随机模型传送带的效率问题
在机械化生产车间,排列整齐的工作台旁工人们紧张地生产同一种产品,工作台上方一条传送带在运转,带上设置着若干钩子,工人们将产品挂在经过他上方的钩子上带走,
当生产进入稳定状态后,每个工人生产出一件产品的时间不变,而他挂产品的时刻却是随机的,
衡量这种传送带的效率可以看它能否及时将工人们生产的产品带走,
显然在工人的数目不变的情况下,传送带速度越快,带上钩子越多,效率越高,
我们要构造一个衡量传送带效率的指标,并且在一定假设下建立模型来描述此指标与工人数目、钩子数量等参数的关系,
模型分析
※ 为了用传送带及时带走的产品数量来表示传送带的效率,在工人们生产周期 (即生产一件产品的时间 )相同的情况下,需要假设工人们在生产出一件产品后,要么恰好有空钩子经过他的工作台,使他可以产品挂上带走,要么没有空钩子经过迫使他将产品放下并立即投入下一件产品的生产,以保持整个系统周期的运转,
※ 工人们的生产周期虽然相同,但由于各种随机因素的干扰,经过相当长时间后,他们生产完成一件产品的时刻就不会一致,可以认为是随机的,并且在一个周期内任一时刻的可能性是一样的,
由上述分析,传送带长期运转的效率等价于一周期的效率,而一周期的效率可以用它在一周期内带走的产品数与一周期内生产的全部产品数之比来描述,
模型假设
a) 有 n个工人,他们的生产是相互独立的,生产周期是常数,n个工作台均匀排列,
b) 生产已进入稳态,即每个工人生产出一件产品的时刻在一周期内是等可能的,
c) 在一周期内有 m个钩子通过每一工作台上方,钩子均匀排列,到达第一个工作台上方的钩子都是空的,
d) 每个工人在任何时刻都能触到一只钩子,也只能触到一只钩子,于是在他生产出一件产品的瞬间,
如果他能触到的那只钩子是空的,则可将产品挂上带走 ; 如果那只钩子非空,则他只能将这件产品放在地上,而产品一旦放在地上,就永远退出这个传送系统,
模型建立将传送带效率定义为一周期内带走的产品数与生产的全部产品数之比,记为 D.
设带走的产品数为 s,生产的全部产品数显然为 n,于是 D=s/n,这里只需求出 s就可以了,
如果从工人的角度考虑,分析每个工人能将自己的产品挂上钩子的概率,那么这个概率显然与工人所在的位置有关,这样就使稳态复杂化,
我们从钩子的角度考虑,在稳态下钩子没有次序,处于同等地位,若能对一周期内的 m只钩子求出每只钩子非空的概率 p,则 s=mp.
得到 p的步骤如下,(均对一周期内而言 )
o 任一只钩子被任一名指定的工人挂上产品的概率是
1/m ;
o 任一只钩子不被任一名指定的工人挂上产品的概率是 1-1/m ;
o 由工人生产的独立性,任一只钩子不被所有 n个工人挂上产品的概率,即任一只钩子为空钩的概率是 ;
o 任一只钩子非空的概率是,
nm/11?
nmp /111
这样传送带的效率指标为,
)1(.,,111
n
mn
m
n
mpD
)2(.,,
2
1
1
2
)1(
11
,)/11(,/
,,
2 m
n
m
nn
m
n
n
m
D
mmn
nm
n
则有展开后取前三项将多项式较小时即较大相对于工人数在钩子数果为了得到比较满意的结
)3(..,
2m
n
EE,-1D
1,n,
则再假设记为之比的产品数与全部产品数如果将一周期内未带走
E
当 n=10,m=40时,(3)式的结果为 D=87.5%,
(1)式的精确结果为 D=89.4%.
结果分析,
这个模型是在理想情况下得到的,它的一些假设,如生产周期不变,挂不上钩子的产品退出传送系统等可能是不现实的,但模型的意义在于,一方面利用基本合理的假设将问题简化到能够建模的程度,并用很简单的方法得到结果 ;另一方面所得的简化结果 (3)式具有非常简明的意义,指标 E=1-D(可理解为相反意义的“效率” )与 n成正比,与 m成反比,通常工人数 n是固定的,
一周期内通过的钩子数 m增加 1倍,可使“效率” E(未被带走的产品数与全部产品数之比 )降低 1倍,
传染病的随机感染人群中有病人 (带菌者 )和健康人 (易感染者 ),任何两人之间的接触是随机的,当健康人与病人接触时健康人是否被感染也是随机的,如何通过数学模型来描述这种随机规律?这对于采取措施控制疾病是有益的,
模型假设为简化,我们提出如下的一般化假设,
人群只分病人和健康人两类,
病人数 ----i 健康人数 ----s
即 i+s=n (1)
人群中任何二人的接触是相互独立的,具有相同的概率,每人每天平均与 m人接触,
当健康人与一病人接触时,健康人被感染的概率为?.
模型分析建立模型的目的是寻找健康人中每天平均被感染的人数与已知参数 n,i,m,?的关系,为此只需知道一健康人每天被感染的概率,这就只要求出一健康人被一名指定的病人接触并感染的概率,这个概率可由一健康人被一名指定病人接触的概率乘以在接触时感染的概率得到,
模型构成设任意二人接触的概率为 p(即一健康人与一名指定病人接触的概率 ).
由接触的独立性,一健康人每天接触的人数服从二项分布,根据第 2个假设,这个分布的平均值是 m,利用二项分布的性质并注意到人群总数是 n,有
m = (n-1) p
则
)2(1 n mp
假设 是一健康人被一名指定病人接触并感染的概率,则设 是一健康人每天被感染的概率,则由对立事件概率的计算方法,
1p
)3(11 n mpp
2p
)4()11(1)1(1 12 ii n mpp
健康人被感染的人数也服从二项分布,设其平均值为?(健康人每天平均被感染人数 ),
显然均方差
)5()( 22 pinsp
)6())(1()1( 2222 inpppsp
下面考虑将结果简化,主要针对 (4)来处理,
因为通常 n>>m,n>>1,取 (4)式右端展开级数的前两项,
)7(...)1(12 nminmip
最后得到,
)9(
)()(
1
)8(
)(
2
2
inmi
min
pin
p
n
inmi
(8)式给出了健康人每天平均被感染的人数与 n,i,m,?
的关系,(9)式就看作对平均值的相对误差的度量,
在机械化生产车间,排列整齐的工作台旁工人们紧张地生产同一种产品,工作台上方一条传送带在运转,带上设置着若干钩子,工人们将产品挂在经过他上方的钩子上带走,
当生产进入稳定状态后,每个工人生产出一件产品的时间不变,而他挂产品的时刻却是随机的,
衡量这种传送带的效率可以看它能否及时将工人们生产的产品带走,
显然在工人的数目不变的情况下,传送带速度越快,带上钩子越多,效率越高,
我们要构造一个衡量传送带效率的指标,并且在一定假设下建立模型来描述此指标与工人数目、钩子数量等参数的关系,
模型分析
※ 为了用传送带及时带走的产品数量来表示传送带的效率,在工人们生产周期 (即生产一件产品的时间 )相同的情况下,需要假设工人们在生产出一件产品后,要么恰好有空钩子经过他的工作台,使他可以产品挂上带走,要么没有空钩子经过迫使他将产品放下并立即投入下一件产品的生产,以保持整个系统周期的运转,
※ 工人们的生产周期虽然相同,但由于各种随机因素的干扰,经过相当长时间后,他们生产完成一件产品的时刻就不会一致,可以认为是随机的,并且在一个周期内任一时刻的可能性是一样的,
由上述分析,传送带长期运转的效率等价于一周期的效率,而一周期的效率可以用它在一周期内带走的产品数与一周期内生产的全部产品数之比来描述,
模型假设
a) 有 n个工人,他们的生产是相互独立的,生产周期是常数,n个工作台均匀排列,
b) 生产已进入稳态,即每个工人生产出一件产品的时刻在一周期内是等可能的,
c) 在一周期内有 m个钩子通过每一工作台上方,钩子均匀排列,到达第一个工作台上方的钩子都是空的,
d) 每个工人在任何时刻都能触到一只钩子,也只能触到一只钩子,于是在他生产出一件产品的瞬间,
如果他能触到的那只钩子是空的,则可将产品挂上带走 ; 如果那只钩子非空,则他只能将这件产品放在地上,而产品一旦放在地上,就永远退出这个传送系统,
模型建立将传送带效率定义为一周期内带走的产品数与生产的全部产品数之比,记为 D.
设带走的产品数为 s,生产的全部产品数显然为 n,于是 D=s/n,这里只需求出 s就可以了,
如果从工人的角度考虑,分析每个工人能将自己的产品挂上钩子的概率,那么这个概率显然与工人所在的位置有关,这样就使稳态复杂化,
我们从钩子的角度考虑,在稳态下钩子没有次序,处于同等地位,若能对一周期内的 m只钩子求出每只钩子非空的概率 p,则 s=mp.
得到 p的步骤如下,(均对一周期内而言 )
o 任一只钩子被任一名指定的工人挂上产品的概率是
1/m ;
o 任一只钩子不被任一名指定的工人挂上产品的概率是 1-1/m ;
o 由工人生产的独立性,任一只钩子不被所有 n个工人挂上产品的概率,即任一只钩子为空钩的概率是 ;
o 任一只钩子非空的概率是,
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这样传送带的效率指标为,
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则再假设记为之比的产品数与全部产品数如果将一周期内未带走
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当 n=10,m=40时,(3)式的结果为 D=87.5%,
(1)式的精确结果为 D=89.4%.
结果分析,
这个模型是在理想情况下得到的,它的一些假设,如生产周期不变,挂不上钩子的产品退出传送系统等可能是不现实的,但模型的意义在于,一方面利用基本合理的假设将问题简化到能够建模的程度,并用很简单的方法得到结果 ;另一方面所得的简化结果 (3)式具有非常简明的意义,指标 E=1-D(可理解为相反意义的“效率” )与 n成正比,与 m成反比,通常工人数 n是固定的,
一周期内通过的钩子数 m增加 1倍,可使“效率” E(未被带走的产品数与全部产品数之比 )降低 1倍,
传染病的随机感染人群中有病人 (带菌者 )和健康人 (易感染者 ),任何两人之间的接触是随机的,当健康人与病人接触时健康人是否被感染也是随机的,如何通过数学模型来描述这种随机规律?这对于采取措施控制疾病是有益的,
模型假设为简化,我们提出如下的一般化假设,
人群只分病人和健康人两类,
病人数 ----i 健康人数 ----s
即 i+s=n (1)
人群中任何二人的接触是相互独立的,具有相同的概率,每人每天平均与 m人接触,
当健康人与一病人接触时,健康人被感染的概率为?.
模型分析建立模型的目的是寻找健康人中每天平均被感染的人数与已知参数 n,i,m,?的关系,为此只需知道一健康人每天被感染的概率,这就只要求出一健康人被一名指定的病人接触并感染的概率,这个概率可由一健康人被一名指定病人接触的概率乘以在接触时感染的概率得到,
模型构成设任意二人接触的概率为 p(即一健康人与一名指定病人接触的概率 ).
由接触的独立性,一健康人每天接触的人数服从二项分布,根据第 2个假设,这个分布的平均值是 m,利用二项分布的性质并注意到人群总数是 n,有
m = (n-1) p
则
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假设 是一健康人被一名指定病人接触并感染的概率,则设 是一健康人每天被感染的概率,则由对立事件概率的计算方法,
1p
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健康人被感染的人数也服从二项分布,设其平均值为?(健康人每天平均被感染人数 ),
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下面考虑将结果简化,主要针对 (4)来处理,
因为通常 n>>m,n>>1,取 (4)式右端展开级数的前两项,
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