风险决策问题
1.设备的定期维修问题假设有一批同一类型的机器,考虑多长时间对这批机器进行定期维修的问题,如果不进行定期维修,或者定期维修时间过长,那么该设备就可能会经常出现临时损坏,为此就要付出较多的应急维修的代价 (包括维修费用以及停工损失等 ).另一方面,如果定期维修进行得太频繁,那么维修费也会相应地大大增加,因此,选择适当的维修周期,
就是要使得定期维修的费用和应急维修的费用取得某种均衡,以达到总维修代价最小的目的,
例如,设每台机器的定期维修费用为 c0=100元,应急维修的费用是每台 c1=1000元,设时间单位是年,
p1 =0.05,p2 =0.07,p3 =0.10,
p4 =0.13,p5 =0.18,
又已知这批机器的总数为 50.如何安排定期维修?
以 Dk表示以下决策,以 k(年 )为周期进行定期维修,现限定 k<=5.这样我们就有 5个可供选择的决策,作出决策 Dk后,在一个周期内的第 j年发生临时损坏的机器数 nj将是一个随机变量
(j=1,2,…,k),从而一个周期内的总维修费以及年平均维修费用 fk都将是随机变量,
假定我们已知定期维修后一台机器于第 k年发生临时损坏的的概率为 pk,
与该问题中的决策有关所发生的状态具有不确定性,从而这种情形下的决策称为 风险决策,
我们通常用期望值来衡量,本例,
.)(),,(~ iiii npnEpnBn?
( 2 )
k
pppncncfE k
k
)()( 2110
( 1 )
k
nnncncf k
k
)( 2110
从中我们可以看出,决策 D3使得维修费的期望值最小,因此我们取 k=3.即以三年为周期进行定期维修,
.6 3 0 0)(,5 6 2 5)(
,5 3 3 3)(,5 5 0 0)(
,7 5 0 0)(:
54
32
1
fEfE
fEfE
fE因此我们可以算出
p1 =0.05,p2 =0.07,p3 =0.10,
p4 =0.13,p5 =0.18,c0=100,c1=1000
( 2 )
k
pppncncfE k
k
)()( 2110
2.风险决策的矩阵形式在风险决策中,决策者要面对多个可能发生的状态 (或者称作事件 )θ1,θ2,…,θn,决策者所能采取的决策也有若干个,记为 a1,a2,…,am.即使存在无穷个决策可供选择时,也应该尽可能简化为有限个,为了进行定量分析,需要针对每个决策及每个状态计算一个收益,或者象 (1)式那样得到一个解析表达式,相应于决策 ai 与状态 θj的收益记为 vij,这样我们得到的 m行 n列的矩阵就称为 该风险决策的收益矩阵
).( ijv
我们还要估计出每个状态 θj的概率 P(θj)=pj,于是相应于决策 ai的期望收益就是
n
j
jij pv
1
.
最常用的准则是 最大期望收益准则,即选择决策
ak使得
( 3 )
n
j
jij
n
j i
jkj pvpv
11
}.{m a x
同样地,记相应于决策 ai 与状态 θj的代价记为
wij,这样我们得到的 m行 n列的矩阵就称为 该风险决策的代价矩阵,那么我们常用的另一准则 就是最小期望代价准则,即选择决策 ak
使得
( 4 )
n
j
jij
n
j
ijkj
pwpw
11
}.{m i n
例 1 商店经理订购用于夏季销售的网球衫,
假定这种网球衫的订购数量必须是 100的整数倍,订购价为,100件时,20元 /件 ; 200件时,18元 /
件 ; >=300件时,17元 /件,销售价为 26元 /件,如果在夏季结束时剩下的网球衫则按每件 14元处理,为简单起见,他将需求量分为三种情形,
100,150,200,而且,他认为这三个事件的概率分别为 0.5,0.3,0.2.同时,他考虑,对每个希望买网球衫而买不到的情形,应等价于付出“愿望损失费” 1元,问他应该为订购这种网球衫如何决策呢?
解,将事件记为 θ1,θ2,θ3,分别相应于需求量为
100,150,200的情形,采取的决策记为 a1,a2,a3,
本别表示订购 100,200,300的情形,则
.2.0,3.0,5.0 321 ppp
1 5 0 0900300
1 6 0 01 0 0 0400
500550600
V
5 5 01501 0 0612v
期望收益分别为
,5 6 5)( 1?aE,8 2 0)( 2?aE,7 2 0)( 3?aE
结论,按照最大期望收益原则,应该采取决策为 a2,即订购量为 200.
又及,假如经理对于事件的概率预测毫无把握,
那么这时就不能用最大期望收益原则来决策,
对策 3:保守原则 (最大化最小收益原则 )
).m i n(m a xm a x,ij
jikjkk
vva?选择对策 4:冒险原则 (最大化最大收益原则 )
).m a x(m a xm a x,ij
jikjkk
vva?选择
a1
a2
3.最小期望机会损失原则关于风险决策的另一个原则是尽量减少机会损失,这里机会损失是指,当选择的决策为 ai,而事件 θj发生时,机会损失为
(5 ) ijkj
kij
vvl m ax
.
m ax
,,)5(
之差被定义为机会损失所得收益与决策最大收益可能的发生时当事件式表明
ijikj
k
j
vav
我们也可以采用 最小期望机会损失原则 来决策,即选择 ak,使得
( 6 )
n
j
jij
n
j i
jkj plpl
11
}.{m i n
计算实践,例 1中,三种决策的机会损失矩阵为
10 010 030 0
0020 0
11 0045 00
L
,3 5 51
j
jj pl
,1002
j
jj pl
.2003
j
jj pl
结论定理 最小期望机会损失原则与最大期望收益原则是等价的,
.)max(
,max,
1
11
con stvp
pvpl
vvl
kj
k
n
j
j
n
j
jij
n
j
jij
kj
k
ijij
故事实上例 1中,这个常数为 920.
最小期望机会损失还有另外一个意义,
设想经过市场调查,对于究竟发生那个事件能获得完全信息,从而可获得相应的最大收益
.m a x kj
k
v
因此,在获得完全信息的条件下的期望最大收益为
)m a x( kj
kj j
vp?
它与没有获得完全信息的最大期望收益之差就是最小期望机会损失,因此它可以定义为 完全信息的期望值 EVPI.例 1中,EVPI=100元,小于此值的代价获得完全信息,就是值得的,
4.决策树风险型决策除了用矩阵形式来分析之外,还可以比较直观地表示为 决策树 的形式,上例,
d
c1
c3
c2
600
550
500
400
1000
1600
300
900
1500
0.5 0.3
0.2
0.5 0.3
0.2
0.5 0.3
0.2
a1
a2
a3
[565]
[820]
[720]
820
决策点机会点决策树的优点是可以处理多阶段情形下的决策分析,
例 2 某企业欲开发一种新产品,对产品的未来十年内的销售情况分两个阶段作出预测,
预测前 3年和后 7年销路都好的概率是 0.5,前 3
年销路好而后 7年销路差的概率是 0.3,前 3年和后 7年销路都差的概率是 0.2.现有三个方案可供选择,方案 A是新建三个车间投产 ;方案 B
是新建两个车间投产 ;方案 C是首先新建一个车间,如果前 3年销路好,再考虑是否扩建两个新车间,各种方案的投资费用和利润如下表,
试用决策树来进行决策分析,
方案投资额 年利润当前 3年后 前 3年 后 7年销路好 销路差 销路好 销路差
A 300 0 100 -30 100 -30
B 200 0 60 20 60 20
C 100 扩建 250 30 30 100 -30
不扩建 0 30 30 30 30
解 分两个阶段来分析,前 3年有两个状态 θ1,θ2;后 7
年也有两个状态 θ3,θ4,分别表示销路好,销路差,从而未来十年有 4个状态,θ1 θ3,θ1 θ4,θ2 θ3,θ2 θ4,其发生的概率分别为 0.5,0.3,0,0.2.
第一阶段的决策集 S1={a1,a2,a3},三年后又有两个决策方案 a4,a5,分别表示扩建和不扩建,
先计算一些概率,
.2.0)(
,8.03.05.0)(
2
1
p
p
.
8
3
8.0
3.0
)(
)(
)|(
,
8
5
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5.0
)(
)(
)|(
1
41
14
1
31
13
p
p
p
p
p
p
画出决策图,从右到左进行计算,
75.3588/32108/57005E
1673003002.0
)75.358300(8.02
E
1
2
4
3
700
a1
a2
a3
236
5
700
-210
-300
5/8
3/8
0.2
6
420
140
200
5/8
3/8
0.2
7
8
9
-300
-200
-100 -250
-210
210
210
300
5/8
5/8
3/8
3/8
0.2 210
108.75a
5
a4210
358.75
0.8
167
315
236
0.8
0.8
200
300
180
90
前 3年 后 7年结论
1.设备的定期维修问题假设有一批同一类型的机器,考虑多长时间对这批机器进行定期维修的问题,如果不进行定期维修,或者定期维修时间过长,那么该设备就可能会经常出现临时损坏,为此就要付出较多的应急维修的代价 (包括维修费用以及停工损失等 ).另一方面,如果定期维修进行得太频繁,那么维修费也会相应地大大增加,因此,选择适当的维修周期,
就是要使得定期维修的费用和应急维修的费用取得某种均衡,以达到总维修代价最小的目的,
例如,设每台机器的定期维修费用为 c0=100元,应急维修的费用是每台 c1=1000元,设时间单位是年,
p1 =0.05,p2 =0.07,p3 =0.10,
p4 =0.13,p5 =0.18,
又已知这批机器的总数为 50.如何安排定期维修?
以 Dk表示以下决策,以 k(年 )为周期进行定期维修,现限定 k<=5.这样我们就有 5个可供选择的决策,作出决策 Dk后,在一个周期内的第 j年发生临时损坏的机器数 nj将是一个随机变量
(j=1,2,…,k),从而一个周期内的总维修费以及年平均维修费用 fk都将是随机变量,
假定我们已知定期维修后一台机器于第 k年发生临时损坏的的概率为 pk,
与该问题中的决策有关所发生的状态具有不确定性,从而这种情形下的决策称为 风险决策,
我们通常用期望值来衡量,本例,
.)(),,(~ iiii npnEpnBn?
( 2 )
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)()( 2110
( 1 )
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从中我们可以看出,决策 D3使得维修费的期望值最小,因此我们取 k=3.即以三年为周期进行定期维修,
.6 3 0 0)(,5 6 2 5)(
,5 3 3 3)(,5 5 0 0)(
,7 5 0 0)(:
54
32
1
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fE因此我们可以算出
p1 =0.05,p2 =0.07,p3 =0.10,
p4 =0.13,p5 =0.18,c0=100,c1=1000
( 2 )
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2.风险决策的矩阵形式在风险决策中,决策者要面对多个可能发生的状态 (或者称作事件 )θ1,θ2,…,θn,决策者所能采取的决策也有若干个,记为 a1,a2,…,am.即使存在无穷个决策可供选择时,也应该尽可能简化为有限个,为了进行定量分析,需要针对每个决策及每个状态计算一个收益,或者象 (1)式那样得到一个解析表达式,相应于决策 ai 与状态 θj的收益记为 vij,这样我们得到的 m行 n列的矩阵就称为 该风险决策的收益矩阵
).( ijv
我们还要估计出每个状态 θj的概率 P(θj)=pj,于是相应于决策 ai的期望收益就是
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j
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1
.
最常用的准则是 最大期望收益准则,即选择决策
ak使得
( 3 )
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11
}.{m a x
同样地,记相应于决策 ai 与状态 θj的代价记为
wij,这样我们得到的 m行 n列的矩阵就称为 该风险决策的代价矩阵,那么我们常用的另一准则 就是最小期望代价准则,即选择决策 ak
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( 4 )
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例 1 商店经理订购用于夏季销售的网球衫,
假定这种网球衫的订购数量必须是 100的整数倍,订购价为,100件时,20元 /件 ; 200件时,18元 /
件 ; >=300件时,17元 /件,销售价为 26元 /件,如果在夏季结束时剩下的网球衫则按每件 14元处理,为简单起见,他将需求量分为三种情形,
100,150,200,而且,他认为这三个事件的概率分别为 0.5,0.3,0.2.同时,他考虑,对每个希望买网球衫而买不到的情形,应等价于付出“愿望损失费” 1元,问他应该为订购这种网球衫如何决策呢?
解,将事件记为 θ1,θ2,θ3,分别相应于需求量为
100,150,200的情形,采取的决策记为 a1,a2,a3,
本别表示订购 100,200,300的情形,则
.2.0,3.0,5.0 321 ppp
1 5 0 0900300
1 6 0 01 0 0 0400
500550600
V
5 5 01501 0 0612v
期望收益分别为
,5 6 5)( 1?aE,8 2 0)( 2?aE,7 2 0)( 3?aE
结论,按照最大期望收益原则,应该采取决策为 a2,即订购量为 200.
又及,假如经理对于事件的概率预测毫无把握,
那么这时就不能用最大期望收益原则来决策,
对策 3:保守原则 (最大化最小收益原则 )
).m i n(m a xm a x,ij
jikjkk
vva?选择对策 4:冒险原则 (最大化最大收益原则 )
).m a x(m a xm a x,ij
jikjkk
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a1
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3.最小期望机会损失原则关于风险决策的另一个原则是尽量减少机会损失,这里机会损失是指,当选择的决策为 ai,而事件 θj发生时,机会损失为
(5 ) ijkj
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.
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,,)5(
之差被定义为机会损失所得收益与决策最大收益可能的发生时当事件式表明
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我们也可以采用 最小期望机会损失原则 来决策,即选择 ak,使得
( 6 )
n
j
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11
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计算实践,例 1中,三种决策的机会损失矩阵为
10 010 030 0
0020 0
11 0045 00
L
,3 5 51
j
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,1002
j
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.2003
j
jj pl
结论定理 最小期望机会损失原则与最大期望收益原则是等价的,
.)max(
,max,
1
11
con stvp
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vvl
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k
n
j
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j
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故事实上例 1中,这个常数为 920.
最小期望机会损失还有另外一个意义,
设想经过市场调查,对于究竟发生那个事件能获得完全信息,从而可获得相应的最大收益
.m a x kj
k
v
因此,在获得完全信息的条件下的期望最大收益为
)m a x( kj
kj j
vp?
它与没有获得完全信息的最大期望收益之差就是最小期望机会损失,因此它可以定义为 完全信息的期望值 EVPI.例 1中,EVPI=100元,小于此值的代价获得完全信息,就是值得的,
4.决策树风险型决策除了用矩阵形式来分析之外,还可以比较直观地表示为 决策树 的形式,上例,
d
c1
c3
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600
550
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a1
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[565]
[820]
[720]
820
决策点机会点决策树的优点是可以处理多阶段情形下的决策分析,
例 2 某企业欲开发一种新产品,对产品的未来十年内的销售情况分两个阶段作出预测,
预测前 3年和后 7年销路都好的概率是 0.5,前 3
年销路好而后 7年销路差的概率是 0.3,前 3年和后 7年销路都差的概率是 0.2.现有三个方案可供选择,方案 A是新建三个车间投产 ;方案 B
是新建两个车间投产 ;方案 C是首先新建一个车间,如果前 3年销路好,再考虑是否扩建两个新车间,各种方案的投资费用和利润如下表,
试用决策树来进行决策分析,
方案投资额 年利润当前 3年后 前 3年 后 7年销路好 销路差 销路好 销路差
A 300 0 100 -30 100 -30
B 200 0 60 20 60 20
C 100 扩建 250 30 30 100 -30
不扩建 0 30 30 30 30
解 分两个阶段来分析,前 3年有两个状态 θ1,θ2;后 7
年也有两个状态 θ3,θ4,分别表示销路好,销路差,从而未来十年有 4个状态,θ1 θ3,θ1 θ4,θ2 θ3,θ2 θ4,其发生的概率分别为 0.5,0.3,0,0.2.
第一阶段的决策集 S1={a1,a2,a3},三年后又有两个决策方案 a4,a5,分别表示扩建和不扩建,
先计算一些概率,
.2.0)(
,8.03.05.0)(
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.
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3/8
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5
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0.8
167
315
236
0.8
0.8
200
300
180
90
前 3年 后 7年结论
