第四章 转动群
■ 连续群 (continuous),群元可由一组独立实参量描述,其中至
少有一个参量在一定区域是连续变化的,
设连续参量的数目为 r(1≤r≤n),记为
r称为该连续群的阶, r个独立实参量的变化区域称为群参数空间
12{,,...,}r? ? ? ??
4.1 一些基本概念
连续群 G的群元 g,可由 r个连续实参量表征,即
12( ) (,,.,,,)rg g g? ? ? ???
单位元素可用一组零参量来表征,即
(0,0,.,, 0 )eg?
设一个集合 G的元素 g可由 r个实参量来表征,即
如果 g(?)满足下列条件,
1) 集合 G中存在一个单位元素 e=g (?0),对任意元素 g(?)?G,有
李群
12( ) (,,.,,,)rg g g? ? ? ???
00( ) ( ) ( ) ( ) ( )g g g g g? ? ? ? ???
2) 逆元, 对任意 ?,存在,使?
( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 )g g g g g? ? ? ???
通常取 ?0={0,0,…,0}
即对于任意元素 g(?)?G,存在逆元素 1 ( ) ( )gg??? ?
3) 封闭性, 对于任意两个元素 g(?),g(?)?G,其乘积仍属于 G,即
在参数空间中能够找到一个参数 ?,使
( ) ( ) ( )g g g G? ? ???
4) 结合律, 对任意 ?,?,?,有
[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]g g g g g g? ? ? ? ? ??
?是 ?,?的实函数,即
则连续群 G称为李群,
(,)f? ? ??
或 [ (,),] [,(,) ]f f f f? ? ? ? ? ??
5) ?=f(?,?)是 ?,?的解析函数 (连续可微 ),是 ?的解析函数,?
(,)f? ? ?? 称为李群的结合函数,
■ 连通性,如果从连续群的任意一个元素出发,经过 r个参量的
连续变化,可以到达单位元素,或者说如果连续群中的任意两
个元素可以通过 r个参量的连续变化连结起来,则称此连续群
是连通的, 这样的李群称为简单李群,否则称为混合李群,
■ 紧致李群, 如果李群的参数空间由有限个有界的区域组成,
则称该李群为紧致李群,否则称为非紧致李群,
1) 所有实数以数的加法为群的乘法构成一个一阶李群,
群参数为群元本身, 结合函数为 ?=?+?,一阶非紧致简单李群
■ 例,
2)空间平移群, 三维实空间中的所有平移变换 ()T a r r a??r r r r
构成一个李群,群元由三个独立的实参量 (,,)
x y za a a
表征,
三阶非紧致简单李群,
3) 二维特殊酉群 SU(2),所有行列式为 +1的二维酉矩阵构成
的群, 即
SU(2)是一个三阶紧致简单李群
其中 ?,?,?为实参量,
abu
cd
???
????
满足条件 ?,d e t ( ) 1u u E u??
SU(2)的群元可写为
22
**,| | | | 1
abu a b
ba
??? ? ?
?????
或写为
c o s s in
s in c o s
ii
ii
eeu
ee
??
??
??
??
?
?
?? ??
??
??
4) 三维实正交群 O(3),所有三维实正交矩阵构成的连续群,
群元由 3个实参数标记, 群元满足正交条件
三维实特殊正交群 SO(3),所有行列式为 +1 的 3维实正
交矩阵构成的连续群,群元由 3个实参数标记,
ttO O O O E??
O(3)保持实二次形
2221 2 3xxx??
不变
( 3 ) { ( 3 ) | d e t ( ) 1 }S O O O O? ? ?
SO(3)群对应于三维实空间保持原点不变的三维转动
群,群元为转动矩阵,由三个实参量 0? ? ? ?,
0? ? ? ?,0? ? <2 ?来表征, 三阶紧致简单李群,
()kC ?r
三维实正交群 O(3)=SO(3)?{E,I},由行列式分别为 ?1的互
不连通的两叶构成,其参数空间包含两个互不连通的区
域,是三阶紧致混合李群,
■ 空间转动群, 三维实坐标空间 R3保持原点不变的所有转动变
换构成的群,对应于特殊实正交矩阵群 SO(3).
1) SO(3)群的群元可用绕过原点方位角为 (?,?)的转动轴 k的
转过 ?角的转动变换 Ck(?)表示, 在笛卡尔坐标系中,绕三个
坐标轴 x,y,z的转动元素分别为
SO(3)群的参数化,
4.2 转动群 SO(3)与二维特殊酉群 SU(2)
1 0 0 c os 0 si n
( ) 0 c os si n,( ) 0 1 0
0 si n c os si n 0 c os
xyCC
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?
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? ? ? ?
c os si n 0
( ) si n c os 0
0 0 1
zC
??
? ? ?
???
???
??
?
?
(,) Pxy
'( ',')P x y
' c o s ( ) c o s s i n
' s i n ( ) s i n c o s
x r x
y r y
? ? ? ?
? ? ? ?
??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ? ?
2) SO(3)群的群元也可用三个欧拉角 ?,?,?来标记, SO(3)转
动元素由相继三个转动变换生成, (1) 绕 z轴转 ?角,0??<2?;
(2)绕新的 y轴 (y’轴 )转 ?角,0????; (3)绕新的 z轴 (z’’轴 )转 ?
角,0? ?<2?,即
'' '
'
(,,) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
z y z
z z z z y z z
z y z y z z y z z
z y z
R C C C
C C C C C C C
C C C C C C C C C
C C C
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
? ? ? ?
?
c os c os c os sin sin c os c os sin sin c os c os sin
(,,) sin c os c os c os sin sin c os sin c os c os sin sin
sin c os sin sin c os
R
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ???
??? ? ? ?
???
■ 二维特殊酉群 SU(2):所有行列式为 +1的二维酉矩阵构成
的群, 三阶紧致简单李群,群元由三个实参数表示
22
**,| | | | 1
abu a b
ba
??? ? ?
?????
c o s s in
s in c o s
ii
ii
eeu
ee
??
??
??
??
?
?
?? ??
??
??
或
■ SU(2)群与 SO(3)群的关系,
11 ' ' '()
' ' '
'
z x i y z x i y
u r u u u
x i y z x i y z
r
?
?
?? ??? ? ? ???
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
?
r ur
g
ur ur
g
对于 SU(2)中的任意一个元素 u?SU(2),可定义一个三维实坐标
空间中一个变换 Ru如下,
(,,)x y z? ? ? ??ur 为泡利矩阵, 是三个独立二阶零迹厄米矩阵,
定义, '
ur R r?
ur r 则 Ru满足
1) Ru是三维实坐标空间中实正交变换,即
1de t[ ( ) ] de t( ' ) de t( )
( | ) ( | )uu
u r u r r
R r R r r r
? ? ??? ? ? ? ?
??
r ur ur ur r ur
g g gr r r r
2) det(Ru)是 a,b的连续函数,det(Ru)=1.
则 SU(2)中任意一个元素都对应于 SO(3)中一个元素 Ru
3) 上述映射关系保持乘法规律不变
1 1 1( ) ( ) ( )
()
v u v
uv
u v r v u u R r u R R r
Rr
? ? ?
?
? ? ???
?
r ur r ur r ur
g g g
r ur
g
4) 上述映射关系是 SU(2)到 SO(3)的同态映射,即对于 SO(3)
中任何一个元素,都能在 SU(2)中找到一个元素与之对应,
11 ( )
c o s sin 0
e x p ( ) 0( ) sin c o s 0 ( )
0 e x p ( ) 0 0 1uz
iu R R
i ?
??
?? ? ? ?
?
???
??? ??? ? ? ?
????
??
21 ( )
c os 0 si n
c os( / 2) si n( / 2)( ) 0 1 0 ( )
si n( / 2) c os( / 2) si n 0 c osuy
u R R?
??
????
?? ??
???
?? ??? ? ? ?
????
???
1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (,,)z y zu u u R R R R? ? ? ? ? ? ? ? ???
SO(3)中一个元素 R(?,?,?),都能在 SU(2)中找到一个元素与之对
应,存在 SU(2)群到 SO(3)群的同态,
5) 同态核由 1 0 1 0,
0 1 0 1
?? ? ? ?? ? ? ?
?? ? ? ?
组成,对应 SO(3)中单位元素,
SU(2)群到 SO(3)群的同态映射是二对一的同态,SU(2)中两个元
素 u,-u对应于 SO(3)中同一元素,
4.3 SU(2)群的不可约表示
SU(2)群元是二维复向量空间上的酉变换
**
'
'
abu
ba
? ? ? ?
? ? ? ?
?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ?
有序复数 (?,?)是二维复向量空间中任意向量,
考虑 ?和 ?的 2j次齐次函数构成的 2j+1维函数空间
(,)
( ) ! ( ) !
0,1 / 2,1,3 / 2,......
,1,...,0,..,1,
jj
j
jj
j
j j j j
??
?
??
? ? ?
??
?
??
?
??
?
? ? ? ? ?
以 ??j为基底生成一个 2j+1维的线性复函数空间
在 SU(2)群元作用下,(?,?)变为 (?’,?’ ),构造一个映射,将
(,)j?? ? ?
利用二项式定理
变为
( ) (,) ( ',') ( ) (,)j j j j jA u A u? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?
**
**
( 1 ) ( ) ! ( ) !
( ',')
! ( ) ! ( ) ! ( ) !
( 1 ) ( ) ! ( ) ! ( ) ! ( ) !
(,)
! ( ) ! ( ) ! ( ) !
k
j j k j k k k j j
k
k
j k j k k k j
k
jj
a a b b
k j k j k k
j j j j
a a b b
k j k j k k
??
? ? ? ? ? ?
?
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? ? ? ?
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? ? ? ? ?
? ? ? ?
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? ? ? ?
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? ? ? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
??
??
根据负整数的阶乘为无穷,并进行变量代换 ?=j-k-k’
**
'
* ' * ' 2 ' '
0 ' 0
( ) ( )
( ',')
( ) ! ( ) !
( 1 ) ( ) ! ( ) !
! '! ( ) ! ( ') !
jj
j
jkjj
j k k k j k j k k k k
kk
a b a b
jj
jj
a a b b
k k j k j k
??
?
???
??
? ? ? ?
? ? ?
??
??
??
??
??
????
? ? ? ? ? ? ?
??
??
?
??
? ? ?
?
? ? ? ?
??
得到 SU(2)群元 u的表示矩阵
Aj保持 SU(2)的乘法规律不变
**( 1 ) ( ) ! ( ) ! ( ) ! ( ) !()
! ( ) ! ( ) ! ( ) !
k
j j k j k k k
k
j j j jA u a a b b
k j k j k k
??
? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ??
表示 Aj是 SU(2)的酉表示,
' '',
' ''
( ) (,) ( '','') ( ) (,) ( ',') ( ) ( ',') ( ) (,)j j j j j j j j j j j
w u v w u v u
A w A w u u A u A u A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?? ? ?
* *
''
'
* * 2 * * 2
( '* ') ( '* ')( ',') ( ',') (,) ( ) (,)
( ) ! ( )
11( ' ' ' ') ( ) ( (,) | (,) )
( 2 ) ! ( 2 ) !
jjj j j
j j j j j j
j v v j j
j j j j
AA
jj
jj
??
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
??
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
??
??
? ? ? ? ?
? ? ? ?
1) 如果对角矩阵 A对角元素各不相同,则与之对易的矩阵
必是对角矩阵,
表示 Aj是 SU(2)的不可约表示,
( ) ( )i j i k k j i i k k j i i j i j i k k j i j j
k k k
A B A B a B a B B A B A B a?? ? ? ? ? ?? ? ?
2) 如果对角矩阵 A矩阵 B对易,且 B中有一列不含一个零,
则 A必为常数矩阵,
与 SU(2)表示矩阵 {Aj(u)}对易的 SU(2)的矩阵必为常数矩阵,
1) 当 SU(2)元素中参数取 a=exp(–i?/2),b=0时,
e x p ( / 2 ) 0 ( ) e x p ( )
0 e x p ( / 2 )
jiu A u i
i ? ? ? ?
? ? ? ?
?
???? ? ? ???
??
2) Aj(u)第一列
*( 2 ) !( 1 ) ( ) ! ( ) !j j j jj jA a bjj? ? ?? ??? ? ??? ??
1) SU(2)元素
SU(2)的类结构和特征标,
本征值
可将本征值取为
**
abu
ba
??? ??
???
参数 a实部相同的所有元素本征值相同,本征方程
**
ab
ba
???
??
? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ?
2*1 [ ( 4 ) ],2 2 Re ( ) 22 i a a a? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
* 2 21 2 1 2 1 2,1,| | | | 1? ? ? ? ? ?? ? ? ?
12e x p ( / 2 ),e x p ( / 2 )ii? ? ? ?? ? ?
本征值只与 Re(a)有关,Re(a)相同的所有元素本征值相同,
通过相似变换联系,相互等价,互为共轭元素,
2) 取 SU(2)元素
SU(2)的类结构和特征标,
表示 Aj的特征标为
e x p ( / 2 ) 0()
0 e x p ( / 2 )
iu
i
??
?
???? ??
??
u(–?) 与 u(?)属于同一类,则可用 {u(?)}标记 SU(2)群的类,
( ( ) ) e x p ( ) s i n [ ( 1 / 2 ) ] / s i n ( / 2 )
j
j
j
A i j
?
? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ??
4.4 SO(3)群的不可约表示
SU(2)群有 到 SO(3)群的同态映射是二对一的同态,保持乘法规律
不变, SU(2)中两个元素 (u,–u)对应于 SO(3)中同一转动元素 Ru.
1) 对于 SU(2)的表示 Aj,当 j为整数时,有 Aj(u)= Aj(–u),SU(2)中两
个元素 (u,–u)对应于同一表示矩阵, 则 {Dj(Ru)= Aj(?u)}是 SO(3)
的一个表示,称为单值表示,
2) 对于 SU(2)的表示 Aj,当 j为半整数时,有 Aj(u)= – Aj(–u),根据同态
关系,有两个矩阵 Aj(?u)对应于 SO(3)中一个元素,Dj(Ru)= Aj(?u)
不是 SO(3)的表示,
3) SO(3)群中具有相同转角的元素属于同一类, 可用 {Ck(?)}标记,
特征标为
( ) (,0,0 ) e x p ( )jjjj mm
m j m j
D i m? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ???
4.5 李群的无限小生成元
设李群由 r个实参量来表征
恒元由零参量标记 {0},恒元附近的无穷小元素由无穷小参量
将结合函数作泰勒展开
12{,,.,,,} { }ri? ? ? ? ???
结合函数为 (,)f? ? ??
12{,,.,,,} { }ri? ? ? ? ? ? ? ? ? ???
描述,
是群元 g(?)邻域的元素,( ) [ (,) ]g g f? ? ? ??
0
(,)(,) (,0 ) (,0 ) d
i
i i
ff f f
?
??? ? ?? ? ?? ? ?
? ?
?? ? ? ? ?
??
定义
考虑 ?的任意一个解析函数 F(?)的变化,即
则
则
0
(,)()i
i
f
?
????
? ?
??
?
d ( )i i
i
? ? ? ? ?? ?
i
,
()
[ (,) ] ( d ) ( ) d
()
( ) ( ) ( 1 ) ( )
i i
ii
i j i
i j ij
F
F f F F
F
F X F
?
? ?? ? ? ? ?
?
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? ?? ? ? ?? ?
?
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? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
?
??
{ } ( )ij
j j
XX ?? ???? ?? 称为李群的无限小生成元,
例,
SO(2)为绕固定轴 z转动群,群元可参数化为
1) SO(2)的无限小生成元
无限小生成元
c o s s i n()
s i n c o szC
???
??
????
????
结合函数为 ( ','') ' ''f? ? ? ? ?? ? ?
则 ( ') 1?? ?
() zX iJ?? ?????
例,
SO(3) 群元可参数化为绕 k轴的转动 Ck(?)
2) SO(3)的无限小生成元
无限小转动将空间一点变到
任意函数变为
'r r r r r n r? ? ?? ? ? ? ? ?r ur r r r r r
( ) '( ) ( ) ( ) ( )
[ 1 ( ) ] ( ) [ 1 ( ) ]
( 1 )
F r F r F r r F r r F r
n r F r n r F
i n L F
X i n L
??
?? ??
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
??
?
r r r r r r r
g
r r r r r
gg
r ur
g
r ur
g
■ 连续群 (continuous),群元可由一组独立实参量描述,其中至
少有一个参量在一定区域是连续变化的,
设连续参量的数目为 r(1≤r≤n),记为
r称为该连续群的阶, r个独立实参量的变化区域称为群参数空间
12{,,...,}r? ? ? ??
4.1 一些基本概念
连续群 G的群元 g,可由 r个连续实参量表征,即
12( ) (,,.,,,)rg g g? ? ? ???
单位元素可用一组零参量来表征,即
(0,0,.,, 0 )eg?
设一个集合 G的元素 g可由 r个实参量来表征,即
如果 g(?)满足下列条件,
1) 集合 G中存在一个单位元素 e=g (?0),对任意元素 g(?)?G,有
李群
12( ) (,,.,,,)rg g g? ? ? ???
00( ) ( ) ( ) ( ) ( )g g g g g? ? ? ? ???
2) 逆元, 对任意 ?,存在,使?
( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 )g g g g g? ? ? ???
通常取 ?0={0,0,…,0}
即对于任意元素 g(?)?G,存在逆元素 1 ( ) ( )gg??? ?
3) 封闭性, 对于任意两个元素 g(?),g(?)?G,其乘积仍属于 G,即
在参数空间中能够找到一个参数 ?,使
( ) ( ) ( )g g g G? ? ???
4) 结合律, 对任意 ?,?,?,有
[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]g g g g g g? ? ? ? ? ??
?是 ?,?的实函数,即
则连续群 G称为李群,
(,)f? ? ??
或 [ (,),] [,(,) ]f f f f? ? ? ? ? ??
5) ?=f(?,?)是 ?,?的解析函数 (连续可微 ),是 ?的解析函数,?
(,)f? ? ?? 称为李群的结合函数,
■ 连通性,如果从连续群的任意一个元素出发,经过 r个参量的
连续变化,可以到达单位元素,或者说如果连续群中的任意两
个元素可以通过 r个参量的连续变化连结起来,则称此连续群
是连通的, 这样的李群称为简单李群,否则称为混合李群,
■ 紧致李群, 如果李群的参数空间由有限个有界的区域组成,
则称该李群为紧致李群,否则称为非紧致李群,
1) 所有实数以数的加法为群的乘法构成一个一阶李群,
群参数为群元本身, 结合函数为 ?=?+?,一阶非紧致简单李群
■ 例,
2)空间平移群, 三维实空间中的所有平移变换 ()T a r r a??r r r r
构成一个李群,群元由三个独立的实参量 (,,)
x y za a a
表征,
三阶非紧致简单李群,
3) 二维特殊酉群 SU(2),所有行列式为 +1的二维酉矩阵构成
的群, 即
SU(2)是一个三阶紧致简单李群
其中 ?,?,?为实参量,
abu
cd
???
????
满足条件 ?,d e t ( ) 1u u E u??
SU(2)的群元可写为
22
**,| | | | 1
abu a b
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或写为
c o s s in
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ii
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eeu
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??
??
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??
??
4) 三维实正交群 O(3),所有三维实正交矩阵构成的连续群,
群元由 3个实参数标记, 群元满足正交条件
三维实特殊正交群 SO(3),所有行列式为 +1 的 3维实正
交矩阵构成的连续群,群元由 3个实参数标记,
ttO O O O E??
O(3)保持实二次形
2221 2 3xxx??
不变
( 3 ) { ( 3 ) | d e t ( ) 1 }S O O O O? ? ?
SO(3)群对应于三维实空间保持原点不变的三维转动
群,群元为转动矩阵,由三个实参量 0? ? ? ?,
0? ? ? ?,0? ? <2 ?来表征, 三阶紧致简单李群,
()kC ?r
三维实正交群 O(3)=SO(3)?{E,I},由行列式分别为 ?1的互
不连通的两叶构成,其参数空间包含两个互不连通的区
域,是三阶紧致混合李群,
■ 空间转动群, 三维实坐标空间 R3保持原点不变的所有转动变
换构成的群,对应于特殊实正交矩阵群 SO(3).
1) SO(3)群的群元可用绕过原点方位角为 (?,?)的转动轴 k的
转过 ?角的转动变换 Ck(?)表示, 在笛卡尔坐标系中,绕三个
坐标轴 x,y,z的转动元素分别为
SO(3)群的参数化,
4.2 转动群 SO(3)与二维特殊酉群 SU(2)
1 0 0 c os 0 si n
( ) 0 c os si n,( ) 0 1 0
0 si n c os si n 0 c os
xyCC
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( ) si n c os 0
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(,) Pxy
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x r x
y r y
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??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ? ?
2) SO(3)群的群元也可用三个欧拉角 ?,?,?来标记, SO(3)转
动元素由相继三个转动变换生成, (1) 绕 z轴转 ?角,0??<2?;
(2)绕新的 y轴 (y’轴 )转 ?角,0????; (3)绕新的 z轴 (z’’轴 )转 ?
角,0? ?<2?,即
'' '
'
(,,) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
z y z
z z z z y z z
z y z y z z y z z
z y z
R C C C
C C C C C C C
C C C C C C C C C
C C C
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
? ? ? ?
?
c os c os c os sin sin c os c os sin sin c os c os sin
(,,) sin c os c os c os sin sin c os sin c os c os sin sin
sin c os sin sin c os
R
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■ 二维特殊酉群 SU(2):所有行列式为 +1的二维酉矩阵构成
的群, 三阶紧致简单李群,群元由三个实参数表示
22
**,| | | | 1
abu a b
ba
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c o s s in
s in c o s
ii
ii
eeu
ee
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或
■ SU(2)群与 SO(3)群的关系,
11 ' ' '()
' ' '
'
z x i y z x i y
u r u u u
x i y z x i y z
r
?
?
?? ??? ? ? ???
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r ur
g
ur ur
g
对于 SU(2)中的任意一个元素 u?SU(2),可定义一个三维实坐标
空间中一个变换 Ru如下,
(,,)x y z? ? ? ??ur 为泡利矩阵, 是三个独立二阶零迹厄米矩阵,
定义, '
ur R r?
ur r 则 Ru满足
1) Ru是三维实坐标空间中实正交变换,即
1de t[ ( ) ] de t( ' ) de t( )
( | ) ( | )uu
u r u r r
R r R r r r
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??
r ur ur ur r ur
g g gr r r r
2) det(Ru)是 a,b的连续函数,det(Ru)=1.
则 SU(2)中任意一个元素都对应于 SO(3)中一个元素 Ru
3) 上述映射关系保持乘法规律不变
1 1 1( ) ( ) ( )
()
v u v
uv
u v r v u u R r u R R r
Rr
? ? ?
?
? ? ???
?
r ur r ur r ur
g g g
r ur
g
4) 上述映射关系是 SU(2)到 SO(3)的同态映射,即对于 SO(3)
中任何一个元素,都能在 SU(2)中找到一个元素与之对应,
11 ( )
c o s sin 0
e x p ( ) 0( ) sin c o s 0 ( )
0 e x p ( ) 0 0 1uz
iu R R
i ?
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?
???
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????
??
21 ( )
c os 0 si n
c os( / 2) si n( / 2)( ) 0 1 0 ( )
si n( / 2) c os( / 2) si n 0 c osuy
u R R?
??
????
?? ??
???
?? ??? ? ? ?
????
???
1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (,,)z y zu u u R R R R? ? ? ? ? ? ? ? ???
SO(3)中一个元素 R(?,?,?),都能在 SU(2)中找到一个元素与之对
应,存在 SU(2)群到 SO(3)群的同态,
5) 同态核由 1 0 1 0,
0 1 0 1
?? ? ? ?? ? ? ?
?? ? ? ?
组成,对应 SO(3)中单位元素,
SU(2)群到 SO(3)群的同态映射是二对一的同态,SU(2)中两个元
素 u,-u对应于 SO(3)中同一元素,
4.3 SU(2)群的不可约表示
SU(2)群元是二维复向量空间上的酉变换
**
'
'
abu
ba
? ? ? ?
? ? ? ?
?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ?
有序复数 (?,?)是二维复向量空间中任意向量,
考虑 ?和 ?的 2j次齐次函数构成的 2j+1维函数空间
(,)
( ) ! ( ) !
0,1 / 2,1,3 / 2,......
,1,...,0,..,1,
jj
j
jj
j
j j j j
??
?
??
? ? ?
??
?
??
?
??
?
? ? ? ? ?
以 ??j为基底生成一个 2j+1维的线性复函数空间
在 SU(2)群元作用下,(?,?)变为 (?’,?’ ),构造一个映射,将
(,)j?? ? ?
利用二项式定理
变为
( ) (,) ( ',') ( ) (,)j j j j jA u A u? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?
**
**
( 1 ) ( ) ! ( ) !
( ',')
! ( ) ! ( ) ! ( ) !
( 1 ) ( ) ! ( ) ! ( ) ! ( ) !
(,)
! ( ) ! ( ) ! ( ) !
k
j j k j k k k j j
k
k
j k j k k k j
k
jj
a a b b
k j k j k k
j j j j
a a b b
k j k j k k
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? ? ? ? ? ?
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根据负整数的阶乘为无穷,并进行变量代换 ?=j-k-k’
**
'
* ' * ' 2 ' '
0 ' 0
( ) ( )
( ',')
( ) ! ( ) !
( 1 ) ( ) ! ( ) !
! '! ( ) ! ( ') !
jj
j
jkjj
j k k k j k j k k k k
kk
a b a b
jj
jj
a a b b
k k j k j k
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????
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??
??
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? ? ?
?
? ? ? ?
??
得到 SU(2)群元 u的表示矩阵
Aj保持 SU(2)的乘法规律不变
**( 1 ) ( ) ! ( ) ! ( ) ! ( ) !()
! ( ) ! ( ) ! ( ) !
k
j j k j k k k
k
j j j jA u a a b b
k j k j k k
??
? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ??
表示 Aj是 SU(2)的酉表示,
' '',
' ''
( ) (,) ( '','') ( ) (,) ( ',') ( ) ( ',') ( ) (,)j j j j j j j j j j j
w u v w u v u
A w A w u u A u A u A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?? ? ?
* *
''
'
* * 2 * * 2
( '* ') ( '* ')( ',') ( ',') (,) ( ) (,)
( ) ! ( )
11( ' ' ' ') ( ) ( (,) | (,) )
( 2 ) ! ( 2 ) !
jjj j j
j j j j j j
j v v j j
j j j j
AA
jj
jj
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
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? ? ? ? ? ?
??
??
? ? ? ? ?
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1) 如果对角矩阵 A对角元素各不相同,则与之对易的矩阵
必是对角矩阵,
表示 Aj是 SU(2)的不可约表示,
( ) ( )i j i k k j i i k k j i i j i j i k k j i j j
k k k
A B A B a B a B B A B A B a?? ? ? ? ? ?? ? ?
2) 如果对角矩阵 A矩阵 B对易,且 B中有一列不含一个零,
则 A必为常数矩阵,
与 SU(2)表示矩阵 {Aj(u)}对易的 SU(2)的矩阵必为常数矩阵,
1) 当 SU(2)元素中参数取 a=exp(–i?/2),b=0时,
e x p ( / 2 ) 0 ( ) e x p ( )
0 e x p ( / 2 )
jiu A u i
i ? ? ? ?
? ? ? ?
?
???? ? ? ???
??
2) Aj(u)第一列
*( 2 ) !( 1 ) ( ) ! ( ) !j j j jj jA a bjj? ? ?? ??? ? ??? ??
1) SU(2)元素
SU(2)的类结构和特征标,
本征值
可将本征值取为
**
abu
ba
??? ??
???
参数 a实部相同的所有元素本征值相同,本征方程
**
ab
ba
???
??
? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ?
2*1 [ ( 4 ) ],2 2 Re ( ) 22 i a a a? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
* 2 21 2 1 2 1 2,1,| | | | 1? ? ? ? ? ?? ? ? ?
12e x p ( / 2 ),e x p ( / 2 )ii? ? ? ?? ? ?
本征值只与 Re(a)有关,Re(a)相同的所有元素本征值相同,
通过相似变换联系,相互等价,互为共轭元素,
2) 取 SU(2)元素
SU(2)的类结构和特征标,
表示 Aj的特征标为
e x p ( / 2 ) 0()
0 e x p ( / 2 )
iu
i
??
?
???? ??
??
u(–?) 与 u(?)属于同一类,则可用 {u(?)}标记 SU(2)群的类,
( ( ) ) e x p ( ) s i n [ ( 1 / 2 ) ] / s i n ( / 2 )
j
j
j
A i j
?
? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ??
4.4 SO(3)群的不可约表示
SU(2)群有 到 SO(3)群的同态映射是二对一的同态,保持乘法规律
不变, SU(2)中两个元素 (u,–u)对应于 SO(3)中同一转动元素 Ru.
1) 对于 SU(2)的表示 Aj,当 j为整数时,有 Aj(u)= Aj(–u),SU(2)中两
个元素 (u,–u)对应于同一表示矩阵, 则 {Dj(Ru)= Aj(?u)}是 SO(3)
的一个表示,称为单值表示,
2) 对于 SU(2)的表示 Aj,当 j为半整数时,有 Aj(u)= – Aj(–u),根据同态
关系,有两个矩阵 Aj(?u)对应于 SO(3)中一个元素,Dj(Ru)= Aj(?u)
不是 SO(3)的表示,
3) SO(3)群中具有相同转角的元素属于同一类, 可用 {Ck(?)}标记,
特征标为
( ) (,0,0 ) e x p ( )jjjj mm
m j m j
D i m? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ???
4.5 李群的无限小生成元
设李群由 r个实参量来表征
恒元由零参量标记 {0},恒元附近的无穷小元素由无穷小参量
将结合函数作泰勒展开
12{,,.,,,} { }ri? ? ? ? ???
结合函数为 (,)f? ? ??
12{,,.,,,} { }ri? ? ? ? ? ? ? ? ? ???
描述,
是群元 g(?)邻域的元素,( ) [ (,) ]g g f? ? ? ??
0
(,)(,) (,0 ) (,0 ) d
i
i i
ff f f
?
??? ? ?? ? ?? ? ?
? ?
?? ? ? ? ?
??
定义
考虑 ?的任意一个解析函数 F(?)的变化,即
则
则
0
(,)()i
i
f
?
????
? ?
??
?
d ( )i i
i
? ? ? ? ?? ?
i
,
()
[ (,) ] ( d ) ( ) d
()
( ) ( ) ( 1 ) ( )
i i
ii
i j i
i j ij
F
F f F F
F
F X F
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? ?? ? ? ? ?
?
?
? ?? ? ? ?? ?
?
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? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
?
??
{ } ( )ij
j j
XX ?? ???? ?? 称为李群的无限小生成元,
例,
SO(2)为绕固定轴 z转动群,群元可参数化为
1) SO(2)的无限小生成元
无限小生成元
c o s s i n()
s i n c o szC
???
??
????
????
结合函数为 ( ','') ' ''f? ? ? ? ?? ? ?
则 ( ') 1?? ?
() zX iJ?? ?????
例,
SO(3) 群元可参数化为绕 k轴的转动 Ck(?)
2) SO(3)的无限小生成元
无限小转动将空间一点变到
任意函数变为
'r r r r r n r? ? ?? ? ? ? ? ?r ur r r r r r
( ) '( ) ( ) ( ) ( )
[ 1 ( ) ] ( ) [ 1 ( ) ]
( 1 )
F r F r F r r F r r F r
n r F r n r F
i n L F
X i n L
??
?? ??
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
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r r r r r r r
g
r r r r r
gg
r ur
g
r ur
g
