5.2 微分方程的定性分析随着科学技术的发展，常微分方程定性分析在各个学科领域已成为必不可少的数学工具，
也是数学建模的必备基础理论,
一,微分方程定性理论的基本任务和主要研究方法极少情况下，能够用初等函数或初等函数的积分表示微分方程的解,
求微分方程的数值解解决方法 对微分方程进行定性分析一般提法,不去积分给定的微分方程,而根 据方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在整个区域内的分布状态,
微分方程定性分析基本任务,考虑在有限区域内积分曲线的形状，
或研究当时间无限增大时,积分曲线的性态,
研究对象,驻定系统
nixxxf
dt
dx
ni
i,,2,1),,,,(
21
其右端的函数不显含自变量 t，称为一阶 n维驻定系统 (自治系统、动力系统 ).
若微分方程组例 5.2.1单一质点非受迫直线运动满足下方程
0)()( 212
2
xa
dt
dxxa
dt
xd
,v
dt
dx?令 得一个二维驻定系统
).()(
,
21 xavxa
dt
dv
v
dt
dx
一般二维驻定系统形式为
)2(
).,(
),,(
yxQ
dt
dy
yxP
dt
dx
存在且唯一，则在三维空间 (x,y,t)中有且仅有一条解曲线通过点 (x0,y0,t0).
）（若其解 3
),,,(
),,,(
000
000
yxttyy
yxttxx
基本思想 将空间曲线投影到平面上进行分析,
x
y
t
o
t0
(x,y,t)
解曲线投影曲线定义,称平面 (x,y)为 相平面,称解曲线在相平面上的投影为 相轨线,相轨线族称为相位图,
轨线方程 可由原方程（ 2）消去 t 而得到,相点的 运动方向 可由原方程确定,
对系统运动的研究归结为对轨线性质的研究,
若点 (x0,y0)使 P(x0,y0)= Q(x0,y0)=0,称 (x0,y0)
为方程 (2)的 平衡点,
二,战斗模型分析续例 5.1.2 两方军队交战,希望为这场战斗建立一个数学模型,应用这个模型达到如下目的：
3,计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗？
记 x(t) — t 时刻 X方存活的士兵数 ；
y(t) — t 时刻 Y方存活的士兵数 ；
1,预测哪一方将获胜？
2,估计获胜的一方最后剩下多少士兵？
有微分方程组：
)0(, aay
dt
dx
)0(, bbx
dt
dy
4,战斗持续时间？
初始条件为 x(0)=x0,y(0)=y0
模型分析,
1,分析方程组
1）变量 x≥0,y≥0,有唯一平衡点 (0,0);
2） x(t),y(t)都是单降函数,且随着 x,y的减小，
衰减速度也在降低,
2,分析相位图
1） 求相轨线方程,将两个方程相除，得
ay
bx
dx
dy? bxd xay dy?
cbxay 22
代入初始条件，有 cbxay 2020
)()( 202202 xxbyya
双曲线族
2） 预测何方军队获胜,将剩下多少士兵,
(1)若,解曲线方程化为2
020 bxay?
22 bxay? x
a
by?
一场势均力敌的,导致相互毁灭的战斗
0 x
y
(x0,y0)Y方胜
X方胜
（ 2）若,从相位图观察出 Y方将获胜,2
020 bxay?
证明 令 y=0,由轨线方程得
)( 20220 xxbay
0
2
0
2
02
b
aybx
x
不可能出现 x>0 同时 y=0 的情形,即 X
方获胜的情形,
abxayyx /)(,0 2020 得令即 Y方获胜时的幸存士兵数,
3） 测算失败一方开始应投入兵力,
测算失败一方开始应投入兵力矛盾
4） 战斗的持续时间 战斗的持续时间三,捕食系统的 Volterra方程 （狐狸与野兔问题）
上世纪初,意大利生物学家 U.D′A ncona在研究中，发觉第一次世界大战期间从地中海捕获的鱼中,鲨鱼等食肉鱼的比例十分明显地上升了 。他认为这一现象决非偶然，应是由战争期间捕鱼量减少所致,
食用鱼 人类捕捞食肉鱼捕鱼量减少，食用鱼的比例反而降低？
数学家 V.Volterra建立了一个数学模型给予解释。
模型建立,
x(t) — t 时刻食用鱼 （ prey） 的数量,
y(t) — t 时刻食肉鱼 (predator) 的数量,
假设如下：
*1 没有食肉鱼,食用鱼的净相对增长率为正常数 (k1>0);
*2 没有食用鱼，食肉鱼的净相对增长率为负常数 (－ k2,k2＞ 0)；
*3 两类鱼相遇的机会正比于 x和 y 的乘积 ；
建立微分方程如下：
其中参数 b＞ 0,c＞ 0.
模型分析,关心相互制约的两类鱼种的总变化趋势,针对建模目的，对微分方程进行以下分析工作：
1.讨论方程的平衡点；
2,分析验证方程组是否有周期解；
3,对方程组周期解进行分析；
4,D′A ncona现象的解释,
)1(
).(
);(
22
11
cxkycx yyk
dt
dy
bykxbxyxk
dt
dx
1.求平衡点
.0;0
2
1
cx yyk
dt
dy
b x yxk
dt
dx
令在平衡点处，两类鱼将能够“平衡”地生存,它们的数量将一直保持这个水平,
平衡点,(0,0)与（ x,y） =( )
b
k
c
k 12,
平凡的
2,分析验证方程组有周期解；
(1) 求相轨线方程将方程组（ 1）的两个方程相除：
b
y
k
c
x
k
bykx
cxky
dx
dy
1
2
1
2
)(
)(
dxc
x
k
dyb
y
k
)()( 21
两边积分 scxxkbyyk lnln 21
其中 S 为任意常数,
)2())(( 12 Seyex bykcxk
(2) 验证方程有周期解分析,方程组 (1) 有周期解相轨线 (2) 是 一族封闭曲线
x
y
0 x0 x1x
需证明,对每一条轨线,存在 x0＜ x1,使,
1） x0＜ x＜ x1时,方程 (2)有两个相异根 ；
2） x =x0 或 x=x1时,方程仅有一个单根 ；
3） 时,方程 (2)无根,],[
10 xxx? 证明
3.对方程周期解的分析 。
1.相轨线的形状设方程的周期解为,x=x(t),y=y(t),t＞ 0,则对任意给定的 t0＞ 0,存在 t1＞ 0,使
x(t0)=x(t1),y(t0)=y(t1)
方程 (1)的相轨线是一族包含平衡点 A( )
的封闭曲线,b
k
c
k 12,
x
y
o k
2/c
k1/b A
2,平衡点 A的实际意义记 T=t1-t0,称 T 周期,将原方程
).(
);(
22
11
cxkycx yyk
dt
dy
bykxb x yk
dt
dx
中的第二个方程改写为
cxk
y
cxkyy
dt
dy
2
2 )(/
两边从 t0 到 t1 积分，得
dtcxk
y
dy t
t
t
t
2
1
1
1
)( 2
2
1
)(12 t
t
dttx
Tc
k
2
1
)(11 tt dtty
Tb
k同理结论,食用鱼和食肉鱼的平衡量恰为它们的数量在一个周期内的平均值,
0
)(
)(
ln)(2
1 0
1
2
t
t ty
ty
dttxcTk
o x(食用鱼 )
y
A
0,0 dtdydtdx 0,0 dtdydtdx
0,0 dtdydtdx0,0
dt
dy
dt
dx
3,D′A ncona现象的解释为考察捕鱼业对两种鱼类的影响,引入捕捞能力系数 ε，将方程 (1)改写为
)3(
.)(;)(
2
1
cx yyk
dt
dy
bxyxk
dt
dx
方程 (3)的平衡点为 A′( ),由于捕捞能力系数的引进，食用鱼的平均量增大,而食肉鱼的平均量则减少了,
b
εk,
c
εk 12
Volterra原理：为了减少强者,只需捕获弱者,
也是数学建模的必备基础理论,
一,微分方程定性理论的基本任务和主要研究方法极少情况下，能够用初等函数或初等函数的积分表示微分方程的解,
求微分方程的数值解解决方法 对微分方程进行定性分析一般提法,不去积分给定的微分方程,而根 据方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在整个区域内的分布状态,
微分方程定性分析基本任务,考虑在有限区域内积分曲线的形状，
或研究当时间无限增大时,积分曲线的性态,
研究对象,驻定系统
nixxxf
dt
dx
ni
i,,2,1),,,,(
21
其右端的函数不显含自变量 t，称为一阶 n维驻定系统 (自治系统、动力系统 ).
若微分方程组例 5.2.1单一质点非受迫直线运动满足下方程
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2
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存在且唯一，则在三维空间 (x,y,t)中有且仅有一条解曲线通过点 (x0,y0,t0).
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基本思想 将空间曲线投影到平面上进行分析,
x
y
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(x,y,t)
解曲线投影曲线定义,称平面 (x,y)为 相平面,称解曲线在相平面上的投影为 相轨线,相轨线族称为相位图,
轨线方程 可由原方程（ 2）消去 t 而得到,相点的 运动方向 可由原方程确定,
对系统运动的研究归结为对轨线性质的研究,
若点 (x0,y0)使 P(x0,y0)= Q(x0,y0)=0,称 (x0,y0)
为方程 (2)的 平衡点,
二,战斗模型分析续例 5.1.2 两方军队交战,希望为这场战斗建立一个数学模型,应用这个模型达到如下目的：
3,计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗？
记 x(t) — t 时刻 X方存活的士兵数 ；
y(t) — t 时刻 Y方存活的士兵数 ；
1,预测哪一方将获胜？
2,估计获胜的一方最后剩下多少士兵？
有微分方程组：
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4,战斗持续时间？
初始条件为 x(0)=x0,y(0)=y0
模型分析,
1,分析方程组
1）变量 x≥0,y≥0,有唯一平衡点 (0,0);
2） x(t),y(t)都是单降函数,且随着 x,y的减小，
衰减速度也在降低,
2,分析相位图
1） 求相轨线方程,将两个方程相除，得
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代入初始条件，有 cbxay 2020
)()( 202202 xxbyya
双曲线族
2） 预测何方军队获胜,将剩下多少士兵,
(1)若,解曲线方程化为2
020 bxay?
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一场势均力敌的,导致相互毁灭的战斗
0 x
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(x0,y0)Y方胜
X方胜
（ 2）若,从相位图观察出 Y方将获胜,2
020 bxay?
证明 令 y=0,由轨线方程得
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不可能出现 x>0 同时 y=0 的情形,即 X
方获胜的情形,
abxayyx /)(,0 2020 得令即 Y方获胜时的幸存士兵数,
3） 测算失败一方开始应投入兵力,
测算失败一方开始应投入兵力矛盾
4） 战斗的持续时间 战斗的持续时间三,捕食系统的 Volterra方程 （狐狸与野兔问题）
上世纪初,意大利生物学家 U.D′A ncona在研究中，发觉第一次世界大战期间从地中海捕获的鱼中,鲨鱼等食肉鱼的比例十分明显地上升了 。他认为这一现象决非偶然，应是由战争期间捕鱼量减少所致,
食用鱼 人类捕捞食肉鱼捕鱼量减少，食用鱼的比例反而降低？
数学家 V.Volterra建立了一个数学模型给予解释。
模型建立,
x(t) — t 时刻食用鱼 （ prey） 的数量,
y(t) — t 时刻食肉鱼 (predator) 的数量,
假设如下：
*1 没有食肉鱼,食用鱼的净相对增长率为正常数 (k1>0);
*2 没有食用鱼，食肉鱼的净相对增长率为负常数 (－ k2,k2＞ 0)；
*3 两类鱼相遇的机会正比于 x和 y 的乘积 ；
建立微分方程如下：
其中参数 b＞ 0,c＞ 0.
模型分析,关心相互制约的两类鱼种的总变化趋势,针对建模目的，对微分方程进行以下分析工作：
1.讨论方程的平衡点；
2,分析验证方程组是否有周期解；
3,对方程组周期解进行分析；
4,D′A ncona现象的解释,
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平衡点,(0,0)与（ x,y） =( )
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平凡的
2,分析验证方程组有周期解；
(1) 求相轨线方程将方程组（ 1）的两个方程相除：
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其中 S 为任意常数,
)2())(( 12 Seyex bykcxk
(2) 验证方程有周期解分析,方程组 (1) 有周期解相轨线 (2) 是 一族封闭曲线
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0 x0 x1x
需证明,对每一条轨线,存在 x0＜ x1,使,
1） x0＜ x＜ x1时,方程 (2)有两个相异根 ；
2） x =x0 或 x=x1时,方程仅有一个单根 ；
3） 时,方程 (2)无根,],[
10 xxx? 证明
3.对方程周期解的分析 。
1.相轨线的形状设方程的周期解为,x=x(t),y=y(t),t＞ 0,则对任意给定的 t0＞ 0,存在 t1＞ 0,使
x(t0)=x(t1),y(t0)=y(t1)
方程 (1)的相轨线是一族包含平衡点 A( )
的封闭曲线,b
k
c
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x
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2,平衡点 A的实际意义记 T=t1-t0,称 T 周期,将原方程
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1
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1
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方程 (3)的平衡点为 A′( ),由于捕捞能力系数的引进，食用鱼的平均量增大,而食肉鱼的平均量则减少了,
b
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Volterra原理：为了减少强者,只需捕获弱者,
