第五章 机理分析建模法机理分析方法立足于揭示事物内在规律机理分析是根据对现实对象特性的认识,分析其因果关系,找出反映内部机理的规律,
的认识来源对现实对象
*与问题相关的物理、化学、经济等方面的知识,
*通过对数据和现象的分析对事物内在规律做出的猜想 (模型假设 ).
模型特点,有明确的物理或现实意义
5.1 微分方程的建立实际问题需寻求某个变量 y 随另一变量 t 的变化规律,y=y(t).
直接求很困难建立关于未知变量、
未知变量的导数以及自变量的方程建立变量能满足的微分方程？
哪一类问题在工程实际问题中
*,改变,、,变化,、,增加,、,减少,等关键词提示我们注意什么量在变化,
关键词,速率,、,增长,,衰变,,,边际的,,常涉及到导数,
建立方法常用微分方程运用已知物理定律利用平衡与增长式运用微元法应用分析法机理分析法建立微分方程模型时应用已知物理定律，
可事半功倍例 5.1.1 一个较热的物体置于室温为 180c的房间内，该物体最初的温度是 600c,3分钟以后降到 500c,想知道它的温度降到 300c 需要多少时间？ 10分钟以后它的温度是多少？
牛顿冷却（加热）定律,将温度为 T的物体放入处于常温 m 的介质中时,T的变化 速率 正比于 T与周围介质的温度差,
一,运用已知物理定律分析,假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡,保持为 m，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似。
建立模型,设物体在冷却过程中的温度为
T(t),t≥0，
“T的变化速率正比于 T与周围介质的温度差”
翻译为成正比与 mT
dt
dT?
数学语言
.60)0(
),(
T
mTk
dt
dT
建立微分方程其中参数 k >0,m=18,求得一般解为
ln(T－ m)=－ k t+c,
代入条件，求得 c=42,k=－,最后得
21
16ln
3
1
T(t)=18+42,t ≥0,t
e 21
16ln
3
1
,0, tcemT kt或结果,T(10)=18+42 =25.870，102116ln31?e
该物体温度降至 300c 需要 8.17分钟,
二,利用平衡与增长式许多研究对象在数量上常常表现出某种 不变的特性,如封闭区域内的能量、货币量等,
利用变量间的平衡与增长特性，可分析和建立有关变量间的相互关系,
续例 2.3 人口增长模型对某地区时刻 t的人口总数 P(t)，除考虑个体的 出生、死亡,再进一步考虑 迁入 与 迁出 的影响,
在很短的时间段 Δt 内,关于 P(t)变化的一个最简单的模型是：
{Δt时间内的人口增长量 }=
{Δt内出生人口数 }－ {Δt内死亡人口数 }
+ {Δt内迁入人口数 }－ {Δt内迁出人口数 }
{Δt时间内的净改变量 }
={Δt时间内输入量 }－ {Δt时间内输出量 }
般化更一 基本模型不同的输入、输出情况对应不同的差分或微分方程,
输入量,含系统外部输入及系统内部产生的量；
输出量,含流出系统及在系统内部消亡的量,
此类建模方法的 关键 是分析并正确描述基本模型的右端，
使平衡式成立例 5.1.2 战斗模型 两方军队交战，希望为这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的：
1,预测哪一方将获胜？
2,估计获胜的一方最后剩下多少士兵？
3,计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗？
模型建立：
设 x(t) — t 时刻 X方存活的士兵数 ；
y(t) — t 时刻 Y方存活的士兵数 ；
假设：
1）双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗,x(t)与 y(t)都是连续变量,
2） Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死 X
方军队 a 名士兵 ；
3） X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死 Y
方军队 b 名士兵 ；
{Δt 时间内 X军队减少的士兵数 }
= {Δt 时间内 Y军队消灭对方的士兵数 }
平衡式即有 Δx =－ ayΔt,
同理 Δy =－ bxΔt,
令 Δt 0,得到微分方程组：
0, aay
dt
dx
0, bbx
dt
dy
三,微元法基本思想,通过分析研究对象的有关变量在一个很短时间内的变化情况,
例 5.1.3 一个高为 2米的球体容器里盛了一半的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为 1平方厘米,试求放空容器所需要的时间,
2米对孔口的流速做两条假设,
1,t 时刻的流速 v依赖于此刻容器内水的高度 h(t).
2,整个放水过程无能量损失。
分析,放空容器？
容器内水的体积为零容器内水的高度为零模型建立,由水力学知：水从孔口流出的流量 Q为通过,孔口横截面的水的体积 V对时间 t 的变化率,,即
ghS
dt
dVQ 262.0
S—孔口横截面积（单位：平方厘米）
h(t) —水面高度（单位：厘米）
t—时间（单位：秒）
当 S=1平方厘米,有
)1(262.0 dtghdV?
h(t)
h+Δh
在 [t,t+Δt ]内,水面高度 h(t) 降至 h+Δh
(Δh<0),容器中水的体积的改变量为
ΔV=V(h)－ V(h+Δh)=－ πΔh[3(r12+r22)＋ o(Δh)]
≈－ πr2Δh＋ o(Δh)
r1
r2
222 200)100(100 hhhr记令 Δt 0,得?
dV=－ πr2 dh,（ 2）
比较 (1),(2)两式得微分方程如下：
.100
,)200(262.0
0
2
t
h
dhhhdtgh?
积分后整理得
)31000700000(
265.4
2
5
2
3
hh
g
t
0≤h≤100
四,分析法令 h=0,求得完全排空需要约 2小时 58分,
基本思想,根据对现实对象特性的认识，
分析其因果关系,找出反映内部机理的规律,
例 5.1.4（独家广告模型） 广告是调整商品销售的强有力的手段,广告与销售量之间有什么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？
分析 广告的效果,可做如下的条件假设：
*1,商品的销售速度会因广告而增大，当商品在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极限值；
*2,商品销售率（销售加速度）随商品销售速度的增高而降低；
*3,选择如下广告策略,t时刻的广告费用为：
.,0;0,
)(
t
tA
tA
建模 记
S(t) — t 时刻商品的销售速度；
M —销售饱和水平，即销售速度的上限；
λ（＞ 0） —衰减因子，广告作用随时间的推移而自然衰减的速度,
直接建立微分方程
)())(1)(( tS
M
tStpA
dt
dS
称 p 为响应系数,表征 A(t) 对 S(t) 的影响力,
模型分析,是否与前三条假设相符？
)())(()( tStSM
M
tAp
dt
dS
假设 1* 市场余额假设 2*
销售速度因广告作用增大,同时又受市场余额的限制,
改写模型
的认识来源对现实对象
*与问题相关的物理、化学、经济等方面的知识,
*通过对数据和现象的分析对事物内在规律做出的猜想 (模型假设 ).
模型特点,有明确的物理或现实意义
5.1 微分方程的建立实际问题需寻求某个变量 y 随另一变量 t 的变化规律,y=y(t).
直接求很困难建立关于未知变量、
未知变量的导数以及自变量的方程建立变量能满足的微分方程？
哪一类问题在工程实际问题中
*,改变,、,变化,、,增加,、,减少,等关键词提示我们注意什么量在变化,
关键词,速率,、,增长,,衰变,,,边际的,,常涉及到导数,
建立方法常用微分方程运用已知物理定律利用平衡与增长式运用微元法应用分析法机理分析法建立微分方程模型时应用已知物理定律，
可事半功倍例 5.1.1 一个较热的物体置于室温为 180c的房间内，该物体最初的温度是 600c,3分钟以后降到 500c,想知道它的温度降到 300c 需要多少时间？ 10分钟以后它的温度是多少？
牛顿冷却（加热）定律,将温度为 T的物体放入处于常温 m 的介质中时,T的变化 速率 正比于 T与周围介质的温度差,
一,运用已知物理定律分析,假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡,保持为 m，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似。
建立模型,设物体在冷却过程中的温度为
T(t),t≥0，
“T的变化速率正比于 T与周围介质的温度差”
翻译为成正比与 mT
dt
dT?
数学语言
.60)0(
),(
T
mTk
dt
dT
建立微分方程其中参数 k >0,m=18,求得一般解为
ln(T－ m)=－ k t+c,
代入条件，求得 c=42,k=－,最后得
21
16ln
3
1
T(t)=18+42,t ≥0,t
e 21
16ln
3
1
,0, tcemT kt或结果,T(10)=18+42 =25.870，102116ln31?e
该物体温度降至 300c 需要 8.17分钟,
二,利用平衡与增长式许多研究对象在数量上常常表现出某种 不变的特性,如封闭区域内的能量、货币量等,
利用变量间的平衡与增长特性，可分析和建立有关变量间的相互关系,
续例 2.3 人口增长模型对某地区时刻 t的人口总数 P(t)，除考虑个体的 出生、死亡,再进一步考虑 迁入 与 迁出 的影响,
在很短的时间段 Δt 内,关于 P(t)变化的一个最简单的模型是：
{Δt时间内的人口增长量 }=
{Δt内出生人口数 }－ {Δt内死亡人口数 }
+ {Δt内迁入人口数 }－ {Δt内迁出人口数 }
{Δt时间内的净改变量 }
={Δt时间内输入量 }－ {Δt时间内输出量 }
般化更一 基本模型不同的输入、输出情况对应不同的差分或微分方程,
输入量,含系统外部输入及系统内部产生的量；
输出量,含流出系统及在系统内部消亡的量,
此类建模方法的 关键 是分析并正确描述基本模型的右端，
使平衡式成立例 5.1.2 战斗模型 两方军队交战，希望为这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的：
1,预测哪一方将获胜？
2,估计获胜的一方最后剩下多少士兵？
3,计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗？
模型建立：
设 x(t) — t 时刻 X方存活的士兵数 ；
y(t) — t 时刻 Y方存活的士兵数 ；
假设：
1）双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗,x(t)与 y(t)都是连续变量,
2） Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死 X
方军队 a 名士兵 ；
3） X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死 Y
方军队 b 名士兵 ；
{Δt 时间内 X军队减少的士兵数 }
= {Δt 时间内 Y军队消灭对方的士兵数 }
平衡式即有 Δx =－ ayΔt,
同理 Δy =－ bxΔt,
令 Δt 0,得到微分方程组：
0, aay
dt
dx
0, bbx
dt
dy
三,微元法基本思想,通过分析研究对象的有关变量在一个很短时间内的变化情况,
例 5.1.3 一个高为 2米的球体容器里盛了一半的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为 1平方厘米,试求放空容器所需要的时间,
2米对孔口的流速做两条假设,
1,t 时刻的流速 v依赖于此刻容器内水的高度 h(t).
2,整个放水过程无能量损失。
分析,放空容器？
容器内水的体积为零容器内水的高度为零模型建立,由水力学知：水从孔口流出的流量 Q为通过,孔口横截面的水的体积 V对时间 t 的变化率,,即
ghS
dt
dVQ 262.0
S—孔口横截面积（单位：平方厘米）
h(t) —水面高度（单位：厘米）
t—时间（单位：秒）
当 S=1平方厘米,有
)1(262.0 dtghdV?
h(t)
h+Δh
在 [t,t+Δt ]内,水面高度 h(t) 降至 h+Δh
(Δh<0),容器中水的体积的改变量为
ΔV=V(h)－ V(h+Δh)=－ πΔh[3(r12+r22)＋ o(Δh)]
≈－ πr2Δh＋ o(Δh)
r1
r2
222 200)100(100 hhhr记令 Δt 0,得?
dV=－ πr2 dh,（ 2）
比较 (1),(2)两式得微分方程如下：
.100
,)200(262.0
0
2
t
h
dhhhdtgh?
积分后整理得
)31000700000(
265.4
2
5
2
3
hh
g
t
0≤h≤100
四,分析法令 h=0,求得完全排空需要约 2小时 58分,
基本思想,根据对现实对象特性的认识，
分析其因果关系,找出反映内部机理的规律,
例 5.1.4（独家广告模型） 广告是调整商品销售的强有力的手段,广告与销售量之间有什么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？
分析 广告的效果,可做如下的条件假设：
*1,商品的销售速度会因广告而增大，当商品在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极限值；
*2,商品销售率（销售加速度）随商品销售速度的增高而降低；
*3,选择如下广告策略,t时刻的广告费用为：
.,0;0,
)(
t
tA
tA
建模 记
S(t) — t 时刻商品的销售速度；
M —销售饱和水平，即销售速度的上限；
λ（＞ 0） —衰减因子，广告作用随时间的推移而自然衰减的速度,
直接建立微分方程
)())(1)(( tS
M
tStpA
dt
dS
称 p 为响应系数,表征 A(t) 对 S(t) 的影响力,
模型分析,是否与前三条假设相符？
)())(()( tStSM
M
tAp
dt
dS
假设 1* 市场余额假设 2*
销售速度因广告作用增大,同时又受市场余额的限制,
改写模型
