2003年《数学建模》试卷分析
这一套题目设计为开卷考试，阅卷依据“假设的合理性，结果的正确性，建模的创新性，表述的清晰性”判分，对完成较好的解答酌情加分.
一、总得分情况
1．各试题分数分配一
二
三
四
五
六
七
八
15
12
15
12
12
15
10
10
2,分段得分情况班级
不及格
及格
中
良
优
平均成绩
21111010
2
7
5
13
3
76.27
21111020
1
4
13
8
3
76.69
21112010
3
13
9
5
0
69.6
21112020
2
8
11
7
2
73.4
共计(人数)
8
32
38
33
8
119
百分比
6.7%
26.9%
31.9%
27.7%
6.7%
分析,① 分数的分布呈正态分布,试题难易程度适中;
② 21112010成绩有较大差异,优良率偏低,一定程度反映该班到课情况较差(后面各试题分析进一步说明).
二、各试题情况分析
1,设有一个容积为1500升的圆柱型的桶，桶内盛有900升水。如果将它水平地放置在地，问水面有多高？请你用自己的方法给出问题的近似解答.
解答 设圆桶的高度为L，底半径为R，水面高度H.
解法一 （近似求根法）
因，故桶内未装水的部分的容积为
并且 得函数方程
另
用牛顿切线法可求出方程（1）的近似根为 ,代入（2）式得
解法二 （以直代曲法）
分析,此题的及格率过低,主要原因如下:
① 较多学生审题时未注意到关键语句“给出问题的近似解答”,因此采用复杂的积分运算,实际却无法求出问题的精确解.
② 此题可以利用课堂上介绍的“以直代曲法”或“微元法”以及“泰勒近似”等方法做近似计算，反映部分学生习惯于精确计算的固定思维，未能掌握一定的工程计算思想.
2,请阐述如何理解随机数概念，说明模拟模型的本质作用.
分析：该题是基本概念题，要求在理解的基础上，用自己的语言表述清楚，但有部分学生照抄教案，或语言表述含混.
3．某地区的人口众多，可将人口数Ｎ(t) 视为一个连续变量，仅考虑该地区个体的出生与死亡的条件下建立微分方程模型如下：
，
（1）请写出参数b，d的实际意义，并对此模型进行量纲一致性检验；
（2）更进一步，考虑该地区人口的迁入和迁出情况建立一个数学模型，并分析人口的变化情况.
分析：①优良率超过不及格率，
② 多数学生能正确理解并描述参数的实际意义，建立平衡式基本模型，从而正确建立微分方程，更进一步分析出人口的变化情况.
③ 部分学生未理解题目,出现抄书现象.
半期考试情况；
实际意义
a—出生率，单位时间内的平均出生人数；
b—死亡率，单位时间内的平均死亡人数.
2.量纲分析常数是否有量纲？
量纲和单位的概念差别？
DimN(t)=1,即N(t)是否是纯量？是否有单位和量纲？
4,某地区内有12个气象观察站,有10年各观察站的年降水量数据,为了节省开支要适当减少气象站，同时使得到的降水量的信息量仍然足够大,请你用问题分解法给出问题的整体把握，(注意：不必给出解决问题的思路与方法).
分析:此题考察学生分析问题并能整体把握问题的能力,曾作为集体作业完成，题目中特别写明注意:不必给出解决问题的思路与方法，仍有学生抄作业.
正确审题的学生基本上能用问题分解法给出正确把握.
5.一个收银台为顾客计算货款的时间与顾客所购商品件数成正比（大约每件费2秒钟）.假设顾客购买的商品件数是按以下频率表分布：
件 数
≤8
9～19
20～29
30～39
40～49
≥50
相对频率
0.12
0.10
0.18
0.28
0.20
0.12
请考虑如何模拟为顾客计算货款的时间.
分析,此题考核学生从实际数据出发,提取分布的有关信息,利用概率论知识给出随机变量的模拟原理及相应的算法的能力.
① 反映部分学生仅能机械套用讲义中离散型随机变量的模拟方法,却不能灵活应用概率论中的直方图概念,确定出所模拟随机变量应服从正态分布.
② 部分学生仅给出模拟算法或仅给出算法原理.
6.记x(t)为t时刻X方存活的士兵数，y(t)为t时刻Y方存活的士兵数，已建立微分方程组如下,
讨论：(1) 哪一方将会获胜？ （2）战斗至少持续多少时间？
分析,利用微分方程的定性分析方得到方程的实际解答，部分学生去求方程的精确解，未能求出结果.
7.已建立了海浪潮高度随时间变化的经验模型:
，
现实际测得如下数据时间（小时）
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
潮高（米）
3.1 2.0 0.6 0.6 -2.2 -3.6 -3.2 -2.5 -0.9 -1.1 2.9
绘出数据残差图，并分析此经验模型对数据的拟合优度.
分析,考核学生是否掌握经验模型的拟合优度检验,但由于计算量过大,致使较多学生放弃此题或运算未完成.
8.尽可能多地列举出现实中服从均匀分布的随机变量，并对其中一种阐述理由，进行说明.
分析:此题考察学生对实际问题中变量的随机类型判别能力和发散思维能力,得分情况表明效果良好.
这一套题目设计为开卷考试，阅卷依据“假设的合理性，结果的正确性，建模的创新性，表述的清晰性”判分，对完成较好的解答酌情加分.
一、总得分情况
1．各试题分数分配一
二
三
四
五
六
七
八
15
12
15
12
12
15
10
10
2,分段得分情况班级
不及格
及格
中
良
优
平均成绩
21111010
2
7
5
13
3
76.27
21111020
1
4
13
8
3
76.69
21112010
3
13
9
5
0
69.6
21112020
2
8
11
7
2
73.4
共计(人数)
8
32
38
33
8
119
百分比
6.7%
26.9%
31.9%
27.7%
6.7%
分析,① 分数的分布呈正态分布,试题难易程度适中;
② 21112010成绩有较大差异,优良率偏低,一定程度反映该班到课情况较差(后面各试题分析进一步说明).
二、各试题情况分析
1,设有一个容积为1500升的圆柱型的桶，桶内盛有900升水。如果将它水平地放置在地，问水面有多高？请你用自己的方法给出问题的近似解答.
解答 设圆桶的高度为L，底半径为R，水面高度H.
解法一 （近似求根法）
因，故桶内未装水的部分的容积为
并且 得函数方程
另
用牛顿切线法可求出方程（1）的近似根为 ,代入（2）式得
解法二 （以直代曲法）
分析,此题的及格率过低,主要原因如下:
① 较多学生审题时未注意到关键语句“给出问题的近似解答”,因此采用复杂的积分运算,实际却无法求出问题的精确解.
② 此题可以利用课堂上介绍的“以直代曲法”或“微元法”以及“泰勒近似”等方法做近似计算，反映部分学生习惯于精确计算的固定思维，未能掌握一定的工程计算思想.
2,请阐述如何理解随机数概念，说明模拟模型的本质作用.
分析：该题是基本概念题，要求在理解的基础上，用自己的语言表述清楚，但有部分学生照抄教案，或语言表述含混.
3．某地区的人口众多，可将人口数Ｎ(t) 视为一个连续变量，仅考虑该地区个体的出生与死亡的条件下建立微分方程模型如下：
，
（1）请写出参数b，d的实际意义，并对此模型进行量纲一致性检验；
（2）更进一步，考虑该地区人口的迁入和迁出情况建立一个数学模型，并分析人口的变化情况.
分析：①优良率超过不及格率，
② 多数学生能正确理解并描述参数的实际意义，建立平衡式基本模型，从而正确建立微分方程，更进一步分析出人口的变化情况.
③ 部分学生未理解题目,出现抄书现象.
半期考试情况；
实际意义
a—出生率，单位时间内的平均出生人数；
b—死亡率，单位时间内的平均死亡人数.
2.量纲分析常数是否有量纲？
量纲和单位的概念差别？
DimN(t)=1,即N(t)是否是纯量？是否有单位和量纲？
4,某地区内有12个气象观察站,有10年各观察站的年降水量数据,为了节省开支要适当减少气象站，同时使得到的降水量的信息量仍然足够大,请你用问题分解法给出问题的整体把握，(注意：不必给出解决问题的思路与方法).
分析:此题考察学生分析问题并能整体把握问题的能力,曾作为集体作业完成，题目中特别写明注意:不必给出解决问题的思路与方法，仍有学生抄作业.
正确审题的学生基本上能用问题分解法给出正确把握.
5.一个收银台为顾客计算货款的时间与顾客所购商品件数成正比（大约每件费2秒钟）.假设顾客购买的商品件数是按以下频率表分布：
件 数
≤8
9～19
20～29
30～39
40～49
≥50
相对频率
0.12
0.10
0.18
0.28
0.20
0.12
请考虑如何模拟为顾客计算货款的时间.
分析,此题考核学生从实际数据出发,提取分布的有关信息,利用概率论知识给出随机变量的模拟原理及相应的算法的能力.
① 反映部分学生仅能机械套用讲义中离散型随机变量的模拟方法,却不能灵活应用概率论中的直方图概念,确定出所模拟随机变量应服从正态分布.
② 部分学生仅给出模拟算法或仅给出算法原理.
6.记x(t)为t时刻X方存活的士兵数，y(t)为t时刻Y方存活的士兵数，已建立微分方程组如下,
讨论：(1) 哪一方将会获胜？ （2）战斗至少持续多少时间？
分析,利用微分方程的定性分析方得到方程的实际解答，部分学生去求方程的精确解，未能求出结果.
7.已建立了海浪潮高度随时间变化的经验模型:
，
现实际测得如下数据时间（小时）
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
潮高（米）
3.1 2.0 0.6 0.6 -2.2 -3.6 -3.2 -2.5 -0.9 -1.1 2.9
绘出数据残差图，并分析此经验模型对数据的拟合优度.
分析,考核学生是否掌握经验模型的拟合优度检验,但由于计算量过大,致使较多学生放弃此题或运算未完成.
8.尽可能多地列举出现实中服从均匀分布的随机变量，并对其中一种阐述理由，进行说明.
分析:此题考察学生对实际问题中变量的随机类型判别能力和发散思维能力,得分情况表明效果良好.
