再生资源管理模型
1.产量模型我们来研究一些再生资源的可持续发展问题,象渔业,
林业等再生资源,一定要注意适度开发,应防止“竭泽而渔”,应在持续稳产的前提下追求产量或经济效益的优化,下面我们考虑一个渔场,
记 时刻 t渔场中的鱼量为 x(t).
模型假设,
1.在没有捕捞的条件下,x(t)服从 Logistic模型,即
( 1 ) )1()()(
N
xrxxftx
2.单位时间的捕捞量 (即产量 )与渔场鱼量 x(t)
成正比,比例系数为 E,它表示单位时间的捕捞率,所以称 E为捕捞强度,它可用捕鱼网眼的大小或出海鱼船的数量来控制,因此单位时间的捕捞量为
.)( Exxh?
( 2 ) )( )1()()()( xFExNxrxxhxftx
因此这个方程我们可以具体解出 (只要给定初始值 ).在此我们不求解它,因为我们并不关心 x(t)具体的变化过程,我们只希望知道渔场的稳定产量和保持稳定的条件,即时间 t趋于无穷时渔场鱼量 x(t)的趋势,为此我们来研究方程 (2)的 平衡点并分析其稳定性,
回到我们的问题,对方程 (2),它有两个平衡点,分别为
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解释,结论表明,只要捕捞适度 (E<r),就可以使渔场的鱼量稳定在 x2,从而 (单位时间 )可获得持续产量 h(x2)=Ex2;
反之,若捕捞过度 (E>r),则渔场鱼量将趋于 x1 =0,因此,渔场资源将枯竭,当然谈不上获得持续产量了,当 E=r时,
可具体验证 x(t)?0.
下面我们进一步讨论在稳产的前提下,如何控制捕捞强度 E,使得产量最大,
也可图解,由于
F(x)=f(x)-h(x),因此 F(x)=0的点就是 f(x)=h(x)=Ex的点,
( 3 ),
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此时为单位时间的产量最大时所以当
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2.经济效益模型从经济的角度看,渔场经营不应该追求产量最大,而应当追求经济效益最佳,简单起见,经济效益是指从捕捞所得的收入中扣除成本后所得到的利润,并假设,
鱼的销售单价为常数 p,单位捕捞率 (如每条出海鱼船 )
的费用为常数 c,那么单位时间的收入 T和支出 S分别为 T=ph(x)=pEx,S=cE,
单位时间的利润为 R=T-S=pEx-cE.
在稳定条件 x=x2下,我们得到利润
( 4 ) )1()()()( cErEp N EESETER
易求得,当捕捞强度
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时,利润最大,此时
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利润最大值点 此时
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比较 (3)和 (5)式可以看出,在最大经济效益的原则下,捕捞率和持续产量都有所减少,但是渔场保持的稳定的鱼量却是增加的 ;并且这种减少或者增加的部分随着成本的增加而变大,随着销售单价的增长而变小,
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3.捕捞过度上面我们所研究的模型是在计划捕捞的基础上获得的,
即渔场是由一个经营者来管理的,如果渔场是向众多的盲目的经营者开放,如在公海上无计划的捕捞,这时,
只要有微薄的利润,经营者也会去捕捞,我们称之为盲目捕捞,它将导致捕捞过度,
由 (4)式,
( 4 ) ) ()1()( rp NEcpNEcErEp NEER
令 R(E)=0得到非零解 ES,它为
( 6 ) )1(
pN
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称 ES为盲目捕捞下的临界强度,解释此时,渔场稳定的鱼量为
( 7 ) / pcx S?
上式表明,xS完全由 成本 — 价格比 决定,随着价格的上升和成本的下降,xS将迅速减少,
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我们发现,ES=2ER,即盲目捕捞强度比最大效益下的捕捞强度大一倍,
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捕捞为生态学捕捞过度盲目称这种时当捕捞为经济学捕捞过度盲目这种我们称时当三种结果比较
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例比如在某一封闭水域内某种鱼的生存总量估计为
N=107(kg),r=0.6(1/年 ).
一年的稳定持续捕捞的最大产量为 1.5× 106kg,此时
E*=0.3 (1/年 );
.)( Exxh?
,2* rE?
,2,.4 2 NxrNh m此时比如在某一封闭水域内某种鱼的生存总量估计为
N=107个单位 (kg),r=0.6(1/年 ).
一年的稳定持续捕捞的最大产量为 1.5× 106kg,此时
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R
若鱼的价格 p为 8元 /kg.单位时间 (年 )内的单位捕捞的成本为 c=3× 107元,则一年的最大收益 4.6875× 106元,
此时 ER=0.1875,一年的捕捞量为 1.289× 106kg.
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若是公共水域,其他数据不变,则 ES=0.375,一年的捕捞量为 1.4065× 106kg.
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一维自治系统的稳定性理论
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是渐近稳定的则称平衡点就有只有初值的某个邻域若存在对某个平衡解我们称之为平衡解就是这个自治系统的解显然得其根令
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