差分方程模型
-----
差分形式的阻滞增长模型前面我们介绍了人口数量增长的阻滞型模型,
)1()( Nxrxtx
它还可以用来近似描述其他受环境约束的事物的增长规律,如,种群数量的增长,传染病的传播,耐用消费品在有限市场上的销售等,
)(
:)(
增量人口数量的变化单位时间内的意义tx?
此模型的意义是,在 t时刻单位时间内的人口数量的变化量仅仅与此时的人口数量 x有关 (等于右边的值 ),其中的 r表示人口的固有增长率,N表示能容纳的最大人口数,
有时我们将时间离散化来研究可能方便些,例如,有些生物 (比如鱼 )每年在固定的时间繁殖,我们用繁殖周期作为时段来研究其增长规律比我们简单地以连续时间处理应该更好些,我们类似认为,
经过 单位时间，即一个繁殖周期的种群数量的增长量仅仅与前一个时期的种群数量有关,且有类似于上面的表达式,
( 1 ),2,1,0),1(1 k
N
yryyy k
kkk
于是模型为
)1()( Nxrxtx
( 1 )?,2,1,0),1(1 kNyryyy kkkk
即
)(1
,2,1,0),
)1(
1()1(1 k
Nr
ryyry k
kk
为两边乘以则上式记令 ))1((,1.)1( Nr rrbNr ryx kk
( 2 ) )1(1 kkk xbxx
这是一个一阶非线性差分方程,对于给定的初值,我们可以从这个递推公式运用计算机很容易地计算出一些 xk.这是在计算机出现以后的一个新的特点,
但是我们更关心的是当时间趋于无穷时,即 k趋于无穷时,xk的极限如何,
数值计算
b\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1.2 0.2,192,186,182,179,176,174,172,171
1.8 0.2,288,369,419,438,443,444,4444,4444
2.4 0.3,504,600,576,586,582,584,5831,5834
2.8 0.2,448,692,597,6737,6155,6626,6260,6555
3.2 0.3,672,705,6655,7123,6558,7223,6418,7357
( 2 ) )1(1 kkk xbxx
b\k 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1.2,170,169,1685,168,1677,1675,1673,1672,1671
1.8,4444,4444,4444,4444,4444,4444,4444,4444,4444
2.4,5833,58335,58333,58333,58333,58333,58333,58333,58333
2.8,6323,6510,6362,6481,6386,6462,6402,6450,6411
3.2,6222,7522,5965,7702,5664,7859,5384,7953,5210
归纳看到的现象平衡点及其稳定性
( 2 ) )1(1 kkk xbxx
我们很容易求得差分方程 (2)的平衡点为 0和 (b-1)/b.它们分别对应于差分方程 (1)的平衡点 0和 N.
我们将这个差分方程 (2)在平衡点附近展开,有
kk bxxx 1:0 处注意到 b=1+r>1,平衡点 0是不稳定的,
*))(2(*)(*:11* 21 xxbxxbxxbx kkk
略去高阶项得
*))(2(*1 xxbxx kk
因此当 |2-b|<1时,平衡点 x*＝ (b-1)/b是稳定的,|2-b|>1即
b>3时,平衡点 x*是不稳定的,
注,由于 b=r+1,结论表明只有 r<2时 y*=N才是差分方程 (1)的平衡点 ;这与微分方程不同,微分方程中
y=N是稳定的平衡点 (没有条件 ).
事情至此好像结束了,当然,我们还可以进一步判断稳定的平衡点是否为全局稳定的,但是,数值计算表明,对于有些 b值,平衡点不稳定,但是 xk好象在某几个值附近循环摆动,
我们只需要用计算器多迭代计算几次即可,
倍周期收敛当 b<3时,平衡点 x*是稳定的,
当 b>3时,平衡点 x*是不稳定的,如果序列 xk存在两个收敛的子列我们就称之为 2倍周期收敛,
我们称之为单周期收敛,
( 2 ) )1(1 kkk xbxx
一般地,我们记 (2)式为
( 3 ) )(1 kk xfx
( 4 ) )(:)]([)( 212 kkkk xfxffxfx
所谓 2倍周期收敛的点就是 (4)式的平衡点,即满足
( 5 ) )(2 xfx?
本例
( 5 ) )(2 xfx?
)5( )(),( *1*2*2*1 xfxxfx
)]1(1)[1()]([ xbxxbxbxffx
(2)的平衡点为 0和 (b-1)/b.仍然满足上式,现在我们求的是另外两个根,
b
bbbx
2
)1)(3()1(
1*0,3,*2*1 xxxb 有时不难验证
]46)1(21[)( 3222222 xbxbxbbxf由于或
)](21)[21()](21)[(
})]()([{
2
2
2
xfxbxfxfb
xfxfbf
故
)21)(21(| *2*122 *
2,1
xxbf x
故这两个平衡点具有相同的稳定性,且
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2,1
bbxxbf x
.613
14213 2
b
bbb
得内解不等式在结论,,,613 * 2,1 是稳定的平衡点时当 xb
.,61 * 2,1 是不稳定的平衡点时当 xb
.
:.)4(
,*)2(,613
*
2
*
112
2
*
2,1
xxx
xx
xb
k
k
或会收敛到以及子列这表明是稳定的的平衡点但是是不稳定的的平衡点虽然时当
这个结论表明,这个生物种群离散阻滞型模型,当
2<r<2.449时,如果从单代 (一个繁殖周期 )的角度来看,其数量是不稳定的 ;但是如果从隔代的角度来看,其数量是稳定的,这就是我们为什么说它是 2倍周期收敛的原因,
倍周期收敛可以考虑这时我们是不稳定的平衡点时当
4
.,61 * 2,1xb
)()( 44 kkk xfxffffx
.4
,5 4 4.34 4 9.3:
个稳定的平衡点上式有时当类似的讨论可得 b
如,当 b=3.2时,两个 2倍周期平衡点为 0.513,0.79945,
如,当 b=3.45时,4倍周期平衡点为
0.4474,0.8530,0.4327,0.8469.
类似地,我们可以对模型 (2)继续讨论其 2n倍周期收敛问题,其收敛性完全由参数 b的取值确定,记 bn为 2n倍周期收敛的上限,计算表明,b0=3,b1=3.449,b2=3.544,
b3=3.564,b4=3.569,b5=3.5697,b6=3.5699,……
bb n 5 6 9 9 4 5 6 7 2.3
.6 6 9 2 0 1 6 0 9.4
lim
1
1
nn
nn
n bb
bb
Feigenbaum
常数,
3 3.63.3
).(
2
ch a o s混沌”状态系统由倍分途径进入“
倍周期收敛，时，就不再存在任何当 nbb
混沌现象的一个显著特征是对初值依赖的极度敏感,
如,当 b=3.7时,对两个初值 x0=0.2,x01=0.20001,迭代 100
次后我们发现前者的新值为 0.4814,而后者的新值为
0.2572,迭代 200次后分别为 0.7535,0.7022相差很大,这就是所谓的“蝴蝶效应”,
另外,在混沌区,b∞<b<4,也并非都是乱成一片,有时候会有其他的周期收敛,如 b=3.83时,呈 3倍周期收敛,
(0.1561493,0.5046665,0.9574166),b=3.84时,也呈 3
倍周期收敛 (0.1494069,0.4880044,0.9594474),另外,其它的整数周期收敛都可能出现,如 b=3.845呈 6倍周期收敛,
本例 )]1(1)[1( xbxxbxbx
(2)的平衡点为 0和 (b-1)/b.仍然满足上式,现在我们求的是另外两个根,
)]1(1)[1(1 2 xbxxb
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1
(
02)(1
22323
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b
b
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2
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差分形式的阻滞增长模型前面我们介绍了人口数量增长的阻滞型模型,
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它还可以用来近似描述其他受环境约束的事物的增长规律,如,种群数量的增长,传染病的传播,耐用消费品在有限市场上的销售等,
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增量人口数量的变化单位时间内的意义tx?
此模型的意义是,在 t时刻单位时间内的人口数量的变化量仅仅与此时的人口数量 x有关 (等于右边的值 ),其中的 r表示人口的固有增长率,N表示能容纳的最大人口数,
有时我们将时间离散化来研究可能方便些,例如,有些生物 (比如鱼 )每年在固定的时间繁殖,我们用繁殖周期作为时段来研究其增长规律比我们简单地以连续时间处理应该更好些,我们类似认为,
经过 单位时间，即一个繁殖周期的种群数量的增长量仅仅与前一个时期的种群数量有关,且有类似于上面的表达式,
( 1 ),2,1,0),1(1 k
N
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但是我们更关心的是当时间趋于无穷时,即 k趋于无穷时,xk的极限如何,
数值计算
b\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1.2 0.2,192,186,182,179,176,174,172,171
1.8 0.2,288,369,419,438,443,444,4444,4444
2.4 0.3,504,600,576,586,582,584,5831,5834
2.8 0.2,448,692,597,6737,6155,6626,6260,6555
3.2 0.3,672,705,6655,7123,6558,7223,6418,7357
( 2 ) )1(1 kkk xbxx
b\k 9 10 11 12 13 14 15 16 17
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1.8,4444,4444,4444,4444,4444,4444,4444,4444,4444
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2.8,6323,6510,6362,6481,6386,6462,6402,6450,6411
3.2,6222,7522,5965,7702,5664,7859,5384,7953,5210
归纳看到的现象平衡点及其稳定性
( 2 ) )1(1 kkk xbxx
我们很容易求得差分方程 (2)的平衡点为 0和 (b-1)/b.它们分别对应于差分方程 (1)的平衡点 0和 N.
我们将这个差分方程 (2)在平衡点附近展开,有
kk bxxx 1:0 处注意到 b=1+r>1,平衡点 0是不稳定的,
*))(2(*)(*:11* 21 xxbxxbxxbx kkk
略去高阶项得
*))(2(*1 xxbxx kk
因此当 |2-b|<1时,平衡点 x*＝ (b-1)/b是稳定的,|2-b|>1即
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注,由于 b=r+1,结论表明只有 r<2时 y*=N才是差分方程 (1)的平衡点 ;这与微分方程不同,微分方程中
y=N是稳定的平衡点 (没有条件 ).
事情至此好像结束了,当然,我们还可以进一步判断稳定的平衡点是否为全局稳定的,但是,数值计算表明,对于有些 b值,平衡点不稳定,但是 xk好象在某几个值附近循环摆动,
我们只需要用计算器多迭代计算几次即可,
倍周期收敛当 b<3时,平衡点 x*是稳定的,
当 b>3时,平衡点 x*是不稳定的,如果序列 xk存在两个收敛的子列我们就称之为 2倍周期收敛,
我们称之为单周期收敛,
( 2 ) )1(1 kkk xbxx
一般地,我们记 (2)式为
( 3 ) )(1 kk xfx
( 4 ) )(:)]([)( 212 kkkk xfxffxfx
所谓 2倍周期收敛的点就是 (4)式的平衡点,即满足
( 5 ) )(2 xfx?
本例
( 5 ) )(2 xfx?
)5( )(),( *1*2*2*1 xfxxfx
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或会收敛到以及子列这表明是稳定的的平衡点但是是不稳定的的平衡点虽然时当
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倍周期收敛可以考虑这时我们是不稳定的平衡点时当
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.4
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个稳定的平衡点上式有时当类似的讨论可得 b
如,当 b=3.2时,两个 2倍周期平衡点为 0.513,0.79945,
如,当 b=3.45时,4倍周期平衡点为
0.4474,0.8530,0.4327,0.8469.
类似地,我们可以对模型 (2)继续讨论其 2n倍周期收敛问题,其收敛性完全由参数 b的取值确定,记 bn为 2n倍周期收敛的上限,计算表明,b0=3,b1=3.449,b2=3.544,
b3=3.564,b4=3.569,b5=3.5697,b6=3.5699,……
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混沌现象的一个显著特征是对初值依赖的极度敏感,
如,当 b=3.7时,对两个初值 x0=0.2,x01=0.20001,迭代 100
次后我们发现前者的新值为 0.4814,而后者的新值为
0.2572,迭代 200次后分别为 0.7535,0.7022相差很大,这就是所谓的“蝴蝶效应”,
另外,在混沌区,b∞<b<4,也并非都是乱成一片,有时候会有其他的周期收敛,如 b=3.83时,呈 3倍周期收敛,
(0.1561493,0.5046665,0.9574166),b=3.84时,也呈 3
倍周期收敛 (0.1494069,0.4880044,0.9594474),另外,其它的整数周期收敛都可能出现,如 b=3.845呈 6倍周期收敛,
本例 )]1(1)[1( xbxxbxbx
(2)的平衡点为 0和 (b-1)/b.仍然满足上式,现在我们求的是另外两个根,
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