存贮模型工厂定期定购原料,存入仓库供生产之用 ;车间一次加工出来一批零件,供装配线每天生产之需 ;商店成批购进各种商品,放入货柜以备零售 ;水库在雨季蓄水,用于旱季和发电,
这些情况下都会遇到一个存贮量多少的问题,显然,存贮量过大,则存贮费用高 ;存贮量太小,会导致一次性定购费用增加或者不能及时满足需求,下面我们建立模型来研究这类问题,
一,不允许缺货的存贮模型当缺货时会导致重大损失时 (如,炼钢厂对原料的需求,生产线对部件的需求 )就会遇到这种模型,
问题,配件厂装配线生产若干部件,轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费 (与生产数量无关 ),同一部件的产量大于需求时积压资金、占有仓库要付贮存费,今已知某一部件的日需求量 100件,生产准备费 5000元,贮存费每日每件 1
元,如果生产能力远大于需求,并且不允许缺货,
问如何安排生产计划,即多少天生产一次 (称为生产周期 ),每次生产多少,可使总费用最小,
问题分析,如果生产周期短、产量少,则贮存费小,但是准备费大 ;反之,如果生产周期长、产量大,则准备费少,但是贮存费会增大,所以必然会有某个适当的生产周期,可使得总费用最小,
模型假设,为方便处理,我们考虑连续模型,设生产周期为 T,产量为 Q,均为连续变量,且
1,产品每天的需求量为常数 r;
2,每次生产准备费为 c1,每天每件产品贮存费 c2;
3,生产能力为无限大 (相对于需求量 ),当贮存量下降到零时,Q件产品立即生产出来供给需求,即不允许缺货,
模型建立 将贮存量表示为时间 t的函数 q(t),贮存量 q(0)=Q,
q(t)以需求速率 r递减,直到 q(T)=0,于是有 Q=rT (1)
T 2T
Q
q
t
一个周期内的存贮费为
2/)( 2202 rTcdttqc T
.2/221 rTccC
用为于是一个周期内的总费
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从而每天的平均费用为
(2)式就是我们这个 (优化 )模型的目标函数,求最小费用,
模型求解 容易求得,当
rc
cT
2
12?
时,C(T)最小,此时
rccCc rcQ 21
2
1 2,2
这就是经济学中著名的 经济订货批量公式 (EOQ公式 ).
结果解释二,允许缺货的存贮模型在许多情况下用户允许短时间的缺货,虽然这会造成一定的损失,但是如果损失费不超过准备费和存贮费的话,还是可行的,下面我们考虑一种简单的情形,
模型假设 假设 1,2同上,将假设 3改为
3a.生产能力为无限大 (相对于需求量 ),允许缺货,每天每件产品缺货损失费为 c3,但缺货数量在下次生产 (或订货 )时补足,
模型建立 因贮存量不足造成缺货时,可以认为此时贮存量函数 q(t)为负值,如图,这样
T
Q
q
t
R
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1rTQ?
在 t=T时数量为 R的产品立即到达,从而使得下周期初的贮存量还是 Q.因此
.2/)(2/ 2132121 TTrcrTccC
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每天的平均费用为 (为 T和 Q的二元函数,消除 T1)
( 3 )
22
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时,平均费用最小,注意到每个周期的供货量 R=rT′,有
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cc记
.,/,QRQQTT 则 解释三,随机存贮策略商店在一周中的销售量是随机的,每逢周末经理要根据存货的多少是否定货物,以供下周销售,简单的策略是制订一个下界 s和一个上界 S:当周末存货不少于 s时就不订货 ;而当周末存货少于 s时则订货,且订货量使得下周初的贮存量达到 S.这种策略称为 (s,S)随机存贮策略,
1,每次订货费为 c0(与数量无关 ),每件商品购进价为 c1,每件商品一周的贮存费为 c2,每件商品的缺货损失费为 c3,c3相当于售出价,故 c1< c3,
2,一周的销售量 r是随机的,r的值一般很大,故我们视 r为连续变量,其密度函数为 p(r),
3,记周末的存货量为 x,订货量为 u,并且立即到货,于是下周初的存货量为 x+u.即 x+u=S.
与前面一样,我们只考虑费用作为目标函数,
模型假设 时间以周为单位,商品以件为单位,
模型建立 首先我们当作确定性模型来考察费用,我们主要想刻划清楚存贮费用和存贮不足时的损失,若周末的货物数目为 y件 (不进货或进货后的数目 ),下周销售 r件,则下周的存贮费或损失费为
4.一周的销售是集中在周初进行的,即一周的贮存量为 x+u-r,
它不随时间改变,这么假设只是为了简化模型,可修改,
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3
2
事实上,r是随机变量,设其密度函数为 p(r),故我们以 l(y)的期望值来衡量,它表示长期经营中每周费用的平均值,
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按照制订 (s,S)策略的要求,当周末存货量 x>=s时,订货量 u=0;
而当 x<s时,u>0且 x+u=S.因此我们就可以得到平均每周的总费用为
( 5 )
0),(
0),()( 10
uxL
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这就是我们的目标函数,其中 L(x)上面已经表示过,
模型求解 先在 u>0的情形下求 J(u)的最小值,从而确定 S.由于
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( 6 )
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得注意到并记令
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取得最小值处从而在驻点为凹的上的图形在故注意到
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下面我们讨论确定 s的方法,当存货量为 x时,若订货,则在 S策略下的平均费用为
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因此不订货则平均费用为若不订货
( 7 ) ).()(
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则不订货的条件为记由于 y>0时,I(y)的图形可由 J(y)
的图形平移得到,因此函数 I的图形也是凹的,我们可以用图解法来求解不等式 (7).其解为
I(x)
xSs
I(s)
I(S) 0c
O ( 8 ) s,),()(,,
0 SsSIcsI
sx
满足下式的唯一根其中评注 在这个模型中贮存费用的计算是比较困难的,因为一般说来,贮存费既与数量有关,又与时间有关,要准确计算贮存费必须准确知道贮存量 q(t)的函数形式,我们的假设 4为下图的近似,q
u u<=r
t
q
u
u-r
u>r
t
对于其他形式的贮存量 q(t),比如考虑匀速销售的情形,这时为直线段,研究表明,不仅计算繁杂,且没有简洁的结论,
我们也可以考虑多时段的存贮策略,
这些情况下都会遇到一个存贮量多少的问题,显然,存贮量过大,则存贮费用高 ;存贮量太小,会导致一次性定购费用增加或者不能及时满足需求,下面我们建立模型来研究这类问题,
一,不允许缺货的存贮模型当缺货时会导致重大损失时 (如,炼钢厂对原料的需求,生产线对部件的需求 )就会遇到这种模型,
问题,配件厂装配线生产若干部件,轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费 (与生产数量无关 ),同一部件的产量大于需求时积压资金、占有仓库要付贮存费,今已知某一部件的日需求量 100件,生产准备费 5000元,贮存费每日每件 1
元,如果生产能力远大于需求,并且不允许缺货,
问如何安排生产计划,即多少天生产一次 (称为生产周期 ),每次生产多少,可使总费用最小,
问题分析,如果生产周期短、产量少,则贮存费小,但是准备费大 ;反之,如果生产周期长、产量大,则准备费少,但是贮存费会增大,所以必然会有某个适当的生产周期,可使得总费用最小,
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1,产品每天的需求量为常数 r;
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模型建立 将贮存量表示为时间 t的函数 q(t),贮存量 q(0)=Q,
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这就是经济学中著名的 经济订货批量公式 (EOQ公式 ).
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模型假设 假设 1,2同上,将假设 3改为
3a.生产能力为无限大 (相对于需求量 ),允许缺货,每天每件产品缺货损失费为 c3,但缺货数量在下次生产 (或订货 )时补足,
模型建立 因贮存量不足造成缺货时,可以认为此时贮存量函数 q(t)为负值,如图,这样
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1,每次订货费为 c0(与数量无关 ),每件商品购进价为 c1,每件商品一周的贮存费为 c2,每件商品的缺货损失费为 c3,c3相当于售出价,故 c1< c3,
2,一周的销售量 r是随机的,r的值一般很大,故我们视 r为连续变量,其密度函数为 p(r),
3,记周末的存货量为 x,订货量为 u,并且立即到货,于是下周初的存货量为 x+u.即 x+u=S.
与前面一样,我们只考虑费用作为目标函数,
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对于其他形式的贮存量 q(t),比如考虑匀速销售的情形,这时为直线段,研究表明,不仅计算繁杂,且没有简洁的结论,
我们也可以考虑多时段的存贮策略,
