1,建模过程 做最简单的假设：
时间间隔(t内的出生人数= b N(t)(t
时间间隔(t内的死亡人数=d N(t)(t
这里b和d分别是出生率和死亡率。得到一个初始模型为
N(t+(t)(N(t) = (b(d)N (t) (t （1）
针对时间区间(t的两种情况进一步讨论：
1）(t是一个确定的单位时间（比如(t=1年）。
令 Nk= N(k)=N (k (t),k=1,2,3,…
方程(1)是一个关于序列NK,k=1,2,3,…的差分方程:
Nk+1= (b(d+1)Nk k=1,2,3,… （2）
据此，根据上一年的人口数可推算出第二年的人口数以及逐年的人口数。
2）在很短的时间区间(t内，将人口数Ｎ（t）视为一个连续变量。
因为具有很小的跃变的曲线可视为平滑曲线，如此处理即简化了模型又不会引起严重误差。将（1）改写为
令(t(0,则有
（3）
2,对相对增长率做不同假设，可建立不同的数学模型，得到不同的解曲线。
1）假设人口净增长率b和净死亡率d均为常数，从而净相对增长率r=b(d也是一个常数。
初始条件N0=N（0），方程的解为
N（t）= N0ert,t≥0
此模型是英国神父Malthus在分析了一百多年人口统计资料的基础上建立的，称为Malthus模型。
模型分析 假若净增长率r>0，人口的预测值将以?r为公比按几何级数无限增长。
人们发现十九世纪以前欧洲某些地区人口情况与Malthus模型比较相符，但此后发展情况则相差很大。
原因是模型假设过于简单。
实际上，随着人口不断增长，环境资源所能承受的人口容量的限制，以及人口中年龄和性别结构等都会对出生和死亡产生影响，只能在极小的时间段内才可以把人口净增长率r近似地看着一个常数。
3,模型改进 将“人口净增长率”视为函数r(N)，方程（3）被改为
（4）
解得
，t≥0。
由于r[N(t)]是未知函数，无法确定N(t)。
进一步，将净增长率r看成人口数N的线性函数，设r(N)=a+ c N,并设r(0)=r,且存在一个数值K使r(K)=0。即有
求解得 r(N)=r(1()，
代入式（4）中，有
解为
,t≥0。
该模型称为Logistic模型，解曲线亦称Logistic曲线。
模型实际检验 用Malthus模型和Logistic模型计算所得的美国十九世纪初人口预测数。其中K=197273000，r=0.03134。
统计年份
实际统计资料（百万）
Malthus
模型
（百万）
误差
（％）
Logistic
模型
（百万）
误差
（％）
1790
3.929
3.929
0
3.929
0
1800
5.308
5.308
0
5.336
0.5
1810
7.240
7.171
-0.9
7.228
-0.2
1820
9.638
9.668
0.5
9.757
1.2
1830
12.866
13.088
1.7
13.109
1.9
1840
17.069
17.682
3.6
17.506
2.6
1850
23.192
23.888
3.0
23.192
0
1860
31.443
32.272
2.6
30.412
-3.3
1870
38.558
43.599
13.1
39.372
2.1
1880
50.156
58.901
17.4
50.177
0
1890
62.948
79.574
26.4
62.769
-0.3
1900
75.995
107.503
41.5
76.870
1.2
1910
91.972
145.234
57.9
91.972
0
1920
105.711
196.208
85.6
107.559
1.7
1930
122.775
265.074
115.9
123.124
0.3
1940
131.669
358.109
172.9
136.653
3.8
1950
150.697
483.798
221.0
149.053
-1.1
仔细分析上表中的数据,可以充分体味到数学建模的魅力。
时间间隔(t内的出生人数= b N(t)(t
时间间隔(t内的死亡人数=d N(t)(t
这里b和d分别是出生率和死亡率。得到一个初始模型为
N(t+(t)(N(t) = (b(d)N (t) (t （1）
针对时间区间(t的两种情况进一步讨论：
1）(t是一个确定的单位时间（比如(t=1年）。
令 Nk= N(k)=N (k (t),k=1,2,3,…
方程(1)是一个关于序列NK,k=1,2,3,…的差分方程:
Nk+1= (b(d+1)Nk k=1,2,3,… （2）
据此，根据上一年的人口数可推算出第二年的人口数以及逐年的人口数。
2）在很短的时间区间(t内，将人口数Ｎ（t）视为一个连续变量。
因为具有很小的跃变的曲线可视为平滑曲线，如此处理即简化了模型又不会引起严重误差。将（1）改写为
令(t(0,则有
（3）
2,对相对增长率做不同假设，可建立不同的数学模型，得到不同的解曲线。
1）假设人口净增长率b和净死亡率d均为常数，从而净相对增长率r=b(d也是一个常数。
初始条件N0=N（0），方程的解为
N（t）= N0ert,t≥0
此模型是英国神父Malthus在分析了一百多年人口统计资料的基础上建立的，称为Malthus模型。
模型分析 假若净增长率r>0，人口的预测值将以?r为公比按几何级数无限增长。
人们发现十九世纪以前欧洲某些地区人口情况与Malthus模型比较相符，但此后发展情况则相差很大。
原因是模型假设过于简单。
实际上，随着人口不断增长，环境资源所能承受的人口容量的限制，以及人口中年龄和性别结构等都会对出生和死亡产生影响，只能在极小的时间段内才可以把人口净增长率r近似地看着一个常数。
3,模型改进 将“人口净增长率”视为函数r(N)，方程（3）被改为
（4）
解得
，t≥0。
由于r[N(t)]是未知函数，无法确定N(t)。
进一步，将净增长率r看成人口数N的线性函数，设r(N)=a+ c N,并设r(0)=r,且存在一个数值K使r(K)=0。即有
求解得 r(N)=r(1()，
代入式（4）中，有
解为
,t≥0。
该模型称为Logistic模型，解曲线亦称Logistic曲线。
模型实际检验 用Malthus模型和Logistic模型计算所得的美国十九世纪初人口预测数。其中K=197273000，r=0.03134。
统计年份
实际统计资料（百万）
Malthus
模型
（百万）
误差
（％）
Logistic
模型
（百万）
误差
（％）
1790
3.929
3.929
0
3.929
0
1800
5.308
5.308
0
5.336
0.5
1810
7.240
7.171
-0.9
7.228
-0.2
1820
9.638
9.668
0.5
9.757
1.2
1830
12.866
13.088
1.7
13.109
1.9
1840
17.069
17.682
3.6
17.506
2.6
1850
23.192
23.888
3.0
23.192
0
1860
31.443
32.272
2.6
30.412
-3.3
1870
38.558
43.599
13.1
39.372
2.1
1880
50.156
58.901
17.4
50.177
0
1890
62.948
79.574
26.4
62.769
-0.3
1900
75.995
107.503
41.5
76.870
1.2
1910
91.972
145.234
57.9
91.972
0
1920
105.711
196.208
85.6
107.559
1.7
1930
122.775
265.074
115.9
123.124
0.3
1940
131.669
358.109
172.9
136.653
3.8
1950
150.697
483.798
221.0
149.053
-1.1
仔细分析上表中的数据,可以充分体味到数学建模的魅力。
