差分方程模型市场经济中的蛛网模型自由贸易市场中常见的现象,我们时常听到,今年的苹果 (陕西 )大丰收,按说农民应该很高兴,但是由于价格很低,农民反而赔钱,于是很多农户砍了苹果树,转而经营其它农副业,类似的现象还发生在很多农副业的产品,如鸡,生猪,桔子等消费品上,其大致规律是,
一段时间的上市量远多于需求量,引起价格下降,于是物贱伤农,生产者发现养殖赔钱,于是转而经营其他农副业,过了一段时间后,市场上供应量大减,于是因为供不应求导致价格上涨,生产者又看到养殖有钱可赚,又重操旧业,这样过一段时间后又会出现供大于求的局面,如此反复循环,
本节我们来研究这一现象,研究它的不同表现形式,
蛛网模型下面我们来考察完全市场经济条件下的上述现象,我们将时间离散化,记第 k时段商品的数量为 xk,价格为
yk,k=1,2,…,这里一个时段是指这种商品的一个生产周期,比如蔬菜、水果是一个种植周期,肉类商品是牲畜、禽类的饲养周期,
设同一时段该商品的价格 yk取决于其数量 xk,设其关系为
( 1 ) )( kk xfy?
(1)式称为 需求函数,它反映的是消费者对该商品的需求关系,易知,函数 f 是单调减少的,
我们知道下一时段的商品的供应量 xk+1是由上一时段价格 yk决定的,设其关系式为
( 2 ) )()( 11 kkkk xgyyhx 或显然,函数 h是单调增加的 ;故其反函数存在,这里函数 g
是 h的反函数,这样,函数 g也是单调增加的,
x
y
P0(x0,y0)
x1x3x2
f g 图解商品供应量与价格的变化 (若 g的图像陡些 )
y1y3
y2
结论,平衡点
P0是稳定的,
P0是平衡点,
若 f 的图像陡些,
x
y
P0(x0,y0)
f g
y1
结论,P0是不稳定的平衡点,
经济学中的蛛网模型实际上,需求曲线 f 和供应曲线 g 的具体形式通常是根据根据各个时段商品的数量和价格的一系列统计资料得到的,一般来说,f 取决于消费者对这种商品的需要程度和他们的消费水平,g 则与生产者的生产能力、经营水平等因素有关,比如,当消费者收入增加时,
f 会向上移动 ;当生产能力提高时,g 将向右移动,
一旦 f 和 g 的函数关系即需求曲线和供应曲线确定下来后,我们完全能够象上面的图解法一样确定平衡点的稳定性,记它们在平衡点处的斜率的绝对值分别为 Kf 和 Kg,则
.,;,
0
0
是不稳定的平衡点时是稳定的平衡点时
PKK
PKK
gf
gf
差分方程模型在平衡点 P0附近我们用直线来近似表示这两条曲线时,
则 (1)式和 (2)式分别变为,
)()())((:
)();)((:
00000
00000
xxyyxxxgyyg
xxyyxxxfyyf
或或
( 1 ) )( kk xfy?
( 2 ) )()( 11 kkkk xgyyhx 或
)( 00 xxyy kk
)( 001 yyxx kk
)( 001 xxxx kk
( 3 ) )( 001 xxxx kk
(3)式就是一阶常系数差分方程,x0是其平衡点,我们可以通过递推求解 (3)式得到
)()( 0101 xxxx kk
.,,10,0xxk k 时当时当不难看出
.,,1 0xxk k 不趋于时当时而当
模型解释 先考察 α,β的含义,由导数的意义得到,
再来分析上面的结论,
)()(/1),( 000 yhxgxf
且振幅无限增大,
经济不稳定时的干预方法当经济趋向于不稳定时政府通常有两种方法来干预,
目的是使得经济稳定的条件成立,
一是使 α尽可能的小,极端情形是 α=0,这时,无论 β多大,
<1总成立,因此经济可保持稳定,这种办法相当于政府控制物价,无论商品多少,物价保持不变,
二是使 β尽可能的小,极端情形是 β=0,这时,无论 α多大,
αβ <1总成立,因此经济也可保持稳定,这种办法相当于政府控制市场上的商品数量,当供应少于需求时,政府从外地收购或调拨该种商品投入市场 ;反之,政府则从市场上收购该种商品的过剩部分 ;总之,来保持市场上的商品数量不变,
模型的推广如果生产者的管理水平和素质更高些,他们在决定商品生产的数量 xk+1时,不仅仅是根据前一期的价格,而是根据前两个时期的价格 yk和 yk-1.比如采用二者的平均值,曲线 f,g 假定不变,这样 (2)式变为
)(2?
)
2
( 11 kkk
yy
hx
在平衡点附近的近似为
)2( 0101 yyyxx kkk
)( 00 xxyy kk(1)式的近似还是,
推导,
)2( 0101 yyyxx kkk
)2( 0102 yyyxx kkk
)( 00 xxyy kk
)( 0101 xxyy kk
代入得
( 4 ) 012 )1(22 xxxx kkk
这是一个二阶常系数的差分方程,x0是其平衡点,
)]()[()(2 00102 xxxxxx kkk
即
)]()[()(2 00102 xxxxxx kkk
,0xxz kk记 我们进行数值计算看看,
3 8 8.0,0 3 6.0,4 8 1.0,5 2 9.0,1 1 2.0,8 1 7.0
,6 6 8.0,4 2 2.0,3 1 2 5.1,75.0,1,2:,5.1)2(
kz
,0 0 3 6 4.0,0 2 3 5.0,0 2 9 6.0,0 0 9 6.0,0 5 8 9.0
,0 4 2 9.0,0 5 5 3.0,1 2 7.0,0 3 6 6.0,1 7 8.0,2 3 9.0
,0 5 7 6.0,4 5 6.0,36.0,4.0,1:,2.1)1(
kz
,13.2,427.0,35.1,706.1,580608.0
,841.0,32.1,624.0,48.0,1,6.0:,4.2)3(
kz
前两种情况趋于稳定,最后一个中没有趋势,
)]()[()(2 00102 xxxxxx kkk
( 4 ) 012 )1(22 xxxx kkk
,0xxz kk记 则 (4)式等价于
( 5 ) 02 12 kkk zzz
对于 (5)这样的二阶常系数差分方程,我们猜测其有如下指数形式的解,
,2,1, kz kk?
代入 (5)得 02 12 kkk
即
( 6 ) 02 2
且 (5)的通解为 kk
k ccx 2211
即
(4)或 (5)的特征方程由理论知识,我们知道,当此二阶差分方程的特征值都在单位圆内时,方程的平衡点是稳定的,
02 2 特征方程为
4
822特征值为结论,当 αβ <2时,平衡点 P0是稳定的,
评论,稳定性条件放宽了,
,
2
2
||,,8;1,,8
两特征根都是复数时显然一根小于两特征根都是实数时
kk
k ccx 2211
附录,差分方程简介
( 1 1 ) baxx kk 1
一阶常系数差分方程在给定初值 x0后,我们很容易通过迭代逐步求解出每一个 xk,即求解了差分方程,
在很多时候,我们了解此差分方程在 k充分大的解的性态,
这就涉及到差分方程的平衡点及其稳定性的概念,
平衡点 ).1/( abxbaxx 得解代数方程
.)11()1/(* 的平衡点为差分方程称 abx
注,当 a=-1,b≠0时,差分方程 (11)没有平衡点,
性质
.*,
)11()(
x
xk k
则此极限必为平衡点极限有时的解满足若差分方程i
.,2,1*,
*)11()( 0
kxx
xx
k
ii 的解为在初值问题差分方程
.0*
0
)11(*,:)(
1
y
ayy
xxy
kk
kk
( 1 2 )
( 1 2 )
iii
的平衡点为差分方程可化为差分方程通过变量代换平衡点的稳定性,
.*:.)(*;)(**,lim
二者具有相同的稳定性同样稳定的渐近是不否则称平衡点稳定的渐近是则称平衡点若
yx
xxx k
k
( 1 2 ) kkk ayyayy 即01
.)()12( 0yay kk 的解为结论,
.*)12(,1||;0*)12(,1||
是不稳定的的平衡点时是稳定的的平衡点时
ya
ya
常系数差分方程组
( 1 3 ) A kk xx 1
的平衡点为向量 x*=0,其稳定性可由矩阵 A的特征值来决定,;0*,1||;0*,1||
是不稳定的时若有某个是稳定的时当所以特征值
x
x
j
i
对角化对于二阶常系数差分方程
( 1 4 ) 02112 kkk xaxax
kk
k
k
k
kk
yaxa
y
y
x
xy
121
1
1
)14(,式等价于则引入变换用一阶常系数差分方程组来表示后,
12
10
aa
A
于是 (14)的特征方程为 0
21
2 aa
kk
k ccx 2211
21 )14(),(,
的通解为则不相等设其特征根为由通解的表达式我们容易得到 (14)的平衡点 x*=0的稳定性结论,
( 1 4 ) 02112 kkk xaxax;*)14(,1||1||;0*)14(,1||1||
21
21
是不稳定的的平衡点时或是稳定的的平衡点时且
x
x
( 1 5 ) bxaxax kkk 2112
非齐次差分方程 (15)的平衡点 x*的稳定性与其对应的齐次差分方程的平衡点稳定性条件相同,
对于非线性差分方程,则在每一平衡点处用泰勒展开后得到的近似线性差分方程的平衡点稳定性来得到相应结论,
)]()[()(2 00102 xxxxxx kkk
,0xxz kk记 我们进行数值计算看看,
3 8 7 7.0,0 3 6 1 8 5.0,4 8 0 7 4 1.0,5 2 8 9 8 8.0,1 1 2 0 4 6.0,8 1 7 3 6 4.0
,6 6 7 9 7.0,4 2 1 8 5.0,3 1 2 5.1,75.0,1,2:,5.1 )2(
kz
,0 0 3 6 4.0,0 2 3 5 1.0,0 2 9 5 7 8 7.0,0 0 9 6 0 7.0,0 5 8 9 0 5.0
,0 4 2 8 9 3.0,0 5 5 2 8 2.0,1 2 6 7 7.0,0 3 6 6 3 3 6.0,1 7 7 9 8 4.0
,2 3 9 0 4.0,0 5 7 6.0,4 5 6.0,36.0,4.0,1:,2.1 )1(
kz
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,8 4 0 9 6.0,3 2 4 8.1,6 2 4.0,48.0,1,6.0:,4.2 )3(
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前两种情况趋于稳定,最后一个中没有趋势,
一段时间的上市量远多于需求量,引起价格下降,于是物贱伤农,生产者发现养殖赔钱,于是转而经营其他农副业,过了一段时间后,市场上供应量大减,于是因为供不应求导致价格上涨,生产者又看到养殖有钱可赚,又重操旧业,这样过一段时间后又会出现供大于求的局面,如此反复循环,
本节我们来研究这一现象,研究它的不同表现形式,
蛛网模型下面我们来考察完全市场经济条件下的上述现象,我们将时间离散化,记第 k时段商品的数量为 xk,价格为
yk,k=1,2,…,这里一个时段是指这种商品的一个生产周期,比如蔬菜、水果是一个种植周期,肉类商品是牲畜、禽类的饲养周期,
设同一时段该商品的价格 yk取决于其数量 xk,设其关系为
( 1 ) )( kk xfy?
(1)式称为 需求函数,它反映的是消费者对该商品的需求关系,易知,函数 f 是单调减少的,
我们知道下一时段的商品的供应量 xk+1是由上一时段价格 yk决定的,设其关系式为
( 2 ) )()( 11 kkkk xgyyhx 或显然,函数 h是单调增加的 ;故其反函数存在,这里函数 g
是 h的反函数,这样,函数 g也是单调增加的,
x
y
P0(x0,y0)
x1x3x2
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y2
结论,平衡点
P0是稳定的,
P0是平衡点,
若 f 的图像陡些,
x
y
P0(x0,y0)
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y1
结论,P0是不稳定的平衡点,
经济学中的蛛网模型实际上,需求曲线 f 和供应曲线 g 的具体形式通常是根据根据各个时段商品的数量和价格的一系列统计资料得到的,一般来说,f 取决于消费者对这种商品的需要程度和他们的消费水平,g 则与生产者的生产能力、经营水平等因素有关,比如,当消费者收入增加时,
f 会向上移动 ;当生产能力提高时,g 将向右移动,
一旦 f 和 g 的函数关系即需求曲线和供应曲线确定下来后,我们完全能够象上面的图解法一样确定平衡点的稳定性,记它们在平衡点处的斜率的绝对值分别为 Kf 和 Kg,则
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0
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是不稳定的平衡点时是稳定的平衡点时
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差分方程模型在平衡点 P0附近我们用直线来近似表示这两条曲线时,
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)( 001 xxxx kk
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(3)式就是一阶常系数差分方程,x0是其平衡点,我们可以通过递推求解 (3)式得到
)()( 0101 xxxx kk
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且振幅无限增大,
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一是使 α尽可能的小,极端情形是 α=0,这时,无论 β多大,
<1总成立,因此经济可保持稳定,这种办法相当于政府控制物价,无论商品多少,物价保持不变,
二是使 β尽可能的小,极端情形是 β=0,这时,无论 α多大,
αβ <1总成立,因此经济也可保持稳定,这种办法相当于政府控制市场上的商品数量,当供应少于需求时,政府从外地收购或调拨该种商品投入市场 ;反之,政府则从市场上收购该种商品的过剩部分 ;总之,来保持市场上的商品数量不变,
模型的推广如果生产者的管理水平和素质更高些,他们在决定商品生产的数量 xk+1时,不仅仅是根据前一期的价格,而是根据前两个时期的价格 yk和 yk-1.比如采用二者的平均值,曲线 f,g 假定不变,这样 (2)式变为
)(2?
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2
( 11 kkk
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在平衡点附近的近似为
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( 4 ) 012 )1(22 xxxx kkk
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(4)或 (5)的特征方程由理论知识,我们知道,当此二阶差分方程的特征值都在单位圆内时,方程的平衡点是稳定的,
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822特征值为结论,当 αβ <2时,平衡点 P0是稳定的,
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,
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两特征根都是复数时显然一根小于两特征根都是实数时
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附录,差分方程简介
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一阶常系数差分方程在给定初值 x0后,我们很容易通过迭代逐步求解出每一个 xk,即求解了差分方程,
在很多时候,我们了解此差分方程在 k充分大的解的性态,
这就涉及到差分方程的平衡点及其稳定性的概念,
平衡点 ).1/( abxbaxx 得解代数方程
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注,当 a=-1,b≠0时,差分方程 (11)没有平衡点,
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则此极限必为平衡点极限有时的解满足若差分方程i
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.0*
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.*:.)(*;)(**,lim
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k
( 1 2 ) kkk ayyayy 即01
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.*)12(,1||;0*)12(,1||
是不稳定的的平衡点时是稳定的的平衡点时
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常系数差分方程组
( 1 3 ) A kk xx 1
的平衡点为向量 x*=0,其稳定性可由矩阵 A的特征值来决定,;0*,1||;0*,1||
是不稳定的时若有某个是稳定的时当所以特征值
x
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j
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对角化对于二阶常系数差分方程
( 1 4 ) 02112 kkk xaxax
kk
k
k
k
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121
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A
于是 (14)的特征方程为 0
21
2 aa
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21 )14(),(,
的通解为则不相等设其特征根为由通解的表达式我们容易得到 (14)的平衡点 x*=0的稳定性结论,
( 1 4 ) 02112 kkk xaxax;*)14(,1||1||;0*)14(,1||1||
21
21
是不稳定的的平衡点时或是稳定的的平衡点时且
x
x
( 1 5 ) bxaxax kkk 2112
非齐次差分方程 (15)的平衡点 x*的稳定性与其对应的齐次差分方程的平衡点稳定性条件相同,
对于非线性差分方程,则在每一平衡点处用泰勒展开后得到的近似线性差分方程的平衡点稳定性来得到相应结论,
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kz
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前两种情况趋于稳定,最后一个中没有趋势,
