点、直线、平面的投影 点、直线、平面是构成物体的基本几何元素，研究它们的投影，可提高对物体投影的分析能力和空间想像能力，解决复杂物体画图及读图中的问题。 第一节 点的投影 一、点的三面投影的形成与标记 根据前述投影法，如图3－1（a）所示，假设空间有一点A，过点A分别向H面、V面和W面作垂线，得到三个垂足a、a′、a″，便是点A在三个投影面上的投影。在这里规定用大写字母（如A）表示空间点，它的水平投影、正面投影和侧面投影，分别用相应的小写字母（如a、a′ 和a″）表示。 根据三面投影图的形成规律将其展开，可以得到如图3－1（b）所示的带边框的三面投影图，即得到点A两面投影；省略投影面的边框线，就得到如图3－1（c）所示的A点的三面投影图。 （a） （b） （c） 图3－1 点的两面投影 二、点的坐标 从图3－1（a）、（b）可以看出，Aa、A a′、A a″ 分别为点A到H、V、W面的距离，即： A a = a′a x = a″a y (即a″aYW)，反映空间点A到H面的距离； A a′ =a a x = a″a z ，反映空间点A到V面的距离； A a″ = a′a z = a a y (即aYH)，反映空间点A到W面的距离； 上述即是点的投影与点的空间位置的关系，根据这个关系，若已知点的空间位置，就可以画出点的投影。反之，若已知点的投影，就可以完全确定点在空间的位置。由图3－1中还可以看出： a aYH = a′a z 即a′a⊥OX a′a x = a″aYW 即a′a″⊥OZ a a x = a″a z 这说明点的三个投影不是孤立的，而是彼此之间有一定的位置关系。而且这个关系不因空间点的位置改变而改变，因此可以把它概括为普遍性的投影规律： 1．点的正面投影和水平投影的连线垂直OX轴，即a′a⊥OX； 2．点的正面投影和侧面投影的连线垂直OZ轴，即a′a″⊥OZ； 3．点的水平投影a和到OX轴的距离等于侧面投影a″ 到OZ轴的距离，即a a x = a″a z 。 根据上述投影规律，若已知点的任何两个投影，就可求出它的第三个投影。 例3－1 已知点A的 正面投影a′ 和侧面投影a″（图3－2），求作其水平投影a 。 （a） （b） 图3－2 已知点的两个投影求第三个投影 如图3－2（b）所示，由于a与a′ 的连线垂直于OX轴，所以a一定在过a′ 而垂直于OX轴的直线上。又由于a到OX轴的距离必等于a″ 到OZ轴的距离，因此截取a a x = a″a z ，便求得了a点。 为了作图简便，可自点O作辅助线（与水平方向夹角为45°），以表明a a x = a″a z的关系。 三、点的三面投影规律 三投影面体系可以看成是一个空间直角坐标系，因此可用直角坐标确定点的空间位置。投影面H、V、W作为坐标面，三条投影轴OX、OY、OZ作为坐标轴，三轴的交点O作为坐标原点。 由图3－3可以看出A点的直角坐标与其三个投影的关系： 点A到W面的距离 = Oa x = a′a z = a aYH = x坐标； 点A到V面的距离 = OaYH = a a x = a″az = y坐标； 点A到H面的距离 = Oa z = a′ a x = a″aYW = z坐标。 （a） （b） （c） 图3－3 点的三面投影与直角坐标 用坐标来表示空间点位置比较简单，可以写成A (x，y，z)的形式。 由图3－3（b）可知，坐标x和z决定点的正面投影a′ ，坐标x和y决定点的水平投影a，坐标y和z决定点的侧面投影 a″，若用坐标表示，则为a (x，y，0)，a′ (x，0，z)， a″ (0，y，z)。 因此，已知一点的三面投影，就可以量出该点的三个坐标；相反地，已知一点的三个坐标，就可以量出该点的三面投影。 例3－2 已知点A的坐标（20，10，18），作出点的三面投影，并画出其立体图。 其作图方法与步骤如图3－4所示： 1．画坐标轴，在OX轴上自O向左量取20，定出 a x 。 2．过a x 作OX轴的垂线，并从a x 向下量取a a x =10,得a点，从a x 向上量取a′ a x =10， 得a′ 点。 3．自a′ 点 作OZ轴的垂线，得交点a z ，自az向右量取a z a″ =10，得a″点。 （a） （b） （c） 图3－4 由点的坐标作点的三面投影 立体图的作图步骤如图3－5所示； 1．根据投影图的坐标值，按1∶1的比例沿各轴量取x、y、z尺寸得a x、a y、a z 。 2．过a x、a y、a z在各坐标面上分别引各轴的平行线，得点A的三个投影 a、a′、a″。 3．过a 作aA ∥OZ，过a′ 作a′ A ∥OY，过a″ 作a″A ∥OX，所作三直线的交点即为空间的点A 。 （a） （b） （c） 图3－5 由点的坐标作立体图 五、点的位置 1．在投影面上的点，由于它有一个坐标为0，因此，它的三面投影中，必定有两个投影在投影轴上，另一个投影和其空间点本身重合。例如在V面上的点A，它的y坐标为0。所以，它的水平投影a在OX轴上，侧面投影a″ 在OZ轴上，而正面投影a′ 在V面上与其空间点本身重合为一点，如图3－6（a）所示； 2．在投影轴上的点，由于它有两个坐标为0，因此，它的三面投影中，必定有一个投影在原点上，另两个投影和其空间点本身重合。例如在OZ轴上的点B，它的x、y坐标为0。所以，它的水平投影b在原点，正面投影b′、侧面投影b″ 在OZ轴上与其空间点本身重合为一点，如图3－6（b）所示； 3．在原点上的空间点，由于它有三个坐标都为0，因此，它的三个投影必定都在原点上。如图3－6（c）所示。 （a） （b） （c） 图3－6 特殊位置点的投影 六、两点的相对位置 （一）两点的相对位置 空间两点的相对位置，在投影图中是由它们同面投影的坐标差来判别的，其中左、右由x坐标判别，前、后由y坐标判别，上、下由z坐标判别。 （a） （b） 图3－7 两点的相对位置 如图3－7所示，若已知空间两点的投影，即点A的三个投影a、a′ 、a″ 和点B的三个投影b、b′ 、b″，用A、B两点同面投影坐标差就可判别A、B两点的相对位置。 由于xA > xB，表示B点在A点的右方；zB > zA，表示B点在A点的上方；yA > yB，表示B点在点的A后方。总起来说，就是B点在A点的右、后、上方。 （二）重影点 若空间两点在某一投影面上的投影重合，则这两点是该投影面的重影点。这时，空间两点的某两坐标相同，并在同一投射线上。 当两点的投影重合时，就需要判别其可见性，即两点中哪一点可见，哪一点不可见。 判别可见性时注意：对H面的重影点，从上向下观察，z坐标值大者可见；对W面的重影点，从左向右观察，x坐标值大者可见；对V面的重影点，从前向后观察，y坐标值大者可见。在投影图上不可见的投影加括号表示，如（a′）。 如图3－8中，C、D位于垂直H面的投射线上，c、d重影为一点，则C、D为对H面的重影点，z坐标值大者为可见，图中zC > zD，故c为可见，d为不可见，用c（d）表示。 （a） （b） 图3－8 重影点的投影 第二节 直线的投影 一、直线的投影图和直观图画法 直线的投影一般仍为直线，要作直线的投影图，只要作出直线上两点的投影，并将其同面投影连接，即为直线的投影。同理，只要作出直线上两点的直观图，然后连接其同面投影和空间两点即为直线的直观图。如图3－9所示的直线AB，求作它的三面投影图时，可分别作出A、B两端点的投影（a、a′、a″）、（b、b′、b″），然后将其同面投影连接起来即得直线AB的三面投影图（a b、a′ b′ 、a″b″）。 （a） （b） （c） 图3－9 直线的投影 二、各种位置直线的投影特性 根据直线在三投影面体系中的位置可分为投影面倾斜线、投影面平行线、投影面垂直线三类。前一类直线称为一般位置直线，后两类直线称为特殊位置直线。它们具有不同的投影特性，下面分述如下： （一）投影面平行线 平行于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。平行于V面的称为正平线；平行于H面的称为水平线；平行于W面的称为侧平线。 直线与投影面所夹的角称为直线对投影面的倾角。α、β、γ分别表示直线对H面、V面、W面的倾角。 表2－1为投影面平行线的立体图、投影图及投影特征。 表2－1 投影面平行线的投影特性 名称 正平线（//V） 水平线（//H） 侧平线（//W）   实 例      立 体 图      投 影 图      投 影 特 性 正面投影a′b′反映实长。 正面投影a′b′与OX轴和 OZ轴的夹角α、γ分别为AB对H面和W面的倾角。 （3）水平投影轴ab∥OX轴，侧面投影a″b″∥OZ轴，且都小于实长。 水平投影ef反映实长。 水平投影ef 与OX轴和 OYH的夹角β、γ分别为EF对V面和W面的倾角。 面投影e′f′∥OX轴，侧面投 影e″f″∥OYW，且都小于实长。 侧面投影i//j//反映实长。 （2）侧面投影i″j″与OZ轴和OYW轴的夹角β和α分别为EF对V面和H面的倾角。 （3）正面投影i′j′∥OZ轴，水平投影ij∥OYH，且都小于实长。   从表3－1中可得出投影面平行线的投影特征： 1．直线平行于哪个投影面，它在该投影面上的投影就反映空间线段的实长，并且这个投影和投影轴所夹的角度，就等于空间线段对相应投影面的倾角； 2．其他两个投影都小于空间线段的实长，而且与相应的投影轴平行。 对于投影面平行线的辨认：当直线的投影有两个平行于投影轴，第三投影与投影轴倾斜时，则该直线一定是投影面平行线，且一定平行于其投影为倾斜线的那个投影面。 例3－3 如图3－10所示，已知空间点A，试作线段AB，长度为15，并使其平行V面，与H面倾角α＝30°（只需一解）。 （a） （b） 图3－10 作正平线AB 分析：所求线段AB是正平线。根据正平线的投影特性以及已知条件，可知，ab∥OX，a″b″∥OYW ，a′ b′ =15；a′ b′ 与OX轴的夹角α=30° 作图方法与步骤如图2－21（b）所示： 1．自a′ 作直线与OX轴倾斜30°，并在其上量取a′ b′ =15。a′ b′ 即是所求线段AB的正面投影。 2．过a及a″ 各自作OX及OZ轴的平行线。 3．自b′ 作直线垂直OX及OZ轴，并与上述两平行线相交于b及b″，连接ab及a″b″ 即是所求线段AB的水平投影和侧面投影。 （二）投影面垂直线 垂直于一个投影面且同时平行于另外两个投影面的直线称为投影面垂直线。垂直于V面的称为正垂线；垂直于H面的称为铅垂线；垂直于W面的称为侧垂线； 表3－2为投影面平行线的立体图、投影图及投影特征。 表3－2 投影面垂直线的投影特性 名称 正垂线（⊥V） 铅垂线（⊥H） 侧垂线（⊥W）   实 例      立 体 图      投 影 图     投 影 特 性 （1）正面投影b′(c′)积聚成一点。 （2）水平投影bc，侧面投影b″c″ 都反映实长，且bc⊥OX， b″c″⊥OZ。 （1）水平投影b(g)积聚成一点。 （2）正面投影b′g′，侧面投影b″g″ 都反映实长，且b′g′⊥OX， b″g″⊥OYW。 （1）侧面投影e″(k″)积聚成一点。 （2） 正面投影e′ k′，水平投影ek都反映实长，且e′ k′⊥OZ， ek⊥OYH。   从表3－2中可得出投影面垂直线的投影特征： 1．直线垂直于哪个投影面，它在该投影面上的投影就积聚为一点。 2．其他两个投影都与相应的投影轴垂直，并且都反映空间线段的实长。 对于投影面垂直线的辨认：直线的投影中只要有一个投影积聚为一点，则该直线一定是投影面垂直线，且一定垂直于其投影积聚为一点的那个投影面。 例3－4 如图2－22所示，已知正垂线AB的点A的投影，直线AB长度为10毫米，试作直线AB的三面投影（只需一解）。 （a） （b） 图3－11 作正垂线AB 分析：所求线段AB是正垂线。根据正垂线的投影特性可知，a′b′ 积聚为一点，ab∥OX ，a″b″∥OZ ，且ab = a″b″ =10。 作图方法与步骤如图3－11（b）所示： 1．直线AB的正面投影a′ b′，积聚在a′ 一点。 2．自a（或a″）在OX轴的垂线上取ab（a″b″）=10。 3．由b（或b″）和b′ ，求出b″（或b）。则ab、a″b″ 即是所求正垂线AB的水平投影和侧面投影。 （三）一般位置直线 与三个投影面都处于倾斜位置的直线称为一般位置直线。 如图3－12（a）所示，直线AB与H、V、W面都处于倾斜位置，倾角分别为α、β、γ。其投影如图3－12（b）所示。 （a） （b） 图3—12 一般位置直线 一般位置直线的投影特征可归纳为： 1．直线的三个投影和投影轴都倾斜，各投影和投影轴所夹的角度不等于空间线段对相应投影面的倾角； 2．任何投影都小于空间线段的实长，也不能积聚为一点。 对于一般位置直线的辨认：直线的投影如果与三个投影轴都倾斜，则可判定该直线为一般位置直线。 三、一般位置直线的实长和对投影面的倾角 一般位置直线的投影不反映空间线段的真实长度，也不反映它与各投影面所成夹角的真实大小。但是如果有了空间线段的两个投影，这一线段的空间位置就完全确定了，我们就可以根据这两个投影通过图解法求出线段的实长及其对投影面的倾角。常用的方法是直角三角形法。 图3－13表示用直角三角形法求一般位置线段的实长及其对投影面的倾角的原理。AB为一般位置直线，过端点A作直线平行其水平投影ab并交Bb于C，得直角三角形ABC。在直角三角形ABC中，斜边AB就是线段本身，底边AC等于线段AB的水平投影ab，对边BC等于线段AB的两端点到H面的距离差（Z坐标差），也即等于a′ b′ 两端点到投影轴OX的距离差，而AB与底边AC的夹角即为线段AB对H面的倾角α。 根据上述分析，只要用一般位置直线在某一投影面上的投影作为直角三角形的底边，用直线的两端点到该投影面的距离差为另一直角边，作出一直角三角形。此直角三角形的斜边就是空间线段的真实长度，而斜边与底边的夹角就是空间线段对该投影面的倾角。这就是直角三角形法。 图3－13 直角三角形法 　　　　　　图3－14用直角三角形法求线段实长 及其与投影面的倾角的原理 作图方法与步骤如图3－14所示，用线段的任一投影为底边均可用直角三角形法求出空间线段的实长，其长度是相同的，但所得倾角不同。 在直角三角形法中，直角三角形包含四个因素：投影长、坐标差、实长、倾角。只要知道两个因素，就可以将其余两个求出来。 例3－5 如图3－15（a）所示，已知直线AB的实长L =15mm，及直线AB的水平投影ab和点A的正面投影a′ ，试用直角三角形法求出直线AB的正面投影a′ b′。 （b） 图3—15直角三角形法应用示例 分析：用直线AB的实长L和直线AB的水平投影ab可以作出直角三角形△abA 0，从而得到A、B两点与H面的距离差，由距离差即可确定出b′ 的位置，作a′ 、b′ 连线就是直线AB的正面投影。 作图方法与步骤如图3－15（b）所示： 1．在H面中，自a点作直线垂直于ab，以b点为圆心，以直线AB的实长L为半径作弧与ab的垂线交于A0，连bA0得直角三角形△abA0，该直角三角形中的直角边aA0即为A、B两点距H面的距离差。 2．过b作垂直OX轴的投影连线 ；过a′ 作OX轴的平行线，两线相交于b0′。由b0可向上或向下量取b0′ b1′或b0′ b2′，使之都等于aA0，得到b1′ 、b2′ 两点。 3．连a′ b1/ 和a′ b2′ ，则a′ b1′ 和a′ b2′ 均可为直线AB的正面投影，表明该题有两个解。 四、直线上点的投影 （一）直线上点的投影 点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，反之，若一个点的各个投影都在直线的同面投影上，则该点必定在直线上，如图3－16所示直线AB上有一点C，则C点的三面投影c、c′、c″ 必定分别在该直线AB的同面投影ab、a′ b′、a″b″ 上。 （a） （b） 图3－16 直线上点的投影 （二）直线投影的定比性 直线上的点分割线段之比等于其投影之比，这称为直线投影的定比性。 在图3－16中，点C在线段AB上，它把线段AB分成AC和CB两段。根据直线投影的定比性，AC：CB = ac：cb = a′ c′：c′ b′ = a″c″：c″b″ 。 例3－6 如图3－17（a），已知侧平线AB的两投影和直线上K点的正面投影k′，求K点的水平投影k 。 （a） （b） （c） 图3—17 求直线上点的投影 方法一：根据点的各个投影必定在该直线的同面投影上这一性质。 作图方法与步骤如图2－28（b）所示： 1．作出AB的侧面投影a′ b′ ，同时作出K点的侧面投影k″ 。 2．根据点的投影规律，由k′、k″ 求出k 。 方法二：根据直线投影的定比性这一性质。 作图方法与步骤如图2－28（c）所示： 1．过a作任意辅助线，在辅助线上量取aK0 = a′ k′ ，K0 B0 = k′ b′。 2．连接B0b，并由K0作K0 k∥B0b，交ab于k点，k即为所求的水平投影。 五、两直线的相对位置 两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种情况。 （一）两直线平行 若空间两直线平行，则它们的各同面投影必定互相平行。如图3－18所示，由于AB∥CD，则必定ab∥cd、 a′ b′∥c′ d′、a″b″∥c″d″ 。反之，若两直线的各同面投影互相平行，则此两直线在空间也必定互相平行。 （a） （b） 图3－18 两直线平行 图3－19 判断两直线是否平行 在投影图上判定两直线是否平行；若两直线处于一般位置时，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是否互相平行即可判定；但当两平行直线平行于某一投影面时，则需观察两直线在所平行的那个投影面上的投影是否互相平行才能确定。如图3－19所示，两直线AB、CD均为侧平线，虽然ab∥cd、 a′b′∥c′d′，但不能断言两直线平行，还必需求作两直线的侧面投影进行判定，由于图中所示两直线的侧面投影a″b″ 与c″d″相交，所以可判定直线AB、CD不平行。 （二）两直线相交 若空间两直线相交，则它们的各同面投影必定相交，且交点符合点的投影规律。如图3－20所示，两直线AB、CD相交于K点，因为K点是两直线的共有点，则此两直线的各组同面投影的交点 k、 k′、k″ 必定是空间交点K的投影。反之，若两直线的各同面投影相交，且各组同面投影的交点符合点的投影规律，则此两直线在空间也必定相交。 （a） （b） 图3－20 两直线相交 在投影图上判定两直线是否相交：若两直线均为一般位置线时，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是否相交且交点是否符合点的投影规律即可判定；但当两直线中有一条直线为投影面平行线时，则需观察两直线在该投影面上的投影是否相交且交点是否符合点的投影规律才能确定；或者根据直线投影的定比性进行判断。如图2－32所示，两直线AB、CD两组同面投影ab与cd、a′ b′ 与c′ d′ 虽然相交，但经过分析判断，可判定两直线在空间不相交。 （a） （b） 图3－21 两直线在空间不相交 （三）两直线交叉 两直线既不平行又不相交，称为交叉两直线。 若空间两直线交叉，则它们的各组同面投影必不同时平行，或者它们的各同面投影虽然相交，但其交点不符合点的投影规律。反之亦然。如图3－22（a）所示。 空间交叉两直线的投影的交点，实际上是空间两点的投影重合点。利用重影点和可见性，可以很方便地判别两直线在空间的位置。在图3－22（b）中，判断AB和CD的正面重影点 k′（l′）的可见性时，由于K、L两点的水平投影k比l的y坐标值大，所以当从前往后看时，点K可见，点L不可见，由此可判定AB在CD的前方。同理，从上往下看时，点M可见，点N不可见，可判定CD在AB的上方。 （a） （b） 图3－22 两直线交叉 六、直角投影定理 当互相垂直的两直线同时平行于同一投影面时，在该投影面的投影仍为直角；当互相垂直的两直线都不平行于投影面时，投影不是直角。除了以上两种情况外，这里将要讨论一种情况，作图时是经常遇到的，它是处理一般垂直问题的基础，即一边平行于投影面的直角的投影——直角投影定理。 空间垂直相交的两直线，若其中的一直线平行于某投影面时，则在该投影面的投影仍为直角。反之，若相交两直线在某投影面上的投影为直角，且其中有一直线平行于该投影面时，则该两直线在空间必互相垂直。这就是直角投影定理。 如图3－23所示。已知AB⊥BC，且AB为正平线，所以ab必垂直于bc 。 （a） 　　　　　　　　　　（b） 图3－23 垂直相交的两直线的投影 例2－7 求点A到直线BC的距离， 如图3－24（a） 分析：已知直线BC为水平线，根据直角投影定理，由A点作BC的垂线，其水平投影为直角。 作图方法与步骤如图3－24（b）所示： 1．过a点作bc的垂线，得交点k，即垂足的水平投影； 2．过k作OX轴的垂线，与b′ c′ 交于k′，即垂足的正面投影； 3．用直角三角形法求出距离实长，a a0即为所求。 （a） （b） 图3－24 求点到直线的距离 例2－8 如图3－24（a）所示，已知菱形ABCD的一条对角线AC为一正平线，菱形的一边AB位于直线AM上，求该菱形的投影图。 分析：菱形的两条对角线互相垂直，且其交点平分对角线的线段长度。 作图方法与步骤如图3－24（b）所示： 1．在对角线AC上取中点K，即使a′ k′ = k′ c′，ak = kc。K点也必定为另一对角线的中点。 2．由于AC是正平线，所以另一对角线的正面投影必定垂直AC的正面投影a′c′。因此过k′ 作k′ b′⊥a′ c′，并与a′ m′交于b′，由k′ b′求出kb。 3．在对角线KB的延长线上取一点D，使KD = KB，即k′ d′ = k′ b′，kd = kb，则b′ d′和bd即为另一对角线的投影，连接各点即为菱形ABCD的投影。 （a） （b） 图3－24 求菱形的投影图 第三节 平面的投影 一、平面的表示法及投影图的画法 平面的空间位置可由下列任一组元素来确定： 1．不在同一直线上的三点。 2．一直线和直线外一点。 3．相交两直线。 4．平行两直线。 5．任意平面图形，如三角形、四边形、圆形等。 如图3－25所示。 （a） （b） （c） （d） （e） 图3－25 用几何元素表示平面 以上表示平面的五组几何元素之间可以互相转换。为了解题的方便，常常用一个平面图形（如三角形）表示平面。 二、各种位置平面的投影特性 根据平面在三投影面体系中的位置可分为投影面倾斜面、投影面平行面、投影面垂直面三类。前一类平面称为一般位置平面，后两类平面称为特殊位置平面。它们具有不同的投影特性，下面分述如下： （一）投影面垂直面 垂直于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面垂直面。垂直于V面的称为正垂面；垂直于H面的称为铅垂面；垂直于W面的称为侧垂面。平面与投影面所夹的角度称为平面对投影面的倾角。α、β、γ分别表示平面对H面、V面、W面的倾角。 表3－3为投影面垂直面的立体图、投影图及投影特征。 表3－3 投影面垂直面的投影特性。 名称 正垂面（⊥V） 铅垂面（⊥H） 侧垂面（⊥W）   实 例      立 体 图      投 影 图      投 影 特 性 （1）正面投影积聚成一条直线，它与OX轴和OZ轴的夹角α、γ分别为平面对H面和W面的真实倾角。 （2）水平投影和侧面投影都是类似形。 （1）水平投影积聚成一条直线，它与OX轴和OYH的夹角β、γ分别为对平面V面和W面的真实倾角。 （2）正面投影和侧面投影都是类似形。 （1）侧面投影积聚成一条直线，它与OZ轴和OYW 轴的夹角β和α分别为平面对V面和H面的真实倾角。 （2）正面投影和水平投影都是类似形。  从表3－3中可得出投影面垂直面的投影特征： 1．平面垂直哪个投影面，它在该投影面上的投影积聚为一直线且与投影轴倾斜，并且这个投影和投影轴所夹的角度，就等于空间平面对相应投影面的倾角； 2．其他两个投影都是空间平面的类似形。 对于投影面垂直面的辨认：如果空间平面在某一投影面上的投影积聚为一条与投影轴倾斜的直线，则此平面垂直于该投影面。 例3－9 如图3－26（a）所示，四边形ABCD垂直于V面，已知H面的投影abcd及B点的V面投影b′，且于H面的倾角α= 45°，求作该平面的V面和W面投影。 （a） （b） （c） 图3－26 求作四边形平面ABCD的投影 分析：因为四边形ABCD是正垂面，其正面投影积聚成一倾斜直线，所以做此倾斜直线与OX轴的夹角α= 45°，再根据其水平投影求得正面投影a′ b′ c′ d′ ，然后根据两投影可求得侧面投影。 作图方法与步骤如图3－26（b）、（c）所示： 1．过b′ 作与OX轴成45°的线，使其与自a、b、c、d各点所作的OX轴垂线分别交于a′、c′、d′ 。如图3－26（b）所示。 2．由四边形ABCD的正面投影a′ b′ c′ d′ 和水平投影abcd求侧面投影，得a″b″c″d″。如 图3－26（c）所示。 （二）投影面平行面 平行于一个投影面且同时垂直于另外两个投影面的平面称为投影面平行面。平行于V面的称为正平面；平行于H面的称为水平面；平行于W面的称为侧平面； 表3－4为投影面平行面的立体图、投影图及投影特征。 表3－4 投影面平行面的投影特性 名称 正平面（//V） 水平面（//H） 侧平面（//W）   实 例      立 体 图      投 影 图     投 影 特 性 （1）正面投影反映实形。 （2）水平投影积聚成直线且平行于OX轴。 （3）侧面投影积聚成直线且平行于OZ轴。 （1）水平投影反映实形。 （2）正面投影积聚成直线且平行于OX轴。 （3）侧面投影积聚成直线且平行于 OYW轴。 （1）侧面投影反映实形。 （2） 正面投影积聚成直线且平行于OZ轴。 （3）侧面投影积聚成直线且平行于OYH 轴。   从表3－4中可得出投影面平行面的投影特征： 1．平面平行于哪个投影面，它在该投影面上的投影反映空间平面的实形。 2．其他两个投影都积聚为直线，而且与相应的投影轴平行。 对于投影面平行面的辨认：当平面的投影有两个分别积聚为平行于不同投影轴的直线，而另一个投影为平面形，则此平面平行于该投影所在的那个平面。 （三）一般位置平面 与三个投影面都处于倾斜位置的平面称为一般位置平面。 例如平面△ABC与H、V、W面都处于倾斜位置，倾角分别为α、β、γ。其投影如图3－27所示。 一般位置平面的投影特征可归纳为：一般位置平面的三面投影，既不反映实形，也无积聚性，而都为类似形。 　　　　　　　　 图3－27 一般位置平面 对于一般位置平面的辨认：如果平面的三面投影都是类似的几何图形的投影，则可判定该平面一定是一般位置平面。 四、平面上的直线和点 （一）平面上的点 点在平面上的几何条件是：点在平面内的一直线上，则该点必在平面上。因此在平面上取点，必须先在平面上取一直线，然后再在该直线上取点。这是在平面的投影图上确定点所在位置的依据。如图3－27所示，相交两直线AB、AC确定一平面P，点S取自直线AB，所以点S必在平面P上。 （a） （b） 图3－28 平面上的点 （二）平面上的直线 直线在平面上的几何条件是： 1．若一直线通过平面上的两个点，则此直线必定在该平面上。 2．若一直线通过平面上的一点并平行于平面上的另一直线，则此直线必定在该平面上。 上述两条件之一，是在平面的投影图上选取直线的作图依据。 如图3－29所示，相交两直线AB、AC确定一平面P，分别在直线AB、AC上取点E、F，连接EF，则直线EF为平面P上的直线。作图方法见图3－29（b）所示。 （a） （b） 图3－29 平面上的直线 再如图3－30所示，相交两直线AB、AC确定一平面P，在直线AC上取点E，过点E作直线MN，则直线MN为平面P上的直线。作图方法见图3－30（b）所示。 （a） （b） 图3－30 平面上的直线 例3－10 如图3－31（a）所示，试判断点K和点M是否属于△ABC所确定的平面。 （a） （b） （c） 图3－31 判断点是否属于平面 分析：点K和点M若属于△ABC，则它们必分别属于平面△ABC上的某一直线，否则就不属于该平面。 作图方法与步骤如图3－31（b）、（c）所示： 1．连a′ m′ 交b′ c′ 于d′ ，由d′ 在b c上求得d ，连a、d，作出属于△ABC的直线AD，从图2－44（b）中看到延长a d后与m相交，即m在a d上，所以可判定点M属于平面△ABC。 2．同理，连c′ k′ 交a′ b′ 于e′ ，由e′ 在a′ b′ 上求得e ，连c、e ，得到属于△ABC的另一直线CE ，从图3－31（c）中看到，c e连线未过k ，故K点不在直线CE上，表明点K不属于平面△ABC。 （三）平面上的投影面平行线 属于平面且又平行于一个投影面的直线称为平面上的投影面平行线。平面上的投影面平行线一方面要符合平行线的投影特性，另一方面又要符合直线在平面上的条件。如图3－32所示，过A点在平面内要作一水平线AD，可过a′ 作 a′ d′ ∥OX轴，再求出它的水平投影ad，a′ d′ 和ad即为△ABC上一水平线AD的两面投影。如过C点在平面内要作一正平线CE，可过c作c e∥OX轴，再求出它的正面投影c′ e′， c′ e′ 和ce即为△ABC上一正平线CE的两面投影。 图3－32 平面上的投影面平行线 例3－11 △ABC平面如图3－33（a）所示，要求在△ABC平面上取一点K ，使K点在A点之下15mm ，在A点之前10mm ，试求出K点的两面投影。 （a） （b） 图3－33 平面上取点 分析：因为K点在△ABC平面上，在A点之下15mm，可作平面上的水平线MN；在A点之前10mm，可作平面上的正平线EF。K点必在MN和EF两线的交点上。 作图方法与步骤如图2－46（b）所示： 1．从a′ 向下取15mm作m′ n′ ∥OX轴，求出直线MN的水平投影mn ； 2．从a向前取10mm作e f∥OX轴，求出直线EF的正面投影e′ f′； 3．m′ n′ 和e′ f′ 交于k′ ，m n和e f交于k ，k k′ 即为所求。 第四节 直线与平面、平面与平面的相对位置 一、直线与平面、平面与平面平行 1．直线与平面平行 由几何定理可知：若一直线平行与平面内任一直线，则在直线与该平面平行；反之若一直线与一平面平行，则在此平面上必能作出与该直线平行的直线，如图3-34所示。  图3－34 直线与平面平行 例3－12 已知条件如图3-35（a）所示，作水平线EF，使EF平行与平面ABC。  图3－35 过E点作水平线平行平面ABC 2．平面与平面平行 由几何定理可知：一平面内的两相交直线分别平行于另一平面内的两相交直线，则这两平面平行。 二、直线与平面、平面与平面相交 1．投影面垂直线与一般位置平面相交。如图3-36所示。  图3－36 投影面垂直线与一般位置平面相交 2．一般位置直线与特殊位置平面相交。如图3-37所示。  图3－37 一般位置直线与特殊位置平面相交 3．一般位置平面与特殊位置平面相交。如图3-38所示。  图3－38 一般位置平面与特殊位置平面相交 第五节 用换面法求直线段的实长和平面的实形 一、换面法的概念 空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面代替原来的投影面，使几何元素在新投影面上的投影对于解题最为简便，这种方法称为变换投影面法，简称换面法。如图3－39所示为一处于铅垂位置的三角形平面在V／H体系中不反映实形，现作一个与H面垂直的新投影面V1平行于三角形平面，组成新的投影面体系V1／H，再将三角形平面向V1 面进行投影，这时三角形平面在V1面上的投影就反映该平面的实形。 图3－39 换面法的原理 二、点的变换 点是最基本的几何元素，因此必须首先研究在变化投影面时，点的投影变换规律。 必须注意，在进行投影变换时，新投影面是不能任意选择的，首先要使空间几何元素在新投影面上的投影能够帮助我们更方便地解决问题。并且新投影面必须要和不变的投影面构成一个直角两面体系，这样才能应用正投影原理作出新的投影图来。因而新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： 1．新投影面必须垂直于原投影面体系中的一个不变的投影面。 2．新投影面必须使空间几何元素处于有利于解题的位置。 （一）点的一次换面 根据选择新投影面的条件可知，每次只能变换一个投影面。变换一个投影面即能达到解题要求的称为一次换面。 1．变换V面，即V／H→V1／H 图3－40中a、a′ 为点A在V／H 体系中的投影，在适当的位置设一个新投影面V1代替V，必须使V1⊥H，从而组成了新的投影体系V1／H。 V1与H 的交线 X1为新的投影轴。由A 向V1作垂线得到新投影面上的投影a1′ ，而水平投影仍为a 。令V1面绕X1轴旋转到与H面重合的位置并展开，则a和a1′ 之间有如下关系： （1）在投影体系中，新投影a1′ 和不变投影a的连线垂直 X1轴，即a a1′⊥X1。 （2）点的新投影a1′ 到新投影轴X1的距离等于被代替的投影a′ 到旧投影轴X的距离，即a′ ax1＝a′ ax＝z坐标。 （a） （b） 图3－40 变换V面 根据上述关系，点的一次变换作图步骤如下： （１）作新投影轴X1； （2）由不变投影a向X1 作垂线相交于a x1； （3）延长a a x1 截取a x1 a1′ = a′ a x ，得A点在V1面上的投影a1′ 。 2．变换H面，即V／H→V／H1 从图3－41中看出，用H1代替H组成新投影面体系V／H1，由于V面不变，所以点到V面的距离不变。即a1a x1 = aa x = y坐标。 （a） （b） 图3－41 变换H面 求a1 的作图步骤如下： （1）作新投影轴X1； （2）由a′ 作X1 轴垂线交X1于a x1； （3）延长a/a x1 截取a x1 a1= a a x ，得A点在H1面上的投影a1。 综上所述，换面法中点的变换规律如下： （1）点的新投影和不变投影的连线必垂直于新投影轴。 （2）点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的旧投影到旧投影轴的距离。 （二）点的二次换面 由于新投影面的建立必须垂直于原有的一个投影面，因此在运用换面法解决实际问题时，有时变换一次投影面还不能解决问题，而必须依次变换两次，这种变换两次投影面的方法就称为二次换面。 点的二次变换的原理和方法与第一次变换基本相同，只是将作图过程重复一次，但要注意新、旧体系中坐标的量取，其作图方法和步骤如图3－42所示： （1）先变换一次，用V1面代替V面，组成新投影体系V1／H，求得新投影a1′ 。 （2）在V1／H投影体系的基础上，再变换一次，用H2面代替H面组成第二个新投影体系V1／H2，求得新投影a2 。 （也可以根据需要，先变换H面，再变换V面，即由V／H→V／H1，再由V／H1→V2／H1）。 （a） （b） 图3－42 点的二次变换 二次变换时必须注意，新投影面的设置必须符合前述两个原则，而且必须交替变换，若第一次用V1面代替V面，组成V1／H新体系，第二次变换则应用H2面代替H面组成V1／H2体系，可如此交替多次变换达到解题目的。 二、直线的投影变换 直线是由两点决定的，因此当直线变换时，只要将直线上任意两点的投影加以变换，即可求得直线的新投影。 在解决实际问题时，根据实际需要经常要将一般位置线变换成平行或垂直于新投影面的位置。 （一）直线的一次换面 1．将一般位置线变换为投影面平行线 当一般位置线变换为投影面平行线时，就可以求出线段的实长和对投影面的倾角。 如图3－43所示，AB为一般位置线，如要变换为正平线，则必须变换V面，使新投影面V1面平行AB，这样AB在V1面上的投影a1′ b1′ 将反映AB的实长，a1′ b1′ 与X1轴的夹角反映直线对H面的倾角α。具体作图步骤如下： （1）作新投影轴X1∥ab 。 （2）分别由a、b两点作X1轴的垂线，与X1轴交于a x1、b x1 ，然后在垂线上量取 a1′ a x1 = a′ a x ，b1′ b x1 = b′ b x ，得到新投影a1′ 、b1′ 。 （3）连接a1′、b1′ 得投影a1′b1′ ，它反映AB的实长，与X1轴的夹角反映直线对H面的倾角α。 （a） （b） 图3－43 一般位置线变换为投影面平行线（求α角） 如果要求出AB对V面的倾角β，则必须变换H面，使新投影面H1面平行AB，作图时使X1轴∥a1′ b1′ ，如图3－44所示。 图3－44一般位置线变换为投影面平行线（求β角） 投影面平行线变换为投影面垂直线 如图3－45所示，将正平线AB变换为垂直线。根据投影面垂直线的投影特性，反映实长的投影必定为不变投影，只要变换水平投影面，即作新投影面H1面垂直AB，这样AB在H1面上的投影重影为一点 。具体作图步骤如下： （1）作新投影轴X1⊥ a′ b′ 。 （2）过a′ b′ 作X1轴的垂线，与X1轴交于aX1、bX1 ，然后在垂线上量取 a1a x1 = aa x = b1b x1 = bb x ，得到新投影a1（b1），这时a1与b1 重影为一点。 （a） （b） 图3－45 正平线变换为投影面垂直线 如果要求将水平线AB变换为垂直线，只要变换正投影面，即作新投影面V1面垂直AB，这样AB在V1面上的投影重影为一点。如图3－46所示，具体作图步骤与上类同。 （a） （b） 图3－46 水平线变换为投影面垂直线 （二）直线的二次换面 直线的二次换面可以将一般位置线变换为投影面垂直线。第一次将一般位置线变换为投影面平行线，第二次将投影面平行线变换为投影面垂直线。 如图3－47所示，AB为一般位置线，如先变换V面，使V1面平行AB，则AB在V1／H体系中为投影面平行线，再变换H面，作H2面垂直AB，则AB在V1／H2体系中为投影面垂直线。具体作图步骤如下： 1．先作X1轴∥ab，求得AB在V1面上的新投影a1′ b1′ 。 2．再作X2轴⊥a1′ b1′ ，得出AB在H2面上的投影a2（b2），这时a2与b2重影为一点。 （b） 图3－47 一般位置线变换为投影面垂直线 三、平面的投影变换 平面的投影变换，要将决定平面的一组几何要素的投影加以变换，即可求得平面的新投影。根据具体要求，可以将平面变换成平行或垂直于新投影面的位置。 （一）平面的一次换面 1．将一般位置面变换为投影面垂直面 当一般位置面变换为投影面垂直面时，就可以求出平面对投影面的倾角。 如图3－48所示，△ABC为一般位置面，如要变换为正垂面，则必须取新投影面V1代替V面，V1面既垂直于△ABC，又垂直于H面，为此可在三角形上先作一水平线，然后作V1面与该水平线垂直，则它也一定垂直H面。具体作图步骤如下： （1）在△ABC上作一水平线CD，其投影为c′ d′ 和cd。 （2）作X1轴⊥cd 。 （3）作△ABC在V1面上的投影△a1′b1′c1′ ，而a1′、、b1′ 、c1′ 重影为一直线，它与X1轴的夹角反映△ABC对H面的倾角α。 （a） （b） 图3－48 一般位置平面变换为投影面垂直面（求α角） 如果要求△ABC 对V面的倾角β，可在此三角形平面上先作一正平线AE，然后作H1面垂直AE，则△ABC在H1面上的投影为一直线，它与X1轴的夹角反映△ABC对V面的倾角β。具体作图步骤如图3－49所示。 图3－49 一般位置平面变换为投影面垂直面（求β角） 2．将投影面垂直面变换为投影面平行面 如图3－50所示为铅垂面△ABC，要求变换为投影面平行面。根据投影面平行面的 投影特性，重影为一直线的投影必定为不变投影，因此可以变换V面，使新投影面V1平行△ABC，这样△ABC在V1面上的投影△a1′ b1′ c1′ 反映实形。具体作图步骤如下： （1）作X1轴∥abc。 （2）求出点A、B、C在V1面上的新投影a1′、b1′、c1′ ，则△a1′ b1′ c1′ 即为所求实形。 （a） （b） 图3－50 垂直面变换为平行面 （二） 平面的二次换面 平面的二次换面可以将一般位置面变换为投影面垂直面。第一次将一般位置面变换为投影面垂直面，第二次将投影面垂直面变换为投影面平行面。 如图3－51（a）所示为△ABC为一般位置面，为了求出它的实形，必须变换两次，先将△ABC变换为垂直面，再变换为平行面。具体作图步骤如下： （a） （b） 图3－51 一般位置面变换为投影面垂直面 △ABC上先作一水平线AD，新投影面V1垂直于AD，则X1轴⊥ad。然后作出 △ABC在V1面上的新投影△a1′ b1′ c1′ ，它重影为一直线。 2．作平行于△ABC且垂直于V1面的新投影面H2 ，则轴X2∥a1′ b1′ c1′，然后作出△ABC在H2面上的新投影△a2b2c2 ，即为所求实形。 同理，也可以先变换H面，在此基础上再变换一次V面，如图3－51（b）所示， △a2′b2′c2′ 为所求实形。 四、换面法投影变换应用举例 机械制图中，常用换面法解决作图时遇到的许多有关距离和夹角的几何问题，下面通过例题来说明。 例3－13 求C点到AB直线的距离。 分析：点到直线的距离就是点到直线的垂线实长。如图3－52（a），为了便于作图，可先将直线AB变换成投影面平行线，然后利用直角投影定理从C点向AB作垂线，得垂足K，再求出CK实长。也可将直线AB变换成投影面垂直线，C点到AB的垂线CK为投影面平行线，在投影图上反映实长。 （a） （b） 图3－52 求点到直线的距离 作图方法与步骤如图3－52(b)所示： （1）将直线AB变换成H1面的平行线，C点在H1面上的投影为c1。 （2）再将直线AB变换成V2面的垂直线，AB在V2面上的投影重影为a2′b2′ ，C点在 V2面上的投影为c2′ 。 （3）过c1作c1 k1⊥a1 b1 ，即c1 k1 ∥X2轴得k1 ，k2′ 与a2′b2′ 重影，连接c2′、k2′ ，c2′k2′ 即反映C点到AB直线的距离。 如果要求出CK在V／H体系中的投影c′k′ 和c k，可根据c2′k2′ 、c1 k1 返回作出。 例3－14 求D点到平面△ABC的距离。 分析：求D点到平面△ABC的距离，可归结为从D点作△ABC的垂线，求出垂足K，D点到K点的距离即为D点到△ABC的距离，如图3－53（a）所示。如将一般位置平面△ABC变换为垂直面，D点到△ABC的垂线为平行线。它的投影反映实长，此即为D点到平面△ABC的距离。 （a） （b） 图3－53 求点到平面的距离 作图方法与步骤如图3－53 (b)所示： （1）将平面△ABC变换成H1面的垂直面（也可变换成V1面的垂直面），△ABC 在H1面上的投影重影为一直线段a1 b1 c1，D点在H1面上的投影重影为 d1 。 （2）从d1 作a1 b1 c1的垂线，求出交点k1 ，因a1 b1 c1具有重影性，所以 k1 点即为垂足K在H1面上的投影，d1 k1的长度即为点到平面的距离。 （3）为了作出DK在V／H体系中的投影，可根据线面垂直的投影特性作d′k′∥X1轴，求出k′ 点，再根据k1 和k′ 求出k，连接d点和k点即得DK的水平投影d k。 例3－15 求交叉两直线AB、CD间的距离。 分析：两交叉直线间的距离就是它们之间公垂线的长度。如图3－54（a）所示。如果将两交叉直线之一（如AB）变换成投影面垂直线，则公垂线MK必平行于新投影面，在该投影面上的投影反映实长，而且与另一直线在新投影面上的投影互相垂直。 （a） （b） 图3－54 求两交叉直线间的距离 作图方法与步骤如图3－54 (b)所示： （1）将直线AB二次变换成垂直线，其在H2面上的投影为a2b2。直线CD也随之变换，在H2面上的投影为c2d2。 （2）从a2b2作m2k2⊥c2d2,，m2k2即为公垂线MK在H2面上的投影，它反映AB、CD间的距离实长。 如果要求出MK在V／H体系中的投影m k、m′k′ ，可根据m2k2、m1′k1′ 返回作出。 例2－16 求两平面△ABC 、△ABD之间的夹角。 分析：由几何定理可知两平面间的夹角以二面角的平面角来度量。此平面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线间所夹的角度。如图3－55(a)所示。 在投影图中，当两平面的交线垂直于某一投影面时，它们在该投影面上的投影积聚成两条直线，这两条直线间的夹角就等于所求两面角的真实大小。 （a） （b） 图2－55 求两平面之间的夹角 作图方法与步骤如图2－64(b)所示： （1）两平面的交线AB进行一次变换成平行线 a1′b1′ 。两平面也随之变换为 △a1′b1′c1′ 和△a1′b1′d1′ 。 （2）a1/b1/ 进行二次变换成垂直线（积聚为一点），平面△a1′b1′c1′ 和△a1′b1′d1′ 积聚为直线，此两条直线间的夹角即为所求。