3.4 建立数学模型数学模型的建立与建模目的密切相关几类常见 建模 目的,
1,描述 或 解释 现实世界的 各类现象
(常采用机理分析的方法,探索研究对象的内在规律性 )；
2,预测 感兴趣的事件是否会发生,或者事物的发展趋势,
(常采用数理统计或模拟的方法 )；
(需合理地定义可量化的评价指标以及评价方法）
建模过程中的几个要点模型的整体设计合理的假设建立数学表达式建立数学结构
3,优化 管理,决策 或者 控制 事物时刻牢记建模目的完整的数学模型应该同时描述出有关因素之间的 数量关系 和 结构关系 。
应清楚变量、变量之间的数学表达式在整个模型中的 地位 和 作用,
例 3.4.1 考虑一个简化的城镇供水系统,水是由水库经由管道流入水箱,再由水箱向各用户供水,
问题,怎样才能 有效地保障 各用户的正常用水？
一,模型的整体设计按下述步骤对模型进行整体设计
1,分析系统的组成部分 （研究对象、实体）
相关实体有：水库,管道,水箱和用户,
* 实体间的 结构关系 可表示如下：
水库 管道 水箱 用户
* 以上各实体都可能是我们的研究对象,
* 应分析相对于各个实体的因素对供水的影响
(见教材 P47表 3.3).
2,分析各实体之间的关系,找出联系各实体的变量,
实体之间的作用关系图各实体之间的关系管道与水箱：管道的水流量水库与管道：水库的水深水箱与用户：出水口的水流量
（或有效水深 ）
用户：总用水量
3,根据各实体的相互关系,提炼整理需考虑的变量 以及变量之的关系表达式,
假设,水库能保证管道所需的水流量”,
现需考虑 t 时刻以下变量：
* 总需水量 D(t)；
* 水箱的有效储水量 Q(t)及 QM ；
或流出水流量 F（ t）及 FM ；
* 管道能提供的供水量 G(t)及 GM.
分析各变量的特征：
* D(t)不可控，但可以对其进行描述；
* G(t)是可控变量。
4,用数学语言描述 要解决的问题选择适当的函数 G(t)，使得有 Q(t)=G(t)－ F(t),F(t)=D(t),
0＜ G(t)＜ GM,0＜ Q(t)＜ QM，
同时成立,
建模工作的整体设计,
1） 确定需求函数 D（ t）,是保证有效控制的基础；
2） 制定恰当的评价指标，以评价方案的优劣；
3） 求出相对于评价指标最优的水箱供水方案；
4） 分析各种参数对方案的影响；
5） 分析随机因素的影响,
模型整体设计的作用
1） 可将整个建模过程分解为一些可串行或并行的子任务。
2） 可把握住工作的重点、要点和难点,
做出模型的整体设计后，着手建立模型之前，撰写一份工作提纲,
建议,
二,做出假设根据对象的特征和建模的目的对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，是建模的 关键步骤 。
合理假设的作用简化问题明确问题限定模型的适用范围一个实际问题不经过简化假设,很难抽象转化为数学问题。
例 3.4.2 飞行管理问题中有叙述：,对以下 数据进行 计算 （方向角误差 不超过 0.01度 ）,
如何理解？通过假设：
* 所给飞行方向角数据的误差不超过 0.01度,
或 * 数据的运算结果误差限控制为 0.01度,
使问题完全明确,
例 3.4.3 渔业管理问题中关于,季节性集中产卵繁殖,,如何理解,产卵孵化期是一年的 最后四个月,？
最优捕鱼策略飞行管理模型有以下几种假设,
* 产卵是均匀地分布在整个四个月的期间内，
从而孵化也是均匀进行,
* 产卵时间服从方差很小的正态分布,
* 鱼群的个体在后四个月的第一天集中产卵，
在最后一天孵化出来,哪一条“最好”？
第三种与第二种没有本质的差别，
处理较容易,
分析：
第一种不符合鱼类的生物学实际；
第二种比较符合实际，但大大增加了解决问题的难度；
假设起到简化问题的作用假设,渔场是非开放式的，不与其它水域发生关系，从而构成独立的生态群落,
将建立的数学模型限定在一定的适用范围,
设计假设应遵循的原则
* 假设应是有依据的，基于对问题内在规律的认识和对数据及现象的分析；
* 善于辨别问题的主次，抓主要因素，尽量使问题简化,
* 避免过于简单、过于详细或不合理,
例 3.4.4 渔业管理问题中有条件：“平均每条
4 龄鱼的产卵量为 1.109× 105个,3 龄鱼的产卵量为这个数的一半,2 龄鱼和 1 龄鱼不产卵”,
分析,为了计算鱼群的产卵量，需明确此条件,
*,平均每条鱼的产卵量,理解为对所有鱼的平均,故在计算总产卵量时，不考虑雌雄区别,
有两种假设：
* 雌雄鱼的比例是 1:1；
哪一种较为合理？
最优捕鱼策略可假设：
* 每到次年初，头一年的 1,2,3 龄鱼均增 1
岁，将 5龄鱼归并为 4龄鱼,
合理性解释,事实上，资料表明此种鱼的寿命一般为 3年，另一方面经过捕捞后 4 龄鱼的数量很少，可以忽略不计,
对于假设：
* 有时需要对假设以及假设的推论进行检验；
例 3.4.5 零件的参数设计问题,当年的 4 龄鱼，第二年如何处理？
* 应意识到隐含的假设,
问题分析 需要建立损失函数，参数 y与 y0的偏离是由 7 个参数综合确定,可假设
* 零件参数 Xi,i=1,2,…,7 是相互独立的同服从正态分布的随机变量,
对于随机变量
),,,( 721 XXXfY
假设：
* 随机变量 Y 是服从正态分布的随机变量。
可以利用两种方法进行检验
1,利用泰勒公式做近似；
2,利用计算机模拟结合数理统计分析,
三,现实问题与数学表达式绘图法表格法数学解析式建立变量间的关系是建立数学模型的一项重点工作三种形式可以相互转换翻译能力,将变量间关系的中文语言描述转化为教学表达式例 3.4.6 突然间下了 20分钟雨，收集到 1/2英寸的雨量。现要建立一个函数 R(t),用来描述降雨量随时间变化的规律。
用中文语言描述数量现象往往是含混的。
许多可能的选择,譬如：
（ 1）假设 雨连续稳定地下落,
40
1)(?
dt
tdR,0≤t≤20
可以理解成降雨保持恒定速度，即
（ 2）降雨开始较慢，中间逐渐地加快，达到最大速度后又减小,
若假设降雨速度先线性增长后又线性减小,得线性降雨模型：
.2010,00 5.01.0;100,00 5.0)(
tt
tt
dt
tdR
或考虑另一个降雨模型：
2)( btat
dt
tdR
0≤t ≤20
模型中有两个待定参数 a和 b.
续例 3.4.5 零件的参数设计
.3.0,9 0 0 0;3.01.0,1 0 0 0;1.0,0
)(
0
0
0
yy
yy
yy
yL
分析评价以下质量损失函数是,y 的目标值（记为 y0）为 1.50.当 y与 y0的偏离为 0.1时，产品为次品，质量损失为 1 000元；当 y
偏离 y0为 0.3时,产品为废品，损失为 9 000元” 的数学描述,
对损失的理解还需深入,
* 此产品只是最终产品的某一部件,y 对 y0
的偏离会“连续地”影响最终产品的质量；
* 题目中“如果产品参数偏离预先设定的目标值就会造成质量损失,偏离越大，损失越大,
提示损失是具有社会性的,
质量损失函数 L(y)应是 （ y－ y0） 的连续函数,应选择以下哪一个函数？
202 )()( yykyL
)()( 01 yykyL
302 )()( yykyL
)()( 01 yykyL
常见的变量间关系描述：
1.当自变量 t变大（小）时，因变量 y 会怎样变化?
2,有没有使 y 取极大值或极小值的 t 值？
3,有没有使 y=0 的 t 值?
4,y 是否随 t 作做周期性变化？
5,感兴趣的是 t 的全部值，还是一定范围内的值，如 t＞ 0或 0＜ a＜ t＜ b？
例 3.4.7 扑灭森林失火
1,描述 或 解释 现实世界的 各类现象
(常采用机理分析的方法,探索研究对象的内在规律性 )；
2,预测 感兴趣的事件是否会发生,或者事物的发展趋势,
(常采用数理统计或模拟的方法 )；
(需合理地定义可量化的评价指标以及评价方法）
建模过程中的几个要点模型的整体设计合理的假设建立数学表达式建立数学结构
3,优化 管理,决策 或者 控制 事物时刻牢记建模目的完整的数学模型应该同时描述出有关因素之间的 数量关系 和 结构关系 。
应清楚变量、变量之间的数学表达式在整个模型中的 地位 和 作用,
例 3.4.1 考虑一个简化的城镇供水系统,水是由水库经由管道流入水箱,再由水箱向各用户供水,
问题,怎样才能 有效地保障 各用户的正常用水？
一,模型的整体设计按下述步骤对模型进行整体设计
1,分析系统的组成部分 （研究对象、实体）
相关实体有：水库,管道,水箱和用户,
* 实体间的 结构关系 可表示如下：
水库 管道 水箱 用户
* 以上各实体都可能是我们的研究对象,
* 应分析相对于各个实体的因素对供水的影响
(见教材 P47表 3.3).
2,分析各实体之间的关系,找出联系各实体的变量,
实体之间的作用关系图各实体之间的关系管道与水箱：管道的水流量水库与管道：水库的水深水箱与用户：出水口的水流量
（或有效水深 ）
用户：总用水量
3,根据各实体的相互关系,提炼整理需考虑的变量 以及变量之的关系表达式,
假设,水库能保证管道所需的水流量”,
现需考虑 t 时刻以下变量：
* 总需水量 D(t)；
* 水箱的有效储水量 Q(t)及 QM ；
或流出水流量 F（ t）及 FM ；
* 管道能提供的供水量 G(t)及 GM.
分析各变量的特征：
* D(t)不可控，但可以对其进行描述；
* G(t)是可控变量。
4,用数学语言描述 要解决的问题选择适当的函数 G(t)，使得有 Q(t)=G(t)－ F(t),F(t)=D(t),
0＜ G(t)＜ GM,0＜ Q(t)＜ QM，
同时成立,
建模工作的整体设计,
1） 确定需求函数 D（ t）,是保证有效控制的基础；
2） 制定恰当的评价指标，以评价方案的优劣；
3） 求出相对于评价指标最优的水箱供水方案；
4） 分析各种参数对方案的影响；
5） 分析随机因素的影响,
模型整体设计的作用
1） 可将整个建模过程分解为一些可串行或并行的子任务。
2） 可把握住工作的重点、要点和难点,
做出模型的整体设计后，着手建立模型之前，撰写一份工作提纲,
建议,
二,做出假设根据对象的特征和建模的目的对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，是建模的 关键步骤 。
合理假设的作用简化问题明确问题限定模型的适用范围一个实际问题不经过简化假设,很难抽象转化为数学问题。
例 3.4.2 飞行管理问题中有叙述：,对以下 数据进行 计算 （方向角误差 不超过 0.01度 ）,
如何理解？通过假设：
* 所给飞行方向角数据的误差不超过 0.01度,
或 * 数据的运算结果误差限控制为 0.01度,
使问题完全明确,
例 3.4.3 渔业管理问题中关于,季节性集中产卵繁殖,,如何理解,产卵孵化期是一年的 最后四个月,？
最优捕鱼策略飞行管理模型有以下几种假设,
* 产卵是均匀地分布在整个四个月的期间内，
从而孵化也是均匀进行,
* 产卵时间服从方差很小的正态分布,
* 鱼群的个体在后四个月的第一天集中产卵，
在最后一天孵化出来,哪一条“最好”？
第三种与第二种没有本质的差别，
处理较容易,
分析：
第一种不符合鱼类的生物学实际；
第二种比较符合实际，但大大增加了解决问题的难度；
假设起到简化问题的作用假设,渔场是非开放式的，不与其它水域发生关系，从而构成独立的生态群落,
将建立的数学模型限定在一定的适用范围,
设计假设应遵循的原则
* 假设应是有依据的，基于对问题内在规律的认识和对数据及现象的分析；
* 善于辨别问题的主次，抓主要因素，尽量使问题简化,
* 避免过于简单、过于详细或不合理,
例 3.4.4 渔业管理问题中有条件：“平均每条
4 龄鱼的产卵量为 1.109× 105个,3 龄鱼的产卵量为这个数的一半,2 龄鱼和 1 龄鱼不产卵”,
分析,为了计算鱼群的产卵量，需明确此条件,
*,平均每条鱼的产卵量,理解为对所有鱼的平均,故在计算总产卵量时，不考虑雌雄区别,
有两种假设：
* 雌雄鱼的比例是 1:1；
哪一种较为合理？
最优捕鱼策略可假设：
* 每到次年初，头一年的 1,2,3 龄鱼均增 1
岁，将 5龄鱼归并为 4龄鱼,
合理性解释,事实上，资料表明此种鱼的寿命一般为 3年，另一方面经过捕捞后 4 龄鱼的数量很少，可以忽略不计,
对于假设：
* 有时需要对假设以及假设的推论进行检验；
例 3.4.5 零件的参数设计问题,当年的 4 龄鱼，第二年如何处理？
* 应意识到隐含的假设,
问题分析 需要建立损失函数，参数 y与 y0的偏离是由 7 个参数综合确定,可假设
* 零件参数 Xi,i=1,2,…,7 是相互独立的同服从正态分布的随机变量,
对于随机变量
),,,( 721 XXXfY
假设：
* 随机变量 Y 是服从正态分布的随机变量。
可以利用两种方法进行检验
1,利用泰勒公式做近似；
2,利用计算机模拟结合数理统计分析,
三,现实问题与数学表达式绘图法表格法数学解析式建立变量间的关系是建立数学模型的一项重点工作三种形式可以相互转换翻译能力,将变量间关系的中文语言描述转化为教学表达式例 3.4.6 突然间下了 20分钟雨，收集到 1/2英寸的雨量。现要建立一个函数 R(t),用来描述降雨量随时间变化的规律。
用中文语言描述数量现象往往是含混的。
许多可能的选择,譬如：
（ 1）假设 雨连续稳定地下落,
40
1)(?
dt
tdR,0≤t≤20
可以理解成降雨保持恒定速度，即
（ 2）降雨开始较慢，中间逐渐地加快，达到最大速度后又减小,
若假设降雨速度先线性增长后又线性减小,得线性降雨模型：
.2010,00 5.01.0;100,00 5.0)(
tt
tt
dt
tdR
或考虑另一个降雨模型：
2)( btat
dt
tdR
0≤t ≤20
模型中有两个待定参数 a和 b.
续例 3.4.5 零件的参数设计
.3.0,9 0 0 0;3.01.0,1 0 0 0;1.0,0
)(
0
0
0
yy
yy
yy
yL
分析评价以下质量损失函数是,y 的目标值（记为 y0）为 1.50.当 y与 y0的偏离为 0.1时，产品为次品，质量损失为 1 000元；当 y
偏离 y0为 0.3时,产品为废品，损失为 9 000元” 的数学描述,
对损失的理解还需深入,
* 此产品只是最终产品的某一部件,y 对 y0
的偏离会“连续地”影响最终产品的质量；
* 题目中“如果产品参数偏离预先设定的目标值就会造成质量损失,偏离越大，损失越大,
提示损失是具有社会性的,
质量损失函数 L(y)应是 （ y－ y0） 的连续函数,应选择以下哪一个函数？
202 )()( yykyL
)()( 01 yykyL
302 )()( yykyL
)()( 01 yykyL
常见的变量间关系描述：
1.当自变量 t变大（小）时，因变量 y 会怎样变化?
2,有没有使 y 取极大值或极小值的 t 值？
3,有没有使 y=0 的 t 值?
4,y 是否随 t 作做周期性变化？
5,感兴趣的是 t 的全部值，还是一定范围内的值，如 t＞ 0或 0＜ a＜ t＜ b？
例 3.4.7 扑灭森林失火
