第五章 对称群
5.1 n阶对称群
■ 定义, 以 n个数字 {1,2,…,n}间的所有置换操作为元素构成
的群,称为 n阶对称群,也称为 n阶置换群 Sn,其元素表示为
12
12
...
...
n
n
a a a
b b b
??
????
n阶对称群共有 n!个元素
群的乘法, 两个置换的乘积 rs为先进行 s置换,再进行 r置换,
逆元,任一置换 s∈ Sn,其逆元为
12
12
...
...
n
n
a a as
b b b
???
???? 121
12
...
...
n
n
b b bs
a a a
? ??? ??
??
轮换, 一个 m阶轮换定义为
a)如果两个轮换中没有公共数字,则称这两个轮换相互独立,
b)任意置换可表示为相互独立的轮换的乘积,每个轮换称为一个
轮换因子,若两个置换具有相同个数的轮换因子,且相应轮换因
子的长度相等,则称这两个置换具有相同的轮换结构,
1 2 3 4 1
1 2 3 1
2 3 4 5 1
...(,,,.,,,,)
...
mm
mm
m
a a a a a aa a a a a
a a a a a a
?
?
???
????
对换, 由两个数字组成的 2阶轮换
a)任一轮换可表示为对换的乘积,
1 2 3 1 1 1 1 1 3 1 2(,,,.,,,,) (,) (,) (,) (,)m m m ma a a a a a a a a a a a a?? ? L
b)对换满足递推关系,
(,) ( 1,) (,1 ) ( 1,)k a k a a k a a a a k? ? ? ? ? ? ?
c)任一轮换可表示为相邻数字对换的乘积,
共轭元素, 置换 s的共轭元素 tst－ 1为对 s的上下两行同时进行 t置换,
a)相似变换不改变置换的轮换结构, 即互为共轭的元素具有
相同的轮换结构,
b)具有相同轮换结构的两个任意置换互为共轭元素,
对换, 由两个数字组成的 2阶轮换
a)任一轮换可表示为对换的乘积,
1 2 3 1 1 1 1 1 3 1 2(,,,.,,,,) (,) (,) (,) (,)m m m ma a a a a a a a a a a a a?? ? L
b)对换满足递推关系,
(,) ( 1,) (,1 ) ( 1,)k a k a a k a a a a k? ? ? ? ? ? ?
c)任一轮换可表示为相邻数字对换的乘积,