第二章 投影的基本知识 第一节 投影法与正投影的基本性质 一、投影法与投影的概念 在日常生活中，人们看到太阳光或灯光照射物体时，在地面或墙壁上出现物体的影子，这就是一种投影现象。人们对这类现象进行了长期的观察和研究，建立了投影法。我们把光 线称为投射线(或叫投影线)，地面或墙壁称为投影面，影子称为物体在投影面上的投影。 下面进一步从几何观点来分析投影的形成。设空间有一定点S和任一点A，以及不通过点S和点A的平面P，如图2－1所示，从点S经过点A作直线SA，直线SA必然与平面P相交于一点a，则称点a为空间任一点A在平面P上的投影，称定点S为投影中心，称平面P为投影面，称直线SA为投影线。据此，要作出空间物体在投影面上的投影，其实质就是通过物体上的点、线、面作出一系列的投影线与投影面的交点，并根据物体上的线、面关系，对交点进行恰当的连线。 如图2－2所示，作△ABC在投影面P上的投影。先自点S过点A、B、C分别作直线SA、SB、SC与投影面P的交点a、b、c，再过点a、b、c作直线，连成△abc ，△abc即为空间的△ABC在投影面P上的投影。 上述这种用投射线（投影线）通过物体，向选定的面投影，并在该面上得到图形的方法称为投影法。 图2－1 投影法的概念 图2－2 中心投影法 二、投影法的种类 投影法分为中心投影法和平行投影法两种。 （一）中心投影法 投影中心距离投影面在有限远的地方，投影时投影线汇交于投影中心的投影法称为中心投影法，如图2－2所示。 中心投影法的原理和人眼成像的原理一样，因此，用中心投影法绘制的图形有立体感，但是这种图形不能真实地反映物体的形状和大小，故机械图样不采用这种投影法绘制，而工程上常用这种方法绘制建筑物的透视图。 （二）平行投影法 投影中心距离投影面在无限远的地方，投影时投影线都相互平行的投影法称为平行投影法，如图2－3所示。 根据投影线与投影面是否垂直，平行投影法又可以分为两种： 1．斜投影法——投影线与投影面相倾斜的平行投影法，如图2－3（a）所示。 2．正投影法——投影线与投影面相垂直的平行投影法，如图2－3（b）所示。 （a） 斜投影法 （b） 正投影法 图2－3 平行投影法 由于正投影法能够表达物体的真实形状和大小，绘制方法也较简单，所以在工程上普遍采用，已成为机械制图的基本原理与方法。 三、正投影的基本性质 （一）真实性 　　当直线段平行于投影面时，直线段与它的投影及过两端点的投影线组成一矩形，因此，直线的投影反映直线的实长。当平面图形平行与投影面时，不难得出，平面图形与它的投影为全等图形，即反映平面图形的实形。由此我们可得出：平行与投影面的直线或平面图形，在该投影面上的投影反映线段的实长或平面图形的实形，这种投影特性称为真实性。  图2－4 直线和平面的真实性 2．积聚性 　　　当直线或平面图形垂直于投影面时，它们在该投影面上的投影积聚成一点或一直线，这种投影特性称为积聚性。  图2－4 直线和平面的积聚性 3．类似性 　　当直线或平面倾斜于投影面时，则直线的投影小于直线的实长，平面的投影是小于平面实形的类似形。类似形并不是相似形，它和原图形只是边数相同、形状类似。  图2－5 直线和平面的类似性 正投影的这三个基本性质即线面的投影特性是画图的依据，应熟练掌握。 第二节 三视图的形成与投影规律 在机械制图中，通常假设人的视线为一组平行的，且垂至于投影面的投影线，这样在投影面上所得到的正投影称为视图。 一般情况下，一个视图不能确定物体的形状。如图2－6所示，两个形状不同的物体，它们在投影面上的投影都相同。因此，要反映物体的完整形状，必须增加由不同投影方向所 得到的几个视图，互相补充，才能将物体表达清楚。工程上常用的是三视图。 图2－6 一个视图不能确定物体的形状 一、三投影面体系与三视图的形成 （一）三投影面体系的建立 三投影面体系由三个互相垂直的投影面所组成，如图2－7所示。 在三投影面体系中，三个投影面分别为： 正立投影面：简称为正面，用V表示； 水平投影面：简称为水平面，用H表示； 侧立投影面：简称为侧面，用W表示。 三个投影面的相互交线，称为投影轴。它们分别是： OX轴：是V面和H面的交线，它代表长度方向； OY轴：是H面和W面的交线，它代表宽度方向； OZ轴：是V面和W面的交线，它代表高度方向； 三个投影轴垂直相交的交点O，称为原点。 图 图2－7 三投影面体系 （二）三视图的形成 将物体放在三投影面体系中，物体的位置处在人与投影面之间，然后将物体对各个投影面进行投影，得到三个视图，这样才能把物体的长、宽、高三个方向，上下、左右、前后六个方位的形状表达出来，如图2－8（a）所示。三个视图分别为： 主视图：从前往后进行投影，在正立投影面（V面）上所得到的视图。 俯视图：从上往下进行投影，在水平投影面（H面）上所得到的视图。 主视图：从前往后进行投影，在侧立投影面（W面）上所得到的视图。 （a） （b） （c） （d） 图2－8 三视图的形成遇展开 （三）三投影面体系的展开 在实际作图中，为了画图方便，需要将三个投影面在一个平面（纸面）上表示出来，规定：使V面不动，H面绕OX轴向下旋转90°与V面重合， W面绕OZ轴向右旋转90°与V面重合，这样就得到了在同一平面上的三视图，如图2－8（b）所示。可以看出，俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右方。在这里应特别注意的是：同一条OY轴旋转后出现了两个位置，因为OY是H面和W面的交线，也就是两投影面的共有线，所以OY轴随着H面旋转到OYH的位置，同时又随着W面旋转到OYW的位置。为了作图简便，投影图中不必画出投影面的边框，如图2－8（c）所示。由于画三视图时主要依据投影规律，所以投影轴也可以进一步省略，如图2－8（d）所示。 二、三视图的投影规律 从图2－9可以看出，一个视图只能反映两个方向的尺寸，主视图反映了物体的长度和高度，俯视图反映了物体的长度和宽度，左视图反映了物体的宽度和高度。由此可以归纳出三视图的投影规律： 主、俯视图“长对正”（即等长）； 主、左视图“高平齐”（即等高）； 俯、左视图“宽相等”（即等宽）； 三视图的投影规律反映了三视图的重要特性，也是画图和读图的依据。无论是整个物体还是物体的局部，其三面投影都必须符合这一规律。 图2－9 视图间的“三等”关系 三、三视图与物体方位的对应关系 物体有长、宽、高三个方向的尺寸，有上下、左右、前后六个方位关系，如图2－10（a）所示。六个方位在三视图中的对应关系如图2－10（b）所示。 主视图反映了物体的上下、左右四个方位关系； 俯视图反映了物体的前后、左右四个方位关系； 左视图反映了物体的上下、前后四个方位关系。 （a）立体图 （b）投影图 图2－10 三视图的方位关系 在这些方位关系中，上下、左右关系较易判别，只有俯视图和左视图的前后关系容易弄错。应该注意：以主视图为中心，俯视图、左视图靠近主视图的一侧为物体的后面，远离主视图的一侧为物体的前面。 第三节 基本体三视图的画法与识读 任何物体都可以看成是由一些形状规则且简单的形体组成，这样的形体称为基本体。 基本体分为平面立体和曲面立体两类。表面都是由平面所构成的形体，称为平面体；表面中含有曲面的形体称为曲面体。 一、平面体三视图的画法和识读 常见的平面体有：棱柱、棱锥、棱台。 （一）棱柱 棱柱由两个底面和棱面组成，棱面与棱面的交线称为棱线，棱线互相平行。棱线与底面 垂直的棱柱称为正棱柱。 以正六棱柱为例。如图2－11（a）所示为一正六棱柱，由上、下两个底面（正六边形）和六个棱面（长方形）组成。设将其放置成上、下底面与水平投影面平行，并有两个棱面平行于正投影面面。 上、下两底面均为水平面，它们的水平投影重合并反映实形，正面及侧面投影积聚为两条相互平行的直线。六个棱面中的前、后两个为正平面，它们的正面投影反映实形，水平投影及侧面投影积聚为一直线。其他四个棱面均为铅垂面，其水平投影均积聚为直线，正面投影和侧面投影均为类似形。 （a）立体图 （b）投影图 图2－11 正六棱柱的三视图 作图方法与步骤如图2－11（b）所示： （1）作正六棱柱的对称中心线和底面基线，画出具有形状特征的投影——水平投影。（即特征视图） （2）根据投影规律作出其他两个投影。 从图2－11（b）可以看出正棱柱的投影特征：当棱柱的底面平行某一个投影面时，则棱柱在该投影面上投影的外轮廓为与其底面全等的正多边形，而另外两个投影则由若干个相邻的矩形线框所组成。   图2－12 直棱柱 （二）棱锥 以正三棱锥为例。如图2－13（a）所示为一正三棱锥，它的表面由一个底面（正三边形）和三个侧棱面（等腰三角形）围成，设将其放置成底面与水平投影面平行，并有一个棱面垂直于侧投影面。 由于锥底面△ABC为水平面，所以它的水平投影反映实形，正面投影和侧面投影分别积聚为直线段a′b′c′ 和a″(c″ )b″。棱面△SAC为侧垂面，它的侧面投影积聚为一段斜线s″a″(c″)，正面投影和水平投影为类似形△s′a′c′ 和△sac，前者为可见，后者不可见。棱面△SAB和△SBC均为一般位置平面，它们的三面投影均为类似形。 棱线SB为侧平线，棱线SA、SC为一般位置直线，棱线AC为侧垂线，棱线AB、BC为水平线。 作图方法与步骤如图2－13（b）所示： （1）作正三棱锥的对称中心线和底面基线，画出底面△ABC水平投影的矩形。（即特征视图） （2）根据正三棱锥的高度定出锥顶S的投影位置，然后在正面投影和水平投影上用直线连接锥顶与底面四个顶点的投影，即得四条棱线的投影。 （3）根据投影规律，由正面投影和水平投影作出侧面投影。 从图2－13（b）可以看出正棱锥的投影特征：当棱锥的底面平行某一个投影面时，则棱锥在该投影面上投影的外轮廓为与其底面全等的正多边形，而另外两个投影则由若干个相邻的三角形线框所组成。  （a）立体图 （b）投影图 图2－13 正三棱锥的三视图  图2－14 平面体识读的立体图 二、曲面立体的三视图的画法与识读 工程中常见的曲面立体是回转体。曲面立体的曲面是由一条母线（直线或曲线）绕定轴回转而形成的。常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球等。在投影图上表示曲面立体就是把围成立体的回转面或平面与回转面表示出来。  图2－15 曲面立体 圆柱 圆柱表面由圆柱面和两底面所围成。如图2－16所示，圆柱面可看作一条直母线AB围绕与它平行的轴线OO1回转而成。圆柱面上任意一条平行于轴线的直线，称为圆柱面的素线。 画圆柱的投影时，为便于作图，一般常使它的轴线垂直于某个投影面。如图2－17（a）所示，圆柱的轴线垂直于侧面，圆柱面上所有素线都是侧垂线，因此圆柱面的侧面投影积聚成为一个圆。圆柱左、右两个底面的侧面投影反映实形并与该圆重合。两条相互垂直的点划线，表示确定圆心的对称中心线。圆柱面的正面投影 图2－16 圆柱面的形成 是一个矩形，是圆柱面前半部与后半部的重合投影，其左右两边分别为左右两底面的积聚性投影，上、下两边a′a′1、b′b′1分别是圆柱最上、最下素线的投影。最上、最下两条素线AA1、BB1是圆柱面由前向后的转向线，是正面投影中可见的前半圆柱面和不可见的后半圆柱面的分界线，也称为正面投影的转向轮廓素线。同理，可对水平投影中的矩形进行类似的分析。 作图方法与步骤如图2－17（b）所示： （1）作侧面投影的中心线和轴线的正面投影和水平投影（细点划线）。 （2）作侧面投影的圆形。 （3）根据圆柱的高度，按投影规律，作出正面投影和水平投影。  （a）立体图 （b）投影图 图2－17 圆柱的三视图 从图2－17（b）可以看出圆柱的投影特征：当圆柱的轴线垂直某一个投影面时，必有一个投影为圆形，另外两个投影为全等的矩形。 圆锥 圆锥表面由圆锥面和底面所围成。如图2－18（a）所示，圆锥面可看作是一条直母线SA围绕与它平行的轴线SO回转而成。在圆锥面上通过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。 画圆锥面的投影时，也常使它的轴线垂直于某一投影面。如图3－5（b）所示圆锥的轴线是铅垂线，底面是水平面，图2－18（c）是它的投影图。圆锥的水平投影为一个圆，反映底面的实形，同时也表示圆锥面的投影。圆锥的正面、侧面投影均为等腰三角形，其底边 均为圆锥底面的积聚投影。正面投影中三角形的两腰s′a′、s′c′ 分别表示圆锥面最左、最右轮廓素线SA、SC的投影，他们是圆锥面正面投影可见与不可见的分界线。SA、SC的水平投影sa、sc和横向中心线重合，侧面投影s″a″（c″）与轴线重合。同理可对侧面投影中三角 形的两腰进行类似的分析。 作图方法与步骤如图2－18（b）所示： （a）圆锥面的形成 （b）立体图 （c）投影图 图2－18 圆锥的投影 （1）作水平投影的中心线和轴线的正面投影和水平投影（细点划线）。 （2）作水平投影的圆形。根据正三棱锥的高度定出锥顶S的投影位置，然后在正面投影和水平投影上用直线连接锥顶与底面四个顶点的投影，即得四条棱线的投影。 （3）根据圆锥的高度定出锥顶S的投影位置，然后根据投影规律，作出正面投影和水平投影。 从图2－18（b）可以看出圆锥的投影特征：当圆锥的轴线垂直某一个投影面时，则圆锥在该投影面上投影为与其底面全等的圆形，另外两个投影为全等的等腰三角形。 （三）圆球 圆球的表面是球面，如图2－19(a)所示，圆球面可看作是一条圆母线绕通过其圆心的轴线回转而成。 如图2－19（b）所示为圆球的立体图、如图2－19（c）所示为圆球的投影。圆球在三个投影面上的投影都是直径相等的圆，但这三个圆分别表示三个不同方向的圆球面轮廓素线的投影。正面投影的圆是平行于V面的圆素线A（它是前面可见半球与后面不可见半球的分界线）的投影。与此类似，侧面投影的圆是平行于W面的圆素线C的投影；水平投影的圆是平行于H面的圆素线B的投影。这三条圆素线的其他两面投影，都与相应圆的中心线重合，不应画出。 （a）圆球面的形成 （b）立体图 （c）投影图 图2－19 圆球的投影 （四）圆环 如图2-20所示，圆环的主视图是，左右两个圆是环面最左、最右素线圆的实形投影，上、下两条公切线是最高圆与最低圆的积聚投影。  图2－20 圆环的投影  图2－21 曲面立体 第四节 简单体三视图的画法与识读 由较少的基本体进行简单的叠加或切割而形成的立体称简单体。如图2-22所示形体是由两个半圆柱和一个四棱柱叠加而成，该形体也具有两个全等且平行的底面，我们称这种简单体为组合体。  图2－22 组合柱的三视图 一、简单体三视图的画法  图2－23 叠加式简单体三视图的画法示例  图2－24 切割式简单体三视图的画法示例 二、简单体三视图的识读 读图是根据物体的视图想像物体空间形状的思维过程。读图是每个技术人员必须具备的一种能力。要学会读图就应熟习读图依据，掌握读图方法，反复实践。 1．读图的基本依据 （1）三视图的投影规律及三视图与空间物体的对应关系。画图时每一部分都要符合投影规律，所以读图找一部分三投影的范围时，也必须利用这个规律去找。 （2）基本体三视图的图形特征。熟记基本体三视图的图形特征就能迅速看懂每一部分的形状。 2．形体分析读图法 形体分析读图法的要点就是一部分一部分地看，具体读图步骤可分为： （1）识视图、分部分。识视图即弄清各视图的观看方向，各视图与空间物体之间的方位关系，从而建立起图物关系，这是整个看图过程中所不能忽视的问题。分部分就是从一个投影重叠较少、结构关系明显的视图入手，结合其他视图，按线框把视图分解为若干部分。 （2）逐部分对投影、想形状。根据投影规律，逐一找出第个线框在其他视图中的对应投影，然后根据基本体三视图的图形特征，逐一想像出空间形状。 （3）综合起来想整体。判断出各部分的形状之后，再对照视图，按它们的相互位置合在一起，综合想像出空间形状。  图2－25 叠加式简单体三视图的识读示例  图2－26 切割式简单体三视图的识读示例  图2－27 读图刻模型示例  图2－28 补视图示例