行置换算子集, 杨盘 T的所有的行置换算子组成的集合,
第五章 对称群
? ?()R T p?
列置换算子集, 杨盘 T的所有的列置换算子组成的集合,
? ?()C T q?
( ) ( )
( ) ( ) q
p R T q C T
P T p Q T q?
??
????
杨算子,
( ) ( )
( ) ( ) ( ) q
p R T q C T
E T P T Q T p q?
??
?? ??
引理 1,设 T和 T?是两个杨盘,由置换 r相联系,即 T?=rT.
置换 s作用于杨盘 T上将 T中任一位置 (i,j)处的数字变
到 sT中的 (k,l)处,则 s?=rsr–1作用在 T?上将 T?中位于 (i,j)
处的数字变到 s?T?中的 (k,l)位置,
推论, 设 T和 T?是由置换 r相联系的两个杨盘,即 T?=rT,
则有下列关系成立
11
11
1
( ') ( ),( ') ( )
( ') ( ),( ') ( )
( ') ( )
R T rR T r C T rC T r
P T rP T r Q T rQ T r
E T rE T r
??
??
?
??
??
?
引理 2,设 T是杨盘,p和 q分别是 T的任意行置换和列
置换,T? 与 T 通过置换 pq 相 联系,即 T?=pqT,
则 T中位于同一行的任意两个数字不可能出现
在 T? 的同一列,
设两个杨盘由置换 r 相联系,即 T?=rT,如果 T 中
任意两个位于同一行的数字不出现在 即 T? 的同
一列,则置换 r 必可表示为 r = pq.
引理 3,设 T 和 T ? 是属于不同杨图 [λ] 和 [λ ?] 的两
个杨盘,[λ]>[λ ?],则总能找到两个数字同时出现在
T 的同一行和 T ? 的同一列,
引理 4,如果存在两个数字同时位于杨盘 T的同一行
和 杨盘 T? 的同一列,则这两个杨盘的杨算子满足
推论, 属于不同杨图的两个杨盘 T 和 T ?,必有
( ') ( ) 0E T E T ?
( ') ( ) 0E T E T ?
引理 5,设
()
nsS
x x s s
?
? ?
是置换群 Sn 的群代数中的一个向量, 如果对于杨盘
T 的任意 行置换 p 和列置换 q,满足
则 x 与杨算子 E(T) 差一个常数因子,即
qp x q x??
()x E T??
引理 6,对应于杨盘 T 的杨算子 E(T) 是一个本质的本
原幂等元, 相应的不变子空间 RG 是对称群 Sn 的一个
不可约表示空间,其维数是 n! 的因子,
引理 7,同一杨图的不同杨盘对应的表示是等价的,
不同杨图的杨盘给出的表示是不等价的,
5.2 对称群的不可约表示
定理, 杨算子 E(T)是本质幂等元,相应的不变子空间
RG E(T) 是对称群 Sn 的一个不可约表示空间,给
出 Sn 的一个不可约表示 ; 由同一杨图的不同杨盘
给出的表示是等价的,而不同杨图的杨盘给出的
表示是不等价的,
标准杨盘, 在杨图上,每一行数字按从左向右增大,
每一列数字按从上到下增大的顺序来填充,得到
的杨盘称为标准杨盘, 记作
定理, 杨图 [λ]对应的不可约表示的维数等于该杨
图的标准杨盘的个数 f [λ].
[ ] 2
[]
( ) !fn?
?
??
[]rT?
杨图 [λ]的标准盘个数的计算公式,
gij为杨图上位置 (i,j)处的钩长,
半正则表示,
标准盘系列, 从 Sn 的一个标准杨盘 Tr[λ]出发,作标
准盘系列,
[]
(,)
!
ij
ij
n
f
g
? ?
?
1 2 3 1[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 1 ],,,,.,,,n
r r r r rT T T T T T? ? ? ? ?
? ?
相应杨算子为
1 2 3 1[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 1 ],,,,.,,,n
r r r r rE E E E E E? ? ? ? ?
? ?
相应本原幂等元为
1 1 2 2 1 1[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]/,/,/,.,,,/nn
r r r rE E E E? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
??
5 4 3 1
3 2 1
半正规单位 (半正则母单位 ),定义算子
1
2 1 2 1
2
3 2 3 2
3
1 2 1 2
1
11
[ ] [ 1 ]
0
[ ] [ ] [ ] [ ]
[]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[]
1
1
..................
1
1
n
n n n n
n
n n n n
n
rr
r r r r
r r r r
r r r r
r r r r
e e s
e e E e
e e E e
e e E e
e e E e
?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
??
?
?
?
?
[ ] [ ]!/nf??? ?
为本原幂等元,且满足[]
re?
1 1 1 1
1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1
12
2
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[]
222
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[] [ ] [ ]
1
1 1 1 n n n n n n
n
r r r r r r r r
r r r r r r r r r r r r r r
e e e E e e E e
e E e E e E e e E e E e E e
? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ??
?
? ??
? ? ? ? ? ?
?
???
????
? ? ? ????
?? ? ? ? ??? ? ? ? ?LL
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[]
0
[]
r s r s r
r
r
e e e
es
? ? ?
??
?
?
???
??
半正规单位 (半正则母单位 )定义, 设属于同一杨图的
标准盘 和 由置换 相联系,即
定义算子, 为杨算子,
11[ ] [ ] [ ] [ ]
[]
1
r s r r s se e E e
? ? ? ?
???
[]rT? []sT? rs nS? ? [ ] [ ]s rs rTT????
[ ] [ ] [ ]r s r r s sE P Q? ? ??? [ ] [ ] [ ] [ ]r r r r rE P Q E? ? ? ???
构造 Sn 群代数 RG 的一组基
其中 [ ] [ ],[ 1,1 ],[ 2,2 ],[ 2,1,1 ],.,,,[ 1 ]nn n n n? ? ? ? ?
[],1,2,...,r s f ??
上述这组基矢称为 Sn 群代数的半正规单位,满足
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]r s t u s t r ue e e? ? ??????
1) 半正规单位共有 n!个,在群代数空间是完备的,
2) 每一个杨图 [λ]对应与对称群 Sn 的一个不等价不可约表示,
3) Sn 群元 s作用在半正规基矢上给出表示矩阵,
4) 在半正规基矢下,表示约化为
5) Sn 任意群元可写为相邻数字对换的乘积,
[ ] [ ]
[]
()V s f V??
?
???
求表示矩阵元 V[λ](s)的规则,其中 s=(k –1,k),
[] ( ) 1rrVs? ?
1) 当数字 k – 1和 k在 Tr[λ]的同一行时,对角元
2) 当数字 k – 1和 k在 Tr[λ]的同一列时,对角元
[] ( ) 1rrVs? ??
3) 当数字 k – 1和 k不在 Tr[λ]的同一行和同一列时,设
Tu[λ] = s Tr[λ],则
[ ] [ ] 2
[ ] [ ]
( ),( ) 1,
( ) 1,( ),
r r r u
u r u u
V s V s
V s V s
??
??
??
?
? ? ? ?
??
其中 ρ为 Tr[λ]中数字 k –1到 k 的轴距离的倒数,
4) 其它情况矩阵元为零,
酉表示,
定义对称群代数 RG 的新基矢
[ ] [ ] [ ] [ ]/rs r s rsOe? ? ? ????
其中 []r?? 是由杨图 [λ]和 r决定的数,称为盘函数,
如果盘函数取为 [ ] [ ] [ ] [ ]
1
[]
( ) ( 1 ) ( 1 )
( ) ( 1 )
n
r r r r
r
nn
nc
? ? ? ?
?
?
?
?
? ? ? ?
?
?
??
???
L
Cμ是标准盘 Tr[λ]中数字 n与第 μ行最后一个数字的轴距离
的倒数,μn是数字 n所在行数,
上述基矢给出对称群的酉表示,
李代数, 设 g是数域 K上的线性空间,对于任意 X,Y∈ g,定义李积
[X,Y]∈ g,如果李积满足下述条件,
1) 双线性, 即对任意 a,b∈ K,X,Y,Z∈ g,有
2) 反对称, 即对任意 X,Y∈ g,有
3) 雅可比关系
[,] [,] [,]
[,] [,] [,]
a X b Y Z a X Z b Y Z
X a Y b Z a X Y b X Z
? ? ?
? ? ?
[,] [,]X Y Y X??
[ [,],] [ [,],] [ [,],] 0X Y Z Y Z X Z X Y? ? ?
则称代数 g为李代数,
以李群的无限小生成元为基矢张开的线性空间
g={X=aiXi|ai∈ R}中,若定义李积为对易关系
[X,Y]=XY-YX,则构成一个李代数,
第六章 李代数基础
6.1 基本概念
■ 子代数, 设 g1是李代数 g的一个子集,如果对任意
X,Y∈g 1,李积运算都满足
? ? 1,X Y g?
则 g1称为李代数 g的一个子代数,
群的乘法, 两个置换的乘积 rs为先进行 s置换,再进行 r置换,
■ 理想子代数, 设 g1是李代数 g的一个子集,如果对
任意 X∈g 1,Y∈g,都有
? ? 1,X Y g?
则 g1在李积运算下是不变的,称为李代数 g的一个
理想子代数,或简称理想,
■ 中心, 李代数 g中所有与李代数对易的元素组成
的集合,称为李代数 g的极大可交换理想,或简称
为李代数 g的中心,即
? ?? ?,0,C X g X Y Y g? ? ? ? ?
1 2 1 2,0g g g g g??UI
■ 直和, 李代数 g的两个理想 g1和 g2如果满足条件
则称李代数 g是理想 g1和 g2的直和, 记为 g=g1?g2.
? ?1 2 1 2 1 2 1,0,,g g g g g g g g? ? ?UI
■ 半直和, 李代数 g的两个子代数 g1和 g2如果满足
则称李代数 g是 g1和 g2的半直和, 记为 g=g1?Sg2.
? ? ? ? ? ?1
( ) ( ) ( )
,( ),( )
P a X b Y a P X b P Y
X Y Z g P Z P X P Y
? ? ?
? ? ? ?
■ 同构, 设 g1和 g2是两个李代数,如果存在一个从 g1
到 g2的一一对应的满映射 P,且对任意 a,b∈K 和
X,Y∈g 满足
则称李代数 g1和 g2同态,
■ 同态, 设 g1和 g2是两个李代数,如果存在一个从 g1
到 g2的满映射 P,且对任意 a,b∈K 和 X,Y∈g 满足
? ? ? ? ? ?1
( ) ( ) ( )
,( ),( )
P a X b Y a P X b P Y
X Y Z g P Z P X P Y
? ? ?
? ? ? ?
则称李代数 g1和 g2同构,
■ 单纯李代数, 如果李代数 g不具有非平庸理想,则
称 g为单纯李代数,或单李代数,
■ 半单李代数, 如果李代数 g不具有非平庸可交换
理想,则称 g为半单李代数,
i
i
gg???
■ 半单李代数的判据,
判据 1 李代数 g是半单李代数的充要条件为, g可
以写作其理想的直和,即
且 gi均为单李代数,
李代数的内导子, 李代数 g上的内导子是李代数 g上
的线性变换,设 X∈g,则内导子 ad(X)定义为
半单李代数的嘉当判据, 李代数 g为半单李代数的
充要条件是,
( ) [,],a d X Z X Z Z g? ? ?
李代数的基林型 (基林度规张量 ),定义为下述对称
张量
g g C C??? ? ? ? ? ? ? ???
其中 C??? 是李代数 g关于基矢 X1,X2,…,X n 的结构常数,即
[,]X X C X?? ? ?? ??
d e t( ) 0g ?? ?
即基林度规张量不退化,存在逆张量 gg?? ??? ???
李代数的卡塞米尔算子,
12设,,,是 半单 李代数 的 一 组基矢,定义
称 为 的 卡塞米 尔算子,
nX X X g
C g X X
Cg
??
???
L
半单李代数 g的卡塞米尔算子 C与 g的所有元素可
对易,
推广的卡塞米尔算子,
321
1 1 2 2 1 2i i iiI C C C X X X
???? ? ? ? ? ? ? ? ?? LL
李代数的内导子与基林度规张量的关系,
李代数的导出代数 -----子代数链,
12设,,.,,,为李代数 的 一 组基矢,内 导 子 () 在
这组基矢下表示 为
( ) [,]
则
nX X X g a d X
a d X X X X C X?? ? ? ? ? ? ???
? ?( ) ( )g g C C t r a d X a d X??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?
( 0 ) ( 1 ) ( 2 )g g g? ? ? L
1,a)李代数 g的导出链
( 0 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 )其中,,,,,,,,k k kg g g g g g g g g g g??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?LL
b)可解李代数, 如果存在一个正整数 k,使得
( ) ( 1 ) ( 1 ),0k k kg g g????????
则 g称为可解李代数,
[ 0 ] [ 1 ] [ 2 ]g g g? ? ? L
c) 可解李代数的每一个子代数都是可解李代数,
d) 可解李代数不含任何单纯李代数,
[ 0 ] [ 1 ] [ 0 ] [ 2 ] [ 1 ] [ ] [ 1 ]其中,,,,,,,,kkg g g g g g g g g g g ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?LL
b)幂零李代数, 如果存在一个正整数 k,使得
[ ] [ 1 ],0kkg g g ???????
则 g称为幂零李代数,
2,a)李代数 g的降中心链
c) 幂零李代数的每一个子代数都是幂零李代数,
d) 幂零李代数不含任何单纯李代数,
e) 幂零李代数必为可解李代数
定理,任意一个李代数 g都可以表示为一个可解李代
数与一个半单李代数的直和,
例, so(3)李代数
b)卡塞米尔算子
2221 2 311 ()22ij i j ij i jC g X X X X X X X?? ? ? ? ? ? ?
a) 基林度规张量
,,,1,2,3ki j i j k
k
i j i j k
X X C X i j k
C ?
?? ????
?
2
1
2
ml
i j j i i l j m i l m j m l i l m j l m i j
ij
ij
g g C C
g
? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ?
??
6.2 复半单李代数的正则形式
■ 李代数基底 (线性变换 )------> 另一组基底
1,李代数上的本征值问题
李代数 g 是 r 维复李代数,{ Xμ } 是 g 的一组基底,满
足
? ?( ),a d A X A X X???
,,对任意,考 虑 的 本 征 值 问题,即X X C X A a X A??? ? ?? ? ??? ????
其中,为本 征 值, 本 征方程可写为X x X g? ? ???
a x C X x X? ? ? ?? ? ? ???
因 { Xμ } 是李代数 g 的一组基底,是 g 上一组线性无关的向
量
( ) 0a C x? ? ? ?? ? ?????
是关于 { xν} 的本征方程,有非平凡解条件为
d e t ( ) 0aC? ? ?? ? ?????
在复数域上有 r 个非平凡解,每个解称为李代数的一个根,
2,李代数的嘉当子代数
如果 (1) 选择 A,使 A 的不同根的数目最大 ;
(2) 李代数 g 是半单李代数,
则 (a) 只有 ρ=0 的根是简并的,而其余的非零根都是单的 ;
(b) 半单李代数的秩, 零根 ρ=0 的简并度 l 称为 g 的秩 ;
(c) 嘉当子代数,
对零根 ρ=0,有 l 个线性无关的本征向量与之对应,记
为 Hi (其中 i = 1,2,… l ),则
? ?,0,,0,ii j i iH H A H A H??? ? ? ???
l 向量 Hi 张开 r 维李代数 g 的一个 l 维子代数,称为
嘉当子代数 ? ?
iiiHC?? ?
(d) 其余的 ( r – l ) 个非零根对应的本征向量 Eα 满足
[ A,Eα ] = α Eα,张开 一个 (r – l ) 维子空间,称为 嘉
当子代数的补空间,
3,李代数的根的性质
(1) 设 Hi 是半单李代数 g 的嘉当子代数的基,满足
[ Hi,Hj ] =0; Eα 是 A = λi Hi 的非零本征值 ( g的
非零根对应的本征矢,满足 [ A,Eα ] = α Eα,则
,
[,] 是 属于 本 征 值 的 的 本 征 向量,
i
i i i
ii
C
H E E A
??
??
??
? ? ? ? ?
??
??
?
αi 可看作 l 向量空间中向量 α 的协变分量, 根 α 则表
示 l 向量空间中分量为 αi 的向量,称为根向量,
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
,,,,
,,,,
,,,
i i i
i i i i
i i i
A H E A H E A E H
H A E A H E E A H A E H
H A E A E H H E
? ? ?
? ? ? ?
? ? ??
?? ????
? ? ? ?
???
对李代数的根进行分类
证明,
[ Hi,Eα] 是 A的属于同一本征值的本征向量,α是非简并的
? ?
? ?
,,
,,
i i i i
i i i
i i i
H E E C
A E H E E E
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
??
??? ? ? ? ???
(2) 如果 Eα和 Eβ是 g的两个非零根,则
? ? ? ?
,,,,
,,,,
( ),
A E E A E E A E E
A E E E A E E A E A E E
E E E E E E E E E E
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
??? ? ? ? ? ? ??
证明,
,0 不是 根
0 是根
i
iCH
EE
NE
??
??
? ? ? ?
??
??
??
?
?
? ??
??? ??
???
? ??
?
是 的本 征 值为 的本 征 向量E E A?? ????
,,0 0 不是 根
0 是根
iC
E E C E C
N
??
??
? ? ? ? ? ? ?
??
??
? ? ?
? ? ?
?? ??
??? ? ? ? ? ?
???
? ? ? ?
?
半单李代数非零根是单根
,,..,标 记 嘉 当 子 代数基矢,,...
,,..,标 记 非零本 征 值 对应 的 本 征 向量 ( 嘉当子 代数
补空 间 基矢 ),,...
,,,,..,可取,,..,和,,...
0
00 不是 根
0 是根
i j k
ij
ii
i
i j k H H H
E E E
i j k
C
Ca
C
C
N
? ? ?
?
??
??
??
?
??
??
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
?
??
? ? ?
? ? ?
?
?
?
? ??
?
? ? ? ?
?
? ? ?
?
?
(3) 根的对称性质
定理, 对于半单李代数的每一个非零根 α,必有一个根
–α 存在,
,
i
i
i
ii
ii
ii
g C C C C C C C C
C C C C C C
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
?
?
??
??
??
??
??
? ? ? ???
??
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
证明, 考虑基林度规张量
根据根的性质 (1)和 (2),有
0,如果g ?? ??? ? ?
所以,如果 –α 不是根,则基林度规张量的本征值 α 对应的行中所
有元素为零,故 det ( gατ ) = 0, 与半单李代数前提相矛盾,
0,0 ( )iig g g g i f? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?
01
10
01
10
ik
g
g
??
??
??
??
?
??
??
??
L
(1)规定 Eα的归一化因子,使
(2) gik 看作向量 α张开的 l 维空间的
度规张量,且有
1g??? ?
(3) 全反对称张量
4,嘉当 -韦尔基
则基林度规张量为
0,
0 ( )
iigg
g g if
??
? ? ? ? ??
??
? ? ? ?
,,,
de t ( ) 0 de t ( ) 0ik
ik i k i k i j i k
gg
g C C C C
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
C g C C C C
C g C
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
?
αi 为 α 的逆变分量,
(4) 半单李代数 g 的嘉当 -韦尔基底 (正则形式 )
i i k i k i k i k
k k k k
i k i k i k i
k k k
C g C g C g C g g C
g g g g g
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ?,iiiiE E C H H? ? ? ? ?????
? ?12,,,,,,,lH H H E E E? ? ?LL
正则形式下对易关系 (结构常数 )
? ?
? ?
,0
,
,
,,0
ij
ii
i
i
HH
H E E
E E H
E E N E
??
??
? ? ? ? ? ?
?
?
??
?
?
?? ?
??
?
?
?? ? ? ?
??
卡塞米尔算子,
i k i ki k i kC g X X g H H g E E g H H E E? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ?? ? ? ? ? ?
根向量内 积, (,) i i? ? ? ??
(1) 如果 α 和 β 是半单李代数的非零根,则
(2) 如果 α 是半单李代数的根,则 α 的整数倍 m α 中,只有
α,0,–α 才是根,
5,关于根的几个定理
2 (,) 2 (,)是 一个整数,且 也 是 一个根,
(,) (,)
? ? ? ???
? ? ? ??
且存在一个 β 的 α根链
,,,g? ? ? ? ???L
其 中 是 根,而 不是 根 ; 是根,
而 ( 1 ) 不是 根,
g
g
? ? ? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ?
??
,( 1 ),,,,g? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?LL或
(3) 如果 α 和 β 是半单李代数的非零根,则
的 根链最多只含有 4 个根,因此
2 (,)
0,1,2,3
(,)
??
??
??
? ? ? ?
6,Nαβ 的确定
,( 1 ),,,,g? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?LL
设半单李代数的根链为
则
,,
( 1 ) (,)
2NN? ? ? ? ?
?? ??
??
??
7,根向量的图形表示
(1) 半单李代数根向量的性质
12根向量, (,,)l? ? ? ?? L
a) 如果 α 是根向量,则 –α 也是根向量 ;
b) 如果 α 和 β 是根向量 (非零根 ),则
2 (,) 是 一个整 数 ;
(,)
??
??
2 (,) 也 是 一个根向量,
(,)
????
???
c) 如果 α 和 β 是根向量 (非零根 ),则
d) 定义两个根向量 α 和 β 之间的夹角和长度比分别为
2
(,) (,)
c o s,
(,)(,) (,)
11
c o s 0,,,1
42
??
? ? ? ?
??
??? ? ? ?
?
??
?
取 β 为长度较长根向量 ; 考虑到 α 和 –α均为根向量,只需
取锐角, 可得下述几种情况
0 3 0 4 5 6 0 9 0
(,)
1 3 / 2 1 1 / 2 0
(,)
(,)
1 1 / 2 1 / 2 1 / 2 0
(,)
(,)
1 3 2 1 不定
(,)
?
??
??
??
??
??
??
o o o o
(3) 秩 l >2的单李代数, 典型李代数的根系
l 维根空间中,引进 l 个相互正交的单位向量
2
,李代数
2 个根向量, 和 ( 1,2,,)
给出李代数 的 所有 非零根
l
i i j
l
aB
l e e e i j l
B
? ? ? ? ? L
12( 1,0,0,,0 ),( 0,1,0,,0 ),,( 0,0,0,,1 )le e e? ? ?L L L L L
2
,李代数
2 个根向量,2 和 ( 1,2,,)
给出李代数 的 所有 非零根
l
i i j
l
bC
l e e e i j l
C
? ? ? ? ? L
,李代数
2 ( 1 ) 个向量, ( 1,2,,)
给出李代数 的 所有 非零根
l
ij
l
cD
l e e i j l
D
? ? ? ? ? L
根向量的图形表示
(1) 1秩单李代数, 李代数 A1,l =1,
c o s 0,有 两 个非零根 和,根向量图 为? ? ???
?? ?0
(2) 2秩半单李代数,
2,3 0,李代数aG? ? o
22,4 5,李代数 和b B C? ? o
2,6 0,李代数cA? ? o
2,9 0,李代数dD? ? o
,李代数
考虑 ( 1 ) 为空间 中 的
( 1 ) 个向量, ( 1,2,,,1 )
到 适当 的 维子 空间 的 投影给出李代数 的 所有 非 零根
l
ij
l
dA
l
l l e e i j l l
lB
?
? ? ? ? ?L
4
4 1 2 4
4
,例外李代数
1
在的 36 个增 加 16 个向量, ( )
2
给出李代数 的 所有 52 个根
j
eF
B e e e e
F
? ? ? ?
(4) 例外李代数及其根系
,,,四 个根系分别对应 与典型李代数
( 1 ),( 2 1 ),( 2 ),( 2 )
l l l lA B C D
s u l s o l s p l s o l??
6
57
7
1 2 4 5 6
,例 外李代数
在 的 根系中 增 加 向量, 2,
1
()
2 2
j
fE
Ae
e
e e e e e e
?
? ? ? ? ? ? ?
7
7
1 2 4 5 6 7 8
,例外李代数
在 的 根中 增 加 向量,
1
()
2
j
gE
A
e e e e e e e e? ? ? ? ? ? ? ?
8
8
1 2 4 5 6 7 8
,例外李代数
在 的 根中 增 加 向量,
1
()
2
j
hE
D
e e e e e e e e? ? ? ? ? ? ? ?
2,例外李代数iG
8,素根和邓金图
对于给定的半单李代数,有关其根向量的信息,可以从所有
根向量集合的一个子集合得到,
(1) 正根, 在某个任意选定的基底下,如果根 α+ 的第一个
不为零的坐标是正的,则称 α+ 为正根, 通常,组成根图
的一半非零根是正根, 所有正根和的一半记为
素根的概念
1
2???? ?
(2) 素根 (单纯根 ),如果一个正根不能分解为另外两个正根
之和,则称这个正根是素根,
上述 B2 的 4个正根中,只有 (0,1)和 (1,–1)是素根,
例, 李代数 B2 的 8个非零根,
( 1,0 ),( 1,1 ),( 0,1 ),( 1,1 ),( 1,0 ),( 1,1 ),( 0,1 ),( 1,1 )? ? ? ? ? ?
中,(1,0),(1,1),(0,1),(1,–1) 是正根,
(3) 素根系, 所有素根组成的集合,用 п 来表示,
(4) 对于秩为 l 的半单李代数,共有 l 个素根,它们是线性无关的,
构成根空间一组基,每一个正根都表示为
,其 中 为非负整数kk??
?
?
???
关于素根的定理
(1) 如果 α和 β 是半单李代数的两个素根,则
,不是 根
2 (,),为非负整数
(,)
a
b
??
?? ??
??
?
??
(2) 如果 α和 β 是半单李
代数的两个素根,则这两个
素根的夹角只能取
90°,120°,135° 和 150°,
设 β 是长根,则
,
,
,
,
1 当 120
2 当 135(,)
3 当 150(,)
不定 当 90
??
??
??
??
?
???
???
?
? ?
?
??
? ?
??
? ?
?
o
o
o
o
1
1,
,
( 1 ) 李代数 B,,1,2,,1
(,)
素 根 与 间 夹 角, c os
2(,) (,)
ij
l i i i
ll
i j i j
ij
i i j j
e e i l
e
i j l
??
?
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? ? ?
? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
L
1
1
,
1,
,
,
120
(,)
c os
(,) (,) 2
135
ii
il
ll
ilil
i i l l
jl
??
??
??
?
???
?
? ? ? ?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
?
o
o
1
1
1
,
,
( 2 ) 李代数 C,,1,2,,1
2
素 根 与 间 夹 角, 1 1 2 0
1 3 5
ii
ll
l i i i
ll
ij
e e i l
e
il ??
??
?
?
? ? ?
?
?
?
?? ? ? ?
?
? ? ?
?
o
o
L
典型李代数的素根系, 素根与基底选取有关
1
1
1
,
,
( 3 ) 李代数 D,,1,2,,1
素 根 与 间 夹 角, 1 2 0
(,)
c os
(,) (,
ii
il
l i i i
l l l
ij
il
i i l
e e i l
ee
i j l
i j l
??
??
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??
?
? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ?
??
? ? ?
? ? ?
o
L
2
2,
,
2)
12 0
ll
il
l
??
?
?
?
?
??
?
o
1
1
,
( 4 ) 李代数 A,,1,2,,
素 根 与 间 夹 角, 1 2 0
ii
l i i i
ij
e e i l
ij ??
?
? ? ?
?
?? ? ?
?? o
L
邓金图,
用图形表示半单李代数的素根系,
一个小圆圈代表一个素根 ;
夹角为 120°,135°,150° 的两个素根分别用单线、双线和三线连结 ;
正交的两个素根不连 ;
连线箭头由长根指向短根,
典型李代数的邓金图,
(a) 李代数 Bl
2B
1? 2?
3B 2? 3?
1?
lB
2?
l?
1?
L
1l??2l??
(b) 李代数 Cl
2?
l?
1?
L
1l??2l??
(c) 李代数 Dl
2?
l?
1?
L
1l??2l??
嘉当矩阵,
设 ∏={α1,α2,…,αl } 是半单李代数的素根系,则称
2 (,)
(,)
ij
ij
ii
A ?????
为元素构成的矩阵为嘉当矩阵,
嘉当矩阵对角元恒为 2,非对角元只能取 0,–1,–2,–3
例, 1
1,1,
1,1,,1
( 1 ) 李代数 B,,1,2,,1
, (,),=
, (,),=,2
l i i i
ll
i j i j ij i j
i l i l il i l li l i
e e i l
e
i j l A
i j l A A
?
?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
??
? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
L
9,典型李代数的根系
单李代数根向量的完全集由其素根系和嘉当矩阵确定,
(1) 如果 α 是正根,则,其 中 为素 根,为非负整数,
i i i ii kk? ? ?? ?
(2) 如果已知 m级正根和所有 m级以下正根,则 m+1级正根都具有
设,则 称 为 级 正根i
i
m k m?? ?
的形式,其中 为素 根,jj? ? ? ???
(3) 问题, 对于已知的 m级正根,确定出素根 αj,使得 β是根,
考 虑 的 根链
,( 1 ),,,,
j
j j j
??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?LL
根据假设 (1),ξ是已知的, 且
1
2 (,)
(,)
lj
i j i
ijj
kA??? ? ???
?
? ? ? ? ?
10,舍瓦累基底
设 g是秩为 l 的单李代数,α(m) 是其第 m 个素根,定义下列 3l 个
元素
( ) ( ) ( )()
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
(,),
(,) (,)
其中 1,2,,,(,),(,)
m m mm
m m m m
ii
m m i m m m m i
h H e E
m l H H
? ? ??? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
????
? ? ?L
满足下述对易关系,
3l 个元素并不一定生成整个李代数 g,舍瓦累基底中的其它元素
由下式得到
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),0,,,,m j m j j m j mm j m jh h h e A e e e h? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,,
,,
m j k m j k
m j k m j k
e e e e
e e e e
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
?? ???
????
?? ???
????
L
L
L
L
11,Nαβ 的确定
? ?
,( 1 ),( 1 )
,,( 1 ),,( 1 )
由 雅 可比 关系,有
,,,,,,0
,,,
()
n n n
i
n i n n n n
i
i n n n n n n
E E E E E E E E E
E H E N E E N E
n E N N E N N
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ?
?? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ?
1
1
则 (,) ( 1 ) 2 (,) ( ) (,)
2
n
nn
E
n F F n n
??
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ?
,E E N E? ? ? ? ? ???? ???
(1) 考虑 β 的 α根链,( 1 ),,,,
是根 ; ( 1 ) 不是 根,
是根 ; ( 1 ) 不是 根,
? ?? ? ? ? ? ? ? ?
? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
LL
,( 1 ),设,则
0 当或 ( 1 ),
n n n
n
F N N
F n n
? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ???
? ? ? ? ?
0,,,,
2 (,)
当时,
(,)
1
当 0 时,得到 ( 1 ) (,)
2
n
n F N N N N? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
? ? ?
??
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
得到
? ? ? ?
? ?
,,
,,,
( 2) 设,,为 非零根,则
( ),( ) ( ) ( )
( ) ( ),( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
()
ad E ad E N ad E N ad E
t r ad E ad E ad E N t r ad E ad E N g
t r ad E ad E ad E ad E ad E ad E
t r ad E
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
??
?? ??
??
?? ??
??
??
? ? ? ? ?
,,,
,,,,
,,,,
,
,( ) ( ) ( ) ( )
考 虑 的 规范化 1,得到
同理,
规定相因 子,使,则
ad E ad E N t r ad E ad E N g
E g g N N
N N N N
NN
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
??
?? ??
??
? ? ?
? ? ? ? ?
??
,( ),( )
( 1 ) (,)
2N N N N? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?? ??
? ? ? ?
?? ? ? ? ? ?
12,例, 李代数 A2
邓金图,
(1) 嘉当矩阵,
由邓金图知,李代数 A2 有两个素根 α和 β,长度相等,夹角
为 120°,即
(,) 1(,) (,),c o s
2(,) (,)??
??? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ?
由此得到,
11(,) (,) (,)
22? ? ? ? ? ?? ? ? ?
嘉当矩阵,
21
12A
????
?????
(2) 根系,
a.考虑 β 的 α根链,( 1 ),,,,? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?LL
由于 α和 β均为素根,故 β–α不是根,得到 ξ=0,
? ?1 00 2,1 1 0
1
是根,(,) 2(,) 2(,) (,)
ii
i
Ak??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ???
??
? ? ? ? ? ?
?
考虑 α的 β根链,同理可得 β + α是根,
b,考虑 β+α 的 α根链
( ),( ) ( 1 ),,( ),,( )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?LL
由于 β是根,β–α不是根,得到 ξ=1,
? ?1 11 2,1 0
1
2 不是 根
ii
i
Ak??
??
??
? ? ? ? ? ???
??
??
?
c,考虑 β+α 的 β根链
( ),( ) ( 1 ),,( ),,( )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?LL
由于 α是根,α –β不是根,得到 ξ=1,
? ?2 11 1,2 0
1
2 不是 根
ii
i
Ak??
??
??
? ? ? ? ? ???
??
??
?
d,所以,李代数 A2 共有 3个正根, α,β,γ=β+α
6个非零根, α,β,γ,–α,–β,–γ
2个零根, ?
?
? ? ???
(3) 根图
(4) 嘉当 -韦尔基底
1 2 ( ),,,,,,,H H E E E E E E? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
取基底的规范化,使得,
i k i k i k i kg C C?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ???
?
?
? ? ???
故
可得
,,
31(,) (,) (,) (,)
22
ik i i
ik ik i igg ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?1 1 3 1 1 3 1,,,,1,02 2 2 23 3 3? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
再由 β 的 α根链,? ? ?? 知
,( ),( )
( 1 ) 1(,)
26N N N N? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?? ??
? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ?
(5) 嘉当 -韦尔基的对易关系
? ? ? ? ? ?
? ?
1 2 1 2
12
1 ( ) ( ) 2 ( )
1 2 1 2
( ) 1
11
,0,,,,,
223
11
,,,,
223
1
,,,0,
3
1 1 1 1
,,,,
222 3 2 3
1
,,
3
1
,,,
6
H H H E E H E E
H E E H E E
H E E H E
E E H H E E H H
E E H
E E E E E
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m
()
()
1
,
6
1
,
6
E
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? ? ? ?
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?? ??
??
?? ?
??
(6) 舍瓦累基 ? ?
? ?
( ) ( ) ( )
( ) ( )
()
,0,,2,,,
,,,2,
,,,
,,,,
,,,,
,
h H h e e h e e
h E e h e e
h e h e e
e e e e e e
e e h e e h
e e h h
? ? ? ? ? ? ? ?
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? ? ? ? ? ?
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? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?
????
??
?? ??
??
m m m m
m
m1 2 1 2
( ) ( ) ( )
3 3,3 3,6,6,
,6,,6
h H H h H H e E e E
e e e E e e e E
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
对易关系
定义, 设 g是李代数,V是复数域 C上的线性空间,gl(n,C)是 V上的
一般线性李代数, 如果存在一个从 g到 gl(n,C)的同态线性映
射 A,对于任意 X,Y∈ g,使得
A,X→A(X) ∈ gl(n,C),
且映射 A保持 g的运算规律不变,即
则称映射 A是李代数 g的一个表示,V称为这一表示的表示空间,
( ) ( ) ( )
[,] [ ( ),( ) ]
A a X b Y a A X b A Y
A X Y A X A Y
? ? ?
?
关于李群表示的几个定理,
1,可解李群的每一个有限维不可约表示都是一维的,
2,连通单纯紧致李群的不可约酉表示都是有限维的,
3,连通单纯非紧致李群的不可约酉表示,除恒等表示外,都
是无限维的,
第七章 李代数表示基础
设 g是半单李代数,g的嘉当 -韦尔基底为
李代数 g的表示 A可用基底的表示得到,即
7.1 半单李代数的表示
{,}iHE?
则李代数 g可表示为
{ |,}iiig b H b E b b C???? ? ?
( ) { ( ) ( ) |,}iiiA g b A H b A E b b C???? ? ?
的表示矩阵保持 g的李积运算规律不变,即{,}iHE?
? ?
? ?
( ),( ) 0
( ),( ) ( )
( ),( ) ( )
( ),( ) ( ),0
ij
ii
i
i
A H A H
A H A E A E
A E A E A H
A E A E N A E
??
??
? ? ? ? ? ?
?
?
??
?
?
?? ?
??
?
?
?? ? ? ?
??
权,
权的概念, 12设 || 是 表示 空 间 中 {} 的 共同本 征 向量,即
| | ( 1,2,,)
则 个本 征 值 的 集 合,构成一个 空 间 中 矢量 的 协
变分量, 将 矢量 称 为本 征 矢 | 的 权矢量,简 称 权,
l i
ii
i
u u H
H u u i l
ll
u
? ? ? ?
??
?
?
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
??
L
L
维空 间 称 为权空 间,l
?
?
关于权的一些性质和定理,
1, 如果 | 是 表示 空间 中 一个 权为 的 向量,则 |
是 中 权为 + 的 一个向量,
( )
或 ( )
i i i i i
u V E u
V
H E u E H u E u E u
H E u E H u E u E u
?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
??
??
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
2,定理, 半单李代数的任意表示空间 V至少有一个权,
( ) ( )
()
()
3, 定 理, 设 是 一个 权为 的 向量,是权 为 的矢
量,如果 可以 表示 为 的 线性 组合,并且 其 中
的 都 与 不同,则 必为 零向量,
kk
k
k
uu
uu
u
??
??
推论, 具有不同的权的本征向量相互之间线性无关,
在 n 维表示空间中,最多有 n 个权,
5,定理, 半单李代数的一个不可约表示空间 VA可以分解为
AAVV
?
?
???
???
其中 VA? 是由权为 ?的本征向量所张开的 VA的子空间,
4,对于表示空间 VA 中一个权,如果有 m个线性独立的本征向量
与之对应,则该权在表示 A中出现 m次,称该权是 m重权,
如果对应于一个权的本征向量只有一个,则称该权为单权,
在权空间选定一组基底后,如果一个权的第一个非零分量是
正的,则称该权为正,
如果两个权的差为正,则称第一个权比第二个权高,
如果一个权比其它的权都高,则称这个权为最高权,
2(,) 2(,)
,是 一个 整数,且 是 一个 权 ;
(,) (,)
2(,)
b,和 具 有 相同的 重 数 ;
(,)
,如果 为 单权,则 存在 一个 的 权链
,( 1 ),,,,
而 ( 1 ) 和 ( 1 ) 不是 权,
a
c
r r q
rq
??
? ? ? ?
?
??
?
? ? ?
??
??
??
?
? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
LL
且
2(,)
=
(,)
rq
?
??
?
?
7,正则基, 在表示空间中选取权为 ?i 的本征向量 | ?i >为基底,
如果权 ?i 按下列次序排列,
12 N? ? ? ? ? ?L
其中 N 为表示的维数,则上述基底称为一组正则基底,
6,设 ? 是半单李代数 g 的表示 A 的任意一个权,? 是 g 的任意
一个根,则
1,如果半单李代数的表示 A是不可约的,则它的最高权是单的,
关于表示的几个基本定理,
半单李代数的最高权与不等价不可约表示一一对应,
2,如果半单李代数的两个不可约表示等价,则它们的最高权相等,
3,?是 半单李代数 g的不可约表示 A的最高权的充要条件为所
有由下式定义的数都为非负整数,
? ?
()
()
()
()
()
()
( ) ( )
2 (,)
( 为 g 的 任意素 根 )
(,)
设 是 表示 空 间 中 对应 于 最高 权 的 本 征 向量,
0 ( )
则
0 ( )
对舍瓦累 基,有
i
i
i
i
i
ii
ii
A
k
V
k
E
k
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
? ? ? ? ?
? ? ??
?
?
? ? ?
??
()
i
i
h
?
? ? ??
半单李代数的不可约表示的标记,
在邓金图上,将上述 l 个非负整数标在 l 个相应的单纯根
的小圆圈上,
李代数 A2
(1)? (2)?
1? 2?
设最高权为 1 (1 ) 2 ( 2 )xx??? ? ?
( 1 )
1 1 2 12 1 2
( 1 ) ( 1 )
( 2 )
2 1 21 2 1 2
( 2 ) ( 2 )
1 2 1 2
12
2(,)
22
(,)
2(,)
22
(,)
22
得到
33
x x A x x
x A x x x
?
?
??
?
?
??
? ? ? ?
??
?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
??
? ? ?
半单李代数的不可约表示的维数公式,
( ( ),) 1,其中 =
(,) 2d ??
?? ??
?? ?? ????
??? ??
利用嘉当矩阵,可得李代数 A2上述表示的维数
1 2 1 2
1 ( 1 ) ( 1 ) ( 2)
2d ? ? ? ?? ? ? ? ?
第五章 对称群
? ?()R T p?
列置换算子集, 杨盘 T的所有的列置换算子组成的集合,
? ?()C T q?
( ) ( )
( ) ( ) q
p R T q C T
P T p Q T q?
??
????
杨算子,
( ) ( )
( ) ( ) ( ) q
p R T q C T
E T P T Q T p q?
??
?? ??
引理 1,设 T和 T?是两个杨盘,由置换 r相联系,即 T?=rT.
置换 s作用于杨盘 T上将 T中任一位置 (i,j)处的数字变
到 sT中的 (k,l)处,则 s?=rsr–1作用在 T?上将 T?中位于 (i,j)
处的数字变到 s?T?中的 (k,l)位置,
推论, 设 T和 T?是由置换 r相联系的两个杨盘,即 T?=rT,
则有下列关系成立
11
11
1
( ') ( ),( ') ( )
( ') ( ),( ') ( )
( ') ( )
R T rR T r C T rC T r
P T rP T r Q T rQ T r
E T rE T r
??
??
?
??
??
?
引理 2,设 T是杨盘,p和 q分别是 T的任意行置换和列
置换,T? 与 T 通过置换 pq 相 联系,即 T?=pqT,
则 T中位于同一行的任意两个数字不可能出现
在 T? 的同一列,
设两个杨盘由置换 r 相联系,即 T?=rT,如果 T 中
任意两个位于同一行的数字不出现在 即 T? 的同
一列,则置换 r 必可表示为 r = pq.
引理 3,设 T 和 T ? 是属于不同杨图 [λ] 和 [λ ?] 的两
个杨盘,[λ]>[λ ?],则总能找到两个数字同时出现在
T 的同一行和 T ? 的同一列,
引理 4,如果存在两个数字同时位于杨盘 T的同一行
和 杨盘 T? 的同一列,则这两个杨盘的杨算子满足
推论, 属于不同杨图的两个杨盘 T 和 T ?,必有
( ') ( ) 0E T E T ?
( ') ( ) 0E T E T ?
引理 5,设
()
nsS
x x s s
?
? ?
是置换群 Sn 的群代数中的一个向量, 如果对于杨盘
T 的任意 行置换 p 和列置换 q,满足
则 x 与杨算子 E(T) 差一个常数因子,即
qp x q x??
()x E T??
引理 6,对应于杨盘 T 的杨算子 E(T) 是一个本质的本
原幂等元, 相应的不变子空间 RG 是对称群 Sn 的一个
不可约表示空间,其维数是 n! 的因子,
引理 7,同一杨图的不同杨盘对应的表示是等价的,
不同杨图的杨盘给出的表示是不等价的,
5.2 对称群的不可约表示
定理, 杨算子 E(T)是本质幂等元,相应的不变子空间
RG E(T) 是对称群 Sn 的一个不可约表示空间,给
出 Sn 的一个不可约表示 ; 由同一杨图的不同杨盘
给出的表示是等价的,而不同杨图的杨盘给出的
表示是不等价的,
标准杨盘, 在杨图上,每一行数字按从左向右增大,
每一列数字按从上到下增大的顺序来填充,得到
的杨盘称为标准杨盘, 记作
定理, 杨图 [λ]对应的不可约表示的维数等于该杨
图的标准杨盘的个数 f [λ].
[ ] 2
[]
( ) !fn?
?
??
[]rT?
杨图 [λ]的标准盘个数的计算公式,
gij为杨图上位置 (i,j)处的钩长,
半正则表示,
标准盘系列, 从 Sn 的一个标准杨盘 Tr[λ]出发,作标
准盘系列,
[]
(,)
!
ij
ij
n
f
g
? ?
?
1 2 3 1[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 1 ],,,,.,,,n
r r r r rT T T T T T? ? ? ? ?
? ?
相应杨算子为
1 2 3 1[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 1 ],,,,.,,,n
r r r r rE E E E E E? ? ? ? ?
? ?
相应本原幂等元为
1 1 2 2 1 1[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]/,/,/,.,,,/nn
r r r rE E E E? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
??
5 4 3 1
3 2 1
半正规单位 (半正则母单位 ),定义算子
1
2 1 2 1
2
3 2 3 2
3
1 2 1 2
1
11
[ ] [ 1 ]
0
[ ] [ ] [ ] [ ]
[]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[]
1
1
..................
1
1
n
n n n n
n
n n n n
n
rr
r r r r
r r r r
r r r r
r r r r
e e s
e e E e
e e E e
e e E e
e e E e
?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
??
?
?
?
?
[ ] [ ]!/nf??? ?
为本原幂等元,且满足[]
re?
1 1 1 1
1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1
12
2
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[]
222
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[] [ ] [ ]
1
1 1 1 n n n n n n
n
r r r r r r r r
r r r r r r r r r r r r r r
e e e E e e E e
e E e E e E e e E e E e E e
? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ??
?
? ??
? ? ? ? ? ?
?
???
????
? ? ? ????
?? ? ? ? ??? ? ? ? ?LL
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[]
0
[]
r s r s r
r
r
e e e
es
? ? ?
??
?
?
???
??
半正规单位 (半正则母单位 )定义, 设属于同一杨图的
标准盘 和 由置换 相联系,即
定义算子, 为杨算子,
11[ ] [ ] [ ] [ ]
[]
1
r s r r s se e E e
? ? ? ?
???
[]rT? []sT? rs nS? ? [ ] [ ]s rs rTT????
[ ] [ ] [ ]r s r r s sE P Q? ? ??? [ ] [ ] [ ] [ ]r r r r rE P Q E? ? ? ???
构造 Sn 群代数 RG 的一组基
其中 [ ] [ ],[ 1,1 ],[ 2,2 ],[ 2,1,1 ],.,,,[ 1 ]nn n n n? ? ? ? ?
[],1,2,...,r s f ??
上述这组基矢称为 Sn 群代数的半正规单位,满足
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]r s t u s t r ue e e? ? ??????
1) 半正规单位共有 n!个,在群代数空间是完备的,
2) 每一个杨图 [λ]对应与对称群 Sn 的一个不等价不可约表示,
3) Sn 群元 s作用在半正规基矢上给出表示矩阵,
4) 在半正规基矢下,表示约化为
5) Sn 任意群元可写为相邻数字对换的乘积,
[ ] [ ]
[]
()V s f V??
?
???
求表示矩阵元 V[λ](s)的规则,其中 s=(k –1,k),
[] ( ) 1rrVs? ?
1) 当数字 k – 1和 k在 Tr[λ]的同一行时,对角元
2) 当数字 k – 1和 k在 Tr[λ]的同一列时,对角元
[] ( ) 1rrVs? ??
3) 当数字 k – 1和 k不在 Tr[λ]的同一行和同一列时,设
Tu[λ] = s Tr[λ],则
[ ] [ ] 2
[ ] [ ]
( ),( ) 1,
( ) 1,( ),
r r r u
u r u u
V s V s
V s V s
??
??
??
?
? ? ? ?
??
其中 ρ为 Tr[λ]中数字 k –1到 k 的轴距离的倒数,
4) 其它情况矩阵元为零,
酉表示,
定义对称群代数 RG 的新基矢
[ ] [ ] [ ] [ ]/rs r s rsOe? ? ? ????
其中 []r?? 是由杨图 [λ]和 r决定的数,称为盘函数,
如果盘函数取为 [ ] [ ] [ ] [ ]
1
[]
( ) ( 1 ) ( 1 )
( ) ( 1 )
n
r r r r
r
nn
nc
? ? ? ?
?
?
?
?
? ? ? ?
?
?
??
???
L
Cμ是标准盘 Tr[λ]中数字 n与第 μ行最后一个数字的轴距离
的倒数,μn是数字 n所在行数,
上述基矢给出对称群的酉表示,
李代数, 设 g是数域 K上的线性空间,对于任意 X,Y∈ g,定义李积
[X,Y]∈ g,如果李积满足下述条件,
1) 双线性, 即对任意 a,b∈ K,X,Y,Z∈ g,有
2) 反对称, 即对任意 X,Y∈ g,有
3) 雅可比关系
[,] [,] [,]
[,] [,] [,]
a X b Y Z a X Z b Y Z
X a Y b Z a X Y b X Z
? ? ?
? ? ?
[,] [,]X Y Y X??
[ [,],] [ [,],] [ [,],] 0X Y Z Y Z X Z X Y? ? ?
则称代数 g为李代数,
以李群的无限小生成元为基矢张开的线性空间
g={X=aiXi|ai∈ R}中,若定义李积为对易关系
[X,Y]=XY-YX,则构成一个李代数,
第六章 李代数基础
6.1 基本概念
■ 子代数, 设 g1是李代数 g的一个子集,如果对任意
X,Y∈g 1,李积运算都满足
? ? 1,X Y g?
则 g1称为李代数 g的一个子代数,
群的乘法, 两个置换的乘积 rs为先进行 s置换,再进行 r置换,
■ 理想子代数, 设 g1是李代数 g的一个子集,如果对
任意 X∈g 1,Y∈g,都有
? ? 1,X Y g?
则 g1在李积运算下是不变的,称为李代数 g的一个
理想子代数,或简称理想,
■ 中心, 李代数 g中所有与李代数对易的元素组成
的集合,称为李代数 g的极大可交换理想,或简称
为李代数 g的中心,即
? ?? ?,0,C X g X Y Y g? ? ? ? ?
1 2 1 2,0g g g g g??UI
■ 直和, 李代数 g的两个理想 g1和 g2如果满足条件
则称李代数 g是理想 g1和 g2的直和, 记为 g=g1?g2.
? ?1 2 1 2 1 2 1,0,,g g g g g g g g? ? ?UI
■ 半直和, 李代数 g的两个子代数 g1和 g2如果满足
则称李代数 g是 g1和 g2的半直和, 记为 g=g1?Sg2.
? ? ? ? ? ?1
( ) ( ) ( )
,( ),( )
P a X b Y a P X b P Y
X Y Z g P Z P X P Y
? ? ?
? ? ? ?
■ 同构, 设 g1和 g2是两个李代数,如果存在一个从 g1
到 g2的一一对应的满映射 P,且对任意 a,b∈K 和
X,Y∈g 满足
则称李代数 g1和 g2同态,
■ 同态, 设 g1和 g2是两个李代数,如果存在一个从 g1
到 g2的满映射 P,且对任意 a,b∈K 和 X,Y∈g 满足
? ? ? ? ? ?1
( ) ( ) ( )
,( ),( )
P a X b Y a P X b P Y
X Y Z g P Z P X P Y
? ? ?
? ? ? ?
则称李代数 g1和 g2同构,
■ 单纯李代数, 如果李代数 g不具有非平庸理想,则
称 g为单纯李代数,或单李代数,
■ 半单李代数, 如果李代数 g不具有非平庸可交换
理想,则称 g为半单李代数,
i
i
gg???
■ 半单李代数的判据,
判据 1 李代数 g是半单李代数的充要条件为, g可
以写作其理想的直和,即
且 gi均为单李代数,
李代数的内导子, 李代数 g上的内导子是李代数 g上
的线性变换,设 X∈g,则内导子 ad(X)定义为
半单李代数的嘉当判据, 李代数 g为半单李代数的
充要条件是,
( ) [,],a d X Z X Z Z g? ? ?
李代数的基林型 (基林度规张量 ),定义为下述对称
张量
g g C C??? ? ? ? ? ? ? ???
其中 C??? 是李代数 g关于基矢 X1,X2,…,X n 的结构常数,即
[,]X X C X?? ? ?? ??
d e t( ) 0g ?? ?
即基林度规张量不退化,存在逆张量 gg?? ??? ???
李代数的卡塞米尔算子,
12设,,,是 半单 李代数 的 一 组基矢,定义
称 为 的 卡塞米 尔算子,
nX X X g
C g X X
Cg
??
???
L
半单李代数 g的卡塞米尔算子 C与 g的所有元素可
对易,
推广的卡塞米尔算子,
321
1 1 2 2 1 2i i iiI C C C X X X
???? ? ? ? ? ? ? ? ?? LL
李代数的内导子与基林度规张量的关系,
李代数的导出代数 -----子代数链,
12设,,.,,,为李代数 的 一 组基矢,内 导 子 () 在
这组基矢下表示 为
( ) [,]
则
nX X X g a d X
a d X X X X C X?? ? ? ? ? ? ???
? ?( ) ( )g g C C t r a d X a d X??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?
( 0 ) ( 1 ) ( 2 )g g g? ? ? L
1,a)李代数 g的导出链
( 0 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 )其中,,,,,,,,k k kg g g g g g g g g g g??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?LL
b)可解李代数, 如果存在一个正整数 k,使得
( ) ( 1 ) ( 1 ),0k k kg g g????????
则 g称为可解李代数,
[ 0 ] [ 1 ] [ 2 ]g g g? ? ? L
c) 可解李代数的每一个子代数都是可解李代数,
d) 可解李代数不含任何单纯李代数,
[ 0 ] [ 1 ] [ 0 ] [ 2 ] [ 1 ] [ ] [ 1 ]其中,,,,,,,,kkg g g g g g g g g g g ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?LL
b)幂零李代数, 如果存在一个正整数 k,使得
[ ] [ 1 ],0kkg g g ???????
则 g称为幂零李代数,
2,a)李代数 g的降中心链
c) 幂零李代数的每一个子代数都是幂零李代数,
d) 幂零李代数不含任何单纯李代数,
e) 幂零李代数必为可解李代数
定理,任意一个李代数 g都可以表示为一个可解李代
数与一个半单李代数的直和,
例, so(3)李代数
b)卡塞米尔算子
2221 2 311 ()22ij i j ij i jC g X X X X X X X?? ? ? ? ? ? ?
a) 基林度规张量
,,,1,2,3ki j i j k
k
i j i j k
X X C X i j k
C ?
?? ????
?
2
1
2
ml
i j j i i l j m i l m j m l i l m j l m i j
ij
ij
g g C C
g
? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ?
??
6.2 复半单李代数的正则形式
■ 李代数基底 (线性变换 )------> 另一组基底
1,李代数上的本征值问题
李代数 g 是 r 维复李代数,{ Xμ } 是 g 的一组基底,满
足
? ?( ),a d A X A X X???
,,对任意,考 虑 的 本 征 值 问题,即X X C X A a X A??? ? ?? ? ??? ????
其中,为本 征 值, 本 征方程可写为X x X g? ? ???
a x C X x X? ? ? ?? ? ? ???
因 { Xμ } 是李代数 g 的一组基底,是 g 上一组线性无关的向
量
( ) 0a C x? ? ? ?? ? ?????
是关于 { xν} 的本征方程,有非平凡解条件为
d e t ( ) 0aC? ? ?? ? ?????
在复数域上有 r 个非平凡解,每个解称为李代数的一个根,
2,李代数的嘉当子代数
如果 (1) 选择 A,使 A 的不同根的数目最大 ;
(2) 李代数 g 是半单李代数,
则 (a) 只有 ρ=0 的根是简并的,而其余的非零根都是单的 ;
(b) 半单李代数的秩, 零根 ρ=0 的简并度 l 称为 g 的秩 ;
(c) 嘉当子代数,
对零根 ρ=0,有 l 个线性无关的本征向量与之对应,记
为 Hi (其中 i = 1,2,… l ),则
? ?,0,,0,ii j i iH H A H A H??? ? ? ???
l 向量 Hi 张开 r 维李代数 g 的一个 l 维子代数,称为
嘉当子代数 ? ?
iiiHC?? ?
(d) 其余的 ( r – l ) 个非零根对应的本征向量 Eα 满足
[ A,Eα ] = α Eα,张开 一个 (r – l ) 维子空间,称为 嘉
当子代数的补空间,
3,李代数的根的性质
(1) 设 Hi 是半单李代数 g 的嘉当子代数的基,满足
[ Hi,Hj ] =0; Eα 是 A = λi Hi 的非零本征值 ( g的
非零根对应的本征矢,满足 [ A,Eα ] = α Eα,则
,
[,] 是 属于 本 征 值 的 的 本 征 向量,
i
i i i
ii
C
H E E A
??
??
??
? ? ? ? ?
??
??
?
αi 可看作 l 向量空间中向量 α 的协变分量, 根 α 则表
示 l 向量空间中分量为 αi 的向量,称为根向量,
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
,,,,
,,,,
,,,
i i i
i i i i
i i i
A H E A H E A E H
H A E A H E E A H A E H
H A E A E H H E
? ? ?
? ? ? ?
? ? ??
?? ????
? ? ? ?
???
对李代数的根进行分类
证明,
[ Hi,Eα] 是 A的属于同一本征值的本征向量,α是非简并的
? ?
? ?
,,
,,
i i i i
i i i
i i i
H E E C
A E H E E E
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
??
??? ? ? ? ???
(2) 如果 Eα和 Eβ是 g的两个非零根,则
? ? ? ?
,,,,
,,,,
( ),
A E E A E E A E E
A E E E A E E A E A E E
E E E E E E E E E E
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
??? ? ? ? ? ? ??
证明,
,0 不是 根
0 是根
i
iCH
EE
NE
??
??
? ? ? ?
??
??
??
?
?
? ??
??? ??
???
? ??
?
是 的本 征 值为 的本 征 向量E E A?? ????
,,0 0 不是 根
0 是根
iC
E E C E C
N
??
??
? ? ? ? ? ? ?
??
??
? ? ?
? ? ?
?? ??
??? ? ? ? ? ?
???
? ? ? ?
?
半单李代数非零根是单根
,,..,标 记 嘉 当 子 代数基矢,,...
,,..,标 记 非零本 征 值 对应 的 本 征 向量 ( 嘉当子 代数
补空 间 基矢 ),,...
,,,,..,可取,,..,和,,...
0
00 不是 根
0 是根
i j k
ij
ii
i
i j k H H H
E E E
i j k
C
Ca
C
C
N
? ? ?
?
??
??
??
?
??
??
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
?
??
? ? ?
? ? ?
?
?
?
? ??
?
? ? ? ?
?
? ? ?
?
?
(3) 根的对称性质
定理, 对于半单李代数的每一个非零根 α,必有一个根
–α 存在,
,
i
i
i
ii
ii
ii
g C C C C C C C C
C C C C C C
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
?
?
??
??
??
??
??
? ? ? ???
??
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
证明, 考虑基林度规张量
根据根的性质 (1)和 (2),有
0,如果g ?? ??? ? ?
所以,如果 –α 不是根,则基林度规张量的本征值 α 对应的行中所
有元素为零,故 det ( gατ ) = 0, 与半单李代数前提相矛盾,
0,0 ( )iig g g g i f? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?
01
10
01
10
ik
g
g
??
??
??
??
?
??
??
??
L
(1)规定 Eα的归一化因子,使
(2) gik 看作向量 α张开的 l 维空间的
度规张量,且有
1g??? ?
(3) 全反对称张量
4,嘉当 -韦尔基
则基林度规张量为
0,
0 ( )
iigg
g g if
??
? ? ? ? ??
??
? ? ? ?
,,,
de t ( ) 0 de t ( ) 0ik
ik i k i k i j i k
gg
g C C C C
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
C g C C C C
C g C
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
?
αi 为 α 的逆变分量,
(4) 半单李代数 g 的嘉当 -韦尔基底 (正则形式 )
i i k i k i k i k
k k k k
i k i k i k i
k k k
C g C g C g C g g C
g g g g g
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ?,iiiiE E C H H? ? ? ? ?????
? ?12,,,,,,,lH H H E E E? ? ?LL
正则形式下对易关系 (结构常数 )
? ?
? ?
,0
,
,
,,0
ij
ii
i
i
HH
H E E
E E H
E E N E
??
??
? ? ? ? ? ?
?
?
??
?
?
?? ?
??
?
?
?? ? ? ?
??
卡塞米尔算子,
i k i ki k i kC g X X g H H g E E g H H E E? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ?? ? ? ? ? ?
根向量内 积, (,) i i? ? ? ??
(1) 如果 α 和 β 是半单李代数的非零根,则
(2) 如果 α 是半单李代数的根,则 α 的整数倍 m α 中,只有
α,0,–α 才是根,
5,关于根的几个定理
2 (,) 2 (,)是 一个整数,且 也 是 一个根,
(,) (,)
? ? ? ???
? ? ? ??
且存在一个 β 的 α根链
,,,g? ? ? ? ???L
其 中 是 根,而 不是 根 ; 是根,
而 ( 1 ) 不是 根,
g
g
? ? ? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ?
??
,( 1 ),,,,g? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?LL或
(3) 如果 α 和 β 是半单李代数的非零根,则
的 根链最多只含有 4 个根,因此
2 (,)
0,1,2,3
(,)
??
??
??
? ? ? ?
6,Nαβ 的确定
,( 1 ),,,,g? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?LL
设半单李代数的根链为
则
,,
( 1 ) (,)
2NN? ? ? ? ?
?? ??
??
??
7,根向量的图形表示
(1) 半单李代数根向量的性质
12根向量, (,,)l? ? ? ?? L
a) 如果 α 是根向量,则 –α 也是根向量 ;
b) 如果 α 和 β 是根向量 (非零根 ),则
2 (,) 是 一个整 数 ;
(,)
??
??
2 (,) 也 是 一个根向量,
(,)
????
???
c) 如果 α 和 β 是根向量 (非零根 ),则
d) 定义两个根向量 α 和 β 之间的夹角和长度比分别为
2
(,) (,)
c o s,
(,)(,) (,)
11
c o s 0,,,1
42
??
? ? ? ?
??
??? ? ? ?
?
??
?
取 β 为长度较长根向量 ; 考虑到 α 和 –α均为根向量,只需
取锐角, 可得下述几种情况
0 3 0 4 5 6 0 9 0
(,)
1 3 / 2 1 1 / 2 0
(,)
(,)
1 1 / 2 1 / 2 1 / 2 0
(,)
(,)
1 3 2 1 不定
(,)
?
??
??
??
??
??
??
o o o o
(3) 秩 l >2的单李代数, 典型李代数的根系
l 维根空间中,引进 l 个相互正交的单位向量
2
,李代数
2 个根向量, 和 ( 1,2,,)
给出李代数 的 所有 非零根
l
i i j
l
aB
l e e e i j l
B
? ? ? ? ? L
12( 1,0,0,,0 ),( 0,1,0,,0 ),,( 0,0,0,,1 )le e e? ? ?L L L L L
2
,李代数
2 个根向量,2 和 ( 1,2,,)
给出李代数 的 所有 非零根
l
i i j
l
bC
l e e e i j l
C
? ? ? ? ? L
,李代数
2 ( 1 ) 个向量, ( 1,2,,)
给出李代数 的 所有 非零根
l
ij
l
cD
l e e i j l
D
? ? ? ? ? L
根向量的图形表示
(1) 1秩单李代数, 李代数 A1,l =1,
c o s 0,有 两 个非零根 和,根向量图 为? ? ???
?? ?0
(2) 2秩半单李代数,
2,3 0,李代数aG? ? o
22,4 5,李代数 和b B C? ? o
2,6 0,李代数cA? ? o
2,9 0,李代数dD? ? o
,李代数
考虑 ( 1 ) 为空间 中 的
( 1 ) 个向量, ( 1,2,,,1 )
到 适当 的 维子 空间 的 投影给出李代数 的 所有 非 零根
l
ij
l
dA
l
l l e e i j l l
lB
?
? ? ? ? ?L
4
4 1 2 4
4
,例外李代数
1
在的 36 个增 加 16 个向量, ( )
2
给出李代数 的 所有 52 个根
j
eF
B e e e e
F
? ? ? ?
(4) 例外李代数及其根系
,,,四 个根系分别对应 与典型李代数
( 1 ),( 2 1 ),( 2 ),( 2 )
l l l lA B C D
s u l s o l s p l s o l??
6
57
7
1 2 4 5 6
,例 外李代数
在 的 根系中 增 加 向量, 2,
1
()
2 2
j
fE
Ae
e
e e e e e e
?
? ? ? ? ? ? ?
7
7
1 2 4 5 6 7 8
,例外李代数
在 的 根中 增 加 向量,
1
()
2
j
gE
A
e e e e e e e e? ? ? ? ? ? ? ?
8
8
1 2 4 5 6 7 8
,例外李代数
在 的 根中 增 加 向量,
1
()
2
j
hE
D
e e e e e e e e? ? ? ? ? ? ? ?
2,例外李代数iG
8,素根和邓金图
对于给定的半单李代数,有关其根向量的信息,可以从所有
根向量集合的一个子集合得到,
(1) 正根, 在某个任意选定的基底下,如果根 α+ 的第一个
不为零的坐标是正的,则称 α+ 为正根, 通常,组成根图
的一半非零根是正根, 所有正根和的一半记为
素根的概念
1
2???? ?
(2) 素根 (单纯根 ),如果一个正根不能分解为另外两个正根
之和,则称这个正根是素根,
上述 B2 的 4个正根中,只有 (0,1)和 (1,–1)是素根,
例, 李代数 B2 的 8个非零根,
( 1,0 ),( 1,1 ),( 0,1 ),( 1,1 ),( 1,0 ),( 1,1 ),( 0,1 ),( 1,1 )? ? ? ? ? ?
中,(1,0),(1,1),(0,1),(1,–1) 是正根,
(3) 素根系, 所有素根组成的集合,用 п 来表示,
(4) 对于秩为 l 的半单李代数,共有 l 个素根,它们是线性无关的,
构成根空间一组基,每一个正根都表示为
,其 中 为非负整数kk??
?
?
???
关于素根的定理
(1) 如果 α和 β 是半单李代数的两个素根,则
,不是 根
2 (,),为非负整数
(,)
a
b
??
?? ??
??
?
??
(2) 如果 α和 β 是半单李
代数的两个素根,则这两个
素根的夹角只能取
90°,120°,135° 和 150°,
设 β 是长根,则
,
,
,
,
1 当 120
2 当 135(,)
3 当 150(,)
不定 当 90
??
??
??
??
?
???
???
?
? ?
?
??
? ?
??
? ?
?
o
o
o
o
1
1,
,
( 1 ) 李代数 B,,1,2,,1
(,)
素 根 与 间 夹 角, c os
2(,) (,)
ij
l i i i
ll
i j i j
ij
i i j j
e e i l
e
i j l
??
?
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? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
L
1
1
,
1,
,
,
120
(,)
c os
(,) (,) 2
135
ii
il
ll
ilil
i i l l
jl
??
??
??
?
???
?
? ? ? ?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
?
o
o
1
1
1
,
,
( 2 ) 李代数 C,,1,2,,1
2
素 根 与 间 夹 角, 1 1 2 0
1 3 5
ii
ll
l i i i
ll
ij
e e i l
e
il ??
??
?
?
? ? ?
?
?
?
?? ? ? ?
?
? ? ?
?
o
o
L
典型李代数的素根系, 素根与基底选取有关
1
1
1
,
,
( 3 ) 李代数 D,,1,2,,1
素 根 与 间 夹 角, 1 2 0
(,)
c os
(,) (,
ii
il
l i i i
l l l
ij
il
i i l
e e i l
ee
i j l
i j l
??
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??
?
? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ?
??
? ? ?
? ? ?
o
L
2
2,
,
2)
12 0
ll
il
l
??
?
?
?
?
??
?
o
1
1
,
( 4 ) 李代数 A,,1,2,,
素 根 与 间 夹 角, 1 2 0
ii
l i i i
ij
e e i l
ij ??
?
? ? ?
?
?? ? ?
?? o
L
邓金图,
用图形表示半单李代数的素根系,
一个小圆圈代表一个素根 ;
夹角为 120°,135°,150° 的两个素根分别用单线、双线和三线连结 ;
正交的两个素根不连 ;
连线箭头由长根指向短根,
典型李代数的邓金图,
(a) 李代数 Bl
2B
1? 2?
3B 2? 3?
1?
lB
2?
l?
1?
L
1l??2l??
(b) 李代数 Cl
2?
l?
1?
L
1l??2l??
(c) 李代数 Dl
2?
l?
1?
L
1l??2l??
嘉当矩阵,
设 ∏={α1,α2,…,αl } 是半单李代数的素根系,则称
2 (,)
(,)
ij
ij
ii
A ?????
为元素构成的矩阵为嘉当矩阵,
嘉当矩阵对角元恒为 2,非对角元只能取 0,–1,–2,–3
例, 1
1,1,
1,1,,1
( 1 ) 李代数 B,,1,2,,1
, (,),=
, (,),=,2
l i i i
ll
i j i j ij i j
i l i l il i l li l i
e e i l
e
i j l A
i j l A A
?
?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
??
? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
L
9,典型李代数的根系
单李代数根向量的完全集由其素根系和嘉当矩阵确定,
(1) 如果 α 是正根,则,其 中 为素 根,为非负整数,
i i i ii kk? ? ?? ?
(2) 如果已知 m级正根和所有 m级以下正根,则 m+1级正根都具有
设,则 称 为 级 正根i
i
m k m?? ?
的形式,其中 为素 根,jj? ? ? ???
(3) 问题, 对于已知的 m级正根,确定出素根 αj,使得 β是根,
考 虑 的 根链
,( 1 ),,,,
j
j j j
??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?LL
根据假设 (1),ξ是已知的, 且
1
2 (,)
(,)
lj
i j i
ijj
kA??? ? ???
?
? ? ? ? ?
10,舍瓦累基底
设 g是秩为 l 的单李代数,α(m) 是其第 m 个素根,定义下列 3l 个
元素
( ) ( ) ( )()
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
(,),
(,) (,)
其中 1,2,,,(,),(,)
m m mm
m m m m
ii
m m i m m m m i
h H e E
m l H H
? ? ??? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
????
? ? ?L
满足下述对易关系,
3l 个元素并不一定生成整个李代数 g,舍瓦累基底中的其它元素
由下式得到
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),0,,,,m j m j j m j mm j m jh h h e A e e e h? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,,
,,
m j k m j k
m j k m j k
e e e e
e e e e
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
?? ???
????
?? ???
????
L
L
L
L
11,Nαβ 的确定
? ?
,( 1 ),( 1 )
,,( 1 ),,( 1 )
由 雅 可比 关系,有
,,,,,,0
,,,
()
n n n
i
n i n n n n
i
i n n n n n n
E E E E E E E E E
E H E N E E N E
n E N N E N N
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ?
?? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ?
1
1
则 (,) ( 1 ) 2 (,) ( ) (,)
2
n
nn
E
n F F n n
??
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ?
,E E N E? ? ? ? ? ???? ???
(1) 考虑 β 的 α根链,( 1 ),,,,
是根 ; ( 1 ) 不是 根,
是根 ; ( 1 ) 不是 根,
? ?? ? ? ? ? ? ? ?
? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
LL
,( 1 ),设,则
0 当或 ( 1 ),
n n n
n
F N N
F n n
? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ???
? ? ? ? ?
0,,,,
2 (,)
当时,
(,)
1
当 0 时,得到 ( 1 ) (,)
2
n
n F N N N N? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
? ? ?
??
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
得到
? ? ? ?
? ?
,,
,,,
( 2) 设,,为 非零根,则
( ),( ) ( ) ( )
( ) ( ),( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
()
ad E ad E N ad E N ad E
t r ad E ad E ad E N t r ad E ad E N g
t r ad E ad E ad E ad E ad E ad E
t r ad E
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
??
?? ??
??
?? ??
??
??
? ? ? ? ?
,,,
,,,,
,,,,
,
,( ) ( ) ( ) ( )
考 虑 的 规范化 1,得到
同理,
规定相因 子,使,则
ad E ad E N t r ad E ad E N g
E g g N N
N N N N
NN
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
??
?? ??
??
? ? ?
? ? ? ? ?
??
,( ),( )
( 1 ) (,)
2N N N N? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?? ??
? ? ? ?
?? ? ? ? ? ?
12,例, 李代数 A2
邓金图,
(1) 嘉当矩阵,
由邓金图知,李代数 A2 有两个素根 α和 β,长度相等,夹角
为 120°,即
(,) 1(,) (,),c o s
2(,) (,)??
??? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ?
由此得到,
11(,) (,) (,)
22? ? ? ? ? ?? ? ? ?
嘉当矩阵,
21
12A
????
?????
(2) 根系,
a.考虑 β 的 α根链,( 1 ),,,,? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?LL
由于 α和 β均为素根,故 β–α不是根,得到 ξ=0,
? ?1 00 2,1 1 0
1
是根,(,) 2(,) 2(,) (,)
ii
i
Ak??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ???
??
? ? ? ? ? ?
?
考虑 α的 β根链,同理可得 β + α是根,
b,考虑 β+α 的 α根链
( ),( ) ( 1 ),,( ),,( )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?LL
由于 β是根,β–α不是根,得到 ξ=1,
? ?1 11 2,1 0
1
2 不是 根
ii
i
Ak??
??
??
? ? ? ? ? ???
??
??
?
c,考虑 β+α 的 β根链
( ),( ) ( 1 ),,( ),,( )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?LL
由于 α是根,α –β不是根,得到 ξ=1,
? ?2 11 1,2 0
1
2 不是 根
ii
i
Ak??
??
??
? ? ? ? ? ???
??
??
?
d,所以,李代数 A2 共有 3个正根, α,β,γ=β+α
6个非零根, α,β,γ,–α,–β,–γ
2个零根, ?
?
? ? ???
(3) 根图
(4) 嘉当 -韦尔基底
1 2 ( ),,,,,,,H H E E E E E E? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
取基底的规范化,使得,
i k i k i k i kg C C?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ???
?
?
? ? ???
故
可得
,,
31(,) (,) (,) (,)
22
ik i i
ik ik i igg ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?1 1 3 1 1 3 1,,,,1,02 2 2 23 3 3? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
再由 β 的 α根链,? ? ?? 知
,( ),( )
( 1 ) 1(,)
26N N N N? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?? ??
? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ?
(5) 嘉当 -韦尔基的对易关系
? ? ? ? ? ?
? ?
1 2 1 2
12
1 ( ) ( ) 2 ( )
1 2 1 2
( ) 1
11
,0,,,,,
223
11
,,,,
223
1
,,,0,
3
1 1 1 1
,,,,
222 3 2 3
1
,,
3
1
,,,
6
H H H E E H E E
H E E H E E
H E E H E
E E H H E E H H
E E H
E E E E E
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()
()
1
,
6
1
,
6
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??
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(6) 舍瓦累基 ? ?
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( ) ( ) ( )
( ) ( )
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,0,,2,,,
,,,2,
,,,
,,,,
,,,,
,
h H h e e h e e
h E e h e e
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e e e e e e
e e h e e h
e e h h
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? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?
????
??
?? ??
??
m m m m
m
m1 2 1 2
( ) ( ) ( )
3 3,3 3,6,6,
,6,,6
h H H h H H e E e E
e e e E e e e E
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
对易关系
定义, 设 g是李代数,V是复数域 C上的线性空间,gl(n,C)是 V上的
一般线性李代数, 如果存在一个从 g到 gl(n,C)的同态线性映
射 A,对于任意 X,Y∈ g,使得
A,X→A(X) ∈ gl(n,C),
且映射 A保持 g的运算规律不变,即
则称映射 A是李代数 g的一个表示,V称为这一表示的表示空间,
( ) ( ) ( )
[,] [ ( ),( ) ]
A a X b Y a A X b A Y
A X Y A X A Y
? ? ?
?
关于李群表示的几个定理,
1,可解李群的每一个有限维不可约表示都是一维的,
2,连通单纯紧致李群的不可约酉表示都是有限维的,
3,连通单纯非紧致李群的不可约酉表示,除恒等表示外,都
是无限维的,
第七章 李代数表示基础
设 g是半单李代数,g的嘉当 -韦尔基底为
李代数 g的表示 A可用基底的表示得到,即
7.1 半单李代数的表示
{,}iHE?
则李代数 g可表示为
{ |,}iiig b H b E b b C???? ? ?
( ) { ( ) ( ) |,}iiiA g b A H b A E b b C???? ? ?
的表示矩阵保持 g的李积运算规律不变,即{,}iHE?
? ?
? ?
( ),( ) 0
( ),( ) ( )
( ),( ) ( )
( ),( ) ( ),0
ij
ii
i
i
A H A H
A H A E A E
A E A E A H
A E A E N A E
??
??
? ? ? ? ? ?
?
?
??
?
?
?? ?
??
?
?
?? ? ? ?
??
权,
权的概念, 12设 || 是 表示 空 间 中 {} 的 共同本 征 向量,即
| | ( 1,2,,)
则 个本 征 值 的 集 合,构成一个 空 间 中 矢量 的 协
变分量, 将 矢量 称 为本 征 矢 | 的 权矢量,简 称 权,
l i
ii
i
u u H
H u u i l
ll
u
? ? ? ?
??
?
?
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
??
L
L
维空 间 称 为权空 间,l
?
?
关于权的一些性质和定理,
1, 如果 | 是 表示 空间 中 一个 权为 的 向量,则 |
是 中 权为 + 的 一个向量,
( )
或 ( )
i i i i i
u V E u
V
H E u E H u E u E u
H E u E H u E u E u
?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
??
??
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
2,定理, 半单李代数的任意表示空间 V至少有一个权,
( ) ( )
()
()
3, 定 理, 设 是 一个 权为 的 向量,是权 为 的矢
量,如果 可以 表示 为 的 线性 组合,并且 其 中
的 都 与 不同,则 必为 零向量,
kk
k
k
uu
uu
u
??
??
推论, 具有不同的权的本征向量相互之间线性无关,
在 n 维表示空间中,最多有 n 个权,
5,定理, 半单李代数的一个不可约表示空间 VA可以分解为
AAVV
?
?
???
???
其中 VA? 是由权为 ?的本征向量所张开的 VA的子空间,
4,对于表示空间 VA 中一个权,如果有 m个线性独立的本征向量
与之对应,则该权在表示 A中出现 m次,称该权是 m重权,
如果对应于一个权的本征向量只有一个,则称该权为单权,
在权空间选定一组基底后,如果一个权的第一个非零分量是
正的,则称该权为正,
如果两个权的差为正,则称第一个权比第二个权高,
如果一个权比其它的权都高,则称这个权为最高权,
2(,) 2(,)
,是 一个 整数,且 是 一个 权 ;
(,) (,)
2(,)
b,和 具 有 相同的 重 数 ;
(,)
,如果 为 单权,则 存在 一个 的 权链
,( 1 ),,,,
而 ( 1 ) 和 ( 1 ) 不是 权,
a
c
r r q
rq
??
? ? ? ?
?
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?
? ? ?
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??
??
?
? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
LL
且
2(,)
=
(,)
rq
?
??
?
?
7,正则基, 在表示空间中选取权为 ?i 的本征向量 | ?i >为基底,
如果权 ?i 按下列次序排列,
12 N? ? ? ? ? ?L
其中 N 为表示的维数,则上述基底称为一组正则基底,
6,设 ? 是半单李代数 g 的表示 A 的任意一个权,? 是 g 的任意
一个根,则
1,如果半单李代数的表示 A是不可约的,则它的最高权是单的,
关于表示的几个基本定理,
半单李代数的最高权与不等价不可约表示一一对应,
2,如果半单李代数的两个不可约表示等价,则它们的最高权相等,
3,?是 半单李代数 g的不可约表示 A的最高权的充要条件为所
有由下式定义的数都为非负整数,
? ?
()
()
()
()
()
()
( ) ( )
2 (,)
( 为 g 的 任意素 根 )
(,)
设 是 表示 空 间 中 对应 于 最高 权 的 本 征 向量,
0 ( )
则
0 ( )
对舍瓦累 基,有
i
i
i
i
i
ii
ii
A
k
V
k
E
k
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
? ? ? ? ?
? ? ??
?
?
? ? ?
??
()
i
i
h
?
? ? ??
半单李代数的不可约表示的标记,
在邓金图上,将上述 l 个非负整数标在 l 个相应的单纯根
的小圆圈上,
李代数 A2
(1)? (2)?
1? 2?
设最高权为 1 (1 ) 2 ( 2 )xx??? ? ?
( 1 )
1 1 2 12 1 2
( 1 ) ( 1 )
( 2 )
2 1 21 2 1 2
( 2 ) ( 2 )
1 2 1 2
12
2(,)
22
(,)
2(,)
22
(,)
22
得到
33
x x A x x
x A x x x
?
?
??
?
?
??
? ? ? ?
??
?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
??
? ? ?
半单李代数的不可约表示的维数公式,
( ( ),) 1,其中 =
(,) 2d ??
?? ??
?? ?? ????
??? ??
利用嘉当矩阵,可得李代数 A2上述表示的维数
1 2 1 2
1 ( 1 ) ( 1 ) ( 2)
2d ? ? ? ?? ? ? ? ?
