传染病模型本节我们试图建立关于传染病的传播过程的数学模型,大家对 2003年春的 SAAS依然铭刻于心,因为它给我们国家带来了非常巨大的损失,一度情形非常危急,另外,象爱滋病,肺结核,传染性肝炎等传染病也极大地危害着人们的生命财产安全,
不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点,弄清这些特点需要许多的病理知识,这不是我们在这里探讨的,我们是按照一般的传播机理建立一些模型,先从简单模型起,
模型 1 设时刻 t的病人人数 x(t)是连续函数而且可导,并且每个病人每天有效接触 (足以使人致病的接触 )的人数为常数 λ,不考虑传染期内的死亡等,因此在时间 t到 t+Δt的时段内病人的增加数为从而模型为,)()()( ttxtxttx
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ttextx其解为模型评价,由于随着时间 t的增加,病人人数无限增长,与实际不符,需改进,模型 2(SI模型 )
假设条件为
1.在疾病传播期内所考察地区的总人数 N不变,即不考虑人口的流动,将人群分为易感染者 (Susceptible)和已感染者 (Infective)
两类,以下简称为健康者和病人,在时刻 t这两类人占总人数的比例分别为 s(t)和 i(t),s(t)+i(t)=1.
2.每个病人每天有效接触的平均人数为常数为 λ,称 λ为 日接触率,当病人与健康者进行了有效接触时,健康者变为病人,
根据假设,每个病人每天接触 λ个人,其中健康者 λs(t)个,他们变成病人,因此每天有 Ni(t)? λs(t)个健康者变成病人,从而
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其解为模型这个模型称为模型的分析与评价 先作出 i(t)~t和 i′(t)~t的图形如下,
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由图可知,当 i=0.5时,i′(t)达到最大,此时 tm=ln(1/i0-1)/λ,这时病人增加的速度最快,可以认为这是这是门诊量最大的一天,即传染病的高潮到来,是医疗卫生部门最关注的时刻,tm与 λ成反比,因为日接触率表示该地区的卫生水平,λ越小表示卫生水平越高,所以改善保健设施,提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来,
.
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实际绝大多数情况下不符合变成病人即所以人都将被传染而时当 it
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上面的模型仅仅考虑了健康人可以被传染,没有考虑到病人可以治愈,即病人可以变成健康人的情形,
模型 3(SIS模型 ) 有些传染病如伤风、痢疾等病愈后免疫力很低，可以假定没有免疫力,于是,病人病人被治愈后变成健康者,健康者还可以被感染再变成病人,故称 SIS模型,
SIS模型的假设条件除上面的假设条件 1,2外,增加假设条件
3.每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数 μ,称 μ 为 日治愈率,病人治愈后仍可被感染,于是 1/μ 是这种传染病的 平均传染期,
这时模型为 即,NiNs idtdiN
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时当时当容易看出定义 σ=λ/μ,由 λ 和 μ 的意义,我们知道 σ 是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数,称为 接触数,模型可写为
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从上面我们可以看出,接触数 σ=1是一个阈值,当 σ>1时,i(t)
的增减性取决于初值,当 σ<1时病人的比例 i(t)单调减少并最终趋于零,
模型 4(SIR模型 ) 大多数传染病如流感、肝炎、麻疹、
天花等治愈后都有很强的免疫力,所以治愈的人既非易感染者,
也非病人,他们已经退出传染系统,
模型假设,
1.总人数 N不变,人群分为健康者、病人和移出者 (Removed)
三类,这三类人在总人数 N中的比例分别为 s(t),i(t),r(t).
2.病人的日接触率为 λ,日治愈率为 μ,传染期接触数为 σ.
因此我们有
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于是 SIR模型为
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由于后两个方程自成一个系统,因此我们也可以说它们就是我们所要的模型,这是一个非线性的常微分方程组,我们不能直接求出解析解,只能进行数值计算或者进行相轨线分析,
我们在一个 s~i平面上作出的 s~i图形 (t为参数 ),称为 相轨线,
s~i平面称为 相平面,
相轨线分析 从上面我们知道,(s,i)的定义域为
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而 s,i满足
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曲线为故我们从 SIR模型可以看出,s(t)单调减少,故有极限 ;再由上式我们知道,i(t)也有极限 ;同样,r(t)单调增加,从而也存在极限,
作出 SIR模型的相轨线如图,
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1.我们来证明无论初值如何,病人最终将消失,相轨线即交于 s轴,
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分别记为时它们的极限我们将
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它将导致有则充分大的若反证法
2.最终未感染的人数的比例为 s∞.我们令 i(s)=0得关于 s∞的方程
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其根在区间 (0,1/σ)内,
3.若 s0> 1/σ,则 i(t)先增加,当 s=1/σ时,i(t)达到最大值
)].ln (1[1 000 sisi m
然后 i(t)单调减少至 0,s(t)自始至终单调减少至 s∞.如图中从 P1出发的轨线,
4.若 s0<= 1/σ,则 i(t)单调减少至 0,s(t) 单调减少至 s∞.如图中从 P2
出发的轨线,
从上面的讨论可以看出,1/σ是一个 阈值,当 s0> 1/σ时传染病会蔓延,注意 s0几乎接近 1,因此要想传染病不蔓延,就必须减小传染期接触数 σ,即提高阈值 1/σ,使得 s0<= 1/σ.
况且,即使 s0> 1/σ,当 σ 减少时,可以证明 s∞会增加,而且 im
会降低,
群体免疫和预防 根据 SIR模型,如果能够降低 s0的值,传染病就不会蔓延,而这可以通过象预防接种等措施时群体免疫的办法做到,
例子,根据印度等国天花传染病的资料,σ=5,而初始是可以认为 s0 + r0 =1,因此 r0 >=80%,但这很难做到,
模型验证 上世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所以的病人都死亡了,死亡相当于移出传染系统,有关部门记录了每天死亡的人数,Kermack等人利用此数据对 SIR模型进行验证,
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