资金流通问题一,背景若干地区之间资金每年按一定的比例相互流动,
也有一些资金流出这些地区,不再回来,银行为了使这些地区的资金分布趋向于给定的稳定分布,计划每年向各地区投放或回收一定的资金,
本节就讨论这类问题,
与人员的等级结构比较,资金流通好比等级间的成员转移,资金的回收或投放好比人员的退出或调入,不同之处,资金的投放可正可负,而人员的调入比例不能为负 ;二是地区的资金总和每年是变化的,也不同于我们主要研究的人员总数保持不变的情形,
二,资金分布的基本方程;0)(),(?tcitk i的资金为年地区第组成系统个地区设有
.01, ijij ppji 显然的资金比例为流入地区每年从地区
).0( 表示回收投放的资金为每年银行向地区?ii ddi
.1 流出该系统时表示有资金从地区 ip
j
ij
则我们易推出记
),(
)),(,),(()()),(,),(()( 11
ijkk
kk
p
tdtdttctct
Q
dc
( 1 ) dQcc )()1( tt
(2)?
1
0
)0()(
t
s
stt QdQcc从而如果 k个地区的资金视为系统的 k个状态,并且增加一个状态表示资金流出这个系统,资金的无后效性表明可以应用马氏链模型描述其变化过程,先不考虑资金投放,则资金在 k+1个状态之间的转移矩阵为
( 3 )?
QR
01
P
其中第一行对应于状态 0,状态 0是一个吸收态,不妨假定各地区均对应于非吸收态,并且从这些状态可以到达状态 0,既形成一个吸收链,于是矩阵
I-Q可逆,且
.0,.)(
0
1
t
s
s QtQQI 时
( 4 ),)()(
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1
QI
t
dc
得到式中令在设银行希望各地区资金趋向于稳定分布 c*.由 (4)
得
( 5 ) Q ccQIcd **)(*
对于给定的 c*和 Q,由 (5)式确定的 d可以使得 t趋于无穷时,c(t)趋于 c*.但是?
但是我们必须检查当 (5)代入 (2)式后得到的
(6)?
1
0
)**()0()(
t
s
stt QQccQcc
是否对于所以的 t=1,2,… 都有分布向量 c(t)>=0.
分两种情形讨论,
1.因为 c(0)>=0,Q>=0,若
c*>=c*Q (7)
则 c(t)>=0恒成立,这时由 (5)得到 d,称此时的 c*
为可达到的,
2,(7)式只是 c(t)>=0的充分条件,可进一步讨论 (6)式,
(8) *
t
tt
t
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t
s
st
t
Qccc
QIcQcQQIcQc
QQccQcc
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1
0
( 9) )(*
:E0)(,)]0( * [)( t
t
tt t
hc
cQcch
的充要条件为则记条件 (9)可以方便地用来检查 c*不能达到,因为只要存在一个 t,使得 Et不满足,c*便无法到达,
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0
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*
1
1
成立使得条件必存在某个均成立对所以的则条件成立使得条件若存在某个记如上面定义设定理
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t
i
s
k
k
i
i
Fs
stE
sc
Fs
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s
(11)
(10)
h
hh
hc
定理表明,对充分大的 t,条件 Ft,Et都是成立的,因此,我们只要对在 s0前的 t逐一判断条件 Et是否成立即可,如果有某个 t,Et
不成立,则 c*不可达到 ;否则,c*能达到,
判断 c*能否达到的程序图,
Q,c*,c(0)
Qcc **?
F0
F1 E1
c*
可达到 c*
不可达到是否否否否否是是是是
F2 E1否是是
…
例 三个地区的资金流通比例矩阵为
.
3/13/20
3/13/13/1
3/103/1
Q
初始分布为 c(0)=(9,3,6).
判断稳定分布 c*=(12,6,3)
能否达到 ;若能达到,问银行每年应如何投放资金,
解 按照程序,我们来逐一判断如下,
1.检验 c*>=c*Q.经计算,c*Q=(6,4,7),可知条件
c*>=c*Q不成立,
.
.9)0(),3,3,3()0(*)0(..2
0
0
不成立可知条件计算检验
F
F hcch
3.检验 F1.计算 h(1)=h(0)Q=(2,-1,1),h(1)=4,因此条件 F1不成立,
5.检验 F2.计算 h(2)=h(1)Q=(1/3,1/3,2/3),h(2)=4/3,
minc*=3>h(2),因此条件 F2成立,
4.检验 E1.c*>=h(1)成立,
检验完毕,c*可达到,银行每年投放的资金 d为
d=c*-c*Q=(6,2,-4).
马氏链及其基本方程按照系统的发展,将时间离散化,n=0,1,2,…,对每个 n,系统的状态用随机变量 Xn表示,设 Xn可取 k个离散值 1,2,…,k,记
.),|(:;:)()(
1 的概率到从状态转移概率状态概率
jiiXjXPp
iXPn
nnij
ni
如果 Xn+1的取值只取决于 Xn的取值及转移概率,而与前面的 Xi(i<n)无关,则称这种随机转移过程为 马氏链,
基本方程,,,2,1,)()1(
1
kipnn
k
j
jiji
.1,1)(
,
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11
k
j
ij
k
j
j pn
nn
满足为转移矩阵表示状态概率向量这里行向量即
P
aPaa
nn Paa )0()(?于是定义 1 如果存在 N,使得从任意状态 i经过 N次转移都以大于零的概率到达状态 j,则称此马氏链为 正则链,
定理 1 马氏链为正则链的充要条件是,存在 N,
使得 PN>0.
定理 2 正则链存在唯一的极限状态概率 w:
即当 n趋于无穷时,a(n)?w.且 wP=w.
定义 2 转移概率 pii=1的状态称为 吸收状态,如果马氏链至少包含一个吸收状态,并且从每个非吸收状态出发,能以正的概率经过有限次转移到达吸收状态,则称此马氏链为 吸收链,
吸收链的转移矩阵的标准形式,
.
,1||,
中必含非零元的特征值满足阶方阵其中
R
Q
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QR
OI
P
定理 3 对于吸收链 P的标准形式,I-Q可逆,
且
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0
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也有一些资金流出这些地区,不再回来,银行为了使这些地区的资金分布趋向于给定的稳定分布,计划每年向各地区投放或回收一定的资金,
本节就讨论这类问题,
与人员的等级结构比较,资金流通好比等级间的成员转移,资金的回收或投放好比人员的退出或调入,不同之处,资金的投放可正可负,而人员的调入比例不能为负 ;二是地区的资金总和每年是变化的,也不同于我们主要研究的人员总数保持不变的情形,
二,资金分布的基本方程;0)(),(?tcitk i的资金为年地区第组成系统个地区设有
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1.因为 c(0)>=0,Q>=0,若
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判断稳定分布 c*=(12,6,3)
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4.检验 E1.c*>=h(1)成立,
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定理 1 马氏链为正则链的充要条件是,存在 N,
使得 PN>0.
定理 2 正则链存在唯一的极限状态概率 w:
即当 n趋于无穷时,a(n)?w.且 wP=w.
定义 2 转移概率 pii=1的状态称为 吸收状态,如果马氏链至少包含一个吸收状态,并且从每个非吸收状态出发,能以正的概率经过有限次转移到达吸收状态,则称此马氏链为 吸收链,
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