2003年《数学建模》研究生试题
一,施肥效果分析
农作物生长所需的营养素主要是氮（N）、钾（K）、磷（P）。某作物研究所在某地区对生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表所示，其中ha表示公顷,t表示吨，kg表示公斤。当一个营养素的施肥量变化时，总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上。
试分析施肥量与产量之间关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面做出估计。
生菜：N P K
施肥量
(kg/ha)
产量
(t/ha)
施肥量
(kg/ha)
产量
(t/ha)
施肥量
(kg/ha)
产量
(t/ha)
0
11.02
0
6.39
0
15.75
28
12.70
49
9.48
47
16.76
56
14.56
98
12.46
93
16.89
84
16.27
147
14.33
140
16.24
112
17.75
196
17.10
186
17.56
168
22.59
294
21.94
279
19.20
224
21.63
391
22.64
372
17.97
280
19.34
489
21.34
465
15.84
336
16.12
587
22.07
558
20.11
392
14.11
685
24.53
651
19.40
二,足球队的排名问题
下表给出了我国12支足球队在1988—1989年全国足球甲级联赛中的成绩。
足球队比赛成绩
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
T9
T10
T11
T12
T1
×
0:1
1:0
0:0
2:2
1:0
0:2
2:0
3:1
1:0
3:1
1:0
0:1
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4:0
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×
×
T2
×
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T3
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×
T4
×
2:3
0:1
0:5
2:3
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×
×
T5
×
0:1
×
×
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×
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T6
×
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×
×
×
×
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T7
×
1:0
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3:0
1:0
3:1
3;0
2:2
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T8
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T9
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T10
×
1:0
2:0
T11
×
1:1
1:2
1:1
T12
×
注意：从表中给出的比赛成绩来看，数据是残缺不齐的，某些队之间未进行比赛，而某些队间进行了1～3场不等的比赛场次。
请仔细分析数据，要求：
设计一个依据这些成绩数据排出诸队名次的算法，并给出用该算法排名次的结果。
把算法推广到任意N 个队的情况。
讨论：数据应具备什么条件，用你的方法才能排出诸队的名次。
三,付款柜优化设置一小超级市场有4个付款柜，每个柜台为一位顾客计算货款数的时间与顾客所购商品件数成正比（大约每件费时1秒种），20%的顾客用支票或信用卡支付，这需要1.5分钟，付现款则仅需0.5分钟。有人倡议设一个快速服务台专为购买8个或8个以下商品的顾客服务，指定另外两个为“现金支付柜”。
请你建立一个模拟模型，用于比较现有系统和倡议的系统的运转。假设顾客到达平均间隔时间是0.5分，顾客购买商品件数按下频率表分布。
件 数
≤8 9～19 20～29 30～39 40～49 ≥50
相对频率
0.12 0.10 0.18 0.28 0.20 0.12
四．药物吸收数学模型
对药物在人体血液中浓度分布规律的研究是药物学的重要课题之一，在对病人进行治疗时，确定药物的每次用量以及给药的时间间隔十分重要。
药物注射进人体后，药物在血液中的反应关系满足
,
其中y=y(t)表示t时刻血液循环中的药量。关心的是对病人多次用药后药物在人体内的分布方式及行为。请考虑
（1）对给定一次用药量y0 和规定最终药量水平ys，确定两次注射所需的间隔时间；
（2）在固定时间T内，要达到最终药剂量ys 所需的一次用药量。
（3）为尽快使人体血液的药物浓度达到最终药量水平ys，试考虑一种适用可行的给药方式。
一,施肥效果分析
农作物生长所需的营养素主要是氮（N）、钾（K）、磷（P）。某作物研究所在某地区对生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表所示，其中ha表示公顷,t表示吨，kg表示公斤。当一个营养素的施肥量变化时，总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上。
试分析施肥量与产量之间关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面做出估计。
生菜：N P K
施肥量
(kg/ha)
产量
(t/ha)
施肥量
(kg/ha)
产量
(t/ha)
施肥量
(kg/ha)
产量
(t/ha)
0
11.02
0
6.39
0
15.75
28
12.70
49
9.48
47
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56
14.56
98
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93
16.89
84
16.27
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14.33
140
16.24
112
17.75
196
17.10
186
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168
22.59
294
21.94
279
19.20
224
21.63
391
22.64
372
17.97
280
19.34
489
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336
16.12
587
22.07
558
20.11
392
14.11
685
24.53
651
19.40
二,足球队的排名问题
下表给出了我国12支足球队在1988—1989年全国足球甲级联赛中的成绩。
足球队比赛成绩
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
T9
T10
T11
T12
T1
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0:1
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2:2
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T3
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T4
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T5
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0:1
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T6
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T7
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注意：从表中给出的比赛成绩来看，数据是残缺不齐的，某些队之间未进行比赛，而某些队间进行了1～3场不等的比赛场次。
请仔细分析数据，要求：
设计一个依据这些成绩数据排出诸队名次的算法，并给出用该算法排名次的结果。
把算法推广到任意N 个队的情况。
讨论：数据应具备什么条件，用你的方法才能排出诸队的名次。
三,付款柜优化设置一小超级市场有4个付款柜，每个柜台为一位顾客计算货款数的时间与顾客所购商品件数成正比（大约每件费时1秒种），20%的顾客用支票或信用卡支付，这需要1.5分钟，付现款则仅需0.5分钟。有人倡议设一个快速服务台专为购买8个或8个以下商品的顾客服务，指定另外两个为“现金支付柜”。
请你建立一个模拟模型，用于比较现有系统和倡议的系统的运转。假设顾客到达平均间隔时间是0.5分，顾客购买商品件数按下频率表分布。
件 数
≤8 9～19 20～29 30～39 40～49 ≥50
相对频率
0.12 0.10 0.18 0.28 0.20 0.12
四．药物吸收数学模型
对药物在人体血液中浓度分布规律的研究是药物学的重要课题之一，在对病人进行治疗时，确定药物的每次用量以及给药的时间间隔十分重要。
药物注射进人体后，药物在血液中的反应关系满足
,
其中y=y(t)表示t时刻血液循环中的药量。关心的是对病人多次用药后药物在人体内的分布方式及行为。请考虑
（1）对给定一次用药量y0 和规定最终药量水平ys，确定两次注射所需的间隔时间；
（2）在固定时间T内，要达到最终药剂量ys 所需的一次用药量。
（3）为尽快使人体血液的药物浓度达到最终药量水平ys，试考虑一种适用可行的给药方式。
