第三章 点、直线、平面的投影 第1讲 课题 点的投影 课型 理 论  教学 目的 学习点的投影基本规律  重点 难点 点在三投影面体系中的投影  教学 媒体 多媒体 实物 图画 投影／幻灯／电视／电影 其它媒体  教学 方法 讲授法 讨论法 谈话法 指导法 演示法 参观法 实习法 练习法  教 学 过 程 一、点在两投影面体系中的投影 1．两投影面体系的建立 设立互相垂直的两个投影面，正立投影面（简称正面）V和水平投影面（简称水平面）H，构成两投影面体系。两投影面体系将空间划分为四个分角。本书只讲述物体在第一分角的投影。V面和H面的交线称为投影轴OX。 2．点的两面投影 由空间点A作垂直于V面、H面的投射线Aa′、Aa，分别与V面、H面相交，交点即为A的正面投影（V面投影）a′和水平投影（H面投影）a，即点A的两面投影。 空间点用大写字母如A、B、C、…表示，其水平投影用相应的小写字母如a、b、c、…表示，正面投影用相应的小写字母加一撇如a′、b′、c′、…表示。 为使点的两面投影画在同一平面上，需将投影面展开。展开时V面保持不动，将H面绕OX轴向下旋转90°，与V面展成一个平面，便得到点A的两面投影图。投影图上的细实线aa′称为投影连线。 3．点的两面投影规律 空间三点A、a′、a构成一个平面，由于平面Aa′a分别与V面，H面垂直，所以这三个相互垂直的平面必定交于一点ax，且axa′⊥OX、aax⊥OX。当H面与V面展平后， a、ax、a′三点必共线，即aa′⊥OX。 又因Aaaxa′是矩形，所以axa′=Aa，axa=Aa′。亦即：点A的V面投影a′与投影轴OX的距离，等于点A与H面的距离；点A的H面投影a与投影轴OX的距离，等于点A与V面的距离。 由此可得出点的两面投影规律： 点的两面投影连线垂直于投影轴，即aa′⊥OX。 点的投影到投影轴的距离，等于该点与相邻投影面的距离，即：axa′=Aa； axa=Aa′ 二、点在三投影面体系中的投影 1．三投影面体系的建立 两面投影能确定点的空间位置，却不能充分表达立体的形状，所以需采用三面投影图。再设立一个与V、H面都垂直的侧立投影面（简称侧面）W，形成三投影面体系。它的三条投影轴OX、OY、OZ必定互相垂直。 点的三面投影 由空间点A分别作垂直于H、V、W面的投射线，其交点a、a′、a〃即为点A的三面投影。 空间点的W面投影用相应的小写字母加两撇表示，如a〃、b〃、…等, 投影面展开时，W面绕OZ轴向右旋转90°和V面展成一个平面，得到三面投影图。OY轴在H、W面上分别表示为OYH、OYW。同样，不必画出投影面的边框。 点的三面投影规律 在三投影面体系中，Aaaxa′az a〃ayO构成一长方体，由于点在两投影面体系中的投影规律在三投影面体系中仍然适用，由此可得出如下关系：aa′⊥OX、a′a〃⊥OZ、aaYH⊥OYH、a〃aYW⊥OYW、aaX= a〃aZ。 若把三投影面体系看作直角坐标系，则投影轴、投影面、点O分别是坐标轴、坐标面和原点。则可得出点A（x，y，z）的投影与其坐标的关系： x=aZa′=aaYH=点A到W面的距离A a〃； y=aaX=aZ a〃=点A到V面的距离A a′； z= aXa′= a〃aYW=点A到H面的距离Aa。 由此可得出点的三面投影规律： （1）点的投影连线垂直于相应的投影轴，即aa′⊥OX、a′a〃⊥OZ。 （2）点的投影到投影轴的距离，等于该点的某一坐标值，也就是该点到相应投影面的距离。 三、两点的相对位置 1．两点的相对位置 空间两点的投影不仅反映了各点对投影面的位置，也反映了两点之间左右、前后、上下的相对位置。由图可以看出，xB>xA，故点B在点A之左，同理，点B在点A之后（yA>yB）、之下（zB﹤zA）。因此，也可用两点的坐标差来确定点的位置。 2．重影点 如图所示，点A位于点B的正上方，即xA=xB，yA=yB，zA>zB，A、B两点在同一条H面的投射线上，故它们的水平投影重合于一点a（b），则称点A、B为对H面的重影点。同理，位于同一条V面投射线上的两点称为对V面的重影点；位于同一条W面投射线上的两点称为对W面的重影点。 两点重影，必有一点被“遮盖”，故有可见与不可见之分。因为点A在点B之上（zA>zB），它们在H面上重影时，点A投影a为可见，点B投影b为不可见，并用括号将b括起来，以示区别。同理，如两点在V面上重影，则y坐标值大的点其投影为可见点；在W面上重影，则x坐标值大的点其投影为可见点。  课后练习 复习思考题；习题：3-1题   第2讲 课题 线的投影 课型 理 论  教学 目的 掌握各种位置直线在三投影面体系中的投影  重点 难点 掌握一般位置直线和各种特殊位置直线的投影 掌握各种位置直线的投影特性  教学 媒体 多媒体 实物 图画 投影／幻灯／电视／电影 其它媒体  教学 方法 讲授法 讨论法 谈话法 指导法 演示法 参观法 实习法 练习法  教 学 过 程 一、直线的投影图 空间一直线的投影可由直线上的两点（通常取线段两个端点）的同面投影来确定。如图所示的直线AB，求作它的三面投影图时，可分别作出A、B两端点的投影（a、a′、a″）、（b、b′、b″），然后将其同面投影连接起来即得直线AB的三面投影图（a b、a′ b′ 、a″b″）。 直线的投影 二、直线对于一个投影面的投影特性 空间直线相对于一个投影面的位置有平行、垂直、倾斜三种，三种位置有不同的投影特性。 1．真实性 当直线与投影面平行时，则直线的投影为实长，这种投影性质称为真实性，如图（a）所示。 2．积聚性 当直线与投影面垂直时，则直线的投影积聚为一点，这种投影性质称为积聚性，如（b）所示。 3．收缩性 当直线与投影面倾斜时，则直线的投影小于直线的实长，这种投影性质称为做收缩性，如图（c）所示。 （a） （b） （c） 三、各种位置直线的投影特性 根据直线在三投影面体系中的位置可分为投影面倾斜线、投影面平行线、投影面垂直线三类。前一类直线称为一般位置直线，后两类直线称为特殊位置直线。它们具有不同的投影特性，下面分述如下： （一）投影面平行线 平行于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。平行于V面的称为正平线；平行于H面的称为水平线；平行于W面的称为侧平线。 直线与投影面所夹的角称为直线对投影面的倾角。α、β、γ分别表示直线对H面、V面、W面的倾角。 投影面平行线的立体图、投影图及投影特征 名称 正平线（//V） 水平线（//H） 侧平线（//W）   实 例      立 体 图      投 影 图      投 影 特 性 正面投影a′b′反映实长。 正面投影a′b′与OX轴和 OZ轴的夹角α、γ分别为AB对H面和W面的倾角。 （3）水平投影轴ab∥OX轴，侧面投影a″b″∥OZ轴，且都小于实长。 水平投影ef反映实长。 水平投影ef 与OX轴和 OYH的夹角β、γ分别为EF对V面和W面的倾角。 面投影e′f′∥OX轴，侧面投 影e″f″∥OYW，且都小于实长。 侧面投影i//j//反映实长。 （2）侧面投影i″j″与OZ轴和OYW轴的夹角β和α分别为EF对V面和H面的倾角。 （3）正面投影i′j′∥OZ轴，水平投影ij∥OYH，且都小于实长。   （二）投影面垂直线 垂直于一个投影面且同时平行于另外两个投影面的直线称为投影面垂直线。垂直于V面的称为正垂线；垂直于H面的称为铅垂线；垂直于W面的称为侧垂线； 投影面平行线的立体图、投影图及投影特征。 名称 正垂线（⊥V） 铅垂线（⊥H） 侧垂线（⊥W）   实 例      立 体 图      投 影 图     投 影 特 性 （1）正面投影b′(c′)积聚成一点。 （2）水平投影bc，侧面投影b″c″ 都反映实长，且bc⊥OX， b″c″⊥OZ。 （1）水平投影b(g)积聚成一点。 （2）正面投影b′g′，侧面投影b″g″ 都反映实长，且b′g′⊥OX， b″g″⊥OYW。 （1）侧面投影e″(k″)积聚成一点。 （2） 正面投影e′ k′，水平投影ek都反映实长，且e′ k′⊥OZ， ek⊥OYH。  （三）一般位置直线 与三个投影面都处于倾斜位置的直线称为一般位置直线。 如图所示，直线AB与H、V、W面都处于倾斜位置，倾角分别为α、β、γ。其投影如图所示。 一般位置直线的投影特征可归纳为： 1．直线的三个投影和投影轴都倾斜，各投影和投影轴所夹的角度不等于空间线段对相应投影面的倾角； 2．任何投影都小于空间线段的实长，也不能积聚为一点。 对于一般位置直线的辨认：直线的投影如果与三个投影轴都倾斜，则可判定该直线为一般位置直线。 三、一般位置直线的实长和对投影面的倾角 表示用直角三角形法求一般位置线段的实长及其对投影面的倾角的原理。AB为一般位置直线，过端点A作直线平行其水平投影ab并交Bb于C，得直角三角形ABC。在直角三角形ABC中，斜边AB就是线段本身，底边AC等于线段AB的水平投影ab，对边BC等于线段AB的两端点到H面的距离差（Z坐标差），也即等于a′ b′ 两端点到投影轴OX的距离差，而AB与底边AC的夹角即为线段AB对H面的倾角α。 根据上述分析，只要用一般位置直线在某一投影面上的投影作为直角三角形的底边，用直线的两端点到该投影面的距离差为另一直角边，作出一直角三角形。此直角三角形的斜边就是空间线段的真实长度，而斜边与底边的夹角就是空间线段对该投影面的倾角。这就是直角三角形法。 直角三角形法 　　　　　　 用直角三角形法求线段实长 及其与投影面的倾角的原理 作图方法与步骤如图所示，用线段的任一投影为底边均可用直角三角形法求出空间线段 在直角三角形法中，直角三角形包含四个因素：投影长、坐标差、实长、倾角。只要知道两个因素，就可以将其余两个求出来。 四、直线上点的投影 （一）直线上点的投影 点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，反之，若一个点的各个投影都在直线的同面投影上，则该点必定在直线上，如图所示直线AB上有一点C，则C点的三面投影c、c′、c″ 必定分别在该直线AB的同面投影ab、a′ b′、a″b″ 上。 （二）直线投影的定比性 直线上的点分割线段之比等于其投影之比，这称为直线投影的定比性。 五、两直线的相对位置 两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种情况。 （一）两直线平行 若空间两直线平行，则它们的各同面投影必定互相平行。由于AB∥CD，则必定ab∥cd、 a′ b′∥c′ d′、a″b″∥c″d″ 。反之，若两直线的各同面投影互相平行，则此两直线在空间也必定互相平行。 在投影图上判定两直线是否平行；若两直线处于一般位置时，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是否互相平行即可判定；但当两平行直线平行于某一投影面时，则需观察两直线在所平行的那个投影面上的投影是否互相平行才能确定。如图所示，两直线AB、CD均为侧平线，虽然ab∥cd、 a′b′∥c′d′，但不能断言两直线平行，还必需求作两直线的侧面投影进行判定，由于图中所示两直线的侧面投影a″b″ 与c″d″相交，所以可判定直线AB、CD不平行。 （二）两直线相交 若空间两直线相交，则它们的各同面投影必定相交，且交点符合点的投影规律。如图所示，两直线AB、CD相交于K点，因为K点是两直线的共有点，则此两直线的各组同面投影的交点 k、 k′、k″ 必定是空间交点K的投影。反之，若两直线的各同面投影相交，且各组同面投影的交点符合点的投影规律，则此两直线在空间也必定相交。 在投影图上判定两直线是否相交：若两直线均为一般位置线时，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是否相交且交点是否符合点的投影规律即可判定；但当两直线中有一条直线为投影面平行线时，则需观察两直线在该投影面上的投影是否相交且交点是否符合点的投影规律才能确定；或者根据直线投影的定比性进行判断。两直线AB、CD两组同面投影ab与cd、a′ b′ 与c′ d′ 虽然相交，但经过分析判断，可判定两直线在空间不相交 （三）两直线交叉 两直线既不平行又不相交，称为交叉两直线。 若空间两直线交叉，则它们的各组同面投影必不同时平行，或者它们的各同面投影虽然相交，但其交点不符合点的投影规律。反之亦然。如图（a）所示。 空间交叉两直线的投影的交点，实际上是空间两点的投影重合点。利用重影点和可见性，可以很方便地判别两直线在空间的位置。在图（b）中，判断AB和CD的正面重影点 k′（l′）的可见性时，由于K、L两点的水平投影k比l的y坐标值大，所以当从前往后看时，点K可见，点L不可见，由此可判定AB在CD的前方。同理，从上往下看时，点M可见，点N不可见，可判定CD在AB的上方。 （a） （b）  课后练习 复习思考题；3-2题、3-3题   第3讲 课题 面的投影 课型 理 论  教学 目的 掌握各种位置平面的投影规律 掌握平面上点和直线的作图规律  重点 难点 能根据平面的两投影求第三投影，会在平面上作线  教学 媒体 多媒体 实物 图画 投影／幻灯／电视／电影 其它媒体  教学 方法 讲授法 讨论法 谈话法 指导法 演示法 参观法 实习法 练习法  教 学 过 程 一、平面的表示法 在投影图上表示平面有两种方法。 （一）一组几何元素的投影表示平面 1．不在同一直线上的三点 2．一直线和直线外一点 3．相交两直线 4．平行两直线 5．任意平面图形，如三角形、四边形、圆形等 （二）迹线表示法 有时也用平面与投影面的交线即平面的迹线来表示平面，平面P与H面的交线称为水平迹线，用PH表示；平面P与V面的交线称为正面迹线，用PV表示；平面P与W面的交线称为侧面迹线，用PW表示。PH 、PV 、PW两两相交的交点Px 、PY 、PZ称为迹线集合点，它们分别位于OX、OY、OZ轴上。 由于迹线既是平面内的直线，又是投影面内的直线，所以迹线的一个投影与其本身重合，另两个投影与相应的投影轴重合。在用迹线表示平面时，为了简明起见，只画出并标注与迹线本身重合的投影，而省略与投影轴重合的迹线投影。 三、各种位置平面的投影特性 根据平面在三投影面体系中的位置可分为投影面倾斜面、投影面平行面、投影面垂直面三类。前一类平面称为一般位置平面，后两类平面称为特殊位置平面。它们具有不同的投影特性，下面分述如下： （一）投影面垂直面 垂直于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面垂直面。垂直于V面的称为正垂面；垂直于H面的称为铅垂面；垂直于W面的称为侧垂面。平面与投影面所夹的角度称为平面对投影面的倾角。α、β、γ分别表示平面对H面、V面、W面的倾角。 投影面平行线的投影特征： 1．直线平行于哪个投影面，它在该投影面上的投影就反映空间线段的实长，并且这个投影和投影轴所夹的角度，就等于空间线段对相应投影面的倾角； 2．其他两个投影都小于空间线段的实长，而且与相应的投影轴平行。 对于投影面平行线的辨认：当直线的投影有两个平行于投影轴，第三投影与投影轴倾斜时，则该直线一定是投影面平行线，且一定平行于其投影为倾斜线的那个投影面。 （二）投影面平行面 平行于一个投影面且同时垂直于另外两个投影面的平面称为投影面平行面。平行于V面的称为正平面；平行于H面的称为水平面；平行于W面的称为侧平面； 投影面平行面的投影特征： 1．平面平行于哪个投影面，它在该投影面上的投影反映空间平面的实形。 2．其他两个投影都积聚为直线，而且与相应的投影轴平行。 对于投影面平行面的辨认：当平面的投影有两个分别积聚为平行于不同投影轴的直线，而另一个投影为平面形，则此平面平行于该投影所在的那个平面。 （三）一般位置平面 与三个投影面都处于倾斜位置的平面称为一般位置平面。 例如平面△ABC与H、V、W面都处于倾斜位置，倾角分别为α、β、γ。其投影如图所示。 一般位置平面的投影特征可归纳为：一般位置平面的三面投影，既不反映实形，也无积聚性，而都为类似形。 　　　　　　　　 一般位置平面 对于一般位置平面的辨认：如果平面的三面投影都是类似的几何图形的投影，则可判定该平面一定是一般位置平面。 四、平面上的直线和点 （一）平面上的点 点在平面上的几何条件是：点在平面内的一直线上，则该点必在平面上。因此在平面上取点，必须先在平面上取一直线，然后再在该直线上取点。这是在平面的投影图上确定点所在位置的依据。相交两直线AB、AC确定一平面P，点S取自直线AB，所以点S必在平面P上。 （a） （b） 平面上的点 （二）平面上的直线 1．若一直线通过平面上的两个点，则此直线必定在该平面上。 2．若一直线通过平面上的一点并平行于平面上的另一直线，则此直线必定在该平面上。 上述两条件之一，是在平面的投影图上选取直线的作图依据。 如图所示，相交两直线AB、AC确定一平面P，分别在直线AB、AC上取点E、F，连接EF，则直线EF为平面P上的直线。作图方法见图（b）所示。 （a） （b） 平面上的直线 相交两直线AB、AC确定一平面P，在直线AC上取点E，过点E作直线MN，则直线MN为平面P上的直线。作图方法见图所示。 （a） （b） 平面上的直线 （三）平面上的投影面平行线 属于平面且又平行于一个投影面的直线称为平面上的投影面平行线。平面上的投影面平行线一方面要符合平行线的投影特性，另一方面又要符合直线在平面上的条件。如图所示，过A点在平面内要作一水平线AD，可过a′ 作 a′ d′ ∥OX轴，再求出它的水平投影ad，a′ d′ 和ad即为△ABC上一水平线AD的两面投影。如过C点在平面内要作一正平线CE，可过c作c e∥OX轴，再求出它的正面投影c′ e′， c′ e′ 和ce即为△ABC上一正平线CE的两面投影。  课后练习 复习思考题；3-4题、3-5题、3-6题