第五章 固体的机械性质
固体的结合类型
晶体的结合能
晶体的缺陷
热缺陷的统计数目
点缺陷的扩散运动
点缺陷的漂移运动
晶体的弹性
范性形变和滑移固体的结合类型原子间的相互作用叫键，这种相互作用有吸引力和排斥力，形成稳定晶体结构时是两者的平衡。
固体的结合主要是通过化学键。化学键有 3种即离子键、共价键和金属键。相应的晶体称离子晶体、共价晶体、金属晶体。还有一种晶体不是化学键结合，如惰性气体，在极低温度下变成固体，是靠范得瓦尔斯力结合
（ Van de Weatts）。除以上四种结合外，还有氢键结合，
这是比较特殊力，是一个氢原子与两个非金属原子结合时形成，对有机物很重要,它界于共价键与范得瓦尔斯结合之间。
实际晶体的结合情况比较复杂，有的是以上几种作用的结合。
固体的结合类型一、离子晶体
1、一般特点形成晶体的原子，一种失去电子，形成正离子，另外一种得到电子，形成负离子，正负离子之间靠库仑相互作用结合到一起，当正负离子靠近,两离子的电子云重叠时,就会产生斥力。周期表中 I— VII族（碱金属 — 卤族）和 II— VI元素主要以这种方式结合。
2、结构特点从力的特点可知：其近邻一定是异性离子，如 NaCl,CsCl，
因此不能出现密堆积（ 12个近邻），最近邻的个数为 8,6。
3、物理特性因为库仑相互作用是强相互作用，所以结合形成的晶体稳定、
硬度比较大、熔点比较高、热膨胀系数小、导电性差。
固体的结合类型二、原子晶体（共价晶体）
1、共价键两个原子各贡献一个外层电子作为共有电子，共有电子的自旋方向相反，这种状态形成的化学键称共价键。 共价键的计算比较复杂，但完全是量子力学概念，经典模型不能解释同种电荷会在两原子之间，因为同种电荷相斥。
典型的是 IV元素 C,Si,Ge,Sn以共价键结合。
2、饱和性和方向性原子同其它原子形成共价键时，形成共价键的数目有一个最大值，取决于未配对的电子数目。
饱和性：
固体的结合类型键 — 键之间的键角是固定的，如金刚石键角为 109.80度。电子云交叠形成共价键，电子云的分布有一定的方向性，如 s态电子云为球形,P态的为哑铃状，形成共价键一定在电子云密度大的方向上形成离子的满壳层,电子云交叠使得有的态电子能量升高，有的降低，自旋相反的电子交叠时能量更低。
３、共价晶体的物理特性共价键也是结合比较强的键，形成的晶体硬度高、
不易劈裂、熔点高、导电性差，不是半导体就是绝缘体。
方向性：
固体的结合类型三、金属晶体
1、一般特点原子外层电子部分或全部失掉,这时，晶体变为,原子实（内层电子 +原子核） +自由电子气系统。
2、结构特点总趋向于密堆积模型 — 立方密排（ Cu,Ag,Au）和六角密排（ Mg,Zn,Cd)或体心立方（碱金属）
3、物理特性由于存在自由电子，金属晶体导热、导电性良好；结构上无特殊要求，因此易产生缺陷、具有范性，易于加工成丝、
带、片等形状；易于形成合金。原子之间倾向于结合形成晶体，
材料具有一定硬度。
固体的结合类型四、分子晶体
1、范德瓦尔斯力（ Van de Veals）
是一种普遍存在的微弱作用力，在其它键中忽略了，在惰性元素结合时突出出来，不是化学键，而是较弱的静电力。典型的分子晶体有 CO2,SO2,HCl,H2,Cl及惰性气体在低温下形成的晶体。
2、结合力的来源电偶极距之间的相互吸引。 对极性分子可理解为其固有极矩的静电相互作用。对一个极性、一个非极性分子也可以理解即极性产生电场，非极性分子在电场中极化。若为惰性气体原子，则只能是瞬时电偶极矩的作用,，可以理解为对时间平均后，电偶极矩为 0,但瞬时不为 0，有吸引和排斥，引力是一种能量降低的状态，总的表现为引力。
固体的结合类型
3、结合力特征
（ 1）是吸引力，作用距离为几个埃
（ 2）键没有方向性和饱和性
（ 3）具有立方密积结构
4、分子晶体的物性熔点低、硬度小，这是由于范德瓦尔斯键弱的结果。 He,Ne,Ar晶体的熔点分别为,-272,-248、
-189摄氏度。
固体的结合类型五、氢键氢原子中只有一个电子，且第一电离能特别大，为
13.6eV（ Li 5.39eV,Na 5.14eV,K 4.34eV)，难以形成离子键。同时，氢原子核很小，当唯一的电子与其它电负性大的原子形成共价键后，氢核就暴露在外了，该氢核还可以通过库仑力与另一个电负性较大的原子（ F,O,N）相结合。
一个氢原子可以同时与两个电负性较大的原子相结合，形成一个强的共价键和一个弱的离子键，这就是氢键；可以表示为 X-H… Y。氢键具有饱和性，比范氏键强。
冰（ H2O）是一种氢键晶体，氢原子不仅与一个氧原子形成共价键，而且，还与另一个氧原子有库仑相互作用，但结合较弱、键较长；氧原子本身组成一个四面体。铁电材料磷酸二氢钾（ KH2PO4）也具有氢键结构。
固体的结合类型水分子中的氢可视为粘附于 O 上的裸露质子，
由于其会吸引另一个水分子中的 O,而使两个水分子中的氧离子束缚在一起。
2-
2-
晶体的结合能一、晶体的结合能和内能 （ binding energy,
cohesive energy）
1、概念分散原子结合成晶体放出的能量。
由于原子结合起来要放出能量，结合能 W是正值。
以原子分散时的能量为零点能，则晶体内能
U = -W,故求晶体的结合能转化为求晶体的内能。
r0 rm
结合能：
内能：
晶体的结合能
2、内能函数的一般特征两原子之间的作用力 f 如图：平衡时
f = 0,r0是平衡点，左边斥力为主，右边引力为主,r0决定了晶格常数
（原子的最近邻距离），
rm 是原子间最大距离，
决定了晶体的抗张强度。
r <rm，引力变大。
r0 rm
晶体的结合能若已知晶体的结合能 U就可以计算许多表征晶体特性的物理量。反之，实验得出晶体特性的物理量，可得 U。
1、晶格常数平衡时结合能为极小值，即：
0r，即可解出晶格常数 0
r
rU
0rr
）（
晶体的结合能
2、体积弹性模量体积弹性模量—,K
V
UP
-?、
V
UP
-?，
）（）（
0
02
2
=
0 V
VV
V
UP
V
-
02
2
=
0
VV UK V）（
V
VKP?-?
VP?，在没有热传递时 U?-?
在平衡点展开将 P VV UVU
00 V2
2
V?）（）（?
-
-
:V 量有很小时，只考虑一阶小当?
晶体的结合能
3、抗张强度晶体断裂的临界点为外力等于晶体最大吸引力时，这时原子间的距离,晶体的体积为 。
我们把压强,叫抗张强度，它表明晶体所能负荷的最大张力。
mrr = mV
mVm V
UP ）（
- =
mV、得
mVm V
UP ）（代入
-?
UVP -=
:由极大条件 ）（
2
2
V
U
0?=
V
P
-
mP可求得
V
UP
-=、
晶体的结合能二、晶体结合能的计算设晶体由 N个原子组成,是晶体中两个原子 i和 j的互作用能，则第 i个原子与其它所有原子的互作用能为：
近似认为各原子与所有其它各原子间的互作用能相同，因而晶体的总作用能为：
）（ ijru
∑
N
j
iji ruu
′
1=
= ）（
∑ N
1j
ijruN2
1?
）（iNu21?U
ijN =′表示求和不包含、
晶体的结合能三、离子晶体的结合能玻恩、马德隆等提出，近似地把离子晶体的结合能记为：
第一项为引力项（离子异号取正），第二项为斥力项,N为晶体原子（离子）个数。
∑ -
N
j
n
jj
]
r
b
r
e[NrU ′
110
2
4±2=）（
晶体的结合能
∑ ∑--
N
j
N
j j
nn
j
]a bra[reNU
′ ′
0
2 11
±42=
rar jj1?令：
∑ -
N
j
n
jj
]r bre[NrU
′
110
2
4±2=）（
为晶格参量、,Bn
晶体作用能,）（ n
0
2
r
B
r4
e
2
NU --
∑ N
j j
na
bB
∑
N
j ja
1 体几何结构有关叫马德隆常数、仅与晶
—原子间最小距离—r
晶体的结合能
1、内能函数中参数 B和 n的确定
（ 1）由 得：
（ 2）由体弹性模量求 n
0=
0= rrr
U
1
0
0
2
4
= -nr
n
e
B
0=2
2
)(V=K rrV U
）（ nrBreNU --
0
2
42=
晶体的结合能
2、以 NaCl为例，
0=2
2
)(V=K rrV U
3Nr=V
V
r
r
U
V
U
=
0=2
2
+ rrV rrU
0=
0= rrr
U
]
r
nB
r
e[N
r
U
nrr 1+
0
2
00
2
= +42= 0
--
其中：
）（ nrBreNU --
0
2
42=
1
0
0
2
4=
-nr
n
eB
0=2
2
rrV
U
0=2
2
= rr]rUVr[Vr
晶体的结合能
]r B)n(nre[Nr U nrr 2+
0
3
00
2
=2
2 1+
4
2
2= 0 --?
4
00
2
r18
1
4
e)n(
1-
Ker 2 0
4
0 418+1=n
]rnBre[NrU nrr 1+
0
2
00
2
= +42= 0
--
2
0= 3=0 Nrr
V
rr?
0rr2
2
2
2
o
3
0 r
U)
Nr3
1(Nr
0rr2
2
)V U(VK
晶体的结合能
3、由实验测得晶格常数和体弹性模量，就可以确定斥力中的参数，同时计算出马德隆常数，从而得到晶体的作用能。
晶体的马德隆常数：
NaCl,CsCl,ZnS（闪锌矿） 1.7476 1.7627 1.6381
）（ nrBreNU --
0
2
42=
晶体的结合能四、分子晶体的结合能
1、分子晶体的结合能公式吸引势（范氏作用）
两原子的相互作用势为：
此即著名的 Lennard-Jones(雷纳德 — 琼斯 )势,
6= r
Au
吸 12= rBu 斥
126 += r
B
r
A)r(u -
、])r()r[()r(u 6124= - BA =4=4 126,其中，
排斥势（电子云重叠效应）
晶体的结合能
2、对于惰性气体元素,N个原子组成的晶体结合能的总和：
其中 r为近邻原子之间的距离,A12和 A６由晶体结构唯一确定。参数 ε,σ 仍由实验确定近邻原子距离和体变模量,通过内能函数确定。
])r()r[()r(u
jjj
' 612
1 42
1= -∑ rar jj =
])r(A)r(A)[4(N21 661212 -?
6
N
ij j
6 a
1A ）（,∑
≠
U )r(Nu
1 ])r(a
1)
r(a
1)[4(N
2
1 6
6
jj
'12
12
jj
' ∑∑ -?
2
N
ij j
12 a
1A ）（∑
≠
晶体的缺陷晶体的微观特征是组成晶体的原子或分子在空间周期性的排列，但实际的晶体中总是存在着杂质、空位等偏离周期性结构的情况，这些偏离晶体周期性结构的情况都称为晶体中的缺陷，对晶体的许多重要性质有着极大的关系。不同导电类型的半导体，正是有意掺入了不同的杂质而得到的；一些发光材料中的某些杂质缺陷，会降低或提高发光效率，在 III-
V族化合物半导体 GaP中掺入等电子杂质 N，可以显著地提高 GaP的发光效率；在纯铁中掺入适量的碳，铁就变成了钢；在白宝石
（刚玉）中掺入微量的铬，白宝石就变成了红宝石；等等。
晶体中的缺陷，按缺陷的大小可以分为点缺陷、线缺陷和面缺陷。
晶体的缺陷 。
晶体的缺陷一、晶体缺陷的主要类型约占一个或几个原子尺寸范围，包括空位、
填隙原子、杂质原子等都属于点缺陷。
空位是晶体中失去了一个原子、在原来的原子位置留下空缺的缺陷。
如果在一个晶格中，有额外的原子占据正常格点位置之间的位置，使晶格产生畸变，这种缺陷称为间隙原子。
如果把完整晶体中的一个原子，搬移到晶体表面上，晶体内部就产生了一个空位即肖特基缺陷。
（一）点缺陷：
1、空位：
填隙原子,
（ 1）肖特基缺陷：
晶体的缺陷如果一个间隙原子和一个空位同时产生在邻近的地方，则这种间隙原子 —— 空位对称为弗仑克尔缺陷。
肖特基缺陷和弗仑克尔缺陷其密度决定于温度，
在热平衡时具有确定的密度，故通常又被称为：
（ 2）弗仑克尔缺陷：
热缺陷。
晶体的缺陷从电中性的要求，离子晶体中若产生了一个组分的空位，如负离子空位，则有一个电子局域于负离子空位；负离子空位和其中的电子，构成了一个类氢原子；与氢原子核外的电子有一系列的原子能级类似，负离子空位中的电子也有这样一组能级。这些允许的能级之间的间距与可见光谱中的光子能量相当，当相应的光子在缺陷处被吸收时，晶体好像被染了颜色一样。这种缺陷就是色心。
2、色心：
晶体的缺陷在许多情况下，当晶体被加热时，能使缺陷扩散开，逐渐使晶体得到恢复，于是，晶体又失掉了它的颜色。
一种研究得最多的色心称为 F心 ；它是使一种碱卤晶体在碱金属蒸汽中加热，然后很快地淬火，就能产生单负离子空位，就是 F心；晶体中产生色心缺陷的同时，使碱卤晶体着色。例如,NaCl晶体中的 F心在可见光谱的蓝端产生吸收带，
NaCl晶体就会变成黄色或黄棕色。
相邻两个 F心构成 M心,相邻三个 F心构成 R心晶体的缺陷晶体中与基质原子不同的原子称为杂质原子。根据杂质原子在晶体中的位置，杂质原子可分为替位杂质和间隙杂质；根据半导体中杂质原子对载流子的影响，半导体中的杂质原子可分为施主杂质、受主杂质、等电子杂质等。
3、杂质原子：
晶体的缺陷
（二）线缺陷当晶体内沿某一条线附近的原子排列与完整晶格不同时就形成线缺陷，
包括棱位错和螺型位错两种。
单纯从几何结构上看，
棱位错好像是在正常的晶体当中插进半个原子面，恰似一把刀插在晶体中，
EF是位错线。
1、棱位错：
晶体的缺陷在这种位错中，没有多余的半晶面；
而是使晶体原来 的无数多个平行晶面变成为一个螺旋面。如图位错线为 AD。
2、螺型位错：
晶体的缺陷
（三） 面缺陷及其它缺陷如在面心立方结构中，密堆面按
ABCABC… 顺序排列起来而形成的；如果这个顺序出了错，原来应该是 A层的排列，现在由 B层来替代，
于是，原子层排列成为 ABC|BC ABCABC…,其中 C、
B之间的竖直线表示这里的层次配置发生了错排。
这种原子排列的层次配置发生的错排，称为堆垛层错，简称层错。
1、堆垛层错：
晶体的缺陷实际的一块晶体材料，通常都不是一块理想的单晶，而是由若干个晶粒组成，晶粒的晶向彼此杂乱。显然，晶粒之间的界面是一种晶体缺陷。有一种特殊情况，就是相邻晶粒的晶向很接近，晶向之间的夹角很小，这种小角度的晶粒边界称为小角晶界。小角晶界可以看成是由一些刃位错排列而成的。
2、小角晶界：
热缺陷的统计数目在一定温度下，热缺陷是处在不断的产生和消失的过程，填隙原子进入空位叫 热缺陷的复合 。热缺陷的产生和复合从而形成缺陷的运动。在一定温度下，产生和复合的缺陷数目会达到平衡，从而使热缺陷数目保持不变。
一,空位 的平衡浓度空位可以在所有晶体中存在，在一定温度下（等温过程），它们在热力学上是稳定的；在等温过程中系统做功等于系统自由能（ ）的减少。由于空位的产生，晶体的内能要增加，同时由于空位在晶体中的无序分布，晶体的熵也会增加，因而导致晶体自由能的变化。空位的平衡浓度由晶体自由能的极小值条件来确定。
TSUF -=
热缺陷的统计数目在热力学上，一定温度 下晶体的自由能和内能为：
对于有 个原子的简单晶体，当晶体中有 个空位时，格点位形的微观状态数即 个空位在晶体的个格点上的分布方式数为：
nNC
T
TSUF -=
晶体内能—U 系统的熵—S
能量形成一个空位所需要的—SE 空位数—n
完整晶体的内能—0U
SnEUU += 0
晶体自由能—F
N
N
n
n
W
！）！（
！
NnN
N
-?
热缺陷的统计数目熵的增加为：
这时，自由能为：
晶体在一定温度 平衡时，自由能为极小，由此可以得到平衡时的空位浓度 。自由能极小的条件为：
!n)!nN(
!Nlnk
B -?
WlnTknEU BS0 -?
]!nln)!nNl n (!N[ l nTknEU BS ----+= 0
T
0n
0?
WlnkB?S
F
0nnBS |]!nln)!nNl n([nTkE ---?
-
0nn
|nF
热缺陷的统计数目利用斯特令公式即当 很大时，
有,
晶体中空位的数目总是比格点的数目少得多，
即,记 为,则一定温度 下，平衡晶体中的空位浓度为：
x xxlnx!xln -=
xlndx !xlnd =
Nn <<0 0n n
Tk/E BSNen -≈
T
SE?
0
0
n
nNlnTkE
BS
-- =
0= nnBS
|]!nln)!nNl n([nTkE ----
n
NlnTk
B≈n
nNlnTk
B
-
热缺陷的统计数目在任意有限温度 下，晶体中总是存在着一定浓度的空位，这是晶体平衡时自由能取极小值的必然结果；换句话说，无缺陷的理想晶体是不存在的。
T
热缺陷的统计数目二、离子晶体中 空位对 的平衡浓度离子晶体中，正离子空位和负离子空位通常是成对产生的。对于有 个基元即 对正负离子组成的离子晶体，设一对正负离子空位的形成能为,晶体中含有 对空位时，内能将由完整晶体的内能 增加为：
个正、负离子空位在 个正、负离子格点上的分布方式数分别为：
N
NN
pE
0U
p0 nEUU
n
!n)!nN(
!NW
-=+ !n)!nN(
!NW
N
热缺陷的统计数目则 对正负离子空位在晶体中 对格点上分布的微观状态数为：
可以得到温度 时，离子晶体中的平衡空位浓度为：
n N
2]
!n)!nN(
!N[
-?
Tk/E BpNen 2= -
T
WlnTknEUF BS -+= 0
WWW
热缺陷的统计数目三、晶体中空位和间隙原子对的平衡浓度令 表示形成一对空位和间隙原子所需要的能量，称为弗仑克尔缺陷形成能，则晶体中含有对弗仑克尔缺陷时，内能将增加为：
可以得到温度 时，弗仑克尔缺陷浓度为：
其中 是晶体格点数,是晶体的间隙数。
由于晶体格点数与间隙数相同，则：
FnEUU += 0n
T
Tk/E/i BFe)NN(n 221= -
N iN
Tk/E BFNen 2= -
（详细推导见习题）
FE
晶体的弹性一、晶体的胡克定律当对固体材料施加一定的机械应力时，材料将发生形变。若外力在弹性限度之内，当外力撤消后晶体形变消除，晶体材料外形恢复原状，则材料这样的形变叫弹性形变。
与弹性形变相反，当对固体材料施加一定的机械应力时，若外力超过弹性限度，外力撤消后晶体的形变不会消除，晶体材料外形不能恢复原状，材料这样的形变叫塑性形变。
在弹性限度内，晶体材料的形变与外加应力成比例的规律叫胡克定律。
1、弹性形变：
2、塑性形变：
3、胡克定律：
晶体的弹性对于简单的直线状材料，由胡克定律有：
对于施加在长方体的一对平行平面上的引起切变的切应力，由胡克定律有：
E=
—外加拉伸应力—S/F=?
—外力—F
—横截面积—S
—杨氏模量—E
G=
—切变角—?
—切应力—?
—切变模量—G
4、杨氏模量：
5、切变模量：
晶体的弹性二、晶体的弹性模量对于一般的固体材料，通常须考虑纵向应变和切应变，也就是说晶体的弹性由材料的杨氏模量和切变模量表征。
由于晶体的周期性排列，其在各个轴向格点排列周期可能不同，因此，晶体材料沿不同轴向或不同对应面的杨氏模量和切变模量可能不同。
也就是说晶体的弹性需用一个张量来表示，这个量就是晶体的弹性模量。
范性形变和滑移一、范性形变晶体受到的应力超过弹性限度后，晶体中发生的永久性形变叫范性形变。
晶体具有的范性形变的性质叫晶体的塑性。
如，金属与合金具就有很好的塑性，因此，它们可以被压成片或挤拉成丝。我们把能发生范性形变的材料叫塑性材料。
1、范性形变：
2、塑性：
范性形变和滑移
（ 1）弹性阶段图中 O— 1段，变化规律满足胡克定律。
（ 2）屈服阶段图中 2— 3段，应变继续发生，但应力不明显变化。
（ 3）强化阶段图中 3— 4段，应变随应力增加，达到强度极限。
（ 4）颈缩阶段图中 4以后，试件发生局部截面收缩，在 5处断裂。
应力形变
3、塑性材料的形变过程：
范性形变和滑移
4、冷作硬化当从强化阶段中的某一位置开始逐渐撤消外力（卸载），则应变与应力的关系将按 AO1变化，
AO1近似平行于 O1，即卸载后范性形变 OO1保留，而弹性形变
O1O2消失。如果重新施加应力则曲线将按 O1A45变化，可见比例极限明显增加，此现象叫冷作硬化，冷作硬化使材料塑性降低，而脆性增加。反复弯曲铁丝最后令其折断就是利用冷作硬化现象。
应力形变范性形变和滑移二、滑移当晶体受到弯曲或拉长时晶体各部分沿某族晶面发生的相对移动。
滑移面滑移线
1、滑移并不是到处都能发生，
而是发生在内应力大的部分。
没有发生滑移的地方，晶体保持原状。
2、范性形变是滑移的结果。
滑 移 与 位 错晶体的范性形变，本质上是晶面的滑移。当外加应力大于一定的临界切应力时，晶体的不同部分将沿某一晶面发生相对移动，即滑移；滑移了一个原子间距之后，晶体滑移面上的原子就进入了新的平衡位置；这时，在撤去外力后，形变便不会恢复。
滑 移 与 位 错最早的滑移理论是,同时滑移理论,,认为在一个均匀应变的晶体中，滑移面上部的原子刚性地整体滑动，
即滑移面上部的所有原子同时发生滑移。但是，这种理论估计的临界切应力比实际发生滑移的切应力大了 4～ 5
个数量级。与实验符合较好的是滑移的位错模型，或称为逐步滑移理论，在应力作用下，部分晶体滑移产生刃位错，由于位错线上的原子受到两边原子的作用力大小相当，因此只需较小的切应力就可以使位错线继续移动，从而较小的切应力就可以完成滑移。
滑 移 与 位 错逐步滑移理论，位错模型,
习 题
1,N个基元构成的钠晶体、铜晶体和金刚石晶体，
其相邻两原子之间的相互作用能分别为,
和,只计最近邻相互作用，分别求出钠晶体、
铜晶体和金刚石晶体总的相互作用能,
和 。
分析各晶体的配位数。
1U 2U
3U
01E 02E
03E
要点：
习 题解：
1NU4?
2NU6?
303 4=∴ NUE
正四面体：金刚石最近邻原子组成
12配位数为铜为面心立方结构、
=∴ 02E 2U12
2
N
8、配位数钠为体心立方结构
01∴ E 1U82
N
习 题
2、证明正负相间等距排列的一维双离子链的马德隆常数为 。
解：
22= ln?
∑ -
n
n
n
)(' 1+12=? )(+
4
1
3
1+
2
11×2= --
22= ln?所以：
∑ N
j ja
′ 1
±=?
( )++1==+1 1 32
0=
xxxxx
n
n
---∑
∞
又，
( )-∫ 320 31+21=+1=+1 1 xxxxlndxxx
( )+4131+211=2=1+11= -lnlnx,当习 题
3、求正负相间等距排列的一维双离子链的马德隆常数 。（精确到次次次近邻离子）?
O
Y
X
习 题解：
最近邻离子四个：
次近邻离子四个：
次次近邻离子四个：
次次次近邻离子四八个：
∑ --
321
321
212
3
2
2
2
1
++
++
1=
nnn
/
nnn
)nnn(
)('?∑ N
j ja
′ 1
±=? ∑ --
321
21
212
2
2
1
+
+
1=
nnn
/
nn
)nn(
)('?
( )01±,( )1±0、
( )1±1±,
( )02±,( )2±0、
8.2
5
2
2
1
2
1
14
5
1
8
2
1
4
2
1
414
)nn(
)1(
'
321
21
nnn
2/12
2
2
1
nn
( )1±2±,( )2±1±,
O
Y
X
习 题
4、由 N个分子组成的某离子晶体，离子之间的相互作用势能表示为：,其中 是马德隆常数,和 是与 无关的常数。
证明,设平衡离子间距为,则平衡时的相互作用势能可以表示为：
)rRre(NU p+=
2?
-?
R p r
a
a
e
p
pNU 21=?--
习 题解,)
r
R
r
e(NU
p+=
2?
-?
0?
p
aeR p 12= -∴?
（得证）
arr
U
∴
ar
1p2
2
)rpRre(N
-
arU )
pa
ae
a
e(N
p
1p22?
p
11
a
eN 2?
a
e
p
1pN 2
习 题
5、有一晶体在平衡时的体积为,原子间的作用能为 。如果原子间的互作用能由下式给出：
试证明体积弹性模量为：
0
0 9= V
mnUk
0V
0U
n
ij
m
ij rr
)r(u += -
习 题解：设晶体有 N个原子（离子），离子间的最小距离为 r。则晶体的内能可写为：
晶体的体积为：,在平衡位置出处：
体积弹性模量为：
n
0r
nD?
3Nr=V
0=2
2
)(V= rrVU
)rDrC(2N nm -
)rDrC(2N n
0
m
0
-
)rr(2N n
j1j
m
j1
∑ -)r(U
0rrr
U
）（
1n
0
1m
0 r
nD
r
mC
2
N
-
0?
m
0r
mC
)r(U 0
习 题下面求 。
0r=r
2
2
V
U
）（ 3n
0
3m
0 r
nD
r
mC
6
1
-
2
0= 3=0 Nrr
V
rr?
0rrV
U
0rrV
r
r
U
]rmC2N[Nr3 1 1n
0
1m
0
2
0
）（ -
0rr2
2
V
U
0rr
3n3m V
r
r
nD
r
mC
r6
1
）（
4n
0
4m
00 r
D3nn
r
C3mm
Nr18
1
具体地，
习 题
n
0
m
0 r
nD
r
mC?
)rDrC(2N)r(U n
0
m
0
0
0rr2
2
V
UV
）（
4n
0
4m
00
3
0
r
D3nn
r
C3mm
Nr18
Nr
n
0
m
0
n
0
2
m
0
2
3
0 r
nD
r
mC3
r
Dn
r
Cm
r18
1
m
0
n
00
n
0
2
m
0
2
0 r
mCn
r
nDm
2
N
V9
10
r
Dn
r
Cm
2
N
V9
1
0
0
UV9mn? 证毕习 题
6、证明,令 表示形成一对空位和间隙原子所需要的能量，称为弗仑克尔缺陷形成能，则晶体中含有 对弗仑克尔缺陷时，内能将增加为：
可以得到温度 时，弗仑克尔缺陷浓度为：
其中 是晶体格点数,是晶体的间隙数。
考虑到晶体格点数与间隙数相同，则：
FnEUU += 0
n
T
Tk/E/i BFe)NN(n 221= -
N iN
Tk/E BFNen 2= -
FE
习 题格点位形的微观状态数即 个空位在晶体的个格点上的分布方式数为：
同样,个间隙原子在晶体的 个间隙上的分布方式数为：
形成 对空位和间隙原子对的分布方式数为：
!n)!nN(
!NW
-=1
!n)!nN(
!NW
i
i
-=2
]!n)!nN( !N][!n)!nN( !N[
i
i
--?
WlnTknEUF BF -+= 0
N
n
n iN
n
W 21WW
6、解：
习 题晶体的自由能为：
WlnTknEUF BF -+= 0
0nniBF |]!nln)!nNl n(!nln)!nNl n([nTkE?------?
-
Tk/E/i BFe)NN(n 221≈
Tk2/E BFNen -?
xxlnx!xln -=
xlndx !xlnd =
iNN?
0?
02
0i0
BF n
)nN)(nN(lnTkE ---?
nF
各章要求晶体的自由能为：
固体的结合类型
晶体的结合能
晶体的缺陷
热缺陷的统计数目
点缺陷的扩散运动
点缺陷的漂移运动
晶体的弹性
范性形变和滑移固体的结合类型原子间的相互作用叫键，这种相互作用有吸引力和排斥力，形成稳定晶体结构时是两者的平衡。
固体的结合主要是通过化学键。化学键有 3种即离子键、共价键和金属键。相应的晶体称离子晶体、共价晶体、金属晶体。还有一种晶体不是化学键结合，如惰性气体，在极低温度下变成固体，是靠范得瓦尔斯力结合
（ Van de Weatts）。除以上四种结合外，还有氢键结合，
这是比较特殊力，是一个氢原子与两个非金属原子结合时形成，对有机物很重要,它界于共价键与范得瓦尔斯结合之间。
实际晶体的结合情况比较复杂，有的是以上几种作用的结合。
固体的结合类型一、离子晶体
1、一般特点形成晶体的原子，一种失去电子，形成正离子，另外一种得到电子，形成负离子，正负离子之间靠库仑相互作用结合到一起，当正负离子靠近,两离子的电子云重叠时,就会产生斥力。周期表中 I— VII族（碱金属 — 卤族）和 II— VI元素主要以这种方式结合。
2、结构特点从力的特点可知：其近邻一定是异性离子，如 NaCl,CsCl，
因此不能出现密堆积（ 12个近邻），最近邻的个数为 8,6。
3、物理特性因为库仑相互作用是强相互作用，所以结合形成的晶体稳定、
硬度比较大、熔点比较高、热膨胀系数小、导电性差。
固体的结合类型二、原子晶体（共价晶体）
1、共价键两个原子各贡献一个外层电子作为共有电子，共有电子的自旋方向相反，这种状态形成的化学键称共价键。 共价键的计算比较复杂，但完全是量子力学概念，经典模型不能解释同种电荷会在两原子之间，因为同种电荷相斥。
典型的是 IV元素 C,Si,Ge,Sn以共价键结合。
2、饱和性和方向性原子同其它原子形成共价键时，形成共价键的数目有一个最大值，取决于未配对的电子数目。
饱和性：
固体的结合类型键 — 键之间的键角是固定的，如金刚石键角为 109.80度。电子云交叠形成共价键，电子云的分布有一定的方向性，如 s态电子云为球形,P态的为哑铃状，形成共价键一定在电子云密度大的方向上形成离子的满壳层,电子云交叠使得有的态电子能量升高，有的降低，自旋相反的电子交叠时能量更低。
３、共价晶体的物理特性共价键也是结合比较强的键，形成的晶体硬度高、
不易劈裂、熔点高、导电性差，不是半导体就是绝缘体。
方向性：
固体的结合类型三、金属晶体
1、一般特点原子外层电子部分或全部失掉,这时，晶体变为,原子实（内层电子 +原子核） +自由电子气系统。
2、结构特点总趋向于密堆积模型 — 立方密排（ Cu,Ag,Au）和六角密排（ Mg,Zn,Cd)或体心立方（碱金属）
3、物理特性由于存在自由电子，金属晶体导热、导电性良好；结构上无特殊要求，因此易产生缺陷、具有范性，易于加工成丝、
带、片等形状；易于形成合金。原子之间倾向于结合形成晶体，
材料具有一定硬度。
固体的结合类型四、分子晶体
1、范德瓦尔斯力（ Van de Veals）
是一种普遍存在的微弱作用力，在其它键中忽略了，在惰性元素结合时突出出来，不是化学键，而是较弱的静电力。典型的分子晶体有 CO2,SO2,HCl,H2,Cl及惰性气体在低温下形成的晶体。
2、结合力的来源电偶极距之间的相互吸引。 对极性分子可理解为其固有极矩的静电相互作用。对一个极性、一个非极性分子也可以理解即极性产生电场，非极性分子在电场中极化。若为惰性气体原子，则只能是瞬时电偶极矩的作用,，可以理解为对时间平均后，电偶极矩为 0,但瞬时不为 0，有吸引和排斥，引力是一种能量降低的状态，总的表现为引力。
固体的结合类型
3、结合力特征
（ 1）是吸引力，作用距离为几个埃
（ 2）键没有方向性和饱和性
（ 3）具有立方密积结构
4、分子晶体的物性熔点低、硬度小，这是由于范德瓦尔斯键弱的结果。 He,Ne,Ar晶体的熔点分别为,-272,-248、
-189摄氏度。
固体的结合类型五、氢键氢原子中只有一个电子，且第一电离能特别大，为
13.6eV（ Li 5.39eV,Na 5.14eV,K 4.34eV)，难以形成离子键。同时，氢原子核很小，当唯一的电子与其它电负性大的原子形成共价键后，氢核就暴露在外了，该氢核还可以通过库仑力与另一个电负性较大的原子（ F,O,N）相结合。
一个氢原子可以同时与两个电负性较大的原子相结合，形成一个强的共价键和一个弱的离子键，这就是氢键；可以表示为 X-H… Y。氢键具有饱和性，比范氏键强。
冰（ H2O）是一种氢键晶体，氢原子不仅与一个氧原子形成共价键，而且，还与另一个氧原子有库仑相互作用，但结合较弱、键较长；氧原子本身组成一个四面体。铁电材料磷酸二氢钾（ KH2PO4）也具有氢键结构。
固体的结合类型水分子中的氢可视为粘附于 O 上的裸露质子，
由于其会吸引另一个水分子中的 O,而使两个水分子中的氧离子束缚在一起。
2-
2-
晶体的结合能一、晶体的结合能和内能 （ binding energy,
cohesive energy）
1、概念分散原子结合成晶体放出的能量。
由于原子结合起来要放出能量，结合能 W是正值。
以原子分散时的能量为零点能，则晶体内能
U = -W,故求晶体的结合能转化为求晶体的内能。
r0 rm
结合能：
内能：
晶体的结合能
2、内能函数的一般特征两原子之间的作用力 f 如图：平衡时
f = 0,r0是平衡点，左边斥力为主，右边引力为主,r0决定了晶格常数
（原子的最近邻距离），
rm 是原子间最大距离，
决定了晶体的抗张强度。
r <rm，引力变大。
r0 rm
晶体的结合能若已知晶体的结合能 U就可以计算许多表征晶体特性的物理量。反之，实验得出晶体特性的物理量，可得 U。
1、晶格常数平衡时结合能为极小值，即：
0r，即可解出晶格常数 0
r
rU
0rr
）（
晶体的结合能
2、体积弹性模量体积弹性模量—,K
V
UP
-?、
V
UP
-?，
）（）（
0
02
2
=
0 V
VV
V
UP
V
-
02
2
=
0
VV UK V）（
V
VKP?-?
VP?，在没有热传递时 U?-?
在平衡点展开将 P VV UVU
00 V2
2
V?）（）（?
-
-
:V 量有很小时，只考虑一阶小当?
晶体的结合能
3、抗张强度晶体断裂的临界点为外力等于晶体最大吸引力时，这时原子间的距离,晶体的体积为 。
我们把压强,叫抗张强度，它表明晶体所能负荷的最大张力。
mrr = mV
mVm V
UP ）（
- =
mV、得
mVm V
UP ）（代入
-?
UVP -=
:由极大条件 ）（
2
2
V
U
0?=
V
P
-
mP可求得
V
UP
-=、
晶体的结合能二、晶体结合能的计算设晶体由 N个原子组成,是晶体中两个原子 i和 j的互作用能，则第 i个原子与其它所有原子的互作用能为：
近似认为各原子与所有其它各原子间的互作用能相同，因而晶体的总作用能为：
）（ ijru
∑
N
j
iji ruu
′
1=
= ）（
∑ N
1j
ijruN2
1?
）（iNu21?U
ijN =′表示求和不包含、
晶体的结合能三、离子晶体的结合能玻恩、马德隆等提出，近似地把离子晶体的结合能记为：
第一项为引力项（离子异号取正），第二项为斥力项,N为晶体原子（离子）个数。
∑ -
N
j
n
jj
]
r
b
r
e[NrU ′
110
2
4±2=）（
晶体的结合能
∑ ∑--
N
j
N
j j
nn
j
]a bra[reNU
′ ′
0
2 11
±42=
rar jj1?令：
∑ -
N
j
n
jj
]r bre[NrU
′
110
2
4±2=）（
为晶格参量、,Bn
晶体作用能,）（ n
0
2
r
B
r4
e
2
NU --
∑ N
j j
na
bB
∑
N
j ja
1 体几何结构有关叫马德隆常数、仅与晶
—原子间最小距离—r
晶体的结合能
1、内能函数中参数 B和 n的确定
（ 1）由 得：
（ 2）由体弹性模量求 n
0=
0= rrr
U
1
0
0
2
4
= -nr
n
e
B
0=2
2
)(V=K rrV U
）（ nrBreNU --
0
2
42=
晶体的结合能
2、以 NaCl为例，
0=2
2
)(V=K rrV U
3Nr=V
V
r
r
U
V
U
=
0=2
2
+ rrV rrU
0=
0= rrr
U
]
r
nB
r
e[N
r
U
nrr 1+
0
2
00
2
= +42= 0
--
其中：
）（ nrBreNU --
0
2
42=
1
0
0
2
4=
-nr
n
eB
0=2
2
rrV
U
0=2
2
= rr]rUVr[Vr
晶体的结合能
]r B)n(nre[Nr U nrr 2+
0
3
00
2
=2
2 1+
4
2
2= 0 --?
4
00
2
r18
1
4
e)n(
1-
Ker 2 0
4
0 418+1=n
]rnBre[NrU nrr 1+
0
2
00
2
= +42= 0
--
2
0= 3=0 Nrr
V
rr?
0rr2
2
2
2
o
3
0 r
U)
Nr3
1(Nr
0rr2
2
)V U(VK
晶体的结合能
3、由实验测得晶格常数和体弹性模量，就可以确定斥力中的参数，同时计算出马德隆常数，从而得到晶体的作用能。
晶体的马德隆常数：
NaCl,CsCl,ZnS（闪锌矿） 1.7476 1.7627 1.6381
）（ nrBreNU --
0
2
42=
晶体的结合能四、分子晶体的结合能
1、分子晶体的结合能公式吸引势（范氏作用）
两原子的相互作用势为：
此即著名的 Lennard-Jones(雷纳德 — 琼斯 )势,
6= r
Au
吸 12= rBu 斥
126 += r
B
r
A)r(u -
、])r()r[()r(u 6124= - BA =4=4 126,其中，
排斥势（电子云重叠效应）
晶体的结合能
2、对于惰性气体元素,N个原子组成的晶体结合能的总和：
其中 r为近邻原子之间的距离,A12和 A６由晶体结构唯一确定。参数 ε,σ 仍由实验确定近邻原子距离和体变模量,通过内能函数确定。
])r()r[()r(u
jjj
' 612
1 42
1= -∑ rar jj =
])r(A)r(A)[4(N21 661212 -?
6
N
ij j
6 a
1A ）（,∑
≠
U )r(Nu
1 ])r(a
1)
r(a
1)[4(N
2
1 6
6
jj
'12
12
jj
' ∑∑ -?
2
N
ij j
12 a
1A ）（∑
≠
晶体的缺陷晶体的微观特征是组成晶体的原子或分子在空间周期性的排列，但实际的晶体中总是存在着杂质、空位等偏离周期性结构的情况，这些偏离晶体周期性结构的情况都称为晶体中的缺陷，对晶体的许多重要性质有着极大的关系。不同导电类型的半导体，正是有意掺入了不同的杂质而得到的；一些发光材料中的某些杂质缺陷，会降低或提高发光效率，在 III-
V族化合物半导体 GaP中掺入等电子杂质 N，可以显著地提高 GaP的发光效率；在纯铁中掺入适量的碳，铁就变成了钢；在白宝石
（刚玉）中掺入微量的铬，白宝石就变成了红宝石；等等。
晶体中的缺陷，按缺陷的大小可以分为点缺陷、线缺陷和面缺陷。
晶体的缺陷 。
晶体的缺陷一、晶体缺陷的主要类型约占一个或几个原子尺寸范围，包括空位、
填隙原子、杂质原子等都属于点缺陷。
空位是晶体中失去了一个原子、在原来的原子位置留下空缺的缺陷。
如果在一个晶格中，有额外的原子占据正常格点位置之间的位置，使晶格产生畸变，这种缺陷称为间隙原子。
如果把完整晶体中的一个原子，搬移到晶体表面上，晶体内部就产生了一个空位即肖特基缺陷。
（一）点缺陷：
1、空位：
填隙原子,
（ 1）肖特基缺陷：
晶体的缺陷如果一个间隙原子和一个空位同时产生在邻近的地方，则这种间隙原子 —— 空位对称为弗仑克尔缺陷。
肖特基缺陷和弗仑克尔缺陷其密度决定于温度，
在热平衡时具有确定的密度，故通常又被称为：
（ 2）弗仑克尔缺陷：
热缺陷。
晶体的缺陷从电中性的要求，离子晶体中若产生了一个组分的空位，如负离子空位，则有一个电子局域于负离子空位；负离子空位和其中的电子，构成了一个类氢原子；与氢原子核外的电子有一系列的原子能级类似，负离子空位中的电子也有这样一组能级。这些允许的能级之间的间距与可见光谱中的光子能量相当，当相应的光子在缺陷处被吸收时，晶体好像被染了颜色一样。这种缺陷就是色心。
2、色心：
晶体的缺陷在许多情况下，当晶体被加热时，能使缺陷扩散开，逐渐使晶体得到恢复，于是，晶体又失掉了它的颜色。
一种研究得最多的色心称为 F心 ；它是使一种碱卤晶体在碱金属蒸汽中加热，然后很快地淬火，就能产生单负离子空位，就是 F心；晶体中产生色心缺陷的同时，使碱卤晶体着色。例如,NaCl晶体中的 F心在可见光谱的蓝端产生吸收带，
NaCl晶体就会变成黄色或黄棕色。
相邻两个 F心构成 M心,相邻三个 F心构成 R心晶体的缺陷晶体中与基质原子不同的原子称为杂质原子。根据杂质原子在晶体中的位置，杂质原子可分为替位杂质和间隙杂质；根据半导体中杂质原子对载流子的影响，半导体中的杂质原子可分为施主杂质、受主杂质、等电子杂质等。
3、杂质原子：
晶体的缺陷
（二）线缺陷当晶体内沿某一条线附近的原子排列与完整晶格不同时就形成线缺陷，
包括棱位错和螺型位错两种。
单纯从几何结构上看，
棱位错好像是在正常的晶体当中插进半个原子面，恰似一把刀插在晶体中，
EF是位错线。
1、棱位错：
晶体的缺陷在这种位错中，没有多余的半晶面；
而是使晶体原来 的无数多个平行晶面变成为一个螺旋面。如图位错线为 AD。
2、螺型位错：
晶体的缺陷
（三） 面缺陷及其它缺陷如在面心立方结构中，密堆面按
ABCABC… 顺序排列起来而形成的；如果这个顺序出了错，原来应该是 A层的排列，现在由 B层来替代，
于是，原子层排列成为 ABC|BC ABCABC…,其中 C、
B之间的竖直线表示这里的层次配置发生了错排。
这种原子排列的层次配置发生的错排，称为堆垛层错，简称层错。
1、堆垛层错：
晶体的缺陷实际的一块晶体材料，通常都不是一块理想的单晶，而是由若干个晶粒组成，晶粒的晶向彼此杂乱。显然，晶粒之间的界面是一种晶体缺陷。有一种特殊情况，就是相邻晶粒的晶向很接近，晶向之间的夹角很小，这种小角度的晶粒边界称为小角晶界。小角晶界可以看成是由一些刃位错排列而成的。
2、小角晶界：
热缺陷的统计数目在一定温度下，热缺陷是处在不断的产生和消失的过程，填隙原子进入空位叫 热缺陷的复合 。热缺陷的产生和复合从而形成缺陷的运动。在一定温度下，产生和复合的缺陷数目会达到平衡，从而使热缺陷数目保持不变。
一,空位 的平衡浓度空位可以在所有晶体中存在，在一定温度下（等温过程），它们在热力学上是稳定的；在等温过程中系统做功等于系统自由能（ ）的减少。由于空位的产生，晶体的内能要增加，同时由于空位在晶体中的无序分布，晶体的熵也会增加，因而导致晶体自由能的变化。空位的平衡浓度由晶体自由能的极小值条件来确定。
TSUF -=
热缺陷的统计数目在热力学上，一定温度 下晶体的自由能和内能为：
对于有 个原子的简单晶体，当晶体中有 个空位时，格点位形的微观状态数即 个空位在晶体的个格点上的分布方式数为：
nNC
T
TSUF -=
晶体内能—U 系统的熵—S
能量形成一个空位所需要的—SE 空位数—n
完整晶体的内能—0U
SnEUU += 0
晶体自由能—F
N
N
n
n
W
！）！（
！
NnN
N
-?
热缺陷的统计数目熵的增加为：
这时，自由能为：
晶体在一定温度 平衡时，自由能为极小，由此可以得到平衡时的空位浓度 。自由能极小的条件为：
!n)!nN(
!Nlnk
B -?
WlnTknEU BS0 -?
]!nln)!nNl n (!N[ l nTknEU BS ----+= 0
T
0n
0?
WlnkB?S
F
0nnBS |]!nln)!nNl n([nTkE ---?
-
0nn
|nF
热缺陷的统计数目利用斯特令公式即当 很大时，
有,
晶体中空位的数目总是比格点的数目少得多，
即,记 为,则一定温度 下，平衡晶体中的空位浓度为：
x xxlnx!xln -=
xlndx !xlnd =
Nn <<0 0n n
Tk/E BSNen -≈
T
SE?
0
0
n
nNlnTkE
BS
-- =
0= nnBS
|]!nln)!nNl n([nTkE ----
n
NlnTk
B≈n
nNlnTk
B
-
热缺陷的统计数目在任意有限温度 下，晶体中总是存在着一定浓度的空位，这是晶体平衡时自由能取极小值的必然结果；换句话说，无缺陷的理想晶体是不存在的。
T
热缺陷的统计数目二、离子晶体中 空位对 的平衡浓度离子晶体中，正离子空位和负离子空位通常是成对产生的。对于有 个基元即 对正负离子组成的离子晶体，设一对正负离子空位的形成能为,晶体中含有 对空位时，内能将由完整晶体的内能 增加为：
个正、负离子空位在 个正、负离子格点上的分布方式数分别为：
N
NN
pE
0U
p0 nEUU
n
!n)!nN(
!NW
-=+ !n)!nN(
!NW
N
热缺陷的统计数目则 对正负离子空位在晶体中 对格点上分布的微观状态数为：
可以得到温度 时，离子晶体中的平衡空位浓度为：
n N
2]
!n)!nN(
!N[
-?
Tk/E BpNen 2= -
T
WlnTknEUF BS -+= 0
WWW
热缺陷的统计数目三、晶体中空位和间隙原子对的平衡浓度令 表示形成一对空位和间隙原子所需要的能量，称为弗仑克尔缺陷形成能，则晶体中含有对弗仑克尔缺陷时，内能将增加为：
可以得到温度 时，弗仑克尔缺陷浓度为：
其中 是晶体格点数,是晶体的间隙数。
由于晶体格点数与间隙数相同，则：
FnEUU += 0n
T
Tk/E/i BFe)NN(n 221= -
N iN
Tk/E BFNen 2= -
（详细推导见习题）
FE
晶体的弹性一、晶体的胡克定律当对固体材料施加一定的机械应力时，材料将发生形变。若外力在弹性限度之内，当外力撤消后晶体形变消除，晶体材料外形恢复原状，则材料这样的形变叫弹性形变。
与弹性形变相反，当对固体材料施加一定的机械应力时，若外力超过弹性限度，外力撤消后晶体的形变不会消除，晶体材料外形不能恢复原状，材料这样的形变叫塑性形变。
在弹性限度内，晶体材料的形变与外加应力成比例的规律叫胡克定律。
1、弹性形变：
2、塑性形变：
3、胡克定律：
晶体的弹性对于简单的直线状材料，由胡克定律有：
对于施加在长方体的一对平行平面上的引起切变的切应力，由胡克定律有：
E=
—外加拉伸应力—S/F=?
—外力—F
—横截面积—S
—杨氏模量—E
G=
—切变角—?
—切应力—?
—切变模量—G
4、杨氏模量：
5、切变模量：
晶体的弹性二、晶体的弹性模量对于一般的固体材料，通常须考虑纵向应变和切应变，也就是说晶体的弹性由材料的杨氏模量和切变模量表征。
由于晶体的周期性排列，其在各个轴向格点排列周期可能不同，因此，晶体材料沿不同轴向或不同对应面的杨氏模量和切变模量可能不同。
也就是说晶体的弹性需用一个张量来表示，这个量就是晶体的弹性模量。
范性形变和滑移一、范性形变晶体受到的应力超过弹性限度后，晶体中发生的永久性形变叫范性形变。
晶体具有的范性形变的性质叫晶体的塑性。
如，金属与合金具就有很好的塑性，因此，它们可以被压成片或挤拉成丝。我们把能发生范性形变的材料叫塑性材料。
1、范性形变：
2、塑性：
范性形变和滑移
（ 1）弹性阶段图中 O— 1段，变化规律满足胡克定律。
（ 2）屈服阶段图中 2— 3段，应变继续发生，但应力不明显变化。
（ 3）强化阶段图中 3— 4段，应变随应力增加，达到强度极限。
（ 4）颈缩阶段图中 4以后，试件发生局部截面收缩，在 5处断裂。
应力形变
3、塑性材料的形变过程：
范性形变和滑移
4、冷作硬化当从强化阶段中的某一位置开始逐渐撤消外力（卸载），则应变与应力的关系将按 AO1变化，
AO1近似平行于 O1，即卸载后范性形变 OO1保留，而弹性形变
O1O2消失。如果重新施加应力则曲线将按 O1A45变化，可见比例极限明显增加，此现象叫冷作硬化，冷作硬化使材料塑性降低，而脆性增加。反复弯曲铁丝最后令其折断就是利用冷作硬化现象。
应力形变范性形变和滑移二、滑移当晶体受到弯曲或拉长时晶体各部分沿某族晶面发生的相对移动。
滑移面滑移线
1、滑移并不是到处都能发生，
而是发生在内应力大的部分。
没有发生滑移的地方，晶体保持原状。
2、范性形变是滑移的结果。
滑 移 与 位 错晶体的范性形变，本质上是晶面的滑移。当外加应力大于一定的临界切应力时，晶体的不同部分将沿某一晶面发生相对移动，即滑移；滑移了一个原子间距之后，晶体滑移面上的原子就进入了新的平衡位置；这时，在撤去外力后，形变便不会恢复。
滑 移 与 位 错最早的滑移理论是,同时滑移理论,,认为在一个均匀应变的晶体中，滑移面上部的原子刚性地整体滑动，
即滑移面上部的所有原子同时发生滑移。但是，这种理论估计的临界切应力比实际发生滑移的切应力大了 4～ 5
个数量级。与实验符合较好的是滑移的位错模型，或称为逐步滑移理论，在应力作用下，部分晶体滑移产生刃位错，由于位错线上的原子受到两边原子的作用力大小相当，因此只需较小的切应力就可以使位错线继续移动，从而较小的切应力就可以完成滑移。
滑 移 与 位 错逐步滑移理论，位错模型,
习 题
1,N个基元构成的钠晶体、铜晶体和金刚石晶体，
其相邻两原子之间的相互作用能分别为,
和,只计最近邻相互作用，分别求出钠晶体、
铜晶体和金刚石晶体总的相互作用能,
和 。
分析各晶体的配位数。
1U 2U
3U
01E 02E
03E
要点：
习 题解：
1NU4?
2NU6?
303 4=∴ NUE
正四面体：金刚石最近邻原子组成
12配位数为铜为面心立方结构、
=∴ 02E 2U12
2
N
8、配位数钠为体心立方结构
01∴ E 1U82
N
习 题
2、证明正负相间等距排列的一维双离子链的马德隆常数为 。
解：
22= ln?
∑ -
n
n
n
)(' 1+12=? )(+
4
1
3
1+
2
11×2= --
22= ln?所以：
∑ N
j ja
′ 1
±=?
( )++1==+1 1 32
0=
xxxxx
n
n
---∑
∞
又，
( )-∫ 320 31+21=+1=+1 1 xxxxlndxxx
( )+4131+211=2=1+11= -lnlnx,当习 题
3、求正负相间等距排列的一维双离子链的马德隆常数 。（精确到次次次近邻离子）?
O
Y
X
习 题解：
最近邻离子四个：
次近邻离子四个：
次次近邻离子四个：
次次次近邻离子四八个：
∑ --
321
321
212
3
2
2
2
1
++
++
1=
nnn
/
nnn
)nnn(
)('?∑ N
j ja
′ 1
±=? ∑ --
321
21
212
2
2
1
+
+
1=
nnn
/
nn
)nn(
)('?
( )01±,( )1±0、
( )1±1±,
( )02±,( )2±0、
8.2
5
2
2
1
2
1
14
5
1
8
2
1
4
2
1
414
)nn(
)1(
'
321
21
nnn
2/12
2
2
1
nn
( )1±2±,( )2±1±,
O
Y
X
习 题
4、由 N个分子组成的某离子晶体，离子之间的相互作用势能表示为：,其中 是马德隆常数,和 是与 无关的常数。
证明,设平衡离子间距为,则平衡时的相互作用势能可以表示为：
)rRre(NU p+=
2?
-?
R p r
a
a
e
p
pNU 21=?--
习 题解,)
r
R
r
e(NU
p+=
2?
-?
0?
p
aeR p 12= -∴?
（得证）
arr
U
∴
ar
1p2
2
)rpRre(N
-
arU )
pa
ae
a
e(N
p
1p22?
p
11
a
eN 2?
a
e
p
1pN 2
习 题
5、有一晶体在平衡时的体积为,原子间的作用能为 。如果原子间的互作用能由下式给出：
试证明体积弹性模量为：
0
0 9= V
mnUk
0V
0U
n
ij
m
ij rr
)r(u += -
习 题解：设晶体有 N个原子（离子），离子间的最小距离为 r。则晶体的内能可写为：
晶体的体积为：,在平衡位置出处：
体积弹性模量为：
n
0r
nD?
3Nr=V
0=2
2
)(V= rrVU
)rDrC(2N nm -
)rDrC(2N n
0
m
0
-
)rr(2N n
j1j
m
j1
∑ -)r(U
0rrr
U
）（
1n
0
1m
0 r
nD
r
mC
2
N
-
0?
m
0r
mC
)r(U 0
习 题下面求 。
0r=r
2
2
V
U
）（ 3n
0
3m
0 r
nD
r
mC
6
1
-
2
0= 3=0 Nrr
V
rr?
0rrV
U
0rrV
r
r
U
]rmC2N[Nr3 1 1n
0
1m
0
2
0
）（ -
0rr2
2
V
U
0rr
3n3m V
r
r
nD
r
mC
r6
1
）（
4n
0
4m
00 r
D3nn
r
C3mm
Nr18
1
具体地，
习 题
n
0
m
0 r
nD
r
mC?
)rDrC(2N)r(U n
0
m
0
0
0rr2
2
V
UV
）（
4n
0
4m
00
3
0
r
D3nn
r
C3mm
Nr18
Nr
n
0
m
0
n
0
2
m
0
2
3
0 r
nD
r
mC3
r
Dn
r
Cm
r18
1
m
0
n
00
n
0
2
m
0
2
0 r
mCn
r
nDm
2
N
V9
10
r
Dn
r
Cm
2
N
V9
1
0
0
UV9mn? 证毕习 题
6、证明,令 表示形成一对空位和间隙原子所需要的能量，称为弗仑克尔缺陷形成能，则晶体中含有 对弗仑克尔缺陷时，内能将增加为：
可以得到温度 时，弗仑克尔缺陷浓度为：
其中 是晶体格点数,是晶体的间隙数。
考虑到晶体格点数与间隙数相同，则：
FnEUU += 0
n
T
Tk/E/i BFe)NN(n 221= -
N iN
Tk/E BFNen 2= -
FE
习 题格点位形的微观状态数即 个空位在晶体的个格点上的分布方式数为：
同样,个间隙原子在晶体的 个间隙上的分布方式数为：
形成 对空位和间隙原子对的分布方式数为：
!n)!nN(
!NW
-=1
!n)!nN(
!NW
i
i
-=2
]!n)!nN( !N][!n)!nN( !N[
i
i
--?
WlnTknEUF BF -+= 0
N
n
n iN
n
W 21WW
6、解：
习 题晶体的自由能为：
WlnTknEUF BF -+= 0
0nniBF |]!nln)!nNl n(!nln)!nNl n([nTkE?------?
-
Tk/E/i BFe)NN(n 221≈
Tk2/E BFNen -?
xxlnx!xln -=
xlndx !xlnd =
iNN?
0?
02
0i0
BF n
)nN)(nN(lnTkE ---?
nF
各章要求晶体的自由能为：
