设备的定期维修问题
1.设备的定期维修问题假设有一批同一类型的机器,考虑多长时间对这批机器进行定期维修的问题,如果不进行定期维修,或者定期维修时间过长,那么该设备就可能会经常出现临时损坏,为此就要付出较多的应急维修的代价 (包括维修费用以及停工损失等 ).另一方面,如果定期维修进行得太频繁,那么维修费也会相应地大大增加,因此,选择适当的维修周期,就是要使得定期维修的费用和应急维修的费用取得某种均衡,以达到总维修代价最小的目的,
为了定量地分析,我们给出一些具体数字,设每台机器的定期维修费用为 c0=100
元,应急维修的费用是每台 c1=1000元,设时间单位是年,假定我们已知定期维修后一台机器于第 k年发生临时损坏的的概率为 pk,
p1 =0.05,p2 =0.10,p3 =0.10,
p4 =0.13,p5 =0.18,
又已知这批机器的总数为 50.
以 Dk表示以下决策,以 k为周期进行定期维修,现限定 k<=5.这样我们就有 5个可供选择的决策,作出决策 Dk后,在一个周期内的第 j年发生临时损坏的机器数 nj将是一个随机变量 (j=1,2,…,k),从而一个周期内的维修总费用也将是一个随机变量,相应地年平均维修费用 fk
仍然是一个随机变量,
( 1 )
k
nnncncf k
k
)( 2110
与该问题中的决策有关所发生的状态具有不确定性,从而这种情形下的决策称为 风险决策,我们通常用期望值来衡量,本例,
.)(),,(~ iiii npnEpnBn?
( 2 )
k
pppncncfE k
k
)()( 2110
.6 3 0 0)(,5 6 2 5)(
,5 3 3 3)(,5 5 0 0)(
,7 5 0 0)(:
54
32
1
fEfE
fEfE
fE因此我们可以算出从中我们可以看出,决策 D3使得总维修费的期望值最小,因此我们取 k=3.即以三年为周期进行定期维修,
2.风险决策的矩阵形式在风险决策中,决策者要面对多个可能发生的状态 (或者称作事件 )θ1,θ2,…,θn,决策者所能采取的决策也有若干个,记为 a1,a2,…,
am.即使存在无穷个决策可供选择时,也应该尽可能简化为有限个,为了进行定量分析,
需要针对每个决策及每个状态计算一个收益,或者象 (1)式那样得到一个解析表达式,
相应于决策 ai 与状态 θj的收益记为 vij,这样我们得到的 m行 n列的矩阵就称为 该风险决策的收益矩阵 ).(
ijv
我们还要估计出每个状态 θj的概率
P(θj)=pj,于是相应于决策 ai的期望收益就是
n
j
jij pv
1
.
最常用的准则是 最大期望收益准则,即选择决策 ak使得
( 3 )
n
j
jij
n
j i
jkj pvpv
11
}.{m a x
同样地,记相应于决策 ai 与状态 θj的代价记为 wij,这样我们得到的 m行 n列的矩阵就称为 该风险决策的代价矩阵,那么我们常用的准则 就是最小期望代价准则,即选择决策 ak使得
( 4 )
n
j
jij
n
j
ijkj
pwpw
11
}.{m i n
例 商店经理订购用于夏季销售的网球衫,
假定这种网球衫的订购数量必须是 100的整数倍,订购价为,100件时,20元 /件 ; 200件时,
18元 /件 ; >=300件时,17元 /件,销售价为 26元 /
件,如果在夏季结束时剩下的网球衫则按每件 14元处理,为简单起见,他将需求量分为三种情形,100,150,200,而且,他认为这三个事件的概率分别为 0.5,0.3,0.2.同时,他考虑,对每个希望买网球衫而买不到的情形,应等价于付出“愿望损失费” 1元,问他应该为订购这种网球衫如何决策呢?
解,将事件记为 θ1,θ2,θ3,分别相应于需求量为 100,150,200的情形,采取的决策记为 a1,a2,a3,本别表示订购 100,200,300的情形,则
.2.0,3.0,5.0 321 ppp
1 5 0 0900300
1 6 0 01 0 0 0400
500550600
V
5 5 01501 0 0612v
期望收益分别为
,575)( 1?aE,8 2 0)( 2?aE,7 2 0)( 3?aE
结论,按照最大期望收益原则,应该采取决策为 a2,即订购量为 200.
又及,假如经理对于事件的概率预测毫无把握,那么这时就不能用最大期望收益原则来决策,
对策 1:保守原则 (最大化最小收益原则 )
).m in(m a xm a x,ij
jikjkk
vva?选择对策 2:冒险原则 (最大化最大收益原则 )
).m a x(m a xm a x,ij
jikjkk
vva?选择
a1
a2
3.最小期望机会损失原则关于风险决策的另一个原则是尽量减少机会损失,这里机会损失是指,当选择的决策为 ai,而事件 θj发生时,机会损失为
(5 ) ijkj
kij
vvl m ax
.
m ax
,,)5(
之差被定义为机会损失所得收益与决策最大收益可能的发生时当事件式表明
ijikj
k
j
vav
我们也可以采用 最小期望机会损失原则来决策,即选择 ak,使得
( 6 )
n
j
jij
n
j
ijkj
plpl
11
}.{m i n
计算实践,上面的例子中,三种决策的机会损失矩阵为
10 010 030 0
0020 0
11 0045 00
L
,3 5 51
j
jj pl
,1002
j
jj pl
.2003
j
jj pl
定理 最小期望机会损失原则与最大期望收益原则是等价的,
.)max(
,max,
1
11
con stvp
pvpl
vvl
kj
k
n
j
j
n
j
jij
n
j
jij
kj
k
ijij
故事实上本例中,这个常数为 920.
最小期望机会损失还有另外一个意义,
设想经过市场调查,对于究竟发生那个事件能获得完全信息,从而可获得相应的最大收益
.m a x kj
k
v
因此,在获得完全信息的条件下,的期望最大收益为
)m a x( kj
kj j
vp?
二者之差就是最小期望机会损失,因此它可以定义为 完全信息的期望值 EVPI.本例中,EVPI=100元,小于此值的代价获得完全信息,就是值得的,
1.设备的定期维修问题假设有一批同一类型的机器,考虑多长时间对这批机器进行定期维修的问题,如果不进行定期维修,或者定期维修时间过长,那么该设备就可能会经常出现临时损坏,为此就要付出较多的应急维修的代价 (包括维修费用以及停工损失等 ).另一方面,如果定期维修进行得太频繁,那么维修费也会相应地大大增加,因此,选择适当的维修周期,就是要使得定期维修的费用和应急维修的费用取得某种均衡,以达到总维修代价最小的目的,
为了定量地分析,我们给出一些具体数字,设每台机器的定期维修费用为 c0=100
元,应急维修的费用是每台 c1=1000元,设时间单位是年,假定我们已知定期维修后一台机器于第 k年发生临时损坏的的概率为 pk,
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p4 =0.13,p5 =0.18,
又已知这批机器的总数为 50.
以 Dk表示以下决策,以 k为周期进行定期维修,现限定 k<=5.这样我们就有 5个可供选择的决策,作出决策 Dk后,在一个周期内的第 j年发生临时损坏的机器数 nj将是一个随机变量 (j=1,2,…,k),从而一个周期内的维修总费用也将是一个随机变量,相应地年平均维修费用 fk
仍然是一个随机变量,
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同样地,记相应于决策 ai 与状态 θj的代价记为 wij,这样我们得到的 m行 n列的矩阵就称为 该风险决策的代价矩阵,那么我们常用的准则 就是最小期望代价准则,即选择决策 ak使得
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18元 /件 ; >=300件时,17元 /件,销售价为 26元 /
件,如果在夏季结束时剩下的网球衫则按每件 14元处理,为简单起见,他将需求量分为三种情形,100,150,200,而且,他认为这三个事件的概率分别为 0.5,0.3,0.2.同时,他考虑,对每个希望买网球衫而买不到的情形,应等价于付出“愿望损失费” 1元,问他应该为订购这种网球衫如何决策呢?
解,将事件记为 θ1,θ2,θ3,分别相应于需求量为 100,150,200的情形,采取的决策记为 a1,a2,a3,本别表示订购 100,200,300的情形,则
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对策 1:保守原则 (最大化最小收益原则 )
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