第二章 群表示论基础
1 线性代数基本知识
■ 线性空间, 定义在数域 K上的向量集合 {v1,v2,v3,… }=V,在
V中定义了加法和数乘两种运算, 设 v1,v2,v3∈V,
a,b,c ∈K,向量的加法和数乘具有封闭性,且满
足下列条件,
加法,
v1+v2= v2+ v1
v1+(v2+v3)= (v1+v2)+v3
唯一的 0元存在,使 v1+0= v1
对任一向量 v1,有唯一逆元
(-v1)存在,使 v1+(- v1)=0
数乘,
1v= v
(ab)v=a(bv)
a(v1+v2)= av1+av2
(a+b)v=av+bv
则称向量集合 V为一个线性空间,
线性无关, 对于 V中的 n 个向量 v1,v2,… vn?V,如
果 不存在 n 个不全为零的数 a1,a2,…,an ?K, 使
得
a1v1 + a2v2 + … + anvn =0
则称这 n 个向量 v1,v2,… vn是线性无关的,
线性空间 V中的任意一个向量 v ?V可由 这 n 个向量
v1,v2,… vn 生成，即
v = x1v1 + x2v2 + … + xnvn
其中 x1,x2,…,xn ?K,这 n 个向量 v1,v2,… vn称
为线性空间 V的一组基向量,通常记为, e1,e2,… en.
线性空间 V中线性无关向量的最大数目，称为 V的维数。
■ 内积空间, 定义了内积的线性空间,
内积, 设 V是数域 K上的一个线性空间,v1和 v2是 V中任意两个
向量,映射 ψ将 v1和 v2映射为一个数,即 ψ(v1,v2)=(v1|v2)∈K,
且满足下列条件
(v1+v2| v3 )= (v1| v3 ) + (v2| v3 )
(v1|av2 )= a(v1| v2 )
(v1| v2 )= (v2| v1 )*
当 v1?0时,(v1| v1 )>0,
则数 (v1|v2)称为向量 v1和 v2 的内积,
长度：向量 v的长度定义为 |v|= (v1| v1 )1/2
正交：如果 (v1| v2 )=0,则称向量 v1和 v2正交。
正交归一基：如果内积空间的一组基向量（ e1,e2,… en)满足
(ei|ej)=δij,则称为正交归一基,
■ 线性变换, 设 V是定义在数域 K上的一个线性空间,线性变换
A是将 V映入 V的线性映射,即对于任意 v1,v2∈V,a∈K,有
A(v1)?V
A(av1+v2)= aA(v1)+A(v2)
则称映射 A为线性空间 V上的一个线性变换,
如果 A是一个将 V映入 V的一一对应的满映射,则存在 A的逆变换,记作 A－ 1.
■ 幺正变换, 设 U是内积空间 V上的线性变换,即对于 V中任意
向量 v1,v2∈V,U 保持 v1和 v2的内积不变,即
(Uv1|Uv2)=(v1|v2)
则称 U是 V上的幺正变换,
共轭变换, A,A?是内积空间 V上的线性变换,如果对任意 v1,v2∈V,满足
(A v1|v2)=(v1|A?v2),则称 A,A?互为共轭变换,
幺正变换 U满足 UU? = U?U=E,E为恒等变换,
在 n 维线性空间 V中任取 m (m?n) 个线性无关的向
量 v1,v2,… vm?V,由这 m个向量作为基向量,可以
生成一个 m维线性空间 V1,称为 V的一个子空间,
线性空间的子空间,
线性空间的直和,
设 V1和 V2是线性空间 V的两个子空间,如果 V中的任
意一个向量 v?V 都可以唯一地表示为 V1和 V2中向量
之和,即对于任意 v?V,能够找到 v1?V1,v2?V2,v可
唯一地表示为 v=v1+v2,则称线性空间 V是其子空间
V1和 V2的直和,记作 V=V1⊕ V2,
矩阵表示, 用列矩阵表示线性空间 V的一组基向量,即
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●则线性空间 V中任意一个向量 v可表示为一个列矩阵,即
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●内积, 线性空间 V上任意两个向量本 间的内
积可定义为
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●线性空间 V上任意一个线性变换 A可表示为一个 n维方矩阵,即
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●内积空间 V上任意一个线性变换 A的共轭变换表示为 A?=A*T.
● n维线性空间 V中,当选定一组基后,V中的向量与列矩阵有一
一对应的关系,V上的线性变换与 n维方矩阵一一对应,
●线性变换群, 设 V是 n维复线性空间,V上所有非奇异线性变换,
当定义群的乘法运算为连续两次线性变换时,构成一个群,称
为 n维一般复线性群 GL(n,C),
V上线性变换构成的群,称为线性变换群, 记为 L(V,C)
● n维线性空间 V中,当选定一组基后,线性变换就与相应的 n阶
矩阵群同构,
● 相似变换
设 {e1,e2,…,en}和 是线性空间 V的两组不同的基,这两组基
之间由非奇异矩阵 S 相联系,即 }',,','{ 21 neee ?
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则 V中任一向量 v在上述两组基下的列矩阵表示由下式联系
xSxexxSeexv
ji j jjijiji ii
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则 V中任一线性变换 A在上述两组基下的矩阵由下式联系
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矩阵 A’和 A的上述关系称为相似变换,
2 群表示
■ 群表示定义, 群 G到线性空间 V上的线性变换群的同态映射 A,
称为群 G的一个线性表示,V称为表示空间, 即
)( ?? gAg A? ??
映射 A保持 G的乘法规律不变,即对任意 g?,g??G,有
)()()( ???? gAgAggA ?
■ 等价定义, 群 G到 n× n矩阵群的同态映射 A,称为群 G的一个
n维线性表示, 任意群元的表示矩阵应当是非奇异的,即对任
意 g?,g??G,有 det[A(g?)]≠0.
● 忠实表示, 如果群 G到线性空间 V上的线性变换群的映射 A
不但同态,而且同构,即 A是一一对应的满映射,则表示 A称
为忠实表示,
● 例,
1) 对任何一个群 G,一阶单位矩阵都是它的一个表示,称为一维恒等表示,
2) 任何一个矩阵群 G本身是它自己的一个忠实表示,
3) 空间反演群 {E,I} 在三维实坐标空间笛卡尔坐标系中的表示为
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■ 等价表示, 设群 G在线性空间 V上的两个表示 B和 A通过一个
相似变换相联系,即对于任意 g??G,有 B(g?)=SA(g?)S－ 1,其
中 S是 V上的一个非奇异矩阵,则称这两个表示为等价表示,
■ 可约表示, 设 A是群 G在表示空间 V上的一个表示,如果 V
存在一个 G的不变真子空间 W,即对任意 w?W和 任意 g??G,
有 A(g?) w ?W,则称表示 A是可约的,
■ 完全可约表示, 设群 G的表示 A的表示空间 V可以分解为子
空间 W1和 W2的直和,即 V=W1?W2,且 W1和 W2都是 G的不
变真子空间,即对于任意 w1?W1,w2?W2和 任意 g??G,有
A(g?) w1 ?W1,A(g?) w2 ?W2
则称表示 A是完全可约的,
■ 不可约表示, 设群 G的表示 A的表示空间 V中不存在 G的不
变真子空间,则称表示 A是 G的不可约表示,
● 定理, 幺正表示可约则完全可约,
■ 幺正表示, 设群 G在内积空间 V上的表示 A是幺正变换,即
对任意 g??G,有 A?(g?)A(g?)= A(g?) A?(g?)=E,则 A称为 G
的幺正表示,
● 推论, 有限维幺正表示可以分解为不可约幺正表示的直和,
3 群代数与正则表示
■ 线性代数, R是数域 K上的线性空间,在 R中定义乘法,若对
于任意 r1,r2,r3∈R,a∈K,乘法运算满足
1) r1r2 ∈R,2) r 1(r2+r3)= r1r2+ r1r3,(r1+r2)r3= r1r3+ r2r3
3) a(r1r2 )=(ar1)r2= r1(ar2)
则称 R为线性代数或代数, 若 r1(r2r3)=(r1r2)r3,称 R为结合代数,
映射 A保持 G的乘法规律不变,即对任意 g?,g??G,有
■ 设 C是复数域,G是群,在群 G中定义加法和数乘,对任意
满足
?? ??? i iii iiii gyygxxCyx,,,
?? ???? i iiii ii gaxaxgyxyx )(,)(
则所有元素 的集合构成一个线性空间,称为群空间,
记作 VG,群元称为群空间的自然基底, ?? i iigxx
■ 群代数定义, 设 x,y是群空间 VG 中的任意两个向量,即
定义群空间的上的乘法如下
满足线性代数的条件, 定义了上述乘法的群空间构成一个结合
代数 VG,称为群代数,记为 RG.
Gji k kkjijij jji ii Vgxyggyxgygxxy ???? ? ???,)(
Gi iii ii Vgyygxx ??? ??,
■ 正则表示, 取群代数 RG作为群 G的表示空间,对任意 gi∈G
定义下述将 RG映入 RG的线性变换 L(gi),
L(gi)gj=gigj=gk,gj,gk∈R G
则 L(gi)保持 G的乘法规律不变,即
L(gi)L(gj)gk=gigjgk= L(gigj)gk
称 L为群 G的正则表示,也称为左正则表示,
若将 RG映入 RG的线性变换定义为 R(gi)gj=gjgi-1=gl,gj,gl∈R G,得到的
表示 R(gi)称为右正则表示,
4 有限群表示理论
■ 舒尔引理一, 设群 G在有限维线性空间 VA和 VB上有不可约
表示 A和 B,若对于任意 gi∈G,有将 VA映入 VB的线性映射 M,
满足
B(gi)M=MA(gi)
则 1) 当表示 A和 B不等价时,必有 M恒为零,即 M≡0
2) 如果 M不恒为零,则表示 A和 B必等价,
■ 舒尔引理二, 设 A是群 G在有限维复线性空间 V上的不可约
表示,若对于任意 gi∈G,V上的线性映射 M满足
A(gi)M=MA(gi)
则 M=λE,其中 E为恒等变换,λ∈C 为常数,
■ 定理, 有限群 G在内积空间上的每一个表示都有等价的幺
正表示,
■ 推论 1,有限群 G在内积空间上的表示如果可约则完全可约,
■ 推论 2,有限群 G在内积空间上的表示或是不可约,或是等
价于几个可约表示的直和,
■ 群函数, 设 RG是群 G的代数,RG中的任一向量可看作是群
元的函数,即
?? ??
i
iii
i
ii ggxgxx )(
则 RG上向量与复函数 x(gi)间有一一对应的关系,全体复函
数集合构成一个与群代数 RG同构的代数,
■ 正交性定理, 设有限群 G有不等价不可约的幺正表示
??? rp AA,,维数分别为 ??? rp SS,,则有
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r
i
i
p
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■ 完备性定理, 设 Ar(r=1,2,… q)是有限群 G的所有不等价不
可约的幺正表示,则 Ar生成的群函数 在群函数空间
是完备的, )( i
r gA??
■ 推论 1,有限群的所有不等价不可约幺正表示维数的平方和
等于群的阶,
■ 推论 2,正则表示 L(gi)按不等价不可约幺正表示可约化为
? ??
p
i
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4 群表示的特征标理论
■ 定义, 设 A是群 G的一个表示,对于任意 gi∈G,群 G表示 A
的特征标定义为 其中,
称为元素 gi的特征标,
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??? ? ??? )()()( iii gAgtr Ag
)( ig?
■ 特征标的性质,
1) 等价表示的特征标相等
2) 同一表示 A中,共轭元素的特征标相等,
3) 特征标是类函数,
4) 单位元素的特征标等于表示的维数
■ 特征标第一正交关系,
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n ????? ?? ?? )(*)(
1)|(
1
推论 1,有限群不可约表示的特征标内积等于 1.
推论 2,有限群可约表示的特征标内积大于 1.
1 线性代数基本知识
■ 线性空间, 定义在数域 K上的向量集合 {v1,v2,v3,… }=V,在
V中定义了加法和数乘两种运算, 设 v1,v2,v3∈V,
a,b,c ∈K,向量的加法和数乘具有封闭性,且满
足下列条件,
加法,
v1+v2= v2+ v1
v1+(v2+v3)= (v1+v2)+v3
唯一的 0元存在,使 v1+0= v1
对任一向量 v1,有唯一逆元
(-v1)存在,使 v1+(- v1)=0
数乘,
1v= v
(ab)v=a(bv)
a(v1+v2)= av1+av2
(a+b)v=av+bv
则称向量集合 V为一个线性空间,
线性无关, 对于 V中的 n 个向量 v1,v2,… vn?V,如
果 不存在 n 个不全为零的数 a1,a2,…,an ?K, 使
得
a1v1 + a2v2 + … + anvn =0
则称这 n 个向量 v1,v2,… vn是线性无关的,
线性空间 V中的任意一个向量 v ?V可由 这 n 个向量
v1,v2,… vn 生成，即
v = x1v1 + x2v2 + … + xnvn
其中 x1,x2,…,xn ?K,这 n 个向量 v1,v2,… vn称
为线性空间 V的一组基向量,通常记为, e1,e2,… en.
线性空间 V中线性无关向量的最大数目，称为 V的维数。
■ 内积空间, 定义了内积的线性空间,
内积, 设 V是数域 K上的一个线性空间,v1和 v2是 V中任意两个
向量,映射 ψ将 v1和 v2映射为一个数,即 ψ(v1,v2)=(v1|v2)∈K,
且满足下列条件
(v1+v2| v3 )= (v1| v3 ) + (v2| v3 )
(v1|av2 )= a(v1| v2 )
(v1| v2 )= (v2| v1 )*
当 v1?0时,(v1| v1 )>0,
则数 (v1|v2)称为向量 v1和 v2 的内积,
长度：向量 v的长度定义为 |v|= (v1| v1 )1/2
正交：如果 (v1| v2 )=0,则称向量 v1和 v2正交。
正交归一基：如果内积空间的一组基向量（ e1,e2,… en)满足
(ei|ej)=δij,则称为正交归一基,
■ 线性变换, 设 V是定义在数域 K上的一个线性空间,线性变换
A是将 V映入 V的线性映射,即对于任意 v1,v2∈V,a∈K,有
A(v1)?V
A(av1+v2)= aA(v1)+A(v2)
则称映射 A为线性空间 V上的一个线性变换,
如果 A是一个将 V映入 V的一一对应的满映射,则存在 A的逆变换,记作 A－ 1.
■ 幺正变换, 设 U是内积空间 V上的线性变换,即对于 V中任意
向量 v1,v2∈V,U 保持 v1和 v2的内积不变,即
(Uv1|Uv2)=(v1|v2)
则称 U是 V上的幺正变换,
共轭变换, A,A?是内积空间 V上的线性变换,如果对任意 v1,v2∈V,满足
(A v1|v2)=(v1|A?v2),则称 A,A?互为共轭变换,
幺正变换 U满足 UU? = U?U=E,E为恒等变换,
在 n 维线性空间 V中任取 m (m?n) 个线性无关的向
量 v1,v2,… vm?V,由这 m个向量作为基向量,可以
生成一个 m维线性空间 V1,称为 V的一个子空间,
线性空间的子空间,
线性空间的直和,
设 V1和 V2是线性空间 V的两个子空间,如果 V中的任
意一个向量 v?V 都可以唯一地表示为 V1和 V2中向量
之和,即对于任意 v?V,能够找到 v1?V1,v2?V2,v可
唯一地表示为 v=v1+v2,则称线性空间 V是其子空间
V1和 V2的直和,记作 V=V1⊕ V2,
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●内积空间 V上任意一个线性变换 A的共轭变换表示为 A?=A*T.
● n维线性空间 V中,当选定一组基后,V中的向量与列矩阵有一
一对应的关系,V上的线性变换与 n维方矩阵一一对应,
●线性变换群, 设 V是 n维复线性空间,V上所有非奇异线性变换,
当定义群的乘法运算为连续两次线性变换时,构成一个群,称
为 n维一般复线性群 GL(n,C),
V上线性变换构成的群,称为线性变换群, 记为 L(V,C)
● n维线性空间 V中,当选定一组基后,线性变换就与相应的 n阶
矩阵群同构,
● 相似变换
设 {e1,e2,…,en}和 是线性空间 V的两组不同的基,这两组基
之间由非奇异矩阵 S 相联系,即 }',,','{ 21 neee ?
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则 V中任一向量 v在上述两组基下的列矩阵表示由下式联系
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则 V中任一线性变换 A在上述两组基下的矩阵由下式联系
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矩阵 A’和 A的上述关系称为相似变换,
2 群表示
■ 群表示定义, 群 G到线性空间 V上的线性变换群的同态映射 A,
称为群 G的一个线性表示,V称为表示空间, 即
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映射 A保持 G的乘法规律不变,即对任意 g?,g??G,有
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■ 等价定义, 群 G到 n× n矩阵群的同态映射 A,称为群 G的一个
n维线性表示, 任意群元的表示矩阵应当是非奇异的,即对任
意 g?,g??G,有 det[A(g?)]≠0.
● 忠实表示, 如果群 G到线性空间 V上的线性变换群的映射 A
不但同态,而且同构,即 A是一一对应的满映射,则表示 A称
为忠实表示,
● 例,
1) 对任何一个群 G,一阶单位矩阵都是它的一个表示,称为一维恒等表示,
2) 任何一个矩阵群 G本身是它自己的一个忠实表示,
3) 空间反演群 {E,I} 在三维实坐标空间笛卡尔坐标系中的表示为
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■ 等价表示, 设群 G在线性空间 V上的两个表示 B和 A通过一个
相似变换相联系,即对于任意 g??G,有 B(g?)=SA(g?)S－ 1,其
中 S是 V上的一个非奇异矩阵,则称这两个表示为等价表示,
■ 可约表示, 设 A是群 G在表示空间 V上的一个表示,如果 V
存在一个 G的不变真子空间 W,即对任意 w?W和 任意 g??G,
有 A(g?) w ?W,则称表示 A是可约的,
■ 完全可约表示, 设群 G的表示 A的表示空间 V可以分解为子
空间 W1和 W2的直和,即 V=W1?W2,且 W1和 W2都是 G的不
变真子空间,即对于任意 w1?W1,w2?W2和 任意 g??G,有
A(g?) w1 ?W1,A(g?) w2 ?W2
则称表示 A是完全可约的,
■ 不可约表示, 设群 G的表示 A的表示空间 V中不存在 G的不
变真子空间,则称表示 A是 G的不可约表示,
● 定理, 幺正表示可约则完全可约,
■ 幺正表示, 设群 G在内积空间 V上的表示 A是幺正变换,即
对任意 g??G,有 A?(g?)A(g?)= A(g?) A?(g?)=E,则 A称为 G
的幺正表示,
● 推论, 有限维幺正表示可以分解为不可约幺正表示的直和,
3 群代数与正则表示
■ 线性代数, R是数域 K上的线性空间,在 R中定义乘法,若对
于任意 r1,r2,r3∈R,a∈K,乘法运算满足
1) r1r2 ∈R,2) r 1(r2+r3)= r1r2+ r1r3,(r1+r2)r3= r1r3+ r2r3
3) a(r1r2 )=(ar1)r2= r1(ar2)
则称 R为线性代数或代数, 若 r1(r2r3)=(r1r2)r3,称 R为结合代数,
映射 A保持 G的乘法规律不变,即对任意 g?,g??G,有
■ 设 C是复数域,G是群,在群 G中定义加法和数乘,对任意
满足
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?? ???? i iiii ii gaxaxgyxyx )(,)(
则所有元素 的集合构成一个线性空间,称为群空间,
记作 VG,群元称为群空间的自然基底, ?? i iigxx
■ 群代数定义, 设 x,y是群空间 VG 中的任意两个向量,即
定义群空间的上的乘法如下
满足线性代数的条件, 定义了上述乘法的群空间构成一个结合
代数 VG,称为群代数,记为 RG.
Gji k kkjijij jji ii Vgxyggyxgygxxy ???? ? ???,)(
Gi iii ii Vgyygxx ??? ??,
■ 正则表示, 取群代数 RG作为群 G的表示空间,对任意 gi∈G
定义下述将 RG映入 RG的线性变换 L(gi),
L(gi)gj=gigj=gk,gj,gk∈R G
则 L(gi)保持 G的乘法规律不变,即
L(gi)L(gj)gk=gigjgk= L(gigj)gk
称 L为群 G的正则表示,也称为左正则表示,
若将 RG映入 RG的线性变换定义为 R(gi)gj=gjgi-1=gl,gj,gl∈R G,得到的
表示 R(gi)称为右正则表示,
4 有限群表示理论
■ 舒尔引理一, 设群 G在有限维线性空间 VA和 VB上有不可约
表示 A和 B,若对于任意 gi∈G,有将 VA映入 VB的线性映射 M,
满足
B(gi)M=MA(gi)
则 1) 当表示 A和 B不等价时,必有 M恒为零,即 M≡0
2) 如果 M不恒为零,则表示 A和 B必等价,
■ 舒尔引理二, 设 A是群 G在有限维复线性空间 V上的不可约
表示,若对于任意 gi∈G,V上的线性映射 M满足
A(gi)M=MA(gi)
则 M=λE,其中 E为恒等变换,λ∈C 为常数,
■ 定理, 有限群 G在内积空间上的每一个表示都有等价的幺
正表示,
■ 推论 1,有限群 G在内积空间上的表示如果可约则完全可约,
■ 推论 2,有限群 G在内积空间上的表示或是不可约,或是等
价于几个可约表示的直和,
■ 群函数, 设 RG是群 G的代数,RG中的任一向量可看作是群
元的函数,即
?? ??
i
iii
i
ii ggxgxx )(
则 RG上向量与复函数 x(gi)间有一一对应的关系,全体复函
数集合构成一个与群代数 RG同构的代数,
■ 正交性定理, 设有限群 G有不等价不可约的幺正表示
??? rp AA,,维数分别为 ??? rp SS,,则有
'''' )()( ???????? ??? prpi
r
i
i
p
S
ngAgA ??
■ 完备性定理, 设 Ar(r=1,2,… q)是有限群 G的所有不等价不
可约的幺正表示,则 Ar生成的群函数 在群函数空间
是完备的, )( i
r gA??
■ 推论 1,有限群的所有不等价不可约幺正表示维数的平方和
等于群的阶,
■ 推论 2,正则表示 L(gi)按不等价不可约幺正表示可约化为
? ??
p
i
pp
i gASgL )()(
4 群表示的特征标理论
■ 定义, 设 A是群 G的一个表示,对于任意 gi∈G,群 G表示 A
的特征标定义为 其中,
称为元素 gi的特征标,
)}({ ig?
??? ? ??? )()()( iii gAgtr Ag
)( ig?
■ 特征标的性质,
1) 等价表示的特征标相等
2) 同一表示 A中,共轭元素的特征标相等,
3) 特征标是类函数,
4) 单位元素的特征标等于表示的维数
■ 特征标第一正交关系,
pri
rn
i
i
prp gg
n ????? ?? ?? )(*)(
1)|(
1
推论 1,有限群不可约表示的特征标内积等于 1.
推论 2,有限群可约表示的特征标内积大于 1.
