投资的收益和风险
1998年全国大学生数学模型竞赛 A题问题市场上有 n种资产（如股票、债券,…… ）
Si（ i=1,2,…,n ）供投资者选择，某公司有数额为 M的一笔相当大的资金可用于作一个时期的投资。公司财务分析人员对这 n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买 Si的平均收益率为 ri，并预测出购买 Si的的风险损失率为
qi。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的 Si中最大的一个风险来度量。
购买 Si要付交易费，费率为 pi，并且当购买额不超过给定值 ui时，交易费按购买 ui计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是 r0，且既无交易费又无风险。（ r0=5%）
1)已知 n=4时的相关数据如下：
Si ri (%) qi(%) pi(%) ui(元 )
S1 28 2.5 1 103
S2 21 1.5 2 198
S3 23 5.5 4.5 52
S4 25 2.6 6.5 40
试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金 M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总风险尽可能小。
2)试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。
Si ri(%) qi(%) pi(%) ui(元 )
S1 9.6 42 2.1 181
S2 18.5 54 3.2 407
S3 49.4 60 6.0 428
S4 23.9 42 1.5 549
S5 8.1 1.2 7.6 270
Si ri(%) qi(%) pi(%) ui(元 )
S6 14 39 3.4 397
S7 40.7 68 5.6 178
S8 31.2 33.4 3.1 220
S9 33.6 53.3 2.7 475
S10 36.8 40 2.9 248
S11 11.8 31 5.1 195
S12 9 5.5 5.7 320
S13 35 46 2.7 267
S14 9.4 5.3 4.5 328
S15 15 23 7.6 131
出题者给出的参考答案一、关于每种资产的交易费、净收益、投资风险及资金约束设购买 Si的金额为 xi，所需的交易费 ci(xi)，则
c0(x0)=0,
( 1 ),.,,,1,0
0
,
,
,0
)( ni
ux
ux
x
xp
upxc
ii
ii
i
ii
iiii
对 Si的投资的净收益、风险和所需资金分别为：
)2()()( iiiiii xcxrxR
)3()0()( 0 qxqxQ iiii
)4( )()( iiiii xcxxf
净收益总额：
总体风险：
资金约束：
( 5 ) )()(
0
i
n
i
i xRxR?
)6( )(m a x)(
0 iini
xQxQ
( 7 ) )()(
0
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二、优化问题的模型：
1.
模型中有两个目标，下面考虑将模型简化。
)8(
0
)(
..
) ) }(),(m i n { (
x
MxF
ts
xRxQ
2.简化为单目标优化问题：
2.1,确定平均风险水平,记q
,Mqk?
则，模型简化为：
)9(
0
)(
)(
..
)(m a x
x
MxF
kxQ
ts
xR
记确定盈利水平,2.2 r
,Mrh?
则，模型简化为：
)10(
0
)(
)(
..
)(m i n
x
MxF
hxR
ts
xQ
2.3,确定投资者对风险－收益的相对偏好参数
>0,模型简化为：
)11(
0
)(
..
)()1()(m i n
x
MxF
ts
xRxQ
2.4,将收益与风险相比，模型简化为：
或
)12(
0
)(
..
)(
)(
m a x
x
MxF
ts
xQ
xR
)'12(
0
)(
..
)(
)(
m i n
x
MxF
ts
xR
xQ
三、模型的进一步简化：
因为 M相当大，所以总可使对每个 Si的投资超过 ui，即（ 1）式可简化为：
ci(xi)=pixi (13)
并且在作具体计算时，可设 M=1，于是
(1+pi)xi可视作投资 Si的比例。
如此，（ 9）可化为：
0
)1(
)(9,.,,,2,1
..
)(m a x
0
0
x
Mxp
nikxq
ts
xpr
i
n
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ii
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iii
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..
)(m a x
x
MxF
kxQ
ts
xR
对于（ 10）、（ 11）、（ 12）的求解，困难在于 Q(x)是非光滑函数，难于直接用通常的优化算法和现成软件求解，可采用如下方法处理,（下面以（ 11）为例说明）
（ 1）将（ 11）化为 n个线性规划
LP(k)(i=1,2,…,n),
再在 n个 LP(k)的最优值中取最小的一个对应的解即为（ 11）的最优解。
0
,.,.,1,1,.,.,1
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..
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0
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x
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Mxp
ts
xprxqxL
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2)引入新变量 xn+1，求解：
这就将模型转化成了一个线性规划模型。
0
,.,,,2,1
( 1 4 ) )1(
..
)()1()(m i n
1
0
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1
x
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Mxp
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n
i
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按模型 (14)将数据代入，求解得,
（ n=4的情形,M=1）
x0 x1 x2 x3 x4 R(x) Q(x)
0.7 0 0.99 0 0 0 0.267 0.025
0.8 0 0.369 0.615 0 0 0.217 0.009
0.9 0 0.237 0.400 0.108 0.228 0.202 0.006
相应于?=0.7,0.8,0.9的最优值 L分别为 -0.6806931E-01,
-0.3591636E-01,-0.1481674E-01.
我们在模型 (14)的基础上研究第二问,对不同的偏好系数进行计算,发现当对风险的偏好系数大于某一常数时,则将全部资金用于存银行,
否则,当对风险的偏好系数小于这一常数时,则将全部资金用于购买其他资产 (不存银行 ).
优秀论文评注,
我们看到在许多优秀论文中,多数都做了参数规划,绘制了最佳投资的收益与风险的关系曲线图等,
计算工具也是多样化,有具体编程的,有随机模拟的,有用 Mathematica等,
以及在固定 (平均 )风险模型中,有些队用投资 Si 的全部费用 做基本 变量,因此模型为
iiiiiii xpxxcxy )(
固定风险水平 k(为常数 ),优化投资模型为,
由此模型我们容易证明,净收益
R取得最大,当且仅当我们把 Si中所有 gi 大的项目都全部投资,因此,要决定投资项目,我们只要对 gi安从大到小的顺序排号队即可,
.1
i
ii
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记
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Si（ i=1,2,…,n ）供投资者选择，某公司有数额为 M的一笔相当大的资金可用于作一个时期的投资。公司财务分析人员对这 n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买 Si的平均收益率为 ri，并预测出购买 Si的的风险损失率为
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1)已知 n=4时的相关数据如下：
Si ri (%) qi(%) pi(%) ui(元 )
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试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金 M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总风险尽可能小。
2)试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。
Si ri(%) qi(%) pi(%) ui(元 )
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三、模型的进一步简化：
因为 M相当大，所以总可使对每个 Si的投资超过 ui，即（ 1）式可简化为：
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并且在作具体计算时，可设 M=1，于是
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（ 1）将（ 11）化为 n个线性规划
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（ n=4的情形,M=1）
x0 x1 x2 x3 x4 R(x) Q(x)
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我们在模型 (14)的基础上研究第二问,对不同的偏好系数进行计算,发现当对风险的偏好系数大于某一常数时,则将全部资金用于存银行,
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优秀论文评注,
我们看到在许多优秀论文中,多数都做了参数规划,绘制了最佳投资的收益与风险的关系曲线图等,
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固定风险水平 k(为常数 ),优化投资模型为,
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