第七章 模拟模型现实世界充满不确定性不存在确定的函数关系往往借助于模拟仿真方法
7.1 随机现象的模拟一,随机变量的模拟掌握成功模拟具有特定分布的随机变量的方法,
是模拟随机现象的重要方面,
例 7.1.1 老鼠在哪个房间？
在任一时刻 观察老鼠在有 3 个房间的迷宫内的情况,老鼠所在房号 X是一个随机变量,模拟 X的分布律,例 7.1.1 两种模拟方法
1．利用理论分布，基于对问题的实际、合理的假设,选择适当的理论分布模拟随机变量,
2.基于实际数据的频率做近似模拟,
方法评价缺点,限于十分简单的情况,问题越复杂,数学处理变得越困难,并且丢失了试验数据的信息,
*方法 2
优点,完全与观察数据相符,并且随实际问题的复杂程度增大不会产生更大的困难,仅增大工作量而已,
应用中常将两种模拟方法结合使用
* 方法 1
优点,可以计算各种可能结果的概率,便于进行数学分析和处理,
缺点,不便于进行数学分析,不得不依赖于模拟得到的统计结果,
一,利用理论分布重点阐述怎样根据变量特点合理选择理论分布来模拟随机变量,
1．均匀分布
.0
,
1
)(
其他
bxa
abxf
ab
cddXcP
}{有
),(),( badc?其中需掌握几种重要的概率理论分布均匀分布随机变量 X的取值具有
,均匀性,,
均匀性特点 均匀分布随机变量 X落在 (a,b)
内任意子区间的概率只与子区间的长度有关,而与子区间的位置无关,
可以 假设 具有这种性质的随机变量 服从均匀分布例 7.1.2 穿越公路模型穿越公路者在 60 秒的期间内的每一时刻都可能到达公路旁,用 [0,60](单位,秒 )上的均匀分布随机变量模拟穿越公路者到达路旁的时刻是合理的,
渡口模型 中假设车身长度服从均匀分布,处理起来虽然较简单但却显然不合理,
2．正态分布正态分布随机变量 X的概率密度函数是
.],)(ex p [
2
1)( 2
2
1 Rxxxf
正态分布由两个参数 μ和 σ唯一确定,
μ0 x
f(x)f(x)
0 xμ
σ小
σ大位置参数分布特点：
有 3σ— 原则,9974.0}3{XP
实用判别方法,
较多独立的、微小变量叠加而成的随机变量,
可以用正态分布来模拟,
判别方法原理分析例 *考试成绩服从正态分布；
*单峰、对称；
*数学期望 μ确定概率曲线的中心位置 ；
*标准差 σ确定概率曲线的“宽窄”程度,
* 测试误差服从正态分布；
* 人的身高服从正态分布； …
3．指数分布指数分布随机变量 X的概率密度函数为
0,0
0,)(
x
xexf x
０
f(x)
x
寿命 T则服从参数为 λ的指数分布,
上述假设从技术上讲就是电子元件未出现
“老化”现象,对一些寿命长的元件,在稳定运行的初期阶段老化很轻微,这种假设是合理的,
＊指数分布比较确切地描述了电子元件在稳定阶段的寿命分布情况,
指数分布常用来描述“寿命”问题,
设电子元件的寿命为 T,假定元件在 t时刻尚正常工作的条件下,其 瞬时失效率 总 保持为常数 λ,
即有
tTttTtPh
h
1
0
li m
指数分布具有 无后效性 (马氏性 ):对任意的实数 s>0,t>0,均有
tTPsTtsTP
永远年轻性人类 在 50岁或 60岁以前的寿命分布接近指数分布,
若瞬时失效率是时间的函数 λ(t),试确定寿命 Ｔ 的分布,(参见电子科大教材
,概率论与数理统计,p76).
思考
4．泊松分布和泊松流离散型随机变量 X的分布律为
Rx
x
xPxXP
x
,
!
)ex p ()(}{
称 X服从参数为 λ的泊松分布,
事件流,随时间的推移，逐个出现的随机事件列
A1,A2,… An,…
t0
A1 A2 A3 An
例 7.1.3 在渡口模型中，从渡船靠岸开始计时，
将第 i 辆汽车的到达看成随机事件 Ai发生，随汽车 连续不断地开到码头，就形成了一个事件流
A1,A2,…,Ai,… ；
*工作台上工件的逐件到达；
*机场跑道中飞机的逐架到达；
*港口船舶的逐艘到达；
*电话交换台电话的到达；
*餐厅顾客的到达 ;
*工厂中机器故障的发生,…
记 N(t) 为 [0,t]时间内各事件发生的总次数
0 t)
N(t)=3
)
N(t)=7
N(t)是随机变量随机变量族
｛ N(t),t＞ 0｝
是一个随机过程 (计数过程 ).
将工件、飞机、船只、电话、就餐的顾客及破损的机器等统称为 顾客,
称 {N(t),t＞ 0｝为 顾客的 到达过程,通常关心
1) 对每一时刻 t,在 [0,t]时间内到达的顾客数
N(t) 的分布；
2) 事件流 A1,A2,…,Ai,… 中两个事件发生的间隔时间具有什么分布,
形成泊松流的条件重要定理：
1.如果顾客的到达过程是一个泊松过程，
则在 [0,t]期间内有 n个顾客到达的概率为
,2,1,
!
)()())(( ne
n
ttPntNP tn
n
并且，顾客相继到达的时间间隔
T1,T2,…,Ti,…
相互独立,都服从参数为 λ的指数分布,
2,若顾客流到达的间隔时间是相互独立的随机变量序列,T1,T2,…,T i,… 且 Ti,i=1,2,… 均服从参数为 λ 指数分布,则在 ［ 0,t］ 内顾客到达数｛ N(t),t>0｝是一个泊松过程,
例 7.1.4,穿越公路模型（ P21）
用均值为 1/q 的指数分布随机变量模拟两车经过同一地点的时间间隔，相当于假设通过该点的汽车流构成了一个泊松流,[0,t]时间内到达的汽车数目 N(t) 服从泊松分布,
7.1 随机现象的模拟一,随机变量的模拟掌握成功模拟具有特定分布的随机变量的方法,
是模拟随机现象的重要方面,
例 7.1.1 老鼠在哪个房间？
在任一时刻 观察老鼠在有 3 个房间的迷宫内的情况,老鼠所在房号 X是一个随机变量,模拟 X的分布律,例 7.1.1 两种模拟方法
1．利用理论分布，基于对问题的实际、合理的假设,选择适当的理论分布模拟随机变量,
2.基于实际数据的频率做近似模拟,
方法评价缺点,限于十分简单的情况,问题越复杂,数学处理变得越困难,并且丢失了试验数据的信息,
*方法 2
优点,完全与观察数据相符,并且随实际问题的复杂程度增大不会产生更大的困难,仅增大工作量而已,
应用中常将两种模拟方法结合使用
* 方法 1
优点,可以计算各种可能结果的概率,便于进行数学分析和处理,
缺点,不便于进行数学分析,不得不依赖于模拟得到的统计结果,
一,利用理论分布重点阐述怎样根据变量特点合理选择理论分布来模拟随机变量,
1．均匀分布
.0
,
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}{有
),(),( badc?其中需掌握几种重要的概率理论分布均匀分布随机变量 X的取值具有
,均匀性,,
均匀性特点 均匀分布随机变量 X落在 (a,b)
内任意子区间的概率只与子区间的长度有关,而与子区间的位置无关,
可以 假设 具有这种性质的随机变量 服从均匀分布例 7.1.2 穿越公路模型穿越公路者在 60 秒的期间内的每一时刻都可能到达公路旁,用 [0,60](单位,秒 )上的均匀分布随机变量模拟穿越公路者到达路旁的时刻是合理的,
渡口模型 中假设车身长度服从均匀分布,处理起来虽然较简单但却显然不合理,
2．正态分布正态分布随机变量 X的概率密度函数是
.],)(ex p [
2
1)( 2
2
1 Rxxxf
正态分布由两个参数 μ和 σ唯一确定,
μ0 x
f(x)f(x)
0 xμ
σ小
σ大位置参数分布特点：
有 3σ— 原则,9974.0}3{XP
实用判别方法,
较多独立的、微小变量叠加而成的随机变量,
可以用正态分布来模拟,
判别方法原理分析例 *考试成绩服从正态分布；
*单峰、对称；
*数学期望 μ确定概率曲线的中心位置 ；
*标准差 σ确定概率曲线的“宽窄”程度,
* 测试误差服从正态分布；
* 人的身高服从正态分布； …
3．指数分布指数分布随机变量 X的概率密度函数为
0,0
0,)(
x
xexf x
０
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寿命 T则服从参数为 λ的指数分布,
上述假设从技术上讲就是电子元件未出现
“老化”现象,对一些寿命长的元件,在稳定运行的初期阶段老化很轻微,这种假设是合理的,
＊指数分布比较确切地描述了电子元件在稳定阶段的寿命分布情况,
指数分布常用来描述“寿命”问题,
设电子元件的寿命为 T,假定元件在 t时刻尚正常工作的条件下,其 瞬时失效率 总 保持为常数 λ,
即有
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h
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指数分布具有 无后效性 (马氏性 ):对任意的实数 s>0,t>0,均有
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永远年轻性人类 在 50岁或 60岁以前的寿命分布接近指数分布,
若瞬时失效率是时间的函数 λ(t),试确定寿命 Ｔ 的分布,(参见电子科大教材
,概率论与数理统计,p76).
思考
4．泊松分布和泊松流离散型随机变量 X的分布律为
Rx
x
xPxXP
x
,
!
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称 X服从参数为 λ的泊松分布,
事件流,随时间的推移，逐个出现的随机事件列
A1,A2,… An,…
t0
A1 A2 A3 An
例 7.1.3 在渡口模型中，从渡船靠岸开始计时，
将第 i 辆汽车的到达看成随机事件 Ai发生，随汽车 连续不断地开到码头，就形成了一个事件流
A1,A2,…,Ai,… ；
*工作台上工件的逐件到达；
*机场跑道中飞机的逐架到达；
*港口船舶的逐艘到达；
*电话交换台电话的到达；
*餐厅顾客的到达 ;
*工厂中机器故障的发生,…
记 N(t) 为 [0,t]时间内各事件发生的总次数
0 t)
N(t)=3
)
N(t)=7
N(t)是随机变量随机变量族
｛ N(t),t＞ 0｝
是一个随机过程 (计数过程 ).
将工件、飞机、船只、电话、就餐的顾客及破损的机器等统称为 顾客,
称 {N(t),t＞ 0｝为 顾客的 到达过程,通常关心
1) 对每一时刻 t,在 [0,t]时间内到达的顾客数
N(t) 的分布；
2) 事件流 A1,A2,…,Ai,… 中两个事件发生的间隔时间具有什么分布,
形成泊松流的条件重要定理：
1.如果顾客的到达过程是一个泊松过程，
则在 [0,t]期间内有 n个顾客到达的概率为
,2,1,
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n
并且，顾客相继到达的时间间隔
T1,T2,…,Ti,…
相互独立,都服从参数为 λ的指数分布,
2,若顾客流到达的间隔时间是相互独立的随机变量序列,T1,T2,…,T i,… 且 Ti,i=1,2,… 均服从参数为 λ 指数分布,则在 ［ 0,t］ 内顾客到达数｛ N(t),t>0｝是一个泊松过程,
例 7.1.4,穿越公路模型（ P21）
用均值为 1/q 的指数分布随机变量模拟两车经过同一地点的时间间隔，相当于假设通过该点的汽车流构成了一个泊松流,[0,t]时间内到达的汽车数目 N(t) 服从泊松分布,
