第四章 量纲分析建模法在数学的应用中,需处理的往往不是“纯粹的”
数,而是反映事物某一特性的度量,
用数加单位来表示具体度量;
用量纲的概念来表示被度量的特性,
量纲分析法是一种有效的物理建模方法一,单位
SI 国际单位制(米 — 千克 — 秒);
fps 英制单位制(英尺 — 磅 — 秒)
一个模型中单位必须统一二,量纲时间 ( T)
基本物理量质量 ( M)
长度 ( L)
力学中,任何物理量都可以表示为其组合形式,称这种组合形式为物理量的 量纲,
称为基本量纲其中 [质量 ]=[ m ]=M,
[长度 ]=[ l ]=L,
[时间 ]=[ t ]=T,
例:
[加速度 ]=[ a ] =LT- 2 ;
因为力 F=ma,故 [ F ]=[ m ][ a ] =MLT- 2;
部分物理常数也有量纲,如万有引力定律
2
21
r
mmKf?
中的引力常数 K的量纲为
213
2
22
21
2
21
2
]][[
]][[
][


TML
M
LL M T
mm
rf
mm
fr
K
[速度 ]=[ v ]=[ ] = =LT- 1 ;
dt
ds
部分物理量是无量纲的,称之为纯数字,如
[ 角度 ] =LL— 1=L0
尽管角度是无量纲量,但它有单位 (弧度 ).
量 纲 独 立 于 单 位三,量纲齐次性( Dimensional Homogeneity)
量纲齐次原则,任一有意义的物理方程必定是量纲一致的,即有
[左边 ] = [右边 ]
1,对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验。
2,无量纲化方法减少参数个数,
F
dt
dx
CKx
dt
xd
m
2
2
例 4.1 非线性震荡运动方程


.
,
FCvKx
dt
dv
m
v
dt
dx
或模型中有参数,m,K,C
令 x0=x(0),w0 =,v0=x0 w0,
mK
根据量纲齐次性,有
[ w0 ]=T- 1,[ F ]=MLT- 2,
[ K ]=MT- 2,[ C ]= MT- 1.
引进无量纲量:
T=w0t,X=x/x0,V=v/v0
v
dT
dXv
dT
dXxw
w
T
d
Xxd
dt
dx
000
0
0
)(
)(

V
v
v
dT
dX
0
特点?
dT
dV
vmw
d
Vvd
m
dt
dv
m
w
T 00
0
)(
)(
0
将代入原方程,有
000000 vmw
Fv
vmw
Cx
vmw
K
dT
dV
0000020
)()(
vmw
F
v
v
mw
C
x
x
mw
K

=- X- AV+F0
其中,因 v0=x0w0,w0=
mK
原方程变形为
XFAV
dT
dV
0
优点:
1,减少了参数的个数;
2,方程中的变量 X,V,T都是无量纲量,
四,量纲分析建模量纲分析是 20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法,是对所设问题有一定了解,在 实验和经验 的基础上利用量纲齐次原则来确定各物理量之间的关系,
例 4.2 单摆运动 单摆运动的抽象
Buckingham Pi定理:
设有 m 个物理量 q1,q2,… q m,而
f (q1,q2,… q m )=0 ( 1)
是与量纲单位的选取无关的物理定律。 X1,X2,
…,X n 是基本量纲,其中 n≤m,q1,q2,… q m
的量纲可表为


n
i
iij mjXa
ij
1
,,2,1,
矩阵 A={ai,j}n× m称为 量纲矩阵,若 A的秩
Rank(A)=r
若齐次线性方程组 AY=0 ( y是 m维向量 )的 m-
r个基本解为,
ys=(ys1,ys2,…,y sm)T,s=1,2,…,m - r
m
j
y
js
sjq
1
则为 m- r 个相互独立的无量纲量,且
F(π1,π2,…,πm- r)=0 ( 2)
与( 1)式等价,其中 F的形式未知,
例 4.2 航船阻力例 4.3 物理模拟中的比例模型应用量纲分析法建立数学模型应注意:
1,正确确定模型中所含物理量
2,合理选择基本量纲
3,应根据特定的建模目的 恰当地构造基本解,
一般,在力学中选取 L,M,T即可,热学问题加上温度量纲 Θ,电学问题加上电量量纲 Q).
主要靠经验和背景知识,没有一般的方法可以保证得到的结果是正确或有效,
量纲分析建模方法有如下优缺点,
2,可将无关的物理量去掉,
3,可由原始物理量组合成一些有用的无量纲量,
4,方法有局限性,PI定理中的等价方程 F(·)=0,
仍然包含着一些未定函数、参数或无量纲量,
5,物理定律中常见的函数,如三角函数 sin(·),
指数函数 exp(·)等是无量纲的,不可能用量纲分析法得到,
任何建模方法都有局限性
1.不需要专门的物理知识和高深的数学方法,
可以得到用其他复杂方法难以得到的结果,