交通流模型
1.交通模型考察在高速公路上行驶的交通车辆的流动问题,目的研究何时发生交通堵塞及如何防止的问题,设 x轴表示此公路,x轴正方向车辆的前进方向,
先考虑连续模型,设 u(t,x)表示时刻 t的交通车辆按 x方向分布的密度,即在时刻 t,位于区间段 [x,x+dx]中的车辆数为
u(t,x)dx.再设 q(t,x) 为车辆通过 x点的流通率,即在时段
[t,t+dt]内通过点 x的车辆流量为取 q(t,x)dt.
我们考察时间段 [t,t+dt],位于 [x,x+dx]内的车辆变化情形,由车辆数守恒,得到
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u 我们得到可微连续假定这个方程还需要进一步细化,车辆流 q(t,x) 有其自身的特点,
事实上,许多问题都满足方程 (1):如河流中的污染物的浓度分布和流动 ;一维问题下的热传导问题,此时 q=-kut.要想较准确刻画这个问题,我们可以通过一些调查得到,
(1) u值较小时,随着 u的增加,q也增加 ;
(2) u值较大时 (u> um),随着 u的增加,q反而减少,
右图是根据美国公路上的车辆情况统计而得到的曲线,其中 u的单位是车辆数 /哩,q的单位为车辆数 /
小时,
具体说,um =75,此时,q=1500;而当 u=225时,q=0,即出现交通堵塞,
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从图上可以看出,我们可以用抛物线来拟合,设 q=ufu(1-u/uj),其中是汽车的自由速度,即整个公路上只有一辆汽车时的速度,由于
u=0或者 u= uj时 q=0,故 um = uj/2时 q达到最大值 q=uf um /2,因此我们得到结构方程
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初始条件为则模型可化为做未知函数的变换我们可以用特征线法来解此方程,结论是,
当 h0为单调不减函数时,解整体存在 ;
否则,必定会在某个时刻,发生追赶现象,
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而当解光滑性不够时,我们可以用积分形式代替微分形式,
任取 [t1,t2]及 [x1,x2],由车辆数守恒我们得到
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若 u(从而 q(u)也 )在 (t,x)平面上有间断,设解在曲线 x=x(t)两侧具有连续偏导数,而在此曲线上有第一类间断,设在两侧的极限值分别为 u-,u+.取下图所示的闭路,由 (4)得到
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或件我们得到间断连续性条由积分区间的任意性则我们得到记我们得到令?
2.红绿灯下的交通流设交通信号灯设在 x=0处,若原来公路上的交通处于稳定状态,
记初始密度 f(x)为常数,某时刻突然红灯亮,于是交通灯前面
(x>0)的车辆继续前行,交通灯后面 (x<0)的车辆则一辆一辆地堵塞起来,绿灯亮后,后面的车辆要多长时间才能赶上前面的车辆,车辆堵塞何时能够消除,下面我们想用车辆密度函数来刻画这一过程,
红绿灯的安排必然引起密度函数 u(t,x)的间断,但它也应该满足 (5)式,
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交通流称为稀疏流这种不妨设设时
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(3) t=τ时,绿灯亮,被阻的车辆开始前行,图与上面同,
(4) t>τ,我们用 x1(t)阻塞车队行驶时最前面的车辆位置,用
x2(t)阻塞车队行驶时最后面的车辆位置,即由 u<uj变为
u=uj的那点的位置,若令 t′=t - τ,t′ =0时的初始密度
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