差分方程模型按年龄分组的种群增长模型前面我们多次介绍到种群增长的阻滞型增长模型,
微分方程模型为
)1( Nxrxdtdx
差分方程模型为
,2,1,0),1(1 k
N
yryyy k
kkk
这里我们对于种群中的个体之间的差异没有考虑,特别是没有考虑不同的年龄组的种群对该种群数量的增长的影响有很大的不同这一特点,
本节我们介绍的模型是 Leslie在研究女性人口时建立的,
问题的分析与模型的假设将种群按年龄大小等间隔地分成 n个年龄组,比如研究人口时我们可以每 10岁或者 5岁分成一个年龄组,与此相对应,将时间离散化成时段,其间隔保持与年龄组的间隔一致,(没有比第 n组中年龄最大值更大者 )
种群是通过雌性个体的繁殖而增长的,所以我们用雌性个体数量为研究对象比较直接,方便,下面的种群数量就是指该种群的雌性数量,
记 第 k个时段 第 i 年龄组 的种群数量为 xi(k),i=1,
2,…,n;k＝ 0,1,2,…,第 i 年龄组的繁殖率为 bi,即第 i 年龄组的每个雌性个体在一个时段内的平均繁殖数量,
记第 i 年龄组的死亡率为 di,其意是第 i年龄组 1个时段内的死亡数与该组的总数之比 ;因此 si=1- di为存活率,dn=1,sn=0.
注意,这两个
“率”的意义不同这里我们进一步假设 bi和 di不随时段 k变化,只与其年龄的分组 i有关,
模型的建立下面我们建立两个相邻的时段不同的年龄组的人数之间的转移变化规律,
.1,,2,1),()1(1 nikxskx iii?
n
i
ii kxbkx
1
1 )()1(
这与林场经营问题以及渔场经营问题不同将第 k时段的各年龄组的人数写成向量,
)(
)(
)(
)(
2
1
kx
kx
kx
k
n
x
,)()1(
1
1?
n
i
ii kxbkx,1,,2,1,)1(1 nixsk iii?
则模型为
( 1 ) ).()1( kLk xx
其中矩阵 L为 (如上 )
( 2 )
000
000
000
1
2
1
121
n
nn
s
s
s
bbbb
L
( 1 ) ).()1( kLk xx
这是一阶齐次差分方程组,其求解方法与一阶齐次差分方程类似,其解为
( 3 )?,2,1),0()( kLk k xx
若 L和 x(0)已知,通过上式我们容易计算出各个时段的人数,(L中的数据由统计资料得到 )
差分方程组平衡点的稳定性解代数方程
xx A?
即
Ox )( EA
结论,当 1不是矩阵 A的特种根时,(4)只有平衡点 O;而当 1是矩阵 A的特种根时,(4)有非零平衡点,其平衡点为矩阵 A的特征向量,
( 4 ) ).()1( kAk xx;
)1(,1)(
是否都在单位圆内有关的稳定性与其特种根的平衡点 Oa
:*)()1(:1)( 处展开得在平衡点将 xxx kAkb i
*))((*)(*)1( xxxxxx kAkAk
由于 A有特种根 1,即使其他的特种根都在单位圆内,我们也不能由此得到平衡点 x*是稳定的
(需要进一步考察 )
稳定状况分析由定义,矩阵 L中的元素满足
( 5 )
0,0
.1,,2,1,10
ii
i
bb
nis
且
Leslie矩阵关于 Leslie矩阵 (简称 L矩阵 ),有下面的研究成果,
定理 1 L矩阵有唯一的正特征根 λ1,且是单重的,其相应的正特征向量为
T
n
nssssss ],,,,1[*
1
1
121
2
1
21
1
1
x
L矩阵的其他 n-1个特征根满足
( 5 ) nkk,,3,2,|| 1
注,若某个 si=0,则第 i+1组应该取消,
验证定理 2 若 L矩阵的第一行有两项顺次的元素 bi,bi+1都大于零,则
( 6 ) nkk,,3,2,|| 1
且差分方程组 (1)的解 (3)满足
( 3 )?,2,1),0()( kLk k xx
( 7 ) *
)(
lim
1
x
x
c
k
kk
其中常数 c由 bi,si和 x(0)确定,
定理 1,2的条件对于种群增长来说通常满足,
( 7 ) *
)(
lim
1
x
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k
kk
其中常数 c由 bi,si和 x(0)确定,
( 1 ) ).()1( kLk xx
若 x(0)为 L相应于 λ2的特征向量,则;)(,)(,0
1
2
1
02020 O x
xxxxx
k
k
k
k kkL
从而若 x(0)为 L相应于 λ1的特征向量,则 (7)中 c=1.
此时 (7)中 c=0;
( 7 ) *
)(
lim
1
x
x
c
k
kk
在定理 1,2的条件满足时,x(k)的稳定状态分析,
1) 由 (7)式,k充分大时有
( 8 ) *)( 1 xx kck
从 (8)知,种群中各年龄组的数量正比于 x*中的相应的分量,故特征向量 x*反映了种群按年龄组的分布情况,
可称为 稳定分布,
2) 由 (8)式,我们看到差分方程组 (1)式可近似为
( 9 ) )()1( 1 kk xx
( 9 ) )()1( 1 kk xx
由 (9)我们易知,好像差分方程组 (1)几乎由其唯一的正特种根决定,当 λ1 >1时,种群的数量递增 ;而 λ1 <1时,种群的数量递减,λ1可称为固有增长率,
3) λ1 =1时,种群的数量保持不变,此时
( 1 0 ) 1121121nn sssbsbb
,121121 nn sssbsbbR记则 R表示平均一个雌性个体在整个存活期间繁殖的平均数量,称为 总和繁殖率,因此,R=1时种群数量不变,
此时稳定分布为
T
nssssss ],,,,1[* 121211x
人口模型我们将前面的模型用到人口研究上,取 1年为 1个时段,设育龄区间为 [i1,i2],记第 k年 i岁女性生育率为
bi(k),
2
1
)()(
i
ii
i kbk?
β(k)是第 k年的每位 i1
岁女性活到 i2岁时的生育数,称为生育胎次,
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n
nn
s
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L
,121121 nn sssbsbbR
R表示平均一个雌性个体在整个存活期间繁殖的平均数量
( 3 )?,2,1),0()( kLk k xx
由人口普查得到各年龄组的死亡率,幸存率,给出合理的生育模式,以各种生育胎次来进行模拟计算,可以很方便地预测今后的人口数量,为我国计划生育政策的制订提供依据,
L矩阵的特征方程
1
2
1
121
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||
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问题的分析与模型的假设将种群按年龄大小等间隔地分成 n个年龄组,比如研究人口时我们可以每 10岁或者 5岁分成一个年龄组,与此相对应,将时间离散化成时段,其间隔保持与年龄组的间隔一致,(没有比第 n组中年龄最大值更大者 )
种群是通过雌性个体的繁殖而增长的,所以我们用雌性个体数量为研究对象比较直接,方便,下面的种群数量就是指该种群的雌性数量,
记 第 k个时段 第 i 年龄组 的种群数量为 xi(k),i=1,
2,…,n;k＝ 0,1,2,…,第 i 年龄组的繁殖率为 bi,即第 i 年龄组的每个雌性个体在一个时段内的平均繁殖数量,
记第 i 年龄组的死亡率为 di,其意是第 i年龄组 1个时段内的死亡数与该组的总数之比 ;因此 si=1- di为存活率,dn=1,sn=0.
注意,这两个
“率”的意义不同这里我们进一步假设 bi和 di不随时段 k变化,只与其年龄的分组 i有关,
模型的建立下面我们建立两个相邻的时段不同的年龄组的人数之间的转移变化规律,
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差分方程组平衡点的稳定性解代数方程
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结论,当 1不是矩阵 A的特种根时,(4)只有平衡点 O;而当 1是矩阵 A的特种根时,(4)有非零平衡点,其平衡点为矩阵 A的特征向量,
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是否都在单位圆内有关的稳定性与其特种根的平衡点 Oa
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稳定状况分析由定义,矩阵 L中的元素满足
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且差分方程组 (1)的解 (3)满足
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在定理 1,2的条件满足时,x(k)的稳定状态分析,
1) 由 (7)式,k充分大时有
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从 (8)知,种群中各年龄组的数量正比于 x*中的相应的分量,故特征向量 x*反映了种群按年龄组的分布情况,
可称为 稳定分布,
2) 由 (8)式,我们看到差分方程组 (1)式可近似为
( 9 ) )()1( 1 kk xx
( 9 ) )()1( 1 kk xx
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