轧钢中的浪费
1.背景你见过轧钢吗?
把粗大的钢坯变成合格的钢材 (如钢筋,
钢板 ),通常要经过两道工序,第一道是粗轧 (热轧 ),形成钢材的雏形 ;第二道是精轧 (冷轧 ),得到规定长度的钢材,即成品,
粗轧的长度是随机的,大体上服从正态分布,其均值可由轧机调整,方差则由设备的精度决定,不能随意调整,
问题重述,已知成品钢材的规定长度 l和粗轧后钢材长度的均方差 σ,试确定粗轧后钢材的长度 m,使得当轧机调整道 m进行粗轧,再通过精轧来得到成品钢材时的浪费最小,
如果粗轧后的钢材长度大于规定的长度,
则精轧时切除多出的部分 ;如果粗轧后的钢材长度小于规定的长度,则整根报废,
因此,我们应该综合这两种情况,使得总的浪费最小,
相关问题
(1) 确定从家里出发的时间,以便不错过火车或飞机 ;
(2) 包装机打包时均值的确定问题,
问题分析 记 x 为粗轧后钢材的长度,则为一随机变量,设 x~N(m,σ2)(注,m>> σ时
x几乎都是 >=0,我们这里是近似反映现实 ),其概率密度函数为 p(x).这里 σ已知,m
待定,记
).( lxPP
由前可知,轧钢中的浪费由两部分构成,
当 x>=l 时,浪费钢材的长度为 x-l;
当 x<l 时,浪费钢材的长度为 x.
这两种事情都有可能发生发生,由密度函数的定义可知,粗轧时的长度在区间
[x,x+dx]内的概率为 p(x)dx,因此,二者之和即总的浪费长度为
( 1 ) ll dxxxpdxxplxW 0 )()()(
)(1 ll dxxxpdxxplxW )()()(
( 2 ) lPmW
Pdxxp
mdxxxpdxxp
l
可化简得利用
)1(,)(
,)(,1)(
(2)也可由直接的方法得到,设想粗轧了
N根钢材,
(3) lPm
N
l P NmN
W
(2)式就是粗轧的期望浪费量,
当然,如果粗轧车间追求的是效益而不是产量的话,那么浪费的多少不应该以钢材的平均浪费量为标准,而应该以得到成品材浪费的平均长度来衡量,也即将 (3)式中的分母改成 PN.
( 2 ) lPmW
(3) lPm
N
l P NmN
W
2.建模与求解平均每根成品材浪费的钢材长度为
( 4 ) l
P
m
PN
l P NmNJ
1
由于 l是常数,所以求 (4)式的最小与只保留第一项时的最小值点一样,即
( 5 )
)(
)(
mP
m
mJ?
求解 为求出概率 P,进行变量代换,以便服从标准正态分布,令
,
mx
y
)(
2
1
2
1
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2
2
)(
2
2
2
ml
dye
dxedxxpmp
ml
y
l
mx
l
则
.,,
l
b
m
a
记分布函数为标准正态分布的这里
(5)式可表示为
( 6 )
)(
)(
ba
a
aJ
0)()(
,
)(0)(
baaba
yaJ
有分布的密度函数为标准正态并记令
( 7 ) zbzz
zzba
)(/)(
.0,
上式可化为则记
(7)式就是最优解 z*所满足的方程,不能求出 z的解析解,只能求数值解,先从理论上探讨一下,
.253.1)0(.0)(,0;0)(,0,
最小故时时由此可知
FzFz
zFz
.
)(
)()(
1
)(
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)(
,)(/)()(
22
2
z
zz
z
zzz
zF
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则记
( 7 ) zbzz )(/)(?
.0
,)7(,)(
)(),(1
时只有唯一解在有两个解故注意到
z
F
Flb?
F(z)
z
b
z
我们可以用图解法求解,
z 0 0.6 0.8 1 1.2
F(z) 1.253 1.578 1.920 2.477 3.357
z 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2
F(z) 4.739 6.921 10.41 16.10 25.60
z 2.4 2.6 2.8 3.0 4.0
F(z) 41.89 70.68 123.2 222.3 7472
也可以利用标准正态分布的函数值表来制作简表,以方便查找,
z 1.78 1.79 1.80 1.780 1.781
F(z) 9.983 10.19 10.41 9.983 10.00
4
例 (1)若 l=2.0m,σ=20cm,则 b=10,我们发现 F(1.8)=10.41,F(1.6)=6.921,故若保留到小数点后面一位的话,z*=1.8;若要求更高的精度,则作更详细的表,
z1*=1.78,z2*=1.781.从而 (以 z1*=1.78为例 )a*=11.78,m*=2.36.此时
J1=m/P(z)-l=0.45.
(2)若 l=6.0m,σ=20cm,则 b=30,我们发现 F(2.2)=25.60,F(2.4)=41.89,
z*=2.3; z1*=2.27,z2*=2.266.从而
a*=32.27,m*=6.45.此时 J1=0.53.
z 2.2 2.3 2.26 2.27
F(z) 25.60 32.62 29.58 30.31
z 2.266 2.265 2.4
F(z) 30.02 29.94 41.89
1.背景你见过轧钢吗?
把粗大的钢坯变成合格的钢材 (如钢筋,
钢板 ),通常要经过两道工序,第一道是粗轧 (热轧 ),形成钢材的雏形 ;第二道是精轧 (冷轧 ),得到规定长度的钢材,即成品,
粗轧的长度是随机的,大体上服从正态分布,其均值可由轧机调整,方差则由设备的精度决定,不能随意调整,
问题重述,已知成品钢材的规定长度 l和粗轧后钢材长度的均方差 σ,试确定粗轧后钢材的长度 m,使得当轧机调整道 m进行粗轧,再通过精轧来得到成品钢材时的浪费最小,
如果粗轧后的钢材长度大于规定的长度,
则精轧时切除多出的部分 ;如果粗轧后的钢材长度小于规定的长度,则整根报废,
因此,我们应该综合这两种情况,使得总的浪费最小,
相关问题
(1) 确定从家里出发的时间,以便不错过火车或飞机 ;
(2) 包装机打包时均值的确定问题,
问题分析 记 x 为粗轧后钢材的长度,则为一随机变量,设 x~N(m,σ2)(注,m>> σ时
x几乎都是 >=0,我们这里是近似反映现实 ),其概率密度函数为 p(x).这里 σ已知,m
待定,记
).( lxPP
由前可知,轧钢中的浪费由两部分构成,
当 x>=l 时,浪费钢材的长度为 x-l;
当 x<l 时,浪费钢材的长度为 x.
这两种事情都有可能发生发生,由密度函数的定义可知,粗轧时的长度在区间
[x,x+dx]内的概率为 p(x)dx,因此,二者之和即总的浪费长度为
( 1 ) ll dxxxpdxxplxW 0 )()()(
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( 2 ) lPmW
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(2)也可由直接的方法得到,设想粗轧了
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(3) lPm
N
l P NmN
W
(2)式就是粗轧的期望浪费量,
当然,如果粗轧车间追求的是效益而不是产量的话,那么浪费的多少不应该以钢材的平均浪费量为标准,而应该以得到成品材浪费的平均长度来衡量,也即将 (3)式中的分母改成 PN.
( 2 ) lPmW
(3) lPm
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W
2.建模与求解平均每根成品材浪费的钢材长度为
( 4 ) l
P
m
PN
l P NmNJ
1
由于 l是常数,所以求 (4)式的最小与只保留第一项时的最小值点一样,即
( 5 )
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求解 为求出概率 P,进行变量代换,以便服从标准正态分布,令
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我们可以用图解法求解,
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F(z) 41.89 70.68 123.2 222.3 7472
也可以利用标准正态分布的函数值表来制作简表,以方便查找,
z 1.78 1.79 1.80 1.780 1.781
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例 (1)若 l=2.0m,σ=20cm,则 b=10,我们发现 F(1.8)=10.41,F(1.6)=6.921,故若保留到小数点后面一位的话,z*=1.8;若要求更高的精度,则作更详细的表,
z1*=1.78,z2*=1.781.从而 (以 z1*=1.78为例 )a*=11.78,m*=2.36.此时
J1=m/P(z)-l=0.45.
(2)若 l=6.0m,σ=20cm,则 b=30,我们发现 F(2.2)=25.60,F(2.4)=41.89,
z*=2.3; z1*=2.27,z2*=2.266.从而
a*=32.27,m*=6.45.此时 J1=0.53.
z 2.2 2.3 2.26 2.27
F(z) 25.60 32.62 29.58 30.31
z 2.266 2.265 2.4
F(z) 30.02 29.94 41.89
