人口模型背景年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999
人口 (亿 ) 5 10 20 30 40 50 60
世界上人口在较快地增长人口总量还在迅速膨胀,而且每个人消耗的资源也在不断增加,地球的环境质量急剧恶化,世界人口发展的几个数据,
中国人口发展的几个数据,
年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 2000
人口 (亿 ) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.95
认清人口数量的变化规律,建立人口模型,作出较准确的预报,
是有效控制人口增长的前提,
1.指数增长模型 (Malthus模型 )
Malthus(1766-1834),牧师,英国人口学家,从英国人口百年资料得到此模型,
1) 离散模型设今年的人口总数为 x0,年增长率为 r,k年后人口为 xk,则
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2) 连续模型设时刻 t的人口为 x(t),假定 x(t)连续并可导,假设人口增长率为常数 r,即单位时间内 x(t)的增长量等于 r乘以 x(t),于是
.)0(,0xxrxdtdx,)( 0 rtextx? 其解为评价,资源丰富时的人口模型,如美国 1790-1900年间的人口
(3.9-76百万 )发展就符合此模型,r=0.2743/10年 =0.02743/年,
2.阻滞增长模型 (Logistic模型 )
人口增长到一定的数量后,资源、环境等因素对人口的增长起着阻滞作用,并且随着人口的增加,阻滞作用越来越大,
因此人口增长率为人口总数 x的单调减少函数,通常假设为
r-sx,即
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称 r为固有增长率,表示人口很少时的增长率,为确定 s,引入自然资源和环境条件所 能容纳的最大人口总量 xm,称为 人口容量,当 x= xm时,人口不再增长,即 r(xm)=0.于是 s=r/ xm.
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其解为
3.人口发展方程模型上面两个模型没有考虑人口的年龄结构及性别等复杂的因素,特别是年龄结构,不同的年龄阶段的人的生育率和死亡率有着很大的差别,另外,即使人口总数一样,如果年龄结构不同,
那么它们所面临的许多社会问题会有很大的差别,下面我们先考虑这一因素,即我们考虑人口为时间和年龄的函数,
引入 人口分布函数 F(r,t):表示 t时刻年龄小于 r的人口数,记 t时刻的人口总数为 N(t),最高年龄为 rm,则
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定义 人口密度函数 为
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考虑死亡情况,显然,当人口数量一定时,我们可以假设一段时间内的死亡人数与时间段的长度成正比 ;同样,在同样的时间段内,某一地区的死亡人数与该地区的总人数成正比,故我们完全可以假设在一段时间内某一地区人口的死亡人数正比于该地区的人口总数与时间的长度的乘积成正比,该比例系数称为死亡率,同样,可以对某一年龄段内的人口的死亡率也可类似假设,
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于是时间内死亡的人数为而在此段的人数为龄在年时刻的意义依据这里年龄变为他们之中活下来的人的的情况人到时刻的时刻年龄在取所满足的方程我们推导
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这里 μ(r,t)为已知函数,求解问题 (2)的方法是特征线法,依赖于函数 μ(r,t)的形式,在社会安定的局面下和不太长的时间内,死亡率大致与时间无关,因此 μ(r,t)= μ(r).这时我们可以解出其解为
( 3 )
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4.生育率和生育模式在上面的模型中,我们没有考虑人口中的性别分布,为了预测和控制人口的发展状况,必须关注和控制婴儿出生率 f(t).
记女性性别比例函数为 k(r,t),即时刻 t年龄在 [r,r+dr)的女性人数为 k(r,t)p(r,t)dr,将这些 女性在单位时间内平均每人的生育数记做 b(r,t).设育龄区间为 [r1,r2],则
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称生育模式为女性的生育加权因子是年龄为或生育胎次女性一生的总和生育数也可以理解为平均每个时间内的生育数单位时刻平均每个育龄女性的直接含义是从上面可以看出
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一般情况下,我们简化 h(r,t)=h(r),其图形为两端低,中间高,常假设 h(r) 为
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这时有生育率最大处并取
这样,(2),(4)就构成我们的模型,其中 μ(r,t),p0,k(r,t)可由人口普查资料得到或在资料基础上估计出,而生育模式 h(r,t)和生育率则是可以用于控制人口发展的两种手段,生育率可以控制生育的多少,h(r,t)可以控制生育的早晚和疏密,我们国家的计划生育及晚婚晚育政策正是通过这两种手段来实施的,要想人口把人口增长的势头降下来,必须经过长期的努力,
人口指数 通俗的一些人口数据更容易被接受,它们能够反映人口的一些基本特征,我们来看看,
1.人口总数 N(t):
2.平均年龄 R(t):
0
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mr
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3.平均寿命 S(t),它表示时刻 t出生的人不论活到什么时候,
死亡率都按时刻 t的 μ(r,t)计算,于是
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S(t)实际上是预估寿命,通常说目前平均寿命多少岁,是指今年出生的婴儿的预估寿命,即 S(0).
4.老龄化指数 w(t)=R(t)/S(t).应该避免老龄化指数过高,
5.依赖性指数
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是有效控制人口增长的前提,
1.指数增长模型 (Malthus模型 )
Malthus(1766-1834),牧师,英国人口学家,从英国人口百年资料得到此模型,
1) 离散模型设今年的人口总数为 x0,年增长率为 r,k年后人口为 xk,则
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2) 连续模型设时刻 t的人口为 x(t),假定 x(t)连续并可导,假设人口增长率为常数 r,即单位时间内 x(t)的增长量等于 r乘以 x(t),于是
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2.阻滞增长模型 (Logistic模型 )
人口增长到一定的数量后,资源、环境等因素对人口的增长起着阻滞作用,并且随着人口的增加,阻滞作用越来越大,
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1.人口总数 N(t):
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