第一章 晶体结构
布拉菲格子
几种典型的晶格结构
晶体的宏观对称性
晶列指数与晶面密勒指数
晶系
倒格子
二维晶体结构
确定晶体结构的方法
习题布 拉 菲 格 子一、概述质粒在固体中的空间排列方式叫晶体结构。晶体结构的最大特点在于其周期性。
晶体周期性排列的最小重复单元。
若用一点表示各最小重复单元，
则这些点在空间的排列形成的阵列就叫晶体的空间点阵。
形成空间点阵的每一个点叫空间点阵的格点。
代表基的点在空间周期性排列形成的空间格子叫布拉菲格子。
O
B
1、晶体结构及其特点,
2、基：
3、空间点阵及格点,
4、布拉菲格子：
5、对空间点阵及布拉菲格子概念的理解：
（ 1） Bravias格子（点阵）是一种数学抽象，它只表示晶体的周期性（或对称性），是无限点的集合。只有用完全相同的基元以同样的方式安置在每个阵点上时，
才形成实际的晶体结构。
（ 2）尽管晶体有各种结构，只要有相同 Bravias格子，
就有相同的周期性。如,Cu,Si,NaCl具有相同的周期性，不同在于其基元不同。只要知道某种晶体的点阵
（或 Bravis 格子）和基元，则晶体结构就完全确定。
（ 3）晶体结构可表示为：
晶体结构 = Bravias格子 + 基元布 拉 菲 格 子二、布拉菲格子周期性的描述晶体中最小的重复单元叫原胞。原胞中只有一个原子或原子团。以二维情况为例，下图中以一个格点为原点，原点与临近格点构成的面积最小的平行四边形即为最小的重复单元。显然，三维时原胞为顶点在格点上的最小的平行六面体。
二维时原胞平行四边形的两个边矢量或三维时平行六面体的三个边矢量叫基矢。同一晶体基矢的选择不是惟一的，但各种基矢表示的原胞长度或面积或体积相同。用基矢可以表示晶体中的所有格点。
维个纳 -赛兹原胞
2211n ananR
布 拉 菲 格 子
1、原胞：
2、基矢：
几种典型的晶格结构一、概述有些情况下，原胞不能很好地反映出晶格的对称性，如面心立方、体心立方结构，原胞不能反映出 Bravias格子的立方对称性，
为更好地反映出 Bravias格子的（立方）对称性，在结晶学中选更大的单元（立方体）作为重复单元，
这样的重复单元称单胞。
基中只有一种等价原子的晶格。
O
B
1、单胞（结晶学原胞）：
2、简单布拉菲格子：
几种典型的晶格结构基中包含两种或两种以上不等价原子的晶格。
(a)化学性质相同，即同一元素、同一价态。
（ b)几何环境相同，即与周围原子几何位置的相对关系一致。
O
B
3、复式布拉菲格子：
等价含义,
几种典型的晶格结构
（ 1）其每一种原子构成一简单晶格，叫子晶格。
（ 2）不同等价原子构成的子晶格形状、大小完全一致。
（ 3）不同等价原子间的晶格相互有一平移。
（ 4）每个原胞含的原子数是每种等价原子各一个。
一个原子周围最近邻原子的数目。
当原子紧密排列时，原胞内原子所占的体积与原胞体积之比。
O
B4、复式格子特点：
5、配位数：
6、致密度：
几种典型的晶格结构二、简立方结构平面上原子排列成正方形，在球正上方重复放置，球心变为点，形成空间简单立方结构。简立方结构不稳定，几乎没有实际晶体具有简单立方结构
(放射性 Po)，但复杂晶格可在简单立方晶格基础上分析。
配位数为 6
a
3ea?
1ea?
2ea?
几种典型的晶格结构二、氯化铯型结构体心立方体心原子 与顶角为不同原子，两种原子各自组成简单立方晶格，沿对角线位移 1/2。
问题,是简单布拉菲格子还是复式布拉菲格子？
Cs Cl
几种典型的晶格结构三、体心立方结构缄金属 Li,Na,K,Rb,Cs,Fe,Cr…,.都是 体心立方结构。
)eee(2aa 3212 -
关系：原胞基矢与单胞基矢的原胞体积：
一个单胞含几个原子?
)eee(2aa 3213 -
)eee(aa 3211 ++2= -
2/aaaa 3321
证明？
配位数为多少? 8
两个体心立方原胞体积计算平行六面体体积：底面积乘高体心立方原胞体积：
3a?
2a?
1a?
331 aaa ）（?
2
a3?
321213 eeeee4a
3211213233 eeeeeeeee8a --
3213213213 eeeeeeeee8a ---
321 aaa ）（?
几种典型的晶格结构四、面心立方结构代表物 Cu,Ag
)ee(2aa 213
4=?×= 3321 /aaaa?
原胞体积：
一个单胞含几个原子?
1ea?
2ea?
3ea?
关系：原胞基矢与单胞基矢的
)ee(2aa 132
)ee(2aa 321
配位数为 12、
四个面心立方原胞体积计算面心立方原胞体积：
4
a3?
2131323 eeeeee8a
321 aaa ）（?
212133 eeeee8a
几种典型的晶格结构五、金刚石结构所有的原子都是碳原子，但面心立方顶角和面心上原子与对角线上原子不等价。由各自组成两个面心立方，沿对角线位移 1/4套构而成。
A最近邻的四个原子 1、
2,3,4组成正四面体。
半导体 Ge,Si等是这样的结构。
A
4
1
2
3
几种典型的晶格结构六、闪金矿（立方 ZnS）型结构原子分布与金刚石结构相似，只是对角线上原子与面心、顶角原子为不同种类原子
GaAs,II-VI族 (立方 ZnS),CuCl等是这样的结构。
III-V族半导体几种典型的晶格结构七,氯化钠型结构
Na离子,Cl离子分别 构成面心立方。两个格子沿立方面对角线位移 1/2套构而成。
除 Cs外都是该结构。
碱卤化合物，
几种典型的晶格结构八,晶体结构是 20世纪 90年代初发现的,由 60个碳原子结合而成，分子直径约为 10.9
纳米。
成面心结构,晶体是由 60
个面心立方结构套构而成的复式格子，每个原胞含一个分子。
60C
60C
60C
60C
60C
60C 60C
以分子作为基形常温下,分子绕基中心转动。
几种典型的晶格结构九、密集结构
1、六角密集排列方式,ABAB…..
层内原子密排列，
层之间原子密接触。
自然界中，碱土金属
Be,Mg及 Zn,Cd,Ti等。
图中红线包围的棱柱为原胞。中间层与上下两层的原子不等价。故六角密集结构是复式格子，
每个基里含 2个原子
a1 a2
c
a
（原子间平移,2/3a1,1/3 a2、
1/2c） 。
几种典型的晶格结构
2、六角密集结构的配位数为多少?
3、在六角密集结构中，各原子半径相同且紧密排列时，有：
致密度为,
38ac?
62
12。
六角密集结构致密度当原子紧密排列时，原胞内原子所占的体积与原胞体积之比。（一般指原子为同种硬球）
（ 1）求如图，
a1 a2
c
a
ac
A
B
D
E
D?
E?
为正四面体A B D E a
a23DD a33ED
cEE 21=′ 为直角三角形，有：DEE ′
8
3
c
a?,22 c
4
1a
3
2?,222 a
9
3c
4
1a
致密度：
六角密集结构致密度
(2)设原子半径为 R，则
a1 a2
c
a
A
B
D
E
D?
E?
a
Ra 2=
:n内的原子数六角密集结构一个单胞
c6a4 3V 2
62?
6n?
:体积六角密集结构一个单胞
V
R3/4n 2）（致密度
8
3=
c
a
几种典型的晶格结构
4、立方密集结构排列方式 ABCABCABC…..
面心结构代表物,Cu,Ag
致密度为,
a
A B
C
A
62
几种典型的晶格结构十、纤维锌矿（六角 ZnS）型结构两种原子各自构成六角密集结构，
一种原子在另一种原子形成的六角密集结构中沿六角轴方向移动 的位移。 III族元素的氮化物，如 BN,AIN,GaN、
InN等具有这样的结构。
83c
晶体的宏观对称性晶体的对称性确定了晶体具有以下宏观物理特性：
1、规则的外形
2、晶面角守恒
3、有固定的熔点
4、物理性质各向异性晶体的宏观对称性沿晶体中某轴线旋转 度晶体与自身重合，则我们说该轴为 度旋转（对称）轴。
设 A,B为晶面上任意二格点，
相距为 a，假设有过 A点垂直于晶面的轴，转 θ 为对称操作。
旋转后,B B’,B’也是格点；同理，过 B点作（ -θ ）
旋转,A A’,A’点也为格点。
n
n
n
2=一,度旋转轴：
A
A?
1AB
B?
1B
晶体的宏观对称性
m为整数则：
cosθ∈[ -1,1]，
则：
旋转操作中 θ 只能取以上值,即旋转度,
n=1,2,3,4,6,不可能有 5,7,… 度旋转轴 。
BA//AB ′′则：
)c o s21(AB?-?
0∴
n
2=
)]2s i n(21[AB -'B'A
6
2,?
4
2,?
3
2,?
2
2,?
1-2cosθ=m,m在 [-1,3],
A
A?
1AB
B?
1B
ABmBA =′′且晶体的宏观对称性立方体的 2,3,4度旋转对称轴（ 6,4,3）
2 3
4 问题
：
各种轴有几个?
晶体的宏观对称性二、中心反演和 度旋转反演轴
1、中心反演：
使坐标 r变成 -r的操作称为对原点的中心反演，如经此操作后晶体与自身重合则为具有中心反演对称，
常用 i表示。
2,度旋转反演轴常用 表示。
n
64321,、、、
n
晶体的宏观对称性
n
度旋转反演轴示意图晶体的宏观对称性三、镜面对称即是,常用 m表示四、螺旋轴：
如经绕某轴作 n度旋转再沿转轴方向平移 t的复合操作后晶体与自身重合则此复合操作为 n度螺旋轴，晶体只有 2、
3,4,6度螺旋轴。
2
jnTt?
转轴方向晶格周期—T
的整数小于— nj
晶体的宏观对称性五、滑移反映面对某一平面作镜像反映后再在平行于镜面的某方向平移半个周期的对称操作。
晶体的宏观对称性六、总结：
1、可以证明，若将对称操作中晶体里有一点固定不动的对称操作为点对称性群，简称点群，则共有 32种宏观对称类型即点群,230种空间群,7个晶系,14种布拉菲格子。
2、晶体的各种对称操作中，
八种对称操作是最基本的对称操作，其中有
5种是完全独立的，其它的它对称操作可由它们复合成。
4、,mi
度对称操作，、、、,64321
晶 系
7种晶系 (图中红字 ),14种布拉菲格子：
三斜 单斜正交正方 六角三角立方简单三斜 简单单斜 底心单斜简单正交 底心正交简单四角晶列指数与晶面密勒指数晶体通常各向异性，研究或描述晶体的性质或内部发生的某过程时，常常要指明晶体中的某个方向或某个方位的晶面。因而需要建立一套标志方向的参量，这些参量以 单胞 基矢为参考。
晶列指数与晶面密勒指数一、晶列指数通过 Bravias格子的任意两点连一条直线，则该直线上包括无限多个格点，这样的直线称 晶列,所有平行的晶列组成一组晶列族。晶体外观上所见的晶棱为个别晶列。
（ 1）由于晶格的周期性，
通过其它任一格点可引出与原晶列平行的晶列，这些相互平行的晶列族将全部格点包含无遗。
（ 2）同一晶列族上，格点具有相同的周期分布。
（ 3）通过一个格点可以引出无数晶列，晶列数目是无限的。
1、性质：
晶列指数与晶面密勒指数
2、晶列指数取晶列上某一格点为原点 0,同一列上 另一格点 A的位置矢量可表示为：
由于这里的基矢并不是原胞基矢，故不一定是一组整数，但一定是一组有理数。将其简约成一组互质的整数,即将 用方括号括起来代表此晶列的方向，
称为该方向的晶列指数。 abc
A
O
]mnp[
cpbnamAO ′+′+′=
pnm ′′′,、
pnmpnm ′′′= ；：：：pnm,、
pnm,、
晶 列 指 数
[100]
a
bc
[001]
][ 001
[010]
[100]
[111]
[110]
晶列指数与晶面密勒指数二、晶面与晶列类似，通过 Bravias格子的任意三个不共线格点可以作一个平面，该平面包含无限多个格点，这些格点周期性分布在平面上，该平面称 晶面 。
晶列指数与晶面密勒指数晶面的性质：
（ 1）由于晶格的周期性，通过其它任一格点可引出与原晶面平行的一系列晶面，这些相互平行的晶面组成一组晶面族并将全部格点包含无遗，且每个格点只属于某一晶面。
（ 2）同一族晶面族的晶面平行、等距，各晶面上格点具有完全相 同的周期分布。
（ 3）晶格中含无限多族平行晶面,Bravias格子的格点分布在不同的平行等间距的晶面上。
晶列指数与晶面密勒指数三、密勒指数取某一单胞顶角为原点，设给定晶面在沿单胞三条边的轴向截距分别为,
简约成互质的三个整数,即,
则将 用圆括号括起来便可表示该晶面的方位，称为密勒指数 。
1、密勒指数是代表一组平行平面族的指数
2、我们讨论的是一族平行平面，不考虑特定某面的具体位置，故通过原点的面不用做确定晶面族的指数。
）（ hkl
ctbsar,、
tsr 111,,lkh,、
lkhtsr,：：,=111
lkh,、
将三个系数的倒数晶列指数与晶面密勒指数
a
b
c
晶 面 密 勒 指 数
1、指出图中晶面的密勒指数
A
O a
E
B′
A′
C′
D′
B
C
F
G
b?c?
:A B C 面
:E F G 面
:DCBA 面′′′′
( )144
( )210
( )421
晶 面 密 勒 指 数
2、请以正方体的三边为基矢，分别画出密勒指数为：
（ 001）、（ 0 0）、（ 200）、（ 011）、
（ 10 ）（ 1 1）的晶面。1
1
1
a?
b?
c?
a?
b?
c?
a?
b?
c?
001001200
a?
b?
c?
a?
b?
a?
b?
c?
011110111
晶 面 密 勒 指 数方法总结,当密勒指数中有负指数时，可画出两个单胞。
c?
晶列指数与晶面密勒指数
1、一族晶面的密勒指数之比是这一族晶面的法线的方向余弦之比（将基矢的天然单位长度看成 1时）
lkh,：?
证明：
的方程：晶面 A BC
ud?
na
c
ba o
C
B
A
ctCO、arAO bsBO、
udnr
为面间距d 为整数,u
矢量为晶面上任一点的位置r?
udnctudnbs,、
ldnckdnb,、hd?
nar
tsr 111=,：
），（）：，（）：，（ ncc o snbc o snac o s
：看成天然长度单位，则、、把 cba
晶列指数与晶面密勒指数
2、
对于一族给定的晶面，
是单胞三个基矢所在晶面与原点所在晶面之间晶面数加 1。
是三个整数，故一定是三个有理数。
c
ba o
C
B
A
）（ h k l
。、,lckbha 证明？
的含义、,lkh
lkh,、
lkh,：?tsr 111,：
lkh,、
tsr,、
—— 阿羽依有理数定理
3,晶面族 中最靠近原点的晶面在基矢上的截距分别为：
因为：
晶列指数与晶面密勒指数
4、对于简单正交晶格，晶面族 (hkl)的面间距 d满足：
证明,
5、用同样的方式也可以以原胞基矢作为参考定义得到表示晶面的指数叫 晶面指数,通常用表示。
222 ++
1
=
)
c
l
()
b
k
()
a
h
(
d
）（ 321 hhh
），（ nac o shad
问题,的含义？、、
321 hhh
1ncc o snbc o snac o s 222 ），（），（），（
1lc dkb dha d 222 ）（）（）（
），（ nbc o skb ），（ ncc oslc
na ldnckdnb,、hd?
倒 格 子
6、正方晶系密勒指数 与面指数的关系体心立方晶格：
）（ 321 hhh）（ hkl
）（ kh21h 3）（ lkhh -+
2
1=
3
）（ lkhh +21=2 -
）（ lkh21h 1
）（ lh21h 2
）（ lk21h 1
面心立方晶格：
密勒指数与面指数的关系证明体心立方晶格：
证明：
）（ lkh21h 3
nea 1
)eee(2aa 3213
na1
1h
同理有：
）（ lkh21h 2
）（ lkh21h 1
)eee(2aa 3212
)eee(2aa 3211
ldneakdnea 32,、hd?
dh1? dhnadhna 3322,、
neaeaead2 1 321 -
ldkdhdd2 1 -lkh21 -
d
na1
）（ lkh21h 3
）（ lkh21h 2
密勒指数与面指数的关系证明面心立方晶格：
证明,ldneakdneahdnea =?=?=?
321,、
dhnadhnadhna 332211 =?=?=,、
lk21
同理有：
）（ lk21h 1
)ee(2aa 132
）（ lh21h 2
）（ kh21h 3
)ee(2aa 321
)ee(2aa 213
）（ kh21h 3
）（ lh21h 2
ldkdd21
neaead21 32d na1
1h
倒 格 子一、倒格子基矢设某晶体结构 原胞基矢 为：
基矢为：,
)aa(a
aa2
321
32
）（ 13
321
13
2
×2
=
×?
×
2=
aa
)aa(a
aa
b
）（ 21
321
21
3
×2=
×?
×2= aa
)aa(a
aab
321 a,a,a
321 b,b,b
1b
）（ 32 aa2
则倒格子若 为原胞体积，有倒 格 子
1、简立方结构正格子基矢
a
2eb
33
22 eaa?
倒格子为,边长,为 的简单立方结构a?2
11 eaa?
33 eaa?
a
2eb
22
a
2eb
11
倒格子基矢倒 格 子
2、面心结构正格子基矢
）（ 3212 eeea2b -?
倒格子为,边长,为 体心立方结构
)ee(2aa 132
a
4
)ee(2aa 321
)ee(2aa 213
）（ 3211 eeea2b -?
）（ 3213 eeea2b -
倒格子基矢面心立方结构倒格子基矢
4/aaaa 3321
32 aa
同理可得,
32 bb
、
)ee(2aa 132
)ee(2aa 321
)ee(2aa 213
21132 eeee4a
3122 eee4a -
)aa(a
aa2
321
32
1b
32123 eee4a4/a 2 -?
321 eeea2 -?
）（ 32 aa2
倒 格 子
3,体心结构正格子基矢
）（ 312 eea2b)eee(2
aa
3212
-
倒格子为,边长,为 体心立方结构a?4
)eee(2aa 3211
)eee(2aa 3213 -
）（ 321 eea2b
）（ 213 eea2b
倒格子基矢体心立方结构倒格子基矢
)aa(a
aa2
321
32
2=?×= 3321 /aaaa?
32 aa
同理可得,32 bb、
)eee(2aa 3212 -
)eee(2aa 3211
)eee(2aa 3213 -
3212132 eeeeee4a --
1213232 eeeeee4a -
322 ee2a
）（ 32 aa2
3223 ee2a2/a 2
1b?
32 eea2
倒 格 子
4、这里定义的倒格子只由正格子原胞基矢确定，
我们定义的是某种布拉菲格子的倒格子，而与具体正格子空间中的晶体结构（是简单或复式格子）无关。
5、倒格子空间中,长度,单位的量纲为实空间长度量纲的倒数。这也是将之定义为倒格子的原因。
倒 格 子二、正、倒格子间的关系
1、正、倒格子之间基矢有如下关子关系：
证明：
）（
）（
ji0
ji2ba
ji
故有：
11 ba ( )
321 ×
2? aaa
321 aaa2 2?2?
21?ba
131 aa
2a
131 aaa2
0?
ji ba
）（
）（
ji0
ji2?
倒 格 子
2、以倒格子基矢为坐标，像正格子一样可以在倒格子空间得到倒格子格点的位置矢量即倒格矢为为包括零的整数设 分别为正、倒格子原胞体积，有：
证明,C)BA(B)CA(CBA=×× -
321 ′′′ hhh,、
*, /* 32= ）（
332211 ′+′+′= bhbhbhK
*
321 bbb
2113323 aaaaaa/2
21133231323 aaaaaaaaaa/2 -
2133 aaa/2
32?
倒 格 子
3、倒格矢 与面指数为 的晶面垂直即为晶面法线方向。
证明：如图，考虑 晶面族中最靠近原点 O的晶面 MNP，
显然有：
证毕 !
）（ 321 hhh
）（ 321 hhh
0=?++=? 3311332211321 ）（）（ h/ah/abhbhbhPMk hhh -
3
3
2
2
h
a
h
a -
）（）（ 3322332211 h/ah/abhbhbh -
332211 ++= bhbhbhk
2
2
h
aON?、
3
3
h
aOP?、
1
1
h
aOM?
PN
3
3
1
1
h
a
h
a -?PM、
( ) 22= - 0 PNk
321 hhh
hK
3a
O
P
2a
1a
N
M
倒 格 子
4、若正格矢：
倒格矢：
则：
l1,l2,l3,h1,h2,h3为整数，则 μ 也是整数反之，若一个矢量与正格矢的点积为,则这个矢量为倒格矢。
332211 ++= bhbhbhk
hl kR?
)alalal(R l 332211 ++=
2
）（
）（
ji0
ji2ba
ji
)bhbhbh()alalal( 332211332211
)hlhlhl(2 3322112?
倒 格 子
5、晶面族 的面间距为：
因为：
代表从原点到 的第 n个晶面上 任意 一点的矢 量,从原点到第 n个晶面的距离为,
则这个晶面的方程可为：
）（ 321 hhh
332211321 ++= bhbhbhK hhh
321
321
2=
hhh
hhh Kd
r ）（ 321 hhh
nd
321 hhhKr
）（
）（
ji0
ji2ba
ji
3h2h1hd
3h2h1h
3h2h1h
K
KOM?
3h2h1h
111211
1
1
K
bhbhbh
h
a
3h2h1hK
2
321
321
hhh
hhh
K
Kr?
321 hhh
K
n2
n2
hK
3a
O
P
2a
1a
N
M
11 h/a
倒 格 子因为，一般地，函数 可以展开为傅里叶级数：
、同样，将函数 展开为傅里叶级数：
由晶体的周期性所以则 故 为 的倒格矢即若一维晶格，周期为 a,则 为倒格矢（？）,
展开式表示为：
)r(V?
k rkie)k(V)r(V )Rr(V n
k )Rr(kin ne)k(V)Rr(V
)Rr(V)r(V n
k rkik )Rr(ki e)k(Ve)k(V0 nk Rkirki )1e(e)k(V n
1e nRki k? nR?
h
h
G
rKih e)K(V)r(V
2=? kR n?、
a
2?
xa2in
n
n eC)x(V)ax(V
rde)Rr(V1)k(V nkrkin ）（?
倒 格 子
7、对倒格子（矢）的理解
（ 1）倒格矢的几何意义倒格矢 与晶面族 (h1h2h3)有极密切的关系，
其方向是晶面族的公共法线方向,其大小与 (h1h2h3) 晶面族的面间距成反比。只要给出晶面族，可写出其法线方向。
（ 2）一个具有正格子周期的物理量，在正格子表述和在倒格子的表述之间遵从傅立叶变换的关系因为 f (x+2π) = f(x),
则 f (x) 可以展开为：
同样,f (x+a) = f(x),则以 a为周期的函数可以展开为：
321 hhhK
i n x
n n
eC)x(f ∑=
)ax(f )x(f xa2in
n
n eC
∑
倒 格 子总之，倒格子的概念非常重要。每个特定的晶格结构有两个点阵同它联系，一个是晶格点阵，一个是倒易点阵。晶体的衍射斑点是晶体倒易点阵的映像，
通过傅立叶变换即可由之得出晶体的实点阵结构。倒格子所在的空间，实际是波矢空间，也称傅立叶空间。由于常用波矢描述运动状态（如电子的运动或晶格振动状态）。故倒空间可理解为状态空间，而正格子空间为位置空间或坐标空间。倒空间的每一点都有一定的意义，而倒格点 有着特殊的重要性。321 hhhK
二维晶体结构一、理想的二维周期性结构二维晶体结构二、二维倒格子（ ）
1、二维晶列指数选取晶列中的一条直线，由其在基矢上的截距 出发，将约为互质整数，即得 。
2、倒格子基矢、倒格矢
3、正倒格子基矢间的关系：
）（ 21hh
21 aa、
2211 arar,
21
11 rr,
21 hh、
S/an2b 102 ）（
12 ba
21 aaS
2211 += bhbhK
矢量为垂直二维平面的单位0n
2a
1a
）方向的单位矢量（— 210 aan
S/na2b 021 ）（
22 ba
11 ba2?
0 21 ba
确定晶体结构的方法一、劳厄方程原点:O
条件为：发出的散射波干涉极大、由 PO
类比光的干涉（左图）
BO程差：
SRSR PP+?= 0-
）（ 0P SSR -
AO
）（ 0? SSR P -?m?
整数）波长、（ m?
叫劳厄方程）（?mSSR 0P -
一格点:P
射线束方向入射单色 x:S 0
射线束方向散射（出射） x:S
o
A
B
P
S?
0S
PR
确定晶体结构的方法二、布拉格公式即：
s i nd2 321 hhh
垂直即为一晶面与 321 hhhKM?
mSSR P =? 0）（ -
形三矢量组成一等腰三角
、、
321 hhh0
Knkk
0kk
m2 ）（ 0n kkR -
干涉极大：
S2k、00 S2k
引入波矢：
0kk - 321 hhhKn?
2k?、?s i nk2
n
此即布拉格反射公式
321 hhhKn
o
M
hKn
0k
k?
确定晶体结构的方法三、反射球以 方向的交点 为球心,为半径所画的球。
0kk
,C
2
P?P
C
o
C
k? 0k?
hK?
o
k?′
hK′?
P′
P
处一定有倒格点，不一定有正格点？
,处一定有倒格点处不一定有倒格点虚线为晶面位置？
确定晶体结构的方法倒格矢的始末端等反射球上格点都可为,PP ′
C
k? 0k?
hK?
o
k?′
hK′?
P′
P
故一定有倒格点。
方法,劳厄法、转动单晶法、粉末法（德拜法）。
与倒格矢垂直的虚线故为晶面位置 。
o
M
hKn
0k
k?
确定晶体结构的方法四、低能电子衍射（ LEED）决定表面结构射线：
德布罗意波波长：
电子：
质子：
p
h
x
≈
2
1)m e V2(
h
（表面）
（氢、碳）
eV
ch
V
12000≈ 千伏,40V? 埃,3.0
m2p2 eV
21)V150( 伏,1 0 0V? 纳米,1.0
2
1)m eV2(
h
21)V2 00 01 50(≈ 埃,1伏,1.0V?
确定晶体结构的方法五、扫描隧道显微术确定原子级表面结构习 题
1、图中的二维格子是简单布拉菲格子还是复式布拉菲格子？
习 题
1、解：
简单布拉菲格子复式布拉菲格子习 题
2,证明：如用等体积的硬球堆积成下列结构，求致密度分别为：
（ 1）简立方 ；
（ 2）面心立方 ;
（ 3）金刚石,
163?
6?
62?
1a?
正（立）方晶系致密度的求解步骤
1、根据密堆积的结构确定一个单胞中所含原子的数目 n。
2、找出密堆积时正方体单胞边长 与球形原子半径 R
的关系。
3、用 R表示出球的体积 与单胞的体积 。
4、带入公式：
a
0V V
致密度
V
Vn 0?
面心立方结构的致密度
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
R4?a2?a,R22
3a 3R216?
0V 2R34V、
致密度
V
Vn 0
3
3
R216
R3/44
6
2?
n=4
简立方结构的致密度
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
a
0V
致密度
R2
2R
3
4? 3a?V,38= R
V
Vn 0
3
3
R8
R3/4
6
1?
n=1
体心立方结构的致密度
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
、R4
0V
致密度
a3?a R
3
34
2R
3
4? V,3a? 3R
9
364?
V
Vn 0
3
3
R9/364
R3/42
）（
83?
n=2
金刚石结构的致密度
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
、R24?
致密度
a R
3
38?a3
V,3a 3R
9
3648
0V 2R
3
4?
3
3
R9/3648
R3/48
）（?
163?V
Vn 0?
n=8
习 题
3、如图若已知原胞的试求,（ 1）倒格子原胞基矢大小；
（ 2）正倒格子原胞的体积；
（ 3） 面的面间距。
解：（ 1）
。、；、,00030201 120=90==8=6=4=AaAaAa
）（ 210
1b?
1
132 211=904×8×396
2=×2= -)(.s i naab
1
213 790=1206×4×396
2=×2= -)(.s i naab
321 aaa1 2 0s i n864 3396= ）（
908×6×
396
2= s i n? 1821= -)(,
32 aa
2
2a?1a
3a?
2a
1a
3a
1b
2b
3b
060
（ 2）正格子原胞体积：
（ 3） 面的面间距
2a?1a
3a?
*?
）（ 210
3h2h1hK
2?
3h2h1hK
41=,
321 aaa1 2 0c o s864 3396= ）（
32 3491= -)(,
3h2h1hd
3h2h1hK
2
3h2h1hd
21 bb2
60c o sbb4bb2 212221
)/(,154=
2a
1a
3a
1b
2b
3b
060
习 题
4、
习 题
5.立方体的对称操作
a.不动
b.绕 3个 [100]转
π/2,π,3π/2
c.绕 6个 [110]转 π
d.绕 4个 [111]转 2π/3,4π/3
24个纯旋转操作，每个加中心反演，共 48个 (Oh)
6、在自然界中，大多数固体都以晶态存在，为什么面指数简单的晶面往往暴露在外表面上？
3 64
1个
9个
6个
8个
[100] [111] [110]
布拉菲格子
几种典型的晶格结构
晶体的宏观对称性
晶列指数与晶面密勒指数
晶系
倒格子
二维晶体结构
确定晶体结构的方法
习题布 拉 菲 格 子一、概述质粒在固体中的空间排列方式叫晶体结构。晶体结构的最大特点在于其周期性。
晶体周期性排列的最小重复单元。
若用一点表示各最小重复单元，
则这些点在空间的排列形成的阵列就叫晶体的空间点阵。
形成空间点阵的每一个点叫空间点阵的格点。
代表基的点在空间周期性排列形成的空间格子叫布拉菲格子。
O
B
1、晶体结构及其特点,
2、基：
3、空间点阵及格点,
4、布拉菲格子：
5、对空间点阵及布拉菲格子概念的理解：
（ 1） Bravias格子（点阵）是一种数学抽象，它只表示晶体的周期性（或对称性），是无限点的集合。只有用完全相同的基元以同样的方式安置在每个阵点上时，
才形成实际的晶体结构。
（ 2）尽管晶体有各种结构，只要有相同 Bravias格子，
就有相同的周期性。如,Cu,Si,NaCl具有相同的周期性，不同在于其基元不同。只要知道某种晶体的点阵
（或 Bravis 格子）和基元，则晶体结构就完全确定。
（ 3）晶体结构可表示为：
晶体结构 = Bravias格子 + 基元布 拉 菲 格 子二、布拉菲格子周期性的描述晶体中最小的重复单元叫原胞。原胞中只有一个原子或原子团。以二维情况为例，下图中以一个格点为原点，原点与临近格点构成的面积最小的平行四边形即为最小的重复单元。显然，三维时原胞为顶点在格点上的最小的平行六面体。
二维时原胞平行四边形的两个边矢量或三维时平行六面体的三个边矢量叫基矢。同一晶体基矢的选择不是惟一的，但各种基矢表示的原胞长度或面积或体积相同。用基矢可以表示晶体中的所有格点。
维个纳 -赛兹原胞
2211n ananR
布 拉 菲 格 子
1、原胞：
2、基矢：
几种典型的晶格结构一、概述有些情况下，原胞不能很好地反映出晶格的对称性，如面心立方、体心立方结构，原胞不能反映出 Bravias格子的立方对称性，
为更好地反映出 Bravias格子的（立方）对称性，在结晶学中选更大的单元（立方体）作为重复单元，
这样的重复单元称单胞。
基中只有一种等价原子的晶格。
O
B
1、单胞（结晶学原胞）：
2、简单布拉菲格子：
几种典型的晶格结构基中包含两种或两种以上不等价原子的晶格。
(a)化学性质相同，即同一元素、同一价态。
（ b)几何环境相同，即与周围原子几何位置的相对关系一致。
O
B
3、复式布拉菲格子：
等价含义,
几种典型的晶格结构
（ 1）其每一种原子构成一简单晶格，叫子晶格。
（ 2）不同等价原子构成的子晶格形状、大小完全一致。
（ 3）不同等价原子间的晶格相互有一平移。
（ 4）每个原胞含的原子数是每种等价原子各一个。
一个原子周围最近邻原子的数目。
当原子紧密排列时，原胞内原子所占的体积与原胞体积之比。
O
B4、复式格子特点：
5、配位数：
6、致密度：
几种典型的晶格结构二、简立方结构平面上原子排列成正方形，在球正上方重复放置，球心变为点，形成空间简单立方结构。简立方结构不稳定，几乎没有实际晶体具有简单立方结构
(放射性 Po)，但复杂晶格可在简单立方晶格基础上分析。
配位数为 6
a
3ea?
1ea?
2ea?
几种典型的晶格结构二、氯化铯型结构体心立方体心原子 与顶角为不同原子，两种原子各自组成简单立方晶格，沿对角线位移 1/2。
问题,是简单布拉菲格子还是复式布拉菲格子？
Cs Cl
几种典型的晶格结构三、体心立方结构缄金属 Li,Na,K,Rb,Cs,Fe,Cr…,.都是 体心立方结构。
)eee(2aa 3212 -
关系：原胞基矢与单胞基矢的原胞体积：
一个单胞含几个原子?
)eee(2aa 3213 -
)eee(aa 3211 ++2= -
2/aaaa 3321
证明？
配位数为多少? 8
两个体心立方原胞体积计算平行六面体体积：底面积乘高体心立方原胞体积：
3a?
2a?
1a?
331 aaa ）（?
2
a3?
321213 eeeee4a
3211213233 eeeeeeeee8a --
3213213213 eeeeeeeee8a ---
321 aaa ）（?
几种典型的晶格结构四、面心立方结构代表物 Cu,Ag
)ee(2aa 213
4=?×= 3321 /aaaa?
原胞体积：
一个单胞含几个原子?
1ea?
2ea?
3ea?
关系：原胞基矢与单胞基矢的
)ee(2aa 132
)ee(2aa 321
配位数为 12、
四个面心立方原胞体积计算面心立方原胞体积：
4
a3?
2131323 eeeeee8a
321 aaa ）（?
212133 eeeee8a
几种典型的晶格结构五、金刚石结构所有的原子都是碳原子，但面心立方顶角和面心上原子与对角线上原子不等价。由各自组成两个面心立方，沿对角线位移 1/4套构而成。
A最近邻的四个原子 1、
2,3,4组成正四面体。
半导体 Ge,Si等是这样的结构。
A
4
1
2
3
几种典型的晶格结构六、闪金矿（立方 ZnS）型结构原子分布与金刚石结构相似，只是对角线上原子与面心、顶角原子为不同种类原子
GaAs,II-VI族 (立方 ZnS),CuCl等是这样的结构。
III-V族半导体几种典型的晶格结构七,氯化钠型结构
Na离子,Cl离子分别 构成面心立方。两个格子沿立方面对角线位移 1/2套构而成。
除 Cs外都是该结构。
碱卤化合物，
几种典型的晶格结构八,晶体结构是 20世纪 90年代初发现的,由 60个碳原子结合而成，分子直径约为 10.9
纳米。
成面心结构,晶体是由 60
个面心立方结构套构而成的复式格子，每个原胞含一个分子。
60C
60C
60C
60C
60C
60C 60C
以分子作为基形常温下,分子绕基中心转动。
几种典型的晶格结构九、密集结构
1、六角密集排列方式,ABAB…..
层内原子密排列，
层之间原子密接触。
自然界中，碱土金属
Be,Mg及 Zn,Cd,Ti等。
图中红线包围的棱柱为原胞。中间层与上下两层的原子不等价。故六角密集结构是复式格子，
每个基里含 2个原子
a1 a2
c
a
（原子间平移,2/3a1,1/3 a2、
1/2c） 。
几种典型的晶格结构
2、六角密集结构的配位数为多少?
3、在六角密集结构中，各原子半径相同且紧密排列时，有：
致密度为,
38ac?
62
12。
六角密集结构致密度当原子紧密排列时，原胞内原子所占的体积与原胞体积之比。（一般指原子为同种硬球）
（ 1）求如图，
a1 a2
c
a
ac
A
B
D
E
D?
E?
为正四面体A B D E a
a23DD a33ED
cEE 21=′ 为直角三角形，有：DEE ′
8
3
c
a?,22 c
4
1a
3
2?,222 a
9
3c
4
1a
致密度：
六角密集结构致密度
(2)设原子半径为 R，则
a1 a2
c
a
A
B
D
E
D?
E?
a
Ra 2=
:n内的原子数六角密集结构一个单胞
c6a4 3V 2
62?
6n?
:体积六角密集结构一个单胞
V
R3/4n 2）（致密度
8
3=
c
a
几种典型的晶格结构
4、立方密集结构排列方式 ABCABCABC…..
面心结构代表物,Cu,Ag
致密度为,
a
A B
C
A
62
几种典型的晶格结构十、纤维锌矿（六角 ZnS）型结构两种原子各自构成六角密集结构，
一种原子在另一种原子形成的六角密集结构中沿六角轴方向移动 的位移。 III族元素的氮化物，如 BN,AIN,GaN、
InN等具有这样的结构。
83c
晶体的宏观对称性晶体的对称性确定了晶体具有以下宏观物理特性：
1、规则的外形
2、晶面角守恒
3、有固定的熔点
4、物理性质各向异性晶体的宏观对称性沿晶体中某轴线旋转 度晶体与自身重合，则我们说该轴为 度旋转（对称）轴。
设 A,B为晶面上任意二格点，
相距为 a，假设有过 A点垂直于晶面的轴，转 θ 为对称操作。
旋转后,B B’,B’也是格点；同理，过 B点作（ -θ ）
旋转,A A’,A’点也为格点。
n
n
n
2=一,度旋转轴：
A
A?
1AB
B?
1B
晶体的宏观对称性
m为整数则：
cosθ∈[ -1,1]，
则：
旋转操作中 θ 只能取以上值,即旋转度,
n=1,2,3,4,6,不可能有 5,7,… 度旋转轴 。
BA//AB ′′则：
)c o s21(AB?-?
0∴
n
2=
)]2s i n(21[AB -'B'A
6
2,?
4
2,?
3
2,?
2
2,?
1-2cosθ=m,m在 [-1,3],
A
A?
1AB
B?
1B
ABmBA =′′且晶体的宏观对称性立方体的 2,3,4度旋转对称轴（ 6,4,3）
2 3
4 问题
：
各种轴有几个?
晶体的宏观对称性二、中心反演和 度旋转反演轴
1、中心反演：
使坐标 r变成 -r的操作称为对原点的中心反演，如经此操作后晶体与自身重合则为具有中心反演对称，
常用 i表示。
2,度旋转反演轴常用 表示。
n
64321,、、、
n
晶体的宏观对称性
n
度旋转反演轴示意图晶体的宏观对称性三、镜面对称即是,常用 m表示四、螺旋轴：
如经绕某轴作 n度旋转再沿转轴方向平移 t的复合操作后晶体与自身重合则此复合操作为 n度螺旋轴，晶体只有 2、
3,4,6度螺旋轴。
2
jnTt?
转轴方向晶格周期—T
的整数小于— nj
晶体的宏观对称性五、滑移反映面对某一平面作镜像反映后再在平行于镜面的某方向平移半个周期的对称操作。
晶体的宏观对称性六、总结：
1、可以证明，若将对称操作中晶体里有一点固定不动的对称操作为点对称性群，简称点群，则共有 32种宏观对称类型即点群,230种空间群,7个晶系,14种布拉菲格子。
2、晶体的各种对称操作中，
八种对称操作是最基本的对称操作，其中有
5种是完全独立的，其它的它对称操作可由它们复合成。
4、,mi
度对称操作，、、、,64321
晶 系
7种晶系 (图中红字 ),14种布拉菲格子：
三斜 单斜正交正方 六角三角立方简单三斜 简单单斜 底心单斜简单正交 底心正交简单四角晶列指数与晶面密勒指数晶体通常各向异性，研究或描述晶体的性质或内部发生的某过程时，常常要指明晶体中的某个方向或某个方位的晶面。因而需要建立一套标志方向的参量，这些参量以 单胞 基矢为参考。
晶列指数与晶面密勒指数一、晶列指数通过 Bravias格子的任意两点连一条直线，则该直线上包括无限多个格点，这样的直线称 晶列,所有平行的晶列组成一组晶列族。晶体外观上所见的晶棱为个别晶列。
（ 1）由于晶格的周期性，
通过其它任一格点可引出与原晶列平行的晶列，这些相互平行的晶列族将全部格点包含无遗。
（ 2）同一晶列族上，格点具有相同的周期分布。
（ 3）通过一个格点可以引出无数晶列，晶列数目是无限的。
1、性质：
晶列指数与晶面密勒指数
2、晶列指数取晶列上某一格点为原点 0,同一列上 另一格点 A的位置矢量可表示为：
由于这里的基矢并不是原胞基矢，故不一定是一组整数，但一定是一组有理数。将其简约成一组互质的整数,即将 用方括号括起来代表此晶列的方向，
称为该方向的晶列指数。 abc
A
O
]mnp[
cpbnamAO ′+′+′=
pnm ′′′,、
pnmpnm ′′′= ；：：：pnm,、
pnm,、
晶 列 指 数
[100]
a
bc
[001]
][ 001
[010]
[100]
[111]
[110]
晶列指数与晶面密勒指数二、晶面与晶列类似，通过 Bravias格子的任意三个不共线格点可以作一个平面，该平面包含无限多个格点，这些格点周期性分布在平面上，该平面称 晶面 。
晶列指数与晶面密勒指数晶面的性质：
（ 1）由于晶格的周期性，通过其它任一格点可引出与原晶面平行的一系列晶面，这些相互平行的晶面组成一组晶面族并将全部格点包含无遗，且每个格点只属于某一晶面。
（ 2）同一族晶面族的晶面平行、等距，各晶面上格点具有完全相 同的周期分布。
（ 3）晶格中含无限多族平行晶面,Bravias格子的格点分布在不同的平行等间距的晶面上。
晶列指数与晶面密勒指数三、密勒指数取某一单胞顶角为原点，设给定晶面在沿单胞三条边的轴向截距分别为,
简约成互质的三个整数,即,
则将 用圆括号括起来便可表示该晶面的方位，称为密勒指数 。
1、密勒指数是代表一组平行平面族的指数
2、我们讨论的是一族平行平面，不考虑特定某面的具体位置，故通过原点的面不用做确定晶面族的指数。
）（ hkl
ctbsar,、
tsr 111,,lkh,、
lkhtsr,：：,=111
lkh,、
将三个系数的倒数晶列指数与晶面密勒指数
a
b
c
晶 面 密 勒 指 数
1、指出图中晶面的密勒指数
A
O a
E
B′
A′
C′
D′
B
C
F
G
b?c?
:A B C 面
:E F G 面
:DCBA 面′′′′
( )144
( )210
( )421
晶 面 密 勒 指 数
2、请以正方体的三边为基矢，分别画出密勒指数为：
（ 001）、（ 0 0）、（ 200）、（ 011）、
（ 10 ）（ 1 1）的晶面。1
1
1
a?
b?
c?
a?
b?
c?
a?
b?
c?
001001200
a?
b?
c?
a?
b?
a?
b?
c?
011110111
晶 面 密 勒 指 数方法总结,当密勒指数中有负指数时，可画出两个单胞。
c?
晶列指数与晶面密勒指数
1、一族晶面的密勒指数之比是这一族晶面的法线的方向余弦之比（将基矢的天然单位长度看成 1时）
lkh,：?
证明：
的方程：晶面 A BC
ud?
na
c
ba o
C
B
A
ctCO、arAO bsBO、
udnr
为面间距d 为整数,u
矢量为晶面上任一点的位置r?
udnctudnbs,、
ldnckdnb,、hd?
nar
tsr 111=,：
），（）：，（）：，（ ncc o snbc o snac o s
：看成天然长度单位，则、、把 cba
晶列指数与晶面密勒指数
2、
对于一族给定的晶面，
是单胞三个基矢所在晶面与原点所在晶面之间晶面数加 1。
是三个整数，故一定是三个有理数。
c
ba o
C
B
A
）（ h k l
。、,lckbha 证明？
的含义、,lkh
lkh,、
lkh,：?tsr 111,：
lkh,、
tsr,、
—— 阿羽依有理数定理
3,晶面族 中最靠近原点的晶面在基矢上的截距分别为：
因为：
晶列指数与晶面密勒指数
4、对于简单正交晶格，晶面族 (hkl)的面间距 d满足：
证明,
5、用同样的方式也可以以原胞基矢作为参考定义得到表示晶面的指数叫 晶面指数,通常用表示。
222 ++
1
=
)
c
l
()
b
k
()
a
h
(
d
）（ 321 hhh
），（ nac o shad
问题,的含义？、、
321 hhh
1ncc o snbc o snac o s 222 ），（），（），（
1lc dkb dha d 222 ）（）（）（
），（ nbc o skb ），（ ncc oslc
na ldnckdnb,、hd?
倒 格 子
6、正方晶系密勒指数 与面指数的关系体心立方晶格：
）（ 321 hhh）（ hkl
）（ kh21h 3）（ lkhh -+
2
1=
3
）（ lkhh +21=2 -
）（ lkh21h 1
）（ lh21h 2
）（ lk21h 1
面心立方晶格：
密勒指数与面指数的关系证明体心立方晶格：
证明：
）（ lkh21h 3
nea 1
)eee(2aa 3213
na1
1h
同理有：
）（ lkh21h 2
）（ lkh21h 1
)eee(2aa 3212
)eee(2aa 3211
ldneakdnea 32,、hd?
dh1? dhnadhna 3322,、
neaeaead2 1 321 -
ldkdhdd2 1 -lkh21 -
d
na1
）（ lkh21h 3
）（ lkh21h 2
密勒指数与面指数的关系证明面心立方晶格：
证明,ldneakdneahdnea =?=?=?
321,、
dhnadhnadhna 332211 =?=?=,、
lk21
同理有：
）（ lk21h 1
)ee(2aa 132
）（ lh21h 2
）（ kh21h 3
)ee(2aa 321
)ee(2aa 213
）（ kh21h 3
）（ lh21h 2
ldkdd21
neaead21 32d na1
1h
倒 格 子一、倒格子基矢设某晶体结构 原胞基矢 为：
基矢为：,
)aa(a
aa2
321
32
）（ 13
321
13
2
×2
=
×?
×
2=
aa
)aa(a
aa
b
）（ 21
321
21
3
×2=
×?
×2= aa
)aa(a
aab
321 a,a,a
321 b,b,b
1b
）（ 32 aa2
则倒格子若 为原胞体积，有倒 格 子
1、简立方结构正格子基矢
a
2eb
33
22 eaa?
倒格子为,边长,为 的简单立方结构a?2
11 eaa?
33 eaa?
a
2eb
22
a
2eb
11
倒格子基矢倒 格 子
2、面心结构正格子基矢
）（ 3212 eeea2b -?
倒格子为,边长,为 体心立方结构
)ee(2aa 132
a
4
)ee(2aa 321
)ee(2aa 213
）（ 3211 eeea2b -?
）（ 3213 eeea2b -
倒格子基矢面心立方结构倒格子基矢
4/aaaa 3321
32 aa
同理可得,
32 bb
、
)ee(2aa 132
)ee(2aa 321
)ee(2aa 213
21132 eeee4a
3122 eee4a -
)aa(a
aa2
321
32
1b
32123 eee4a4/a 2 -?
321 eeea2 -?
）（ 32 aa2
倒 格 子
3,体心结构正格子基矢
）（ 312 eea2b)eee(2
aa
3212
-
倒格子为,边长,为 体心立方结构a?4
)eee(2aa 3211
)eee(2aa 3213 -
）（ 321 eea2b
）（ 213 eea2b
倒格子基矢体心立方结构倒格子基矢
)aa(a
aa2
321
32
2=?×= 3321 /aaaa?
32 aa
同理可得,32 bb、
)eee(2aa 3212 -
)eee(2aa 3211
)eee(2aa 3213 -
3212132 eeeeee4a --
1213232 eeeeee4a -
322 ee2a
）（ 32 aa2
3223 ee2a2/a 2
1b?
32 eea2
倒 格 子
4、这里定义的倒格子只由正格子原胞基矢确定，
我们定义的是某种布拉菲格子的倒格子，而与具体正格子空间中的晶体结构（是简单或复式格子）无关。
5、倒格子空间中,长度,单位的量纲为实空间长度量纲的倒数。这也是将之定义为倒格子的原因。
倒 格 子二、正、倒格子间的关系
1、正、倒格子之间基矢有如下关子关系：
证明：
）（
）（
ji0
ji2ba
ji
故有：
11 ba ( )
321 ×
2? aaa
321 aaa2 2?2?
21?ba
131 aa
2a
131 aaa2
0?
ji ba
）（
）（
ji0
ji2?
倒 格 子
2、以倒格子基矢为坐标，像正格子一样可以在倒格子空间得到倒格子格点的位置矢量即倒格矢为为包括零的整数设 分别为正、倒格子原胞体积，有：
证明,C)BA(B)CA(CBA=×× -
321 ′′′ hhh,、
*, /* 32= ）（
332211 ′+′+′= bhbhbhK
*
321 bbb
2113323 aaaaaa/2
21133231323 aaaaaaaaaa/2 -
2133 aaa/2
32?
倒 格 子
3、倒格矢 与面指数为 的晶面垂直即为晶面法线方向。
证明：如图，考虑 晶面族中最靠近原点 O的晶面 MNP，
显然有：
证毕 !
）（ 321 hhh
）（ 321 hhh
0=?++=? 3311332211321 ）（）（ h/ah/abhbhbhPMk hhh -
3
3
2
2
h
a
h
a -
）（）（ 3322332211 h/ah/abhbhbh -
332211 ++= bhbhbhk
2
2
h
aON?、
3
3
h
aOP?、
1
1
h
aOM?
PN
3
3
1
1
h
a
h
a -?PM、
( ) 22= - 0 PNk
321 hhh
hK
3a
O
P
2a
1a
N
M
倒 格 子
4、若正格矢：
倒格矢：
则：
l1,l2,l3,h1,h2,h3为整数，则 μ 也是整数反之，若一个矢量与正格矢的点积为,则这个矢量为倒格矢。
332211 ++= bhbhbhk
hl kR?
)alalal(R l 332211 ++=
2
）（
）（
ji0
ji2ba
ji
)bhbhbh()alalal( 332211332211
)hlhlhl(2 3322112?
倒 格 子
5、晶面族 的面间距为：
因为：
代表从原点到 的第 n个晶面上 任意 一点的矢 量,从原点到第 n个晶面的距离为,
则这个晶面的方程可为：
）（ 321 hhh
332211321 ++= bhbhbhK hhh
321
321
2=
hhh
hhh Kd
r ）（ 321 hhh
nd
321 hhhKr
）（
）（
ji0
ji2ba
ji
3h2h1hd
3h2h1h
3h2h1h
K
KOM?
3h2h1h
111211
1
1
K
bhbhbh
h
a
3h2h1hK
2
321
321
hhh
hhh
K
Kr?
321 hhh
K
n2
n2
hK
3a
O
P
2a
1a
N
M
11 h/a
倒 格 子因为，一般地，函数 可以展开为傅里叶级数：
、同样，将函数 展开为傅里叶级数：
由晶体的周期性所以则 故 为 的倒格矢即若一维晶格，周期为 a,则 为倒格矢（？）,
展开式表示为：
)r(V?
k rkie)k(V)r(V )Rr(V n
k )Rr(kin ne)k(V)Rr(V
)Rr(V)r(V n
k rkik )Rr(ki e)k(Ve)k(V0 nk Rkirki )1e(e)k(V n
1e nRki k? nR?
h
h
G
rKih e)K(V)r(V
2=? kR n?、
a
2?
xa2in
n
n eC)x(V)ax(V
rde)Rr(V1)k(V nkrkin ）（?
倒 格 子
7、对倒格子（矢）的理解
（ 1）倒格矢的几何意义倒格矢 与晶面族 (h1h2h3)有极密切的关系，
其方向是晶面族的公共法线方向,其大小与 (h1h2h3) 晶面族的面间距成反比。只要给出晶面族，可写出其法线方向。
（ 2）一个具有正格子周期的物理量，在正格子表述和在倒格子的表述之间遵从傅立叶变换的关系因为 f (x+2π) = f(x),
则 f (x) 可以展开为：
同样,f (x+a) = f(x),则以 a为周期的函数可以展开为：
321 hhhK
i n x
n n
eC)x(f ∑=
)ax(f )x(f xa2in
n
n eC
∑
倒 格 子总之，倒格子的概念非常重要。每个特定的晶格结构有两个点阵同它联系，一个是晶格点阵，一个是倒易点阵。晶体的衍射斑点是晶体倒易点阵的映像，
通过傅立叶变换即可由之得出晶体的实点阵结构。倒格子所在的空间，实际是波矢空间，也称傅立叶空间。由于常用波矢描述运动状态（如电子的运动或晶格振动状态）。故倒空间可理解为状态空间，而正格子空间为位置空间或坐标空间。倒空间的每一点都有一定的意义，而倒格点 有着特殊的重要性。321 hhhK
二维晶体结构一、理想的二维周期性结构二维晶体结构二、二维倒格子（ ）
1、二维晶列指数选取晶列中的一条直线，由其在基矢上的截距 出发，将约为互质整数，即得 。
2、倒格子基矢、倒格矢
3、正倒格子基矢间的关系：
）（ 21hh
21 aa、
2211 arar,
21
11 rr,
21 hh、
S/an2b 102 ）（
12 ba
21 aaS
2211 += bhbhK
矢量为垂直二维平面的单位0n
2a
1a
）方向的单位矢量（— 210 aan
S/na2b 021 ）（
22 ba
11 ba2?
0 21 ba
确定晶体结构的方法一、劳厄方程原点:O
条件为：发出的散射波干涉极大、由 PO
类比光的干涉（左图）
BO程差：
SRSR PP+?= 0-
）（ 0P SSR -
AO
）（ 0? SSR P -?m?
整数）波长、（ m?
叫劳厄方程）（?mSSR 0P -
一格点:P
射线束方向入射单色 x:S 0
射线束方向散射（出射） x:S
o
A
B
P
S?
0S
PR
确定晶体结构的方法二、布拉格公式即：
s i nd2 321 hhh
垂直即为一晶面与 321 hhhKM?
mSSR P =? 0）（ -
形三矢量组成一等腰三角
、、
321 hhh0
Knkk
0kk
m2 ）（ 0n kkR -
干涉极大：
S2k、00 S2k
引入波矢：
0kk - 321 hhhKn?
2k?、?s i nk2
n
此即布拉格反射公式
321 hhhKn
o
M
hKn
0k
k?
确定晶体结构的方法三、反射球以 方向的交点 为球心,为半径所画的球。
0kk
,C
2
P?P
C
o
C
k? 0k?
hK?
o
k?′
hK′?
P′
P
处一定有倒格点，不一定有正格点？
,处一定有倒格点处不一定有倒格点虚线为晶面位置？
确定晶体结构的方法倒格矢的始末端等反射球上格点都可为,PP ′
C
k? 0k?
hK?
o
k?′
hK′?
P′
P
故一定有倒格点。
方法,劳厄法、转动单晶法、粉末法（德拜法）。
与倒格矢垂直的虚线故为晶面位置 。
o
M
hKn
0k
k?
确定晶体结构的方法四、低能电子衍射（ LEED）决定表面结构射线：
德布罗意波波长：
电子：
质子：
p
h
x
≈
2
1)m e V2(
h
（表面）
（氢、碳）
eV
ch
V
12000≈ 千伏,40V? 埃,3.0
m2p2 eV
21)V150( 伏,1 0 0V? 纳米,1.0
2
1)m eV2(
h
21)V2 00 01 50(≈ 埃,1伏,1.0V?
确定晶体结构的方法五、扫描隧道显微术确定原子级表面结构习 题
1、图中的二维格子是简单布拉菲格子还是复式布拉菲格子？
习 题
1、解：
简单布拉菲格子复式布拉菲格子习 题
2,证明：如用等体积的硬球堆积成下列结构，求致密度分别为：
（ 1）简立方 ；
（ 2）面心立方 ;
（ 3）金刚石,
163?
6?
62?
1a?
正（立）方晶系致密度的求解步骤
1、根据密堆积的结构确定一个单胞中所含原子的数目 n。
2、找出密堆积时正方体单胞边长 与球形原子半径 R
的关系。
3、用 R表示出球的体积 与单胞的体积 。
4、带入公式：
a
0V V
致密度
V
Vn 0?
面心立方结构的致密度
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
R4?a2?a,R22
3a 3R216?
0V 2R34V、
致密度
V
Vn 0
3
3
R216
R3/44
6
2?
n=4
简立方结构的致密度
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
a
0V
致密度
R2
2R
3
4? 3a?V,38= R
V
Vn 0
3
3
R8
R3/4
6
1?
n=1
体心立方结构的致密度
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
、R4
0V
致密度
a3?a R
3
34
2R
3
4? V,3a? 3R
9
364?
V
Vn 0
3
3
R9/364
R3/42
）（
83?
n=2
金刚石结构的致密度
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
、R24?
致密度
a R
3
38?a3
V,3a 3R
9
3648
0V 2R
3
4?
3
3
R9/3648
R3/48
）（?
163?V
Vn 0?
n=8
习 题
3、如图若已知原胞的试求,（ 1）倒格子原胞基矢大小；
（ 2）正倒格子原胞的体积；
（ 3） 面的面间距。
解：（ 1）
。、；、,00030201 120=90==8=6=4=AaAaAa
）（ 210
1b?
1
132 211=904×8×396
2=×2= -)(.s i naab
1
213 790=1206×4×396
2=×2= -)(.s i naab
321 aaa1 2 0s i n864 3396= ）（
908×6×
396
2= s i n? 1821= -)(,
32 aa
2
2a?1a
3a?
2a
1a
3a
1b
2b
3b
060
（ 2）正格子原胞体积：
（ 3） 面的面间距
2a?1a
3a?
*?
）（ 210
3h2h1hK
2?
3h2h1hK
41=,
321 aaa1 2 0c o s864 3396= ）（
32 3491= -)(,
3h2h1hd
3h2h1hK
2
3h2h1hd
21 bb2
60c o sbb4bb2 212221
)/(,154=
2a
1a
3a
1b
2b
3b
060
习 题
4、
习 题
5.立方体的对称操作
a.不动
b.绕 3个 [100]转
π/2,π,3π/2
c.绕 6个 [110]转 π
d.绕 4个 [111]转 2π/3,4π/3
24个纯旋转操作，每个加中心反演，共 48个 (Oh)
6、在自然界中，大多数固体都以晶态存在，为什么面指数简单的晶面往往暴露在外表面上？
3 64
1个
9个
6个
8个
[100] [111] [110]
