电子科技大学2001至2002学年第二学期
《数学建模》课程试题（150分钟）（开卷）
考试时间2002年6月系别 班次 学号 姓名
一．（1）在一个密度为的流质表面下深 h处的压强P=gh（g是重力加速度），试检验此公式的量纲是否正确？
（2）在弹簧—质量—阻力系统中，质量为m的物体在外力F(t)的作用下，在 t时刻的位置x(t)满足以下方程：
，
其中r是阻尼系数，k是弹簧的弹性系数。试确定r,k的量纲。
二．一个细菌培养器皿中细菌的繁殖速度很快，目前器皿中有100个细菌，每隔5分钟细菌个数就会加倍，请仔细分析实际情况，建立一个函数表示出 t时刻的细菌数量。
三．许多人有过这样的经历，进行一次医疗检查，结果呈阳性提示此人患病，但实际上却虚惊一场，究其原因往往是检查的技术水平等因素造成错误所致。对1000人进行调查得到以下数据结果矩阵：
有病 无病
T=
请你为一名诊断有病的人分析一下，他确实患病的可能性有多大？
四．某天晚上23:00时，在一个住宅内发现一具受害者尸体，法医于 23:35分赶到现场，立即测得死者体温是 30.8○c，一小时以后再次测量体温为29.1○c,法医还注意到当时室温是28○c，请建立一个数学模型来推断出受害者的死亡时间。
五．一位银行经理为考虑设置一种新的单队列排队系统，需要对现有系统进行分析。现有系统中有5个服务点，当顾客走进银行，他们可能选择5个服务点中任一个。在繁忙期间，两位顾客到达的平均间隔时间是3分钟，为一位顾客服务的平均时间为2.5分钟。
请你为建立模拟模型做以下准备工作：
考虑如何模拟服务员为顾客服务的服务时间；
如何模拟一位顾客走进银行选择服务点的方式；
你认为应怎样模拟顾客们的来到？
并且根据你的方法给出相应算法。
六．（狐狸与野兔问题）在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔，设t时刻它们的数量分别为y(t)和x(t)，已知满足以下微分方程组
建立上微分方程的轨线方程；
在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态？
建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会产生什么后果？对狐狸进行捕猎又会产生什么后果？
七．以下是几个一元经验回归模型的标准残差图：
请你考察分析以上各个残差图，说明经验回归方程对数据的拟合优度，并阐述其理由。
八．下面是六十年代世界人口的增长数据（单位：亿）：
年份
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
人口
29.72
30.61
31.51
32.13
32.34
32.85
33.56
34.20
34.83
（1）请你仔细分析数据，绘出数据散布图并选择合适的函数形式对数据进行拟合；
（2）用你的经验回归模型试计算：以1960年为基准，人口增长一倍需要多少年？世界人口何时将达到100亿？
（3）用你的模型估计2002年的世界人口数，请分析它与现在的实际人口数的差别的成因。
九,飞行管理问题
在约10，000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行方向角，以避免碰撞。现假定条件如下：
1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里；
2）对飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度；
3）所有飞机飞行速度均为每小时800公里；
4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上；
5）最多需考虑6架飞机；
6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。
请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度）。要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。
请仔细阅读题目，并将题目中的关键词列出：
用关键词联想法形成对问题及问题的解决初步理解和把握；
用问题分解法给出问题的初态、目标态及过程。
《数学建模》课程试题（150分钟）（开卷）
考试时间2002年6月系别 班次 学号 姓名
一．（1）在一个密度为的流质表面下深 h处的压强P=gh（g是重力加速度），试检验此公式的量纲是否正确？
（2）在弹簧—质量—阻力系统中，质量为m的物体在外力F(t)的作用下，在 t时刻的位置x(t)满足以下方程：
，
其中r是阻尼系数，k是弹簧的弹性系数。试确定r,k的量纲。
二．一个细菌培养器皿中细菌的繁殖速度很快，目前器皿中有100个细菌，每隔5分钟细菌个数就会加倍，请仔细分析实际情况，建立一个函数表示出 t时刻的细菌数量。
三．许多人有过这样的经历，进行一次医疗检查，结果呈阳性提示此人患病，但实际上却虚惊一场，究其原因往往是检查的技术水平等因素造成错误所致。对1000人进行调查得到以下数据结果矩阵：
有病 无病
T=
请你为一名诊断有病的人分析一下，他确实患病的可能性有多大？
四．某天晚上23:00时，在一个住宅内发现一具受害者尸体，法医于 23:35分赶到现场，立即测得死者体温是 30.8○c，一小时以后再次测量体温为29.1○c,法医还注意到当时室温是28○c，请建立一个数学模型来推断出受害者的死亡时间。
五．一位银行经理为考虑设置一种新的单队列排队系统，需要对现有系统进行分析。现有系统中有5个服务点，当顾客走进银行，他们可能选择5个服务点中任一个。在繁忙期间，两位顾客到达的平均间隔时间是3分钟，为一位顾客服务的平均时间为2.5分钟。
请你为建立模拟模型做以下准备工作：
考虑如何模拟服务员为顾客服务的服务时间；
如何模拟一位顾客走进银行选择服务点的方式；
你认为应怎样模拟顾客们的来到？
并且根据你的方法给出相应算法。
六．（狐狸与野兔问题）在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔，设t时刻它们的数量分别为y(t)和x(t)，已知满足以下微分方程组
建立上微分方程的轨线方程；
在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态？
建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会产生什么后果？对狐狸进行捕猎又会产生什么后果？
七．以下是几个一元经验回归模型的标准残差图：
请你考察分析以上各个残差图，说明经验回归方程对数据的拟合优度，并阐述其理由。
八．下面是六十年代世界人口的增长数据（单位：亿）：
年份
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
人口
29.72
30.61
31.51
32.13
32.34
32.85
33.56
34.20
34.83
（1）请你仔细分析数据，绘出数据散布图并选择合适的函数形式对数据进行拟合；
（2）用你的经验回归模型试计算：以1960年为基准，人口增长一倍需要多少年？世界人口何时将达到100亿？
（3）用你的模型估计2002年的世界人口数，请分析它与现在的实际人口数的差别的成因。
九,飞行管理问题
在约10，000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行方向角，以避免碰撞。现假定条件如下：
1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里；
2）对飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度；
3）所有飞机飞行速度均为每小时800公里；
4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上；
5）最多需考虑6架飞机；
6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。
请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度）。要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。
请仔细阅读题目，并将题目中的关键词列出：
用关键词联想法形成对问题及问题的解决初步理解和把握；
用问题分解法给出问题的初态、目标态及过程。
