6.3 模型的参数估计数学建模的一个重要工作是建立变量间的数学关系式,但公式中几乎总是涉及一些参数,
如用下面三个数学式描述肥素的施肥水平对土豆产量的影响：
xbeay
1磷肥：
要得到最终可应用于实际的经验模型，
必须确定公式中的各个参数
,2210 xbxbby氮肥：
.CxBeAy或求模型中参数的估计值有三种常用方法：
图解法、统计法、机理分析法。
对经验模型的精度要求不高,只需对参数做出粗略估计时可采用图解法,
例 6.3.1 磷施肥量与土豆产量的关系式需估计三个参数 A,B,C,观察图 7.3,数据点都位于直线 y=43的下方，并且数据点越来越靠近这条直线,可以估计 A=43,
1．图解法
CxBeAy
例 6.2.2(见 P158例 7.2.1) 表中给出了 12月 1日
(星期二 )和 12月 2日 (星期三 )两天内的海浪潮高度值 (相对于海堤上的零标尺记号,以米为单位 ),能依据此表来预测 12月 5日 (星期六 )下午 1:00的海浪高度值吗？
分析 根据对数据散布图的分析,采用函数需估计振幅 a 和 频率 b.
解决方法,直接量出高低浪之间的高度差为
6.6米，
)(3.3? 米?a
)1(,0)()],(s in[)( txttbatx 其中
)2()c o s ()s i n ()( btcbtatx或量出海浪变化周期约为 12.3小时
3.122?b? )(511.0? 每小时?b
得经验模型将频率的估计代入 (2)式,有代入 x(0)=c=2.4 及 x(23)=3.6 7.2a
得关于海浪潮随时间变化的另一经验模型
.0),5 1 1.0c o s (4.2)5 1 1.0s i n (7.2)( ttttx
)5 1 1.0c o s ()5 1 1.0s i n ()( tctatx
.0) ],(511.0s in[3.3)( ttttx
x(109) = 2.4cos(5.11× 109) － 2.7sin(5.11× 109)
误差分析 这一时刻潮位的实际观察值为 4.1米,
相对误差大约是 12%,请考虑一下成因,
仔细分析图 5.5,可发觉图中模型应用预测 12月 5日下午 1:00的海浪潮高度为
(1 ) x=0似乎不是海浪高低潮位的中值 ;
(2) 振幅随时间的延续似乎在轻微地增大,
=2.4cos(55.7)－ 2.7sin(55.7)
=2.4cos(5.430－ 2.7sin(55.7)≈3.6(米 ).
参数估计的统计处理,往往运用最小二乘法估计,
2,统计法思考 怎样考虑这些细节来修改模型,以获得更准确的预报呢？
设有一组样本值,
),(,),,(),,( 2211 nn yxyxyx?
对选定的一元回归函数,回归模型为)(x?
～ N(0,σ2),,)( xY
称令,,,2,1),(? nixy ii
n
i
n
i
iiii xyyyS
1 1
22 )]([)?(?
为模型的 残差平方和,
应选取 μ(x)中的未知参数,使 S达最小值当回归函数为 μ(x)=a +bx,回归模型
～ N(0,σ2), bxaY
称为一元线性回归模型,其残差平方和为
n
i
ii bxayS
1
2)(
对 S 分别求关于 a,b 的偏导数,并令其等于零得线性方程组如下：
n
i
iii
n
i
ii
xbxay
bxay
1
1
0)(2
,0)(2
整理得正规方程 (组 )如下：
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
yxxbxa
yxbna
11
2
1
11
,
xbya
l
l
b
xx
xy
求得解
,
1
1
n
i
ixnx?
n
i
iyny
1
1
其中一元线性回归模型参数估计公式
n
i
ixx xxl
1
2)(
n
i
iixy yyxxl
1
))((
部分 非线性 回归函数经变量代换可化为 线性函数,利用线性 参数估计公式进行估计,如例 6.3.1 磷施肥量和土豆产量 的回归函数选为
xbeay
1
，令 xex
y
y,1 xbay
对数据进行相应变换,可估计出
,0232.0a,0073.0b
得到磷施肥量和土豆产量的经验公式
.0,
0073.00232.0
1?
x
e
y x
分析 有
43lim?
y
x
例 6.3.2 若用威布尔函数作为磷施肥量和土豆产量的回归函数两边取对数,有与目测法的结论惊人一致,
,0,43 xBey Cx
得令,43 yz
,0, xBez Cx
.lnln CxBz
相对于新变量 x,lnz,这是一元线性函数,
特点,统计分析法应用于变量间存在相关关系的情形,并且需要较多数据为基础,
3．机理分析法通过对问题的内部机理进行分析,找出变量间的因果关系,从而确定出参数,
例 6.3.3 录像机磁带计数器模型注 1.由于数据个数太少,不能用统计法估计参数；
2,这里采用机理分析法求参数的估计值,可利用的数据个数已是允许的最少个数了,
如用下面三个数学式描述肥素的施肥水平对土豆产量的影响：
xbeay
1磷肥：
要得到最终可应用于实际的经验模型，
必须确定公式中的各个参数
,2210 xbxbby氮肥：
.CxBeAy或求模型中参数的估计值有三种常用方法：
图解法、统计法、机理分析法。
对经验模型的精度要求不高,只需对参数做出粗略估计时可采用图解法,
例 6.3.1 磷施肥量与土豆产量的关系式需估计三个参数 A,B,C,观察图 7.3,数据点都位于直线 y=43的下方，并且数据点越来越靠近这条直线,可以估计 A=43,
1．图解法
CxBeAy
例 6.2.2(见 P158例 7.2.1) 表中给出了 12月 1日
(星期二 )和 12月 2日 (星期三 )两天内的海浪潮高度值 (相对于海堤上的零标尺记号,以米为单位 ),能依据此表来预测 12月 5日 (星期六 )下午 1:00的海浪高度值吗？
分析 根据对数据散布图的分析,采用函数需估计振幅 a 和 频率 b.
解决方法,直接量出高低浪之间的高度差为
6.6米，
)(3.3? 米?a
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得经验模型将频率的估计代入 (2)式,有代入 x(0)=c=2.4 及 x(23)=3.6 7.2a
得关于海浪潮随时间变化的另一经验模型
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)5 1 1.0c o s ()5 1 1.0s i n ()( tctatx
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x(109) = 2.4cos(5.11× 109) － 2.7sin(5.11× 109)
误差分析 这一时刻潮位的实际观察值为 4.1米,
相对误差大约是 12%,请考虑一下成因,
仔细分析图 5.5,可发觉图中模型应用预测 12月 5日下午 1:00的海浪潮高度为
(1 ) x=0似乎不是海浪高低潮位的中值 ;
(2) 振幅随时间的延续似乎在轻微地增大,
=2.4cos(55.7)－ 2.7sin(55.7)
=2.4cos(5.430－ 2.7sin(55.7)≈3.6(米 ).
参数估计的统计处理,往往运用最小二乘法估计,
2,统计法思考 怎样考虑这些细节来修改模型,以获得更准确的预报呢？
设有一组样本值,
),(,),,(),,( 2211 nn yxyxyx?
对选定的一元回归函数,回归模型为)(x?
～ N(0,σ2),,)( xY
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n
i
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i
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为模型的 残差平方和,
应选取 μ(x)中的未知参数,使 S达最小值当回归函数为 μ(x)=a +bx,回归模型
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称为一元线性回归模型,其残差平方和为
n
i
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对 S 分别求关于 a,b 的偏导数,并令其等于零得线性方程组如下：
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部分 非线性 回归函数经变量代换可化为 线性函数,利用线性 参数估计公式进行估计,如例 6.3.1 磷施肥量和土豆产量 的回归函数选为
xbeay
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，令 xex
y
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对数据进行相应变换,可估计出
,0232.0a,0073.0b
得到磷施肥量和土豆产量的经验公式
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x
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例 6.3.2 若用威布尔函数作为磷施肥量和土豆产量的回归函数两边取对数,有与目测法的结论惊人一致,
,0,43 xBey Cx
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,0, xBez Cx
.lnln CxBz
相对于新变量 x,lnz,这是一元线性函数,
特点,统计分析法应用于变量间存在相关关系的情形,并且需要较多数据为基础,
3．机理分析法通过对问题的内部机理进行分析,找出变量间的因果关系,从而确定出参数,
例 6.3.3 录像机磁带计数器模型注 1.由于数据个数太少,不能用统计法估计参数；
2,这里采用机理分析法求参数的估计值,可利用的数据个数已是允许的最少个数了,
