种群的相互竞争模型
1.模型建立
( 1 ) )1()(
N
xrxtx
当某个自然的环境中只有一种生物的群体 (种群 )生存时,我们常用 Logistic模型来描述它的数量的演变过程,即易知,x=N是自治系统 (1)的稳定的平衡点,它表示当时间 t趋于无穷时,x(t)?N.
如果一个自然环境中存在两个或两个以上的种群,它们之间的关系大致可分为以下几种,相互竞争,相互依存,弱肉强食 (食饵与捕食者 ),也可能毫无关系,前几种情形我们来一一研究它们,最后一种情形不用研究,
下面我们种群的相互竞争模型,先研究两个种群的相互竞争模型,
模型假设 设甲乙两个种群都生活在同一个自然环境中,其数量变化服从 Logistic规律,
记,x1(t),x2(t)分别是甲乙两个种群的数量
r1,r2分别是甲乙两个种群的固有增长率
N1,N2分别是甲乙两个种群的最大容量于是对种群甲我们有
)1()(
1
1
111 N
xxrtx
).1(,
/,
/1
1
111
11
设食物总量为时供养甲的食物量数量为而言可理解为相对于作用的对其本身增长的阻滞的消耗导致反映由于甲对有限资源这里因子
x
NNx
Nx?
于是对种群甲有成正比而言相对于该项与种群乙的数量中再减去一项我们在因子增长的影响乙消耗同一资源对甲的考虑到环境中生存时当两个种群在同一自然
,)(
,/1
,
,
2
211
N
xNx?
( 2 ) )1()(
2
2
1
1
1
111 N
x
N
x
xrtx
于是对种群甲我们有
)1()(
1
1
111 N
xxrtx
).1(,
/,
/1
1
111
11
设食物总量为时供养甲的食物量数量为而言可理解为相对于作用的对其本身增长的阻滞的消耗导致反映由于甲对有限资源这里因子
x
NNx
Nx?
这里 σ1的意义是,单位数量的乙 (相对于 N2而言 )消耗的供养甲的食物量为单位数量的甲 (相对于 N1)消耗的供养甲的食物量的 σ1倍,
类似,我们有 ( 3 ) )1()(
2
2
1
1
2222 N
x
N
xxrtx
于是我们得到模型 ( 4 )
)1()(
)1()(
2
2
1
1
2222
2
2
1
1
1
111
N
x
N
x
xrtx
N
x
N
x
xrtx
这里 σ1,σ2一般是相互独立的,在某些特殊的情形下,
我们有 σ1σ2 =1.
( 2 ) )1()(
2
2
1
1
1
111 N
x
N
x
xrtx
( 5 )
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0)1(),(
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2
2
1
1
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2
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1
1
1
1121
21
N
x
N
x
xrxxg
N
x
N
x
xrxxf
我们令时当
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1
)1(
,
1
)1(
(
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4
21
22
21
11
3
2211
P
NN
P
NPNP
个平衡点得其中的第三个平衡点是在 σ1,σ2 <1或 σ1,σ2 >1的情形下才会得到,
).0,0(),1 )1(,1 )1((),,0(),0,( 4
21
22
21
11
32211 P
NNPNPNP
按照判断平衡点的稳定性的方法,我们先看矩阵
.4,3,2,1,|Ad e t,|)(,
)
2
1(
)
2
1(
A
21
21
21
2
2
1
1
22
1
2
22
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1
11
2
2
1
1
1
1
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N
x
N
x
r
N
x
r
N
x
r
N
x
N
x
r
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ff
ii
PPxx
xx
xx
因此
)1(),1(),0,( 22122111 rrqrrpNP对稳定条件,1
2 其它平衡点类似处理,
).0,0(),1 )1(,1 )1((),,0(),0,( 4
21
22
21
11
32211 P
NNPNPNP
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)
2
1(
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2
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11
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,
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N
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21
2121
1
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我们由此得到结论,
不稳定稳定条件qp平衡点
)0,( 11 NP
),0( 22 NP
)1 )1(,1 )1((
21
22
21
113 NNP
)0,0(4P
)1( 221 rr )1( 221 rr
)1( 121 rr211 )1( rr
1,1 21
11
21
2211 1 )1()1( rr
21
2121 1 )1)(1(rr
)( 21 rr 21rr
12
注意到平衡点的定义我们可以看出,它是一个局部的性质,对于非线性方程 (4)所描述的种群竞争,我们更关心的是平衡点的全局稳定性,即不论初值如何,平衡点都是稳定的,这需要在上面得到的局部稳定性的基础上辅之以相轨线分析,
2
2
1
1
221
2
2
1
1
1
21
1),(
1),(
N
x
N
x
xx
N
x
N
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xx
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1
111
xxxr
N
x
N
x
xrtx
xxxr
N
x
N
x
xrtx
注意到下面我们根据 σ1,σ2 的不同取值范围,直线 φ=0,ψ=0
的相对位置,讨论如下,
在代数方程组
（ 5）中，记我们看到,两条直线将第一象限分成了三个部分,在每一区域内导数符号能够确定,
0)(,0)(:
0)(,0)(:
0)(,0)(:
213
212
211
txtxS
txtxS
txtxS
全局稳定121,1,1)1( P
O
1N
21 /?N
2N
1P?
1S
2S
3S
1x
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0
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N
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21 /?N
2N
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1x
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0
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全局稳定3
21 1,1)3(
P
O
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/?N
2N
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不稳定3
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12 /?N
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O
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2N
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3S
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全局稳定1
21 1,1)1(
P
O
1N 21 /?N
2N
12 /?N
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P
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2N
12 /?N
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全局稳定3
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P
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0
不稳定3
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P
最终结论,
不稳定全局稳定条件
qp平衡点
)0,( 11 NP
),0( 22 NP
)1 )1(,1 )1((
21
22
21
113 NNP
)0,0(4P
)1( 221 rr )1(
221 rr
)1( 121 rr
211 )1( rr
1,1 21
1,1 21
21
2211 1 )1()1( rr
21
2121 1 )1)(1(rr
)( 21 rr 21rr
1,1 21
结果解释,( 我们只解释第一个 )
1,σ1<1,σ2 >1,σ1<1 意味着在对供养甲的资源的竞争中乙弱于甲,σ2 >1意味着在对供养乙的资源的竞争中甲强于乙,于是乙终将灭绝,种群甲将趋于最大容量,于是将趋于平衡点 P1.
这里 σ1的意义是,单位数量的乙 (相对于 N2而言 )消耗的供养甲的食物量为单位数量的甲 (相对于 N1)消耗的供养甲的食物量的 σ1倍,
种群的相互依存模型自然界中处于同一环境下的两个种群相互依存的现象是很多的,如植物与昆虫之间,昆虫可以帮助植物充分授粉,而昆虫也在此过程中获得食物 (花粉 ).人类与人工饲养的牲畜之间也有类似的关系,
假设种群甲可以独立存在,服从 Logistic规律增长,
种群乙的存在有助于甲的增长,因此甲的数量 x1(t)
满足
)1()(
2
2
1
1
1
111 N
x
N
x
xrtx
假设种群乙离开了甲便不能独立存在,设其死亡率为 r2,于是其独立存在时的数量 x2(t)满足
222 )( xrtx
现在甲为乙提供食物,于是甲对乙的增长有促进作用,故
)1()(
1
1
2222 N
xxrtx
于是项必须考虑增加比较大时当其数量乙的数量会增长的情况下在
,L o g i s t i c,
,,1
1
1
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N
x
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2
1
1
2222 N
x
N
x
xrtx
这样模型为
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)1()(
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2222
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1
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N
x
N
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xrtx
N
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N
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xrtx
二维自治系统的稳定性理论
),()( ),()(
212
211 组的平衡点就是代数方程
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,0 ),0),),x(xPxxg xxf,( ( 02010
21
21 比如的根
..
,0,)(
,)0(
,,
1
10
是不稳定的否则就称是稳定的就称平衡点就有只有初值的某个邻域存在的任一邻域如果对平衡解
jj
j
xx
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Ux
UxP
U
.,)(l i m 00 是渐近稳定的则称平衡点若还有 PPtxt
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)- )-
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22
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11
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,
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21
21
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T ay lo r
P
xx
xx
得到近似线性方程展开一阶点附近作我们将它在对于非线性自治系统
.|d e t,|)( 0021 PPxx qgfp A特征方程系数为
0
21
21
Pxx
xx
gg
ff
A 系数矩阵结论,
(1) p>0,q>0时,平衡点是稳定的 ;
(2) P<0或 q<0时,平衡点是不稳定的,
1.模型建立
( 1 ) )1()(
N
xrxtx
当某个自然的环境中只有一种生物的群体 (种群 )生存时,我们常用 Logistic模型来描述它的数量的演变过程,即易知,x=N是自治系统 (1)的稳定的平衡点,它表示当时间 t趋于无穷时,x(t)?N.
如果一个自然环境中存在两个或两个以上的种群,它们之间的关系大致可分为以下几种,相互竞争,相互依存,弱肉强食 (食饵与捕食者 ),也可能毫无关系,前几种情形我们来一一研究它们,最后一种情形不用研究,
下面我们种群的相互竞争模型,先研究两个种群的相互竞争模型,
模型假设 设甲乙两个种群都生活在同一个自然环境中,其数量变化服从 Logistic规律,
记,x1(t),x2(t)分别是甲乙两个种群的数量
r1,r2分别是甲乙两个种群的固有增长率
N1,N2分别是甲乙两个种群的最大容量于是对种群甲我们有
)1()(
1
1
111 N
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1
111
11
设食物总量为时供养甲的食物量数量为而言可理解为相对于作用的对其本身增长的阻滞的消耗导致反映由于甲对有限资源这里因子
x
NNx
Nx?
于是对种群甲有成正比而言相对于该项与种群乙的数量中再减去一项我们在因子增长的影响乙消耗同一资源对甲的考虑到环境中生存时当两个种群在同一自然
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211
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于是对种群甲我们有
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111 N
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111
11
设食物总量为时供养甲的食物量数量为而言可理解为相对于作用的对其本身增长的阻滞的消耗导致反映由于甲对有限资源这里因子
x
NNx
Nx?
这里 σ1的意义是,单位数量的乙 (相对于 N2而言 )消耗的供养甲的食物量为单位数量的甲 (相对于 N1)消耗的供养甲的食物量的 σ1倍,
类似,我们有 ( 3 ) )1()(
2
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1
1
2222 N
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于是我们得到模型 ( 4 )
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1
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N
x
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N
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这里 σ1,σ2一般是相互独立的,在某些特殊的情形下,
我们有 σ1σ2 =1.
( 2 ) )1()(
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x
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个平衡点得其中的第三个平衡点是在 σ1,σ2 <1或 σ1,σ2 >1的情形下才会得到,
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21
22
21
11
32211 P
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按照判断平衡点的稳定性的方法,我们先看矩阵
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因此
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2 其它平衡点类似处理,
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32211 P
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我们由此得到结论,
不稳定稳定条件qp平衡点
)0,( 11 NP
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113 NNP
)0,0(4P
)1( 221 rr )1( 221 rr
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2211 1 )1()1( rr
21
2121 1 )1)(1(rr
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12
注意到平衡点的定义我们可以看出,它是一个局部的性质,对于非线性方程 (4)所描述的种群竞争,我们更关心的是平衡点的全局稳定性,即不论初值如何,平衡点都是稳定的,这需要在上面得到的局部稳定性的基础上辅之以相轨线分析,
2
2
1
1
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注意到下面我们根据 σ1,σ2 的不同取值范围,直线 φ=0,ψ=0
的相对位置,讨论如下,
在代数方程组
（ 5）中，记我们看到,两条直线将第一象限分成了三个部分,在每一区域内导数符号能够确定,
0)(,0)(:
0)(,0)(:
0)(,0)(:
213
212
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txtxS
txtxS
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全局稳定121,1,1)1( P
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21 1,1)4(
P
最终结论,
不稳定全局稳定条件
qp平衡点
)0,( 11 NP
),0( 22 NP
)1 )1(,1 )1((
21
22
21
113 NNP
)0,0(4P
)1( 221 rr )1(
221 rr
)1( 121 rr
211 )1( rr
1,1 21
1,1 21
21
2211 1 )1()1( rr
21
2121 1 )1)(1(rr
)( 21 rr 21rr
1,1 21
结果解释,( 我们只解释第一个 )
1,σ1<1,σ2 >1,σ1<1 意味着在对供养甲的资源的竞争中乙弱于甲,σ2 >1意味着在对供养乙的资源的竞争中甲强于乙,于是乙终将灭绝,种群甲将趋于最大容量,于是将趋于平衡点 P1.
这里 σ1的意义是,单位数量的乙 (相对于 N2而言 )消耗的供养甲的食物量为单位数量的甲 (相对于 N1)消耗的供养甲的食物量的 σ1倍,
种群的相互依存模型自然界中处于同一环境下的两个种群相互依存的现象是很多的,如植物与昆虫之间,昆虫可以帮助植物充分授粉,而昆虫也在此过程中获得食物 (花粉 ).人类与人工饲养的牲畜之间也有类似的关系,
假设种群甲可以独立存在,服从 Logistic规律增长,
种群乙的存在有助于甲的增长,因此甲的数量 x1(t)
满足
)1()(
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假设种群乙离开了甲便不能独立存在,设其死亡率为 r2,于是其独立存在时的数量 x2(t)满足
222 )( xrtx
现在甲为乙提供食物,于是甲对乙的增长有促进作用,故
)1()(
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于是项必须考虑增加比较大时当其数量乙的数量会增长的情况下在
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1
1
2222 N
x
N
x
xrtx
这样模型为
)1()(
)1()(
2
2
1
1
2222
2
2
1
1
1
111
N
x
N
x
xrtx
N
x
N
x
xrtx
二维自治系统的稳定性理论
),()( ),()(
212
211 组的平衡点就是代数方程
xxgtx
xxftx
,0 ),0),),x(xPxxg xxf,( ( 02010
21
21 比如的根
..
,0,)(
,)0(
,,
1
10
是不稳定的否则就称是稳定的就称平衡点就有只有初值的某个邻域存在的任一邻域如果对平衡解
jj
j
xx
tUtx
Ux
UxP
U
.,)(l i m 00 是渐近稳定的则称平衡点若还有 PPtxt
)- )-
)- )-
0
22
0
2
0
1
0
11
0
2
0
12
0
22
0
2
0
1
0
11
0
2
0
11
0
)(()(()(
)(()(()(
,
,
21
21
xx,xxgxx,xxgtx
xx,xxfxx,xxftx
T ay lo r
P
xx
xx
得到近似线性方程展开一阶点附近作我们将它在对于非线性自治系统
.|d e t,|)( 0021 PPxx qgfp A特征方程系数为
0
21
21
Pxx
xx
gg
ff
A 系数矩阵结论,
(1) p>0,q>0时,平衡点是稳定的 ;
(2) P<0或 q<0时,平衡点是不稳定的,
