最佳捕鱼策略问题 (96A题 )
为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源 (如渔业,林业资源 )的开发必须适度,一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。
考虑对某种鱼 (鳀 鱼 )的最佳捕捞策略,
假设这种鱼分 4个年龄组,称 1龄鱼,…,4 龄鱼,各年龄组每条鱼的平均重量分别为 5.07,11.55,17.86,
22.99(克 ),各年龄组鱼的自然死亡率均为 0.8(1/年 ),
这种鱼为季节性集中产卵繁殖,平均每条 4龄鱼的产卵量为 1.109× 105(个 ),3龄鱼的产卵量为这个数目的一半,2龄鱼和 1龄鱼不产卵,产卵和孵化期在每年的最后
4个月,卵孵化并成活为 1龄鱼,成活率 (1龄鱼条数与产卵量 n 之比 )为 1.22 × 1011 /(1.22 × 1011+ n).
渔业部门规定,每年只允许在产卵孵化期前的 8个月内进行捕捞作业,如果每年投入的捕捞能力 (如鱼船数,
下网次数等 )固定不变,这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比,比例系数不妨称捕捞强度系数,通常用 13mm网眼的拉网,这种网只能捕捞 3龄鱼和 4龄鱼,两个捕捞强度系数之比为 0.42:1,渔业上称这种方式为固定努力量捕捞,
1) 建立数学模型分析如何实现持可续捕捞 (即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变 ),并且在此前提下得到最高的年收获量 (捕捞总重量 ).
2) 某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务 5年,合同要求 5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏,已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为,122,29.7,10.1,
3.29(× 109条 ),如果仍用固定努力量的捕捞方式,该公司应该采取怎样的策略才能使总收获量最高,
一篇优秀论文介绍可再生资源管理应使生物资源最终不丧失生产能力以便能持续利用,一般以得到最大的持续产量 (MSY)
为目标,
就渔业捕捞而言,公司的最优策略应满足以下要求,
(1) 可持续捕捞,即在生态上可行,具体地希望达到这样的要求,使得每年开始捕捞时渔场的各年龄组的鱼群大小不变,
(2) 产量最大,即经济上可行,第一问种要求收获量最大,即 M=m3a3+m4a4 取得最大值,
一,问题的提出及分析其中,要求 (3)已由题设进行了规范,要求 (2)是模型所要求达到的目标,要求 (1)给出达到最优解的前提,
(3) 技术上可行,不能直接人为地提高产卵率和成活率,采用固定努力量捕捞,每年捕捞强度系数保持不变,
二,模型的基本假设与符号说明
(一 ) 基本假设
1.渔场是非开放渔场,不与其它水域发生关系,从而构成独立的生态群落 ;
2.鱼群是一个独立的种群,不存在与其他生物的竞争,
或者虽有竞争但其影响只局限在鱼的死亡率内 ;
3,假设同一年龄组的个体之间是同质的,只考虑平均水平,不讨论个体差异 ;
4.各个年龄组的鱼经过一年后即进入高一级的年龄组,
但 4龄鱼经过一年后仍视为 4龄鱼 ;
5.假设 3,4龄鱼全部具有生育能力,或者虽然雄性不产卵,但平均产卵量掩盖了这一差异 ;
6.鱼的自然死亡可在一年内的任何时间发生,产卵可在后四个月内的任何时间内发生,两者在各自的时间段内是均匀分布的 ;
7.对鱼的捕捞用固定努力量捕捞方式,每年的捕捞强度系数保持不变,且捕捞只在前八个月进行,
二,
符号说明 );:( )99.22,86.17,55.11,07.5(
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(i=1,2,3),同时,由卵孵化产生一龄鱼,得
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式是每年在捕捞强度系数为 (0,0,β3,β4)下的总收获量,它们构成基本模型,
(二 ) 年度生产最优模型为实现可持续捕获,即要求
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此时,各龄鱼鱼群数为,102 2 3 9 5.9,104 1 2 9 2.2
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应使故为实现可持续捕获达到新的平衡点即零点将导致种群灭绝时达到此表示当捕捞强度可得中的任一方程或解由图可知见附录一示所至图其函数关系如图的函数均是关于显然
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另外,由图 5可以看出,捕捞重量是 β4的单峰函数,故我们可知盲目增大捕捞强度并不能导致捕获量的增加,
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(三 ) 承包期总产量模型为对“五年后生产能力不受太大破坏”进行合理描述,
我们首先考虑无捕捞时鱼群的变化情况,令 β4 =0,达到稳定状况时的鱼群分布为
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得类似的结论用其他初值进行计算可即达到稳态鱼群可以过二年至三年时间为初值进行递推计算类似地鱼群即达到稳态可以过六年左右的时间式进行递推计算型用基本模为初值以其次
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据此,我们认为要使生产能力不受到太大破坏,只需要保证 5年后即第 6年初 3,4龄鱼的数量保持在一定的范围内即可,另外,由大多数生物学家的观点,只有种群减至低于最大持续产量水平时,资源才算开发过度 (见文献 3).为此,我们构造目标函数
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据以上分析,我们可得如下承包期总产量模型,
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五年均采用固定努力量方式进行捕捞,每年对 3,4龄鱼的捕捞强度系数分别为 8.612和 17.224,此时每年的产量分别为克克克克克
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另外,渔业管理部门可知,当承包者以上策略捕捞时,各鱼群数目与年度最优捕捞方案中可持续捕捞鱼群数保持大致相等,保证了渔场的可持续捕获,
四,模型的误差分析文中基础假设合理,所建模型数学推导严谨、理论可靠、模型结构简单,求解后两个模型均采用
Mathematica软件,故误差仅由软件和计算机精度产生,模型具有较好的稳定性,
五,模型的优缺点及改进方向 (略 )
参考文献
[1] 叶其孝,大学生数学建模竞赛辅导教材,湖南教育出版社,长沙,1993.
[2] Z.C.Pielou著,卢泽恩译,数学生态学,科学出版社,
北京,1987.
[3] C.W.克拉克著,周勤学等译,数学生态经济学,农业出版社,北京,1983.
附件,计算程序及结果,附图 (略 )
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为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源 (如渔业,林业资源 )的开发必须适度,一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。
考虑对某种鱼 (鳀 鱼 )的最佳捕捞策略,
假设这种鱼分 4个年龄组,称 1龄鱼,…,4 龄鱼,各年龄组每条鱼的平均重量分别为 5.07,11.55,17.86,
22.99(克 ),各年龄组鱼的自然死亡率均为 0.8(1/年 ),
这种鱼为季节性集中产卵繁殖,平均每条 4龄鱼的产卵量为 1.109× 105(个 ),3龄鱼的产卵量为这个数目的一半,2龄鱼和 1龄鱼不产卵,产卵和孵化期在每年的最后
4个月,卵孵化并成活为 1龄鱼,成活率 (1龄鱼条数与产卵量 n 之比 )为 1.22 × 1011 /(1.22 × 1011+ n).
渔业部门规定,每年只允许在产卵孵化期前的 8个月内进行捕捞作业,如果每年投入的捕捞能力 (如鱼船数,
下网次数等 )固定不变,这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比,比例系数不妨称捕捞强度系数,通常用 13mm网眼的拉网,这种网只能捕捞 3龄鱼和 4龄鱼,两个捕捞强度系数之比为 0.42:1,渔业上称这种方式为固定努力量捕捞,
1) 建立数学模型分析如何实现持可续捕捞 (即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变 ),并且在此前提下得到最高的年收获量 (捕捞总重量 ).
2) 某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务 5年,合同要求 5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏,已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为,122,29.7,10.1,
3.29(× 109条 ),如果仍用固定努力量的捕捞方式,该公司应该采取怎样的策略才能使总收获量最高,
一篇优秀论文介绍可再生资源管理应使生物资源最终不丧失生产能力以便能持续利用,一般以得到最大的持续产量 (MSY)
为目标,
就渔业捕捞而言,公司的最优策略应满足以下要求,
(1) 可持续捕捞,即在生态上可行,具体地希望达到这样的要求,使得每年开始捕捞时渔场的各年龄组的鱼群大小不变,
(2) 产量最大,即经济上可行,第一问种要求收获量最大,即 M=m3a3+m4a4 取得最大值,
一,问题的提出及分析其中,要求 (3)已由题设进行了规范,要求 (2)是模型所要求达到的目标,要求 (1)给出达到最优解的前提,
(3) 技术上可行,不能直接人为地提高产卵率和成活率,采用固定努力量捕捞,每年捕捞强度系数保持不变,
二,模型的基本假设与符号说明
(一 ) 基本假设
1.渔场是非开放渔场,不与其它水域发生关系,从而构成独立的生态群落 ;
2.鱼群是一个独立的种群,不存在与其他生物的竞争,
或者虽有竞争但其影响只局限在鱼的死亡率内 ;
3,假设同一年龄组的个体之间是同质的,只考虑平均水平,不讨论个体差异 ;
4.各个年龄组的鱼经过一年后即进入高一级的年龄组,
但 4龄鱼经过一年后仍视为 4龄鱼 ;
5.假设 3,4龄鱼全部具有生育能力,或者虽然雄性不产卵,但平均产卵量掩盖了这一差异 ;
6.鱼的自然死亡可在一年内的任何时间发生,产卵可在后四个月内的任何时间内发生,两者在各自的时间段内是均匀分布的 ;
7.对鱼的捕捞用固定努力量捕捞方式,每年的捕捞强度系数保持不变,且捕捞只在前八个月进行,
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此外,我们可求得每年对 3,4龄鱼的总捕捞量为且年度的总产卵量为其中,)1(,1022.1 )1(11 kQD k
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(1)-(3)式联立刻划了鱼群各年龄组每年的变化情况,(4)
式是每年在捕捞强度系数为 (0,0,β3,β4)下的总收获量,它们构成基本模型,
(二 ) 年度生产最优模型为实现可持续捕获,即要求
)1(0)(0 kiki nn 并在此前提下获得最大收获量,由基本模型,即得年度最优模型
}m a x {m a x 4433 mmM
43
43
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化简得无关等与时间也即利用,,,,)()( 1)( 0)1( 0)( 0 kQnnnn kkikikiki
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QD
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ts
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利用 Mathematica软件求极值得,
克11m a x34 108 7 6 7 3.3,1 5 0 2 1.7,0 2 4 3.17 M
此时,各龄鱼鱼群数为,102 2 3 9 5.9,104 1 2 9 2.2
,103 7 0 0 4.5,101 9 1 5 3.1
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nn
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44
*
4
*
4
3214
4
应使故为实现可持续捕获达到新的平衡点即零点将导致种群灭绝时达到此表示当捕捞强度可得中的任一方程或解由图可知见附录一示所至图其函数关系如图的函数均是关于显然
nnnn
nM
i
另外,由图 5可以看出,捕捞重量是 β4的单峰函数,故我们可知盲目增大捕捞强度并不能导致捕获量的增加,
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e
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r
r
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2
30
4
10
(三 ) 承包期总产量模型为对“五年后生产能力不受太大破坏”进行合理描述,
我们首先考虑无捕捞时鱼群的变化情况,令 β4 =0,达到稳定状况时的鱼群分布为
.106 9 6 6 3.1,104 4 4 0 6.2
,104 3 1 2 3.5,102 6 0 9 4.1
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11
得类似的结论用其他初值进行计算可即达到稳态鱼群可以过二年至三年时间为初值进行递推计算类似地鱼群即达到稳态可以过六年左右的时间式进行递推计算型用基本模为初值以其次
nnnnnn
nnnnnn
据此,我们认为要使生产能力不受到太大破坏,只需要保证 5年后即第 6年初 3,4龄鱼的数量保持在一定的范围内即可,另外,由大多数生物学家的观点,只有种群减至低于最大持续产量水平时,资源才算开发过度 (见文献 3).为此,我们构造目标函数
2
4
6
404
2
3
6
303 )()(m i nm i n nnWnnWY
.,43 群的数量为可持续捕获条件下鱼其中 nn
据以上分析,我们可得如下承包期总产量模型,
为五年产量之和其中?
5
1
},m a x {m a x
i
iMMMYMMZ
据以上分析,我们可得如下承包期总产量模型,
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},m a x {m a x
i
iMMMYMMZ 其中
43
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利用 Mathematica软件求解上述模型,得克克
12
m ax
12
m ax4
106 0 1 1 7.1
106 0 0 9 6.1,2 2 4.17
MM
Z?
第六年初鱼群数为
.105 6 2 9 7.8,104 1 1 1 5.2
,103 6 0 1 6.5,101 9 3 2 5.1
7
4
10
3
10
2
11
1
nn
nn
五年均采用固定努力量方式进行捕捞,每年对 3,4龄鱼的捕捞强度系数分别为 8.612和 17.224,此时每年的产量分别为克克克克克
11
5
11
4
11
3
11
2
11
1
108 1 0 1 1.3
,107 6 5 1 8.3,109 5 3 0 2.3
,101 4 3 9 9.2,103 3 9 3 7.2
M
MM
MM
另外,渔业管理部门可知,当承包者以上策略捕捞时,各鱼群数目与年度最优捕捞方案中可持续捕捞鱼群数保持大致相等,保证了渔场的可持续捕获,
四,模型的误差分析文中基础假设合理,所建模型数学推导严谨、理论可靠、模型结构简单,求解后两个模型均采用
Mathematica软件,故误差仅由软件和计算机精度产生,模型具有较好的稳定性,
五,模型的优缺点及改进方向 (略 )
参考文献
[1] 叶其孝,大学生数学建模竞赛辅导教材,湖南教育出版社,长沙,1993.
[2] Z.C.Pielou著,卢泽恩译,数学生态学,科学出版社,
北京,1987.
[3] C.W.克拉克著,周勤学等译,数学生态经济学,农业出版社,北京,1983.
附件,计算程序及结果,附图 (略 )
8.5 7 1 0 6 4.2 8 5 5 3
,,,
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43
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4
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43
从而进一步解出因此推出
}
1
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