3.5 求解数学模型求数学模型的解重要而困难求解纯数学问题求解数学模型
* 涉及不同数学分支的知识，同时还需借助与背景知识,
* 针对现实问题建立的数学模型，往往仅可求数值解,
* 有类问题可采用分析法得到问题的实际解答 (如微分方程定性分析 ),
例 3.5.1,稳定的椅子将一张四条腿一样长的方桌放在不平的地面上,问是否总能设法使它的四条腿同时着地？
假设
*1 地面为连续曲面,（在 Oxyz坐标系中，地面可用一个连续二元函数 z=z(x,y)表示）
*2 相对于地面的弯曲程度,方桌的腿足够长,
*3 将与地面的接触看成几何上的点接触,
建模绘制方桌的俯视图，设想桌子绕中心 O点旋转，
转动角度记为 θ.
O A
B
C
D
A’
C’
θ
引进函数变量：
f(θ) — A,C 两腿到地面的距离之和；
g(θ) — B,D 两腿到地面的距离之和；
由假设 *1,f(θ),g(θ)都是连续函数,
由 *2，方桌腿足够长，至少有三条腿总能同时着地，故有
f(θ)g(θ)=0,θ∈ [0,2π]
不妨设 f(0)=0,g(0)＞ 0,方桌问题归结为数学问题,
已知 f(θ) 和 g(θ) 都是连续函数 ； f(0)=0、
g(0)＞ 0,且对任意 θ,都有 f(θ)g(θ)=0，
求证,存在 θ0,使得 f(θ0)=g(θ0).
分析,当 θ=π/2时,即 AC 和 BD互换位置,
故有 f(π/2)＞ 0,g(π/2)=0
令 h(θ)=f(θ)－ g(θ),则有因 h(θ) 在 [0,π/2]上连续，根据闭区间上连续函数的介值定理，存在 θ0∈ [0,π/2]，
使
f(θ0) = g(θ0)
因对任意 θ有,f(θ)g(θ)=0
f(θ0)g(θ0)=0 f(θ0)=g(θ0)=0
h(θ0)=f(θ0)－ g(θ0)=0
h(0)＜ 0,h(π/2)＞ 0，
结论 对于四条腿等长，四脚呈正方形的桌子，
在光滑地面上做原地旋转，在不大于 π/2的角度内，必能放平,
问题,任意矩形的桌子会怎样？
模型求解需要一定的技巧例子中的建模及求解技巧：
1,用一元变量表示位置；
2,用 θ的函数表示距离；
3,利用问题的背景条件来求解,
建立坐标一,近似求解
1,减少模型中变量个数初建立的模型往往包含许多变量，一些变量对最终结果的影响会大于其他变量的影响；
减少模型中变量个数，简化模型，便于求解比较变量的数量级，估计变量在模型中的作用与地位,
用记号 x～ O(10)表示,数量 x的数量级是 10”
或,x的值在 10的附近,
例 3.5.2 为研究十八世纪美国的人口增长情况，
建立如下模型
0)0(
,)1(
NN
N
N
N
r
dt
dN
M
分析,当时美国人口数量以百万为单位，即有
N(t)～ O(107)
最大容许量 NM的数量单位以亿计，即
NM～ O（ 109）
从而 N/NM～ O（ 10－ 2）,原模型可以简化为
0)0(
,
NN
rN
dt
dN
其解为
rteNtN 0)(?,t≥0
著名的
Malthus模型
2,利用泰勒展式近似求解假定零件参数 Xi,i=1,2,…,7 是相互独立的同服从正态分布的随机变量，则函数
),,,( 721 XXXfY
例 3.4.3 零件的参数设计服从什么分布？
将函数 y 在标定值 （ μ1,μ2,…,μ7） 做泰勒展开,得到 y的一阶近似表达式：
7
1
721
721721
)(
),,,(
),,,(),,,(
i
ii
i
x
x
x
xxxy
fxxxf
Y 近似表示为相互独立正态随机变量的线性组合，故可认为 Y近似服从正态分布,
例 3.5.4 广义生日问题（社会保险号码设计问题）
要使一个班中至少有两个人的生日相同的概率超过 p (0<p<1,p+q=1),该班级至少需有多少人？
建模,假设班中有 n个人,至少有两人的生日相同的概率为
nnpnP 365/1)( 3 6 5
求最小的整数 n，
更一般的提法是
xn
x
nxxxxnf
n
1,)1()2)(1()(?
求最小的整数 n,.)( qnf?使
.3 6 5,)( 365 qPpnP nn 或使使
)11()21)(11()(
x
n
xx
nf
求解利用泰勒近似展开式
,1
x
e
Kx
K
K=1,2,…,n.
)()(
1321
ngeeeenf x
n
xxx
有令 g(n)=q,解出 n2－ n+2xlnq =0,
方程的正根为 xqn )( l n225.05.0
当 q=0.5,则 xn 38629.125.05.0
二,减少参数的个数初建立的数学模型往往带有较多的未知参数，
给模型求解造成很大困难，如电铃振荡运动的方程
F
dt
dx
cKx
dt
xd
m
2
2
有未知参数 m,K,c.
用无量纲法、变量替换法尽量减少参数个数，
例 3.5.5,在地面截击防卫战术的软件系统结构设计中需要了解飞机在拉高过程中的高度损失,建立飞行状态模型如下：
)c os(
s i n
2?
gkV
gV
d
dV
其中,k 是比例系数,V是飞行速度的大小，
γ是飞行方向角,求 γ=0 时,V(0)=Vf 的解,
求解 已知方程解满足函数方程：
0s i n
3
1c o s
3
1
00
3
0
3 gVkVgVkV
V0是初始速度,γ0是初始飞行方向角,方程中有未知参数 k,V0,γ0以及 g.当 γ=0,有
0s i n
3
1
3
1
00
3
0
3gVkVgVkV
ff
将方程两边同除以 kV03,并记 B=g/kV02,原方程改写为
0s i n
3
1
)()(
3
1
0
0
3
0
B
V
V
B
V
V ff
将看 成新的变量，方程只有两个未知参数
γ0,B,0V
Vf
* 涉及不同数学分支的知识，同时还需借助与背景知识,
* 针对现实问题建立的数学模型，往往仅可求数值解,
* 有类问题可采用分析法得到问题的实际解答 (如微分方程定性分析 ),
例 3.5.1,稳定的椅子将一张四条腿一样长的方桌放在不平的地面上,问是否总能设法使它的四条腿同时着地？
假设
*1 地面为连续曲面,（在 Oxyz坐标系中，地面可用一个连续二元函数 z=z(x,y)表示）
*2 相对于地面的弯曲程度,方桌的腿足够长,
*3 将与地面的接触看成几何上的点接触,
建模绘制方桌的俯视图，设想桌子绕中心 O点旋转，
转动角度记为 θ.
O A
B
C
D
A’
C’
θ
引进函数变量：
f(θ) — A,C 两腿到地面的距离之和；
g(θ) — B,D 两腿到地面的距离之和；
由假设 *1,f(θ),g(θ)都是连续函数,
由 *2，方桌腿足够长，至少有三条腿总能同时着地，故有
f(θ)g(θ)=0,θ∈ [0,2π]
不妨设 f(0)=0,g(0)＞ 0,方桌问题归结为数学问题,
已知 f(θ) 和 g(θ) 都是连续函数 ； f(0)=0、
g(0)＞ 0,且对任意 θ,都有 f(θ)g(θ)=0，
求证,存在 θ0,使得 f(θ0)=g(θ0).
分析,当 θ=π/2时,即 AC 和 BD互换位置,
故有 f(π/2)＞ 0,g(π/2)=0
令 h(θ)=f(θ)－ g(θ),则有因 h(θ) 在 [0,π/2]上连续，根据闭区间上连续函数的介值定理，存在 θ0∈ [0,π/2]，
使
f(θ0) = g(θ0)
因对任意 θ有,f(θ)g(θ)=0
f(θ0)g(θ0)=0 f(θ0)=g(θ0)=0
h(θ0)=f(θ0)－ g(θ0)=0
h(0)＜ 0,h(π/2)＞ 0，
结论 对于四条腿等长，四脚呈正方形的桌子，
在光滑地面上做原地旋转，在不大于 π/2的角度内，必能放平,
问题,任意矩形的桌子会怎样？
模型求解需要一定的技巧例子中的建模及求解技巧：
1,用一元变量表示位置；
2,用 θ的函数表示距离；
3,利用问题的背景条件来求解,
建立坐标一,近似求解
1,减少模型中变量个数初建立的模型往往包含许多变量，一些变量对最终结果的影响会大于其他变量的影响；
减少模型中变量个数，简化模型，便于求解比较变量的数量级，估计变量在模型中的作用与地位,
用记号 x～ O(10)表示,数量 x的数量级是 10”
或,x的值在 10的附近,
例 3.5.2 为研究十八世纪美国的人口增长情况，
建立如下模型
0)0(
,)1(
NN
N
N
N
r
dt
dN
M
分析,当时美国人口数量以百万为单位，即有
N(t)～ O(107)
最大容许量 NM的数量单位以亿计，即
NM～ O（ 109）
从而 N/NM～ O（ 10－ 2）,原模型可以简化为
0)0(
,
NN
rN
dt
dN
其解为
rteNtN 0)(?,t≥0
著名的
Malthus模型
2,利用泰勒展式近似求解假定零件参数 Xi,i=1,2,…,7 是相互独立的同服从正态分布的随机变量，则函数
),,,( 721 XXXfY
例 3.4.3 零件的参数设计服从什么分布？
将函数 y 在标定值 （ μ1,μ2,…,μ7） 做泰勒展开,得到 y的一阶近似表达式：
7
1
721
721721
)(
),,,(
),,,(),,,(
i
ii
i
x
x
x
xxxy
fxxxf
Y 近似表示为相互独立正态随机变量的线性组合，故可认为 Y近似服从正态分布,
例 3.5.4 广义生日问题（社会保险号码设计问题）
要使一个班中至少有两个人的生日相同的概率超过 p (0<p<1,p+q=1),该班级至少需有多少人？
建模,假设班中有 n个人,至少有两人的生日相同的概率为
nnpnP 365/1)( 3 6 5
求最小的整数 n，
更一般的提法是
xn
x
nxxxxnf
n
1,)1()2)(1()(?
求最小的整数 n,.)( qnf?使
.3 6 5,)( 365 qPpnP nn 或使使
)11()21)(11()(
x
n
xx
nf
求解利用泰勒近似展开式
,1
x
e
Kx
K
K=1,2,…,n.
)()(
1321
ngeeeenf x
n
xxx
有令 g(n)=q,解出 n2－ n+2xlnq =0,
方程的正根为 xqn )( l n225.05.0
当 q=0.5,则 xn 38629.125.05.0
二,减少参数的个数初建立的数学模型往往带有较多的未知参数，
给模型求解造成很大困难，如电铃振荡运动的方程
F
dt
dx
cKx
dt
xd
m
2
2
有未知参数 m,K,c.
用无量纲法、变量替换法尽量减少参数个数，
例 3.5.5,在地面截击防卫战术的软件系统结构设计中需要了解飞机在拉高过程中的高度损失,建立飞行状态模型如下：
)c os(
s i n
2?
gkV
gV
d
dV
其中,k 是比例系数,V是飞行速度的大小，
γ是飞行方向角,求 γ=0 时,V(0)=Vf 的解,
求解 已知方程解满足函数方程：
0s i n
3
1c o s
3
1
00
3
0
3 gVkVgVkV
V0是初始速度,γ0是初始飞行方向角,方程中有未知参数 k,V0,γ0以及 g.当 γ=0,有
0s i n
3
1
3
1
00
3
0
3gVkVgVkV
ff
将方程两边同除以 kV03,并记 B=g/kV02,原方程改写为
0s i n
3
1
)()(
3
1
0
0
3
0
B
V
V
B
V
V ff
将看 成新的变量，方程只有两个未知参数
γ0,B,0V
Vf
