第二章 数学与现实世界一,从现实世界到数学模型数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁面对各类问题：
当一个直径约为 1000米 的小行星正好在南极与南极洲大陆相撞,是否会产生灾难性的影响？
1,世界的末日？
2,如何控制喷泉的高度？
如何智能控制广场中央的喷泉高度，以避免水雾浸湿游客的衣衫？
3,怎样安排性急的游客？
在大型游乐场里如何安排游客,让他们乐意等待，乐意花钱？
数学模型是对于现实世界的一个 特定对象,
为了一个 特定目的,根据特有的 内在规律,做出必要的 简化假设,运用适当的数学工具建立的一个数学结构,
4,人的指纹是否惟一？
现实世界数学世界建立数学模型 推理演绎求解翻译为实际解答实际解答,如对现实对象的分析、预报、
决策、控制等结果。
始于现实世界并终于现实世界例 2.1 一场笔墨官司 （放射性废物的处理问题）
美国原子能委员会（现为核管理委员会）
处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深 300英尺的海里,
他们这种做法 安全 吗？
分析,可从各个角度去分析造成危险的因素，
这里仅考虑圆桶泄露的可能,
联想,安全,危险问题的关键
* 圆桶至多能承受多大的 冲撞速度？ (40英尺 /秒 )
* 圆桶和海底碰撞时的速度有多大？
问题,求这一种桶沉入 300英尺的海底时的末速度,（原问题是什么?）
可利用的数据条件,
圆桶的总重量 W=527.327（磅）
圆桶受到的浮力 B=470.327（磅）
圆桶下沉时受到的海水阻力 D=Cv,C=0.08
可利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移满足的微分方程：
)1(
2
2
DBW
dt
yd
m
v
dt
dyCvD
g
wm,,其中
)2(
.0)0(
),(
V
BW
W
g
v
W
cg
dt
dv
或方程的解为计算碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间 t0
分析,考虑圆桶的极限速度
08.0
327.470436.527)(l i m
C
BWtv
t
0),1()(
te
C
BW
tv
t
W
Cg
≈713.86 （英尺 /秒）＞＞ 40（英尺 /秒）
实际极限速度 与圆桶的 承受速度 相差巨大！
结论,解决问题的方向是正确的,
解决思路,避开求 t0的难点令 v(t)=v(y(t)),其中 y=y(t) 是圆桶下沉深度
dt
dy
dy
dv
dt
dv,?将 代入（ 1）得
,,CvBW
dt
dy
dy
dv
m
.0)0(,0)0(
,
yv
W
g
dy
dv
CvBW
v
或两边积分得函数方程：
,ln2 WgyBW CvBWC BWCv
若能求出函数 v=v(y),就可求出碰撞速度
v(300).(试一试 )
* 用 数值方法 求出 v(300)的近似值为
v(300)≈45.41（英尺 /秒） ＞ 40（英尺 /秒）
* 分析 v=v(y) 是一个单调上升函数，而 v 增大,y 也增大,可求出函数 y=y(v)
),ln( 2
BW
CvBW
C
BW
C
W
g
Wy
令 v=40(英尺 /秒 ),g=32.2（英尺 /秒），算出
y= 238.4 (英尺 )＜ 300（英尺）
问题的实际解答,美国原子能委员会处理放射性废物的做法是极其危险的,必须改变 。
例 2.2 渡口模型一个渡口的渡船营运者拥有一只甲板长 32米，
可以并排停放两列车辆的渡船,他在考虑怎样在甲板上安排过河车辆的位置,才能 安全 地运过 最多 数量的车辆,
分析,怎样安排过河车辆，关心一次可以运多少辆各类车,
准备工作,观察数日，发现每次情况不尽相同，得到下列数据和情况：
(1) 车辆随机到达，形成一个等待上船的车列；
这是一个机理较复杂的随机问题，是遵循
,先到先服务,的随机排队问题。
解决方法 采用模拟模型方法,
分析 需考虑以下问题：
(2) 来到车辆中,轿车约占 40％,卡车约占 55％,
摩托车约占 5％ ；
(3) 轿车车身长为 3.5～ 5.5米,卡车车身长为 8～
10米,
(1) 应该怎样安排摩托车？
(2) 下一辆到达的车是什么类型？
(3) 怎样描述一辆车的车身长度？
(4) 如何安排到达车辆加入甲板上两列车队中的哪一列中去？
问题的解决：
(1) 认为摩托车不会占有实际空间,
(2) 确定即将到达车辆类型，利用随机模拟方法
0 0.55 0.95 1
卡车 轿车 自行车汽车类型及车身长模拟原理分析
(2) 确定随机到达车辆的身长车。
(3) 关于车辆的排放,
甲板可停放两列汽车，可供停车的总长为
32× 2=64米排放原则,两列尽可能均衡。（怎样实现？）
结果分析,由一组特定随机数确定车型和车身长度，仅得到一个解答,
将 一组随机数模拟确定的结果，看成对一次实际运载情况的“观察”，少数几次观察是无意义的,
例 2.3 人口增长模型需多次重复模拟,再进行统计分析据人口学家们预测，到 2033年,世界人口将突破 100亿,每年增加近 1亿人口,以后还会迅猛增长,
人们开始考虑,我们赖以生存的地球究竟是否能承受如此的增长,现建立数学模型 来 预测人口的增长,
分析 设任意时刻的人口总数为 N(t),影响一个地区总人口数的最显著的因素应包括哪些？
影响因素个体的出生
、
死亡迁入
、
迁出年龄结构性别比例
……
现仅考虑 出生 和 死亡 对人口数的影响。
在 时间段?t内，出生和死亡人口数的 变化将依赖于以下因素：
1.时间间隔?t的长短 ；
2.时间间隔开始时的人口基数,
建 模 过 程
dbdtdNN1
模型分析 等式左端（以及右端）可以理解为,相对增长率,
对相对增长率做不同的假设可以建立不同的数学模型，并得到不同的解曲线。
N(t)= N0ert,t≥0
1,假设净相对增长率 r=b?d 是常数,得到
Malthus 模型：
模型分析 假若净增长率 r>0,人口的预测值将以?r为公比按几何级数无限增长,
不太符合实际，原因是假设条件过于简单,
模 型 改 进得到 Logistic模型：
不 同 假 设
rte
N
K
K
rteNK
rtKeN
tN
)1
0
(1)1(
0
0)(
思考 请绘出 Logistic曲线图,分析曲线特征,
据此讨论：
1,Logistic模型具有哪些特点？
2,比较两个人口模型的优缺点,
模型分析;0)(,,0.1 tNtr 则有随着若;)(
,0.2 0
tN
tNr 时均有当的任意值，对若
.)(0.3 0NtNr 时，若
3.请将此例的人口模型与新产品销售模型
（讲义 p14例 2.2.6）进行类比,它们在建模方法和模型描述方面有什么异同处?
当一个直径约为 1000米 的小行星正好在南极与南极洲大陆相撞,是否会产生灾难性的影响？
1,世界的末日？
2,如何控制喷泉的高度？
如何智能控制广场中央的喷泉高度，以避免水雾浸湿游客的衣衫？
3,怎样安排性急的游客？
在大型游乐场里如何安排游客,让他们乐意等待，乐意花钱？
数学模型是对于现实世界的一个 特定对象,
为了一个 特定目的,根据特有的 内在规律,做出必要的 简化假设,运用适当的数学工具建立的一个数学结构,
4,人的指纹是否惟一？
现实世界数学世界建立数学模型 推理演绎求解翻译为实际解答实际解答,如对现实对象的分析、预报、
决策、控制等结果。
始于现实世界并终于现实世界例 2.1 一场笔墨官司 （放射性废物的处理问题）
美国原子能委员会（现为核管理委员会）
处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深 300英尺的海里,
他们这种做法 安全 吗？
分析,可从各个角度去分析造成危险的因素，
这里仅考虑圆桶泄露的可能,
联想,安全,危险问题的关键
* 圆桶至多能承受多大的 冲撞速度？ (40英尺 /秒 )
* 圆桶和海底碰撞时的速度有多大？
问题,求这一种桶沉入 300英尺的海底时的末速度,（原问题是什么?）
可利用的数据条件,
圆桶的总重量 W=527.327（磅）
圆桶受到的浮力 B=470.327（磅）
圆桶下沉时受到的海水阻力 D=Cv,C=0.08
可利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移满足的微分方程：
)1(
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≈713.86 （英尺 /秒）＞＞ 40（英尺 /秒）
实际极限速度 与圆桶的 承受速度 相差巨大！
结论,解决问题的方向是正确的,
解决思路,避开求 t0的难点令 v(t)=v(y(t)),其中 y=y(t) 是圆桶下沉深度
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或两边积分得函数方程：
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v(300).(试一试 )
* 用 数值方法 求出 v(300)的近似值为
v(300)≈45.41（英尺 /秒） ＞ 40（英尺 /秒）
* 分析 v=v(y) 是一个单调上升函数，而 v 增大,y 也增大,可求出函数 y=y(v)
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令 v=40(英尺 /秒 ),g=32.2（英尺 /秒），算出
y= 238.4 (英尺 )＜ 300（英尺）
问题的实际解答,美国原子能委员会处理放射性废物的做法是极其危险的,必须改变 。
例 2.2 渡口模型一个渡口的渡船营运者拥有一只甲板长 32米，
可以并排停放两列车辆的渡船,他在考虑怎样在甲板上安排过河车辆的位置,才能 安全 地运过 最多 数量的车辆,
分析,怎样安排过河车辆，关心一次可以运多少辆各类车,
准备工作,观察数日，发现每次情况不尽相同，得到下列数据和情况：
(1) 车辆随机到达，形成一个等待上船的车列；
这是一个机理较复杂的随机问题，是遵循
,先到先服务,的随机排队问题。
解决方法 采用模拟模型方法,
分析 需考虑以下问题：
(2) 来到车辆中,轿车约占 40％,卡车约占 55％,
摩托车约占 5％ ；
(3) 轿车车身长为 3.5～ 5.5米,卡车车身长为 8～
10米,
(1) 应该怎样安排摩托车？
(2) 下一辆到达的车是什么类型？
(3) 怎样描述一辆车的车身长度？
(4) 如何安排到达车辆加入甲板上两列车队中的哪一列中去？
问题的解决：
(1) 认为摩托车不会占有实际空间,
(2) 确定即将到达车辆类型，利用随机模拟方法
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卡车 轿车 自行车汽车类型及车身长模拟原理分析
(2) 确定随机到达车辆的身长车。
(3) 关于车辆的排放,
甲板可停放两列汽车，可供停车的总长为
32× 2=64米排放原则,两列尽可能均衡。（怎样实现？）
结果分析,由一组特定随机数确定车型和车身长度，仅得到一个解答,
将 一组随机数模拟确定的结果，看成对一次实际运载情况的“观察”，少数几次观察是无意义的,
例 2.3 人口增长模型需多次重复模拟,再进行统计分析据人口学家们预测，到 2033年,世界人口将突破 100亿,每年增加近 1亿人口,以后还会迅猛增长,
人们开始考虑,我们赖以生存的地球究竟是否能承受如此的增长,现建立数学模型 来 预测人口的增长,
分析 设任意时刻的人口总数为 N(t),影响一个地区总人口数的最显著的因素应包括哪些？
影响因素个体的出生
、
死亡迁入
、
迁出年龄结构性别比例
……
现仅考虑 出生 和 死亡 对人口数的影响。
在 时间段?t内，出生和死亡人口数的 变化将依赖于以下因素：
1.时间间隔?t的长短 ；
2.时间间隔开始时的人口基数,
建 模 过 程
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模型分析 等式左端（以及右端）可以理解为,相对增长率,
对相对增长率做不同的假设可以建立不同的数学模型，并得到不同的解曲线。
N(t)= N0ert,t≥0
1,假设净相对增长率 r=b?d 是常数,得到
Malthus 模型：
模型分析 假若净增长率 r>0,人口的预测值将以?r为公比按几何级数无限增长,
不太符合实际，原因是假设条件过于简单,
模 型 改 进得到 Logistic模型：
不 同 假 设
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思考 请绘出 Logistic曲线图,分析曲线特征,
据此讨论：
1,Logistic模型具有哪些特点？
2,比较两个人口模型的优缺点,
模型分析;0)(,,0.1 tNtr 则有随着若;)(
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.)(0.3 0NtNr 时，若
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（讲义 p14例 2.2.6）进行类比,它们在建模方法和模型描述方面有什么异同处?
