C32 D2}与三
阶
循环群同构，可得 T群的三个一维不等价表示
)3/2e x p ()3/4e x p (11
)3/4e x p ()3/2e x p (11
})(,)(,)(,){(},,,,{},,,{},{ 2)4(32)3(32)2(32)1(3)4(3)3(3)2(3)1(3)3(2)2(2)1(2
ii
ii
CCCCCCCCCCCE
??
??
)1(2C
)2(2C
)3(2C
)1(3C )2(3C
)3(3C
)4(3C
T群有 1个 3维表示, 34 ?S
?
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?
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010
001
100
010
001
100
010
001
100
010
001
100
100
010
001
100
010
001
100
010
001
100
010
001
)4(
3
)3(
3
)2(
3
)1(
3
)3(
2
)2(
2
)1(
2 CCCCCCCE
y
z
x
4) 八面体群 O群,
24,4,3,2,3 321 ????? nnnnl
3条极点 G轨道, 第一条轨道上有 (n/2)=12个点,对应于 6
个二阶轴,共有 (12/2)=6条 ;第二条轨道上有 (n/3)=8个点,
对应于 4个 3阶转动轴的 8个极点； 第三条轨道上有
(n/4)=6个点,对应于 3个 4阶转动轴的 6个极点,
? 正八面体对称转动群,称为八面体群,
12个棱边中相对棱中点连线给出 6个 2阶轴；
8个面中相对面重心连线给出 4个 3阶轴；
6个顶点中相对顶点连线给出 3个 4阶轴。
共有 5个类，故有 5个不等价不可约表示
})(,...,){(},)(,...,)(,,...,{
})(,...,)(,,...,{},,...,{},{
2)4(
4
2)1(
4
3)4(
4
3)1(
4
)4(
4
)1(
4
2)4(
3
2)1(
3
)4(
3
)1(
3
)6(
2
)1(
2
CCCCCC
CCCCCCE
242524232221 ????? SSSSS 2个一维表示，一个二维表示，二个三维表示
5) 十二面体群 Y群,
60,5,3,2,3 321 ????? nnnnl
3条极点 G轨道, 第一条轨道上有 (n/2)=30个点,对应于 15
个二阶轴,共有 (30/2)=6条 ;第二条轨道上有 (n/3)=20个
点,对应于（ 20/2） =10个 3阶转动轴； 第三条轨道上有
(n/5)=12个点,对应于（ 12/2） =6个 5阶转动轴,
? 正十二面体对称转动群,称为十二面体群,
■ 第二类点群可由第一类群构造。分为 9类：
1) Cn∪I Cn= Cn?{E,I},2n阶阿贝尔群，共有 2n个
共轭类。
2） Dn∪I Dn = Dn?{E,I}, 2n阶群 。
3） T∪ I T = T?{E,I}, 24阶群,称为 Th群。共有 8个共
轭类。
4） O∪ I O = O?{E,I}, 48阶群,称为 Oh群。共有 10个
共轭类。
5） Y∪ I Y = Y?{E,I}, 48阶群,称为 Oh群。共有 10个
共轭类。
表示可由第一类点群的表示与二阶循环群表示直积得到
4,第二类点群
7） 与 Dn同构的 P型第二类点群。
},...,,{},,...,,{
},...,,,,,...,,,{
)(
2
)2()1(
2
12
)(
2
)2(
2
)1(
2
132
n
n
n
n
n
nnn
nn
n
n
nnnnn
CCCECCCC
CCCECCCCCD
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??
?
?
},...,,{ )(2)2(2)1(2 nCCCK ??
K=Cn={Cn,Cn2,… Cnn}是 Dn的不变子群,陪集 K+为
Dn=K∪K +,与 Dn同构的第二类点群为 K∪IK +
8） 与 D2n同构的 P型第二类点群。
},.,,,,,,.,,,,{
},.,,,,,,,.,,,,{
)12(
2
)3()1(
2
12
2
3
22
)2(
2
)4(
2
)2(
2
2
2
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2
4
2
2
22
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n
n
n
nnn
nn
n
n
nnnn
CCCCCC
CCCECCCCD
?
K=Dn是 D2n的不变子群,
D2n=K∪K +,与 D2n同构的第二类点群为 K∪IK +
},.,,,,,,,.,,,,{ )2(2)4(2)2(222)1(224222 nnnnnnnn CCCECCCCDK ??? ?
陪集 K+为
},...,,,,...,,{ )12(2)3()1(2122322 ??? ? nnnnnn CCCCCCK
9） 与 O同构的 P型第二类点群。
},,,,,,,,,,,{
},,,,,,,,,,,{
)6(
2
)5(
2
)4(
2
)3(
2
)2(
2
)1(
2
3)3(
4
3)2(
4
3)1(
4
)3(
4
)2(
4
)1(
4
2)4(
3
2)3(
3
2)2(
3
2)1(
3
)4(
3
)3(
3
)2(
3
)1(
3
2)3(
4
2)2(
4
2)1(
4
CCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCEO
?
?
K=T是 O的不变子群,
O=K∪K +,与 O同构的第二类点群为 K∪IK +
陪集 K+为
},,,,,,,,,,,{ 2)4(32)3(32)2(32)1(3)4(3)3(3)2(3)1(32)3(42)2(42)1(4 CCCCCCCCCCCEK ?
},,,,,,,,,,,{ )6(2)5(2)4(2)3(2)2(2)1(23)3(43)2(43)1(4)3(4)2(4)1(4 CCCCCCCCCCCCK ??
? )}()],12(
24
2
[],.,,,,
24
2
[)],14(
24
2
[) ],.,,32(
24
2
[
2,12,...1,,1,...1,0)]}322(
24
2
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2,.,,,2,1,0})
12
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12
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n
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???
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4
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[)],12(
4
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4
2
[
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4
2
[) ],.,,,52(
4
2
[)],32(
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2
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4
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2
2
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2
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kkk
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m
n
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???
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■ 偶数阶转动反射轴 S4n+2生成的元素
12
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12
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24
2[{
12,2,.,,,2,1})]
24
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24
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2
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12
2
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2
[{
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2
[{
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2
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n
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n
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n
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m
n
C
n
ICS
????
???
?
?
?
?
3） Th群, T∪ I T = T?{E,I} 。
取 Th群 的一个二阶轴 C2为主轴,与主轴垂直的平
面称为水平反射平面,记作 ?h,
第二类点群与 Schoenflie分类的对应
hIC ??2Th可由 T和对 T的反射操作
得到
TTTICTITTT hh ???? ??? 2
4） Oh群, O∪ I O
取 Oh群 的一个四阶轴 C4为主轴,
OOOICOIOOO hh ???? ??? 24
1） Cn∪ ICn 群
n为奇数时,
第二类点群与 Schoenflie分类的对应
称为 S4n+2群,
121224 ??? ? nnn ICCS ?
n为偶数时,有 IC2nn=?h,故
nhnnnnn nnnn CCCCICCICC 22222222 }{ ???? ?? ?
记作 C2nh群,
7）与 Dn同构的 P型第二类点群。
第二类点群与 Schoenflie分类的对应
)()(2 iViIC ??
上述点群可由 Cn群加上对
垂直反射平面反射操作得到,
称为 Cnv群,
取 Cn为主轴,过主轴且垂直于 C2(i)的
平面称为垂直反射面,记作 ?V(i)
},.,,,,{},,.,,,,{ )(2)2()1(212 nnnnnnnn CCCIECCCC ???
第二类点群在 Schoenflie分类中分为 9类,
dhhhndnhnhnVn TYOTDDCCS,,,,,,,,2
9）与 O同构的 P型第二类点群。
第二类点群与 Schoenflie分类的对应
)()(2 iViIC ??
上述点群可由 Cn群加上对
垂直反射平面反射操作得到,
称为 Cnv群,
取 Cn为主轴,过主轴且垂直于 C2(i)的
平面称为垂直反射面,记作 ?V(i)
},.,,,,{},,.,,,,{ )(2)2()1(212 nnnnnnnn CCCIECCCC ???
