等级结构模型一,背景在社会系统中常常按照人们的职务或者地位划分为许多等级，如在我们大学,教师一般分为教授、副教授、讲师和助教,学生身份的人分为研究生、大学生、中学生和小学生,在其他系统内也都有相应的级别分类,不同等级的人员比例形成一个等级结构,一个合适的、稳定的等级结构有利于各方面工作的顺利进行,本节我们就来建立一个模型来描述等级结构的变化,根据已知条件和当前的结构来预报未来结构,并为寻求某个理想的等级结构提供相应的策略,
引起等级变化的因素有两种,一是系统内部等级间的转移,即提升或者降级 ;
二是系统内外的交流,即人员的调入或退出
(调离,退休,死亡 ),
系统内的各个等级的人员每个时期按照一定的比例变化,本是一个确定性的转移问题,但是当我们把这种比例视为各等级的每个成员提升、降级或退出的概率，我们就能够应用概率论和随机过程（特别马氏过程）中的一些理论和方法,当然这时各等级的数量应理解为平均值,
二,基本量与基本方程设一个社会系统由低到高分为 k个等级,将时间以年为单位离散化,即每年进行且只进行一次调级,引入记号,
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)),(,),(),(()(
21
也称为是等级结构其中成员按等级的比例分布
t
tN
tn
ta
tatatat
i
i
k
a
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.)()(,)(
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为总人数的人数时刻等级为其中成员按等级的分布向量

i
ii
k
tntNittn
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比例中占的至等级转移为每年从等级其中转移矩阵
ij
ipp ijij?Q
( 1 )
T
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ik
ttnwtW
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1
wn
w

年退出系统的总人数为比例中占退出的成员为每年从等级其中退出比例向量?
( 2 ) 1,0,, i
j
ijiij wpwp 且显然
).(.)(
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tRt
irrr ik
年调入总人数为比例占总对调入人数的的成员为每年调入等级其中调入比例向量如r
推导等级结构的基本方程
( 3 ) )()()()1(,tWtRtNtN总数
(4) )()()1(,tRrtnptn j
i
iijj转移方程
( 5 ) rQnn )()()1(,tRtt即记 M(t)为从 t到 t+1年系统总人数的增长量,则
)()()()()( tMwtNtMtWtR T
.1,
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的随机矩阵是一个行和为其中于是
rQP
rPn
rrQnn
T
T
w
tMt
tMwtt



(7),
(6)
(7)式或 (5)式就是等级结构的基本方程,
特例 1:当 M(t)=βN(t)时,(7)式可变为
])([)1()1( 1 rPaa tt
用调入比例进行稳定控制特例 2,M(t)=0,(7)式可变为
( 8 ) ))(()()1( rQaPaa Twttt
我们的中心问题是,通过对调入比例 r的调节,
尽快达到或者接近给定的理想等级结构 a*.