万有引力定律的发现历史背景,15世纪后期,欧洲商品经济的繁荣促进了航海技术的发展,后者进一步促进了天文学的发展,天文观测的精度不断提高,哥白尼提出“日心说”,开普勒在第谷的大量的天文观测数据的基础上运用数学方法归纳出著名的开普勒三大定律,
(开 1) 各行星分别在不同的椭圆轨道上绕太阳运行,
太阳位于这些椭圆的一个焦点上 ;
(开 2) 每颗行星运行过程中单位时间内,太阳 — 行星向径扫过的面积是常数 ;
(开 3) 各颗行星运行周期的平方与其椭圆轨道长半轴的三次方成正比,
此时,还有大物理学家伽利略、胡克、惠更斯等，
它们都各有自己的贡献，但是，由于没有处理变速度的方法,因而,终究没有能发现有关引力的定律,
而牛顿集大数学家和大物理学家于一身,运用微积分的方法,发现了万有引力定律,牛顿当时用的是称为“流数法”,不是我们今天微积分记号,
模型假设 开普勒三定律和牛顿第二定律是导出万有引力定律的基础,即为我们推导万有引力定律的已知知识,我们用假设条件把它们写出,
我们建立如图所示的坐标系,太阳位于 O,行星位于 P.我们用向径 r表示 P的位置向量 (x,y).
O
P
y
x
uθ ur
r
1.在极坐标系下轨道方程为
,,
,
c o s1
222
a
ba
e
a
b
p
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其中
这里 a,b为椭圆的长,短半轴,e为离心率,
θ
,
)(
12
2
2
2
b
y
a
cx
22 bac
即面 积积为常单位时间内向径扫过的2 A,.
,,
.,3 32
为绝对常数行星无 关满足行星周期与其中 aTT?
.m
m
rf,r
f4.
即之 积其加速度与等于其 质 的作用力行星 量运行时
AtdtttrdrtS
t
0
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1)(
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由开 2
定律,
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2
2
1
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模型建立 为了求出力 f,就必须求出 r的二阶导数,为此设与人同向的单位向量为 ur,于是
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rr
rr
于是记
,uuuur rrrr rrr我们得到
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故
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向量求导 (x(t),y(t))的导数为 (x′(t),y′(t)).故
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u)(u)( rrrr r 22
)(u)(u)( 2422 322 假设 r rArr Arrr r
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故
Atθr?)( 221
再由假设 1和 2,得到
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,)(4co s4co s2 3
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2
24?
故这已经是万有引力定律的形式了,只要我们再证明
A2/p是一个绝对常数,与行星无关即可,
,c o s1?e pr Atθr?)(
2
1 2?
由假设 3,我们得到 TA=πab,于是
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2
3
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A
上式表明 A2/p是一个绝对常数,它只与太阳有关,
于是我们得到
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r
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2
.4 2
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进一步,我们由牛顿第三定律得到万有引力定理,
k为万有引力常数,
O
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x
r
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椭圆方程为
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得代入 s i n,c o s ryrx
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解这个关于 r的方程得
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