军备竞赛模型背景,两个国家或者两个国家集团之间由于相互不信任和各种矛盾的存在、发展而不断增加自己的军事力量,防御对方可能发动的战争,
L.F.Richardson 1939年提出了一个军备竞赛的数学模型,用来描述军备竞赛的过程,并对军备竞赛的结果作出预测或解释,
模型假设与构成我们用军备一词来表示一方的军事力量的总和,如兵力、装备、军事预算等,甲乙双方在时刻 t的军备分别记为 x(t)和 y(t).假定它们的变化只取决于以下三个方面的因素,
1.由于相互不信任以及矛盾的发展,一方军备越大,
另一方军备增加得越快 ;
2.由于各方本身经济实力的限制,任一方的军备越大,
经济对军备的制约作用就越大 ;
3.由于相互敌视或者领土争端,每一方都存在增加军备的固有潜力 ;
进一步假设前两个因素的影响是线性的,第三个因素的影响为常数,则模型为
( 1)
)(
)(
hylxty
gkyxtx
当这些因素已知时,结局如何?即观察 t?∞时,
x(t),y(t)的变化趋势,
为此,我们来研究微分方程组 (1)的平衡点的稳定情况,易求出 (1)的平衡点为
),(),( 00
kl
glh
kl
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) ],()[(4,
2
)(
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2
kl
l
k
其中特征值为的系数矩阵为又从上面的表达式我们可以看出,两个特征值都是实数 ;
当 αβ >kl时,两个特征值都是负的,而当 αβ<kl时,两个特征值一正一负,
结论,当 αβ >kl时,平衡点 (x0,y0)是稳定的 ;
而当 αβ<kl时,平衡点 (x0,y0)是不稳定的,
模型的定性解释
1,当 αβ >kl时,双方的经济制约作用 αβ大于双方的军备刺激程度 kl时,军备竞赛才会趋于稳定 (稳定一个有限值 ).反之,军备将趋于无穷,军备竞赛将无限地进行下去,可能导致战争,
2,特例,g=h=0时,则平衡点为 O.上面的结论可搬过来 ;
另外,若在某个时刻双方的军备为零,则将永远保持为零,当双方不存在任何敌视和争端时,通过裁军可达到永久和平,如美国和加拿大之间就是如此,
3,如果 g,h≠0,即使由于某个特殊原因 (如裁军协定 )导致在某个时刻双方的军备大减,可近似看作零,那么此时 (1)近似为
)(
)(
hty
gtx
双方的军备仍将继续增长,即双方将重整军备,这说明未经和解的裁军是不会持久的,
4,如果出于某种原因 (如战败或协议 )使得在某一时候一方的军备大减,比如 x(t0)=0,但由于
gkygkyxtx)(?
这将使得该方重整军备,表明存在不信任 (k≠0)或者固有争端 (g≠0)的单方面裁军也不会持久,
二维自治系统的稳定性理论
),),组的平衡点就是代数方程
212
211
()(
()(
xxgtx
xxftx
,0 ),0),),x(xPxxg xxf,( ( 02010
21
21 比如的根
..
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,,
1
10
是不稳定的否则就称是稳定的就称平衡点就有只有初值的某个邻域存在的任一邻域如果对平衡解
jj
j
xx
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Ux
UxP
U
.,)(l i m 00 是渐近稳定的则称平衡点若还有 PPtxt
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xx,xxgxx,xxgtx
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T ay lo r
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得到近似线性方程展开一阶点附近作我们将它在对于非线性自治系统
.|d e t,|)( 0021 PPxx qgfp A特征方程系数为
0
21
21
Pxx
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gg
ff
A 系数矩阵结论,
(1) p>0,q>0时,平衡点是稳定的 ;
(2) P<0或 q<0时,平衡点是不稳定的,
L.F.Richardson 1939年提出了一个军备竞赛的数学模型,用来描述军备竞赛的过程,并对军备竞赛的结果作出预测或解释,
模型假设与构成我们用军备一词来表示一方的军事力量的总和,如兵力、装备、军事预算等,甲乙双方在时刻 t的军备分别记为 x(t)和 y(t).假定它们的变化只取决于以下三个方面的因素,
1.由于相互不信任以及矛盾的发展,一方军备越大,
另一方军备增加得越快 ;
2.由于各方本身经济实力的限制,任一方的军备越大,
经济对军备的制约作用就越大 ;
3.由于相互敌视或者领土争端,每一方都存在增加军备的固有潜力 ;
进一步假设前两个因素的影响是线性的,第三个因素的影响为常数,则模型为
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而当 αβ<kl时,平衡点 (x0,y0)是不稳定的,
模型的定性解释
1,当 αβ >kl时,双方的经济制约作用 αβ大于双方的军备刺激程度 kl时,军备竞赛才会趋于稳定 (稳定一个有限值 ).反之,军备将趋于无穷,军备竞赛将无限地进行下去,可能导致战争,
2,特例,g=h=0时,则平衡点为 O.上面的结论可搬过来 ;
另外,若在某个时刻双方的军备为零,则将永远保持为零,当双方不存在任何敌视和争端时,通过裁军可达到永久和平,如美国和加拿大之间就是如此,
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(1) p>0,q>0时,平衡点是稳定的 ;
(2) P<0或 q<0时,平衡点是不稳定的,
