等级结构模型一,背景在社会系统中常常按照人们的职务或者地位划分为许多等级，如在我们大学,教师一般分为教授、副教授、讲师和助教,又如学生身份的人分为研究生、大学生、中学生和小学生,在其他系统内也都有相应的级别分类,不同等级的人员比例形成一个等级结构,
一个合适的、稳定的等级结构有利于各方面工作的顺利进行,本节我们就来建立一个模型来描述等级结构的变化,根据已知条件和当前的结构来预报未来结构,并为寻求某个理想的等级结构提供相应的策略,
引起等级变化的因素有两种,一是系统内部等级间的转移,即提升或者降级 ;
二是系统内外的交流,即人员的调入或退出
(调离,退休,死亡 ),
系统内的各个等级的人员每个时期按照一定的比例变化,本是一个确定性的转移问题,但是当我们把这种比例视为各等级的每个成员提升、降级或退出的概率，我们就能够应用概率论和随机过程（特别马氏过程）中的一些理论和方法,当然这时各等级的数量应理解为平均值,
二,基本量与基本方程设一个社会系统由低到高分为 k个等级,将时间以年为单位离散化,即每年进行且只进行一次调级,引入记号,
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21
也称为是等级结构其中成员按等级的比例分布
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为总人数的人数时刻等级为其中成员按等级的分布向量
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( 3 ) )()()()1(,tWtRtNtN总数
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年调入总人数为比例占总对调入人数的的成员为每年调入等级其中调入比例向量如r
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(7),
(6)
(7)式或 (5)式就是 等级结构的基本方程,
特例 1:当 M(t)=βN(t)时,(7)式可变为
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三,用调入比例进行稳定控制特例 2,M(t)=0,(7)式可变为
( 8 ) ))(()()1( rQaPaa Twttt
我们的中心问题是,通过对调入比例 r的调节,尽快达到或者接近给定的理想等级结构 a*.对于已经达到 a*时,就要通过对调入比例 r的调节,使得等级结构比例保持在 a*.
我们以 (8)为例来进行研究,由于并不是任何一个等级结构都可以用调入比例控制不变的,自然的问题是,给定了内部转移矩阵 Q(从而 w也知道 ),
确定哪些等级结构用合适的调入比例可以保持不变,称为 调入比例对等级结构的稳定控制,
由 (8)式,对于某个 a,若存在 r,使得
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称 a为 稳定结构,此时,( 1 0 )
T
Q
aw
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( 1 1 ) Q
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例 1 设大学教师分为 3个等级,初级 (助教 )、中级 (讲师 )、
高级 (正副教授 ).每年各等级之间的转移矩阵为?
9.000
2.07.00
02.06.0
Q
求等级结构 a的稳定域,
解 将 Q代入稳定域 (11)式,得到
.
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23
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212
11
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即这就是 a的稳定域,下面我们 从几何上来表它示,
,0,1 ii aa由于故我们画出可行集
A.稳定域为 B.求出点 S1为 (1/3,2/9,4/9).
S3(0,0,1)
(0,1,0)(1,0,0) (0.6,0.4,0)
(0,1/3,2/3)
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稳定域的构造
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式我们得到于是由而且记逆可则至少有一行的和小于且设对每个
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:
是稳定结构凸组合时的为系数的顶点能够表示成以当且仅当结论
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四,用调入比例进行动态调节我们现在中心问题是,设理想等级结构为 a*,并假定 a*属于稳定域 B.已知转移矩阵 Q和初始等级结构 a(0),求调入比例 r,使得 a(1)达到或者尽量接近 a*.若没有达到 a*时,就要重新调节 r,逐步使得等级结构比例尽快达到或者尽量接近
a*,直到某个时刻 a(t)达到了满意程度为止,这个过程我们称为用调入比例对等级结构进行动态调节,
我们用距离来刻划两点之间的接近程度,
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2
32
进一步转化为求解问题问题这样先只考虑后一个等式约束,用 Lagrange乘数法我们来求解此条件极值,得到驻点为
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其中若所以的 rj>0,则 (18)式就是最优解,否则,问题比较复杂,我们用图解示意如下,
(0,0,1)
(1,0,0) (0,1,0)
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03?r
02?r
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P4
驻点范围
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封闭曲线它与平面的交是是椭球面三维时
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的解为问题直到每个都符合要求题重新来研究此问零因此我们可以令它们为量为零最终的最优解中这些分时有些当求得的驻点看出从上面的图解我们可以
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计算实践,设 a*=(S1+S2)/2=(1/6,5/18,5/9),
a(0)=(0,0,1).w=(0.2,0.1,0.1).加权因子为 1.
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a(1)=(0.057,0.168,0.775).
I-M可逆的证明我们知道，转移矩阵 Q的元素非负且每行的和不大于 1，现假定主对角线上的元素小于 1(这也是 A=I－ Q可逆必要条件 ).用初等列变换来求逆,
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**1
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二是系统内外的交流,即人员的调入或退出
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