第三章外场作用下晶体电子的运动
晶体中电子的速度
电子在外电场作用下的加速度，
有效质量，等能面
导体、绝缘体和半导体，布洛赫
振荡，空穴
金属的电导
霍尔效应晶体中电子的速度一、电子处于由波函数 所描述状态时的平均速度动量—?-?i
dx
d
im?
1=若：
能带标号—n
)x(nk?
)x(ue)x( ki k xk =?
L nknk dx)x(?)x(
)x(? nk? ( x)ψ
dx
d
i
1
m nk
xue
dx
d
im nk
i k x1
xu
dx
dexui k e
im nk
i k x
nk
i k x1?
=1 ）（、求,kn?
xuk
i d x
de
m nk
i k x?
xu
i d x
dxkue
m nknk
i k x?
晶体中电子的速度
L nknkn dx)x(?)x(k ）（∴
∫ -L nki k x*nki k x dxxukdxdiemxue ）（）（）（ +1=?
L nk*nk dxxukdxdi(xum ）（））（ 1?
晶体中电子的速度
)x()]x(Vdxdm[ nk2
22
2-2
若：、
)x(ukE nkn ）（? )x(u)]x(Vk
dx
d
im[ nk
2
2 1
2 ）（则：
)x(dxdm nk2
22
2
证明,xue
dx
d
m nk
i k x
2
22
2
xu
dx
dexui k e
dx
d
m nk
i k x
nk
i k x
2
2?
xu
dx
dexu
dx
di k exu
dx
di k exuek
m nk
i k x
nk
i k x
nk
i k x
nk
i k x
2
2
2
2
2
)x(kE nkn?）（
晶体中电子的速度
)x(VkdxdimH? k 2
2 1
2 ）（设：
的本征值。的电子的能量也为支能带中波矢为表明第 kH?kn ′
)x(ukE nkn ）（ )x(u)]x(Vk
dx
d
im[ nk
2
2 1
2∴ ）（
)x(ukE)x(uH? nknnkk ）（则,
xuki d xdem nki k x
22
2
xukdxdikdxdem nki k x
2
2
22
22?
晶体中电子的速度
kkdxdim?）（ +1+
2?
kkdxdimH k?）（ 1
2
kdkdE kn?）（+
按）和（、将变化一小量、设波矢 kH?kEkk ′3?
以上的高次项泰勒展开，略去二次及
）（ kkE n?+ ）（ kE n=
)x(VkkdxdimH? kk +++12=′ 2
2
+ ）（
)x(Vkdxdim ++12= 2
2
）（?
kkH
晶体中电子的速度
)x(ukE nkn ）（
kdkdE kn ）（
根据一级微扰理论有：
）（ kkE n
L nknk kdxxukdxdixum ）（））（（ 1
2?
kkkE nn ）（）（?
)x(uH? nkk?
而 ）（,kkE n ）（ kE n
）（ kE n?
晶体中电子的速度二、电子处于由 所描述状态时的平均速度特点
1、
2、电子平均速度随 变化而变化，
即产生加速度。
3、图示
4、三维时有：
)x(nk?
的奇函数是）即（）（ kkk --∴ =
k
）（）（ kk
）（）（ kE1k k
）、、（）（ zyxikE1k
i
i
dk
dE1k
）（?
的偶函数有：）即能量是（）（由于 kkEkE -=
电子在外电场作用下的加速度、
有效质量、等能面一、经典理论、量子理论、准经典理论经典理论动量速度动力学规律
-?i
dx
d
im?
1=
dk
dEk
1=）（?
准动量—k?
m
dtFdE?=
dt
dk
dk
dE
dt
dEF ==?
dt
dp
dt
dkF ==?
量子理论 准经典理论电子在外电场作用下的加速度、
有效质量、等能面
1、动量为晶体准动量，不是电子的真实动量
2,不是动量的本征值,也不是动量算符的本征函数
k? )x(nk?
注意：
电子在外电场作用下的加速度、
有效质量、等能面二、有效质量
1、在能带底部
Fdk Ed 2
2
2
1=
dt
dmF *?=、
”表示底部、,-
2
02
2
2
1 k
dk
EdE
b ）（
01 1-02
2
2
）（、其中：
dk
Edm
m*?
dt
dkF?=
=dtd? dtdkdk Ed 2
21
1
2
2
2
1= -）（
dk
Edm *
22
2
1 k
mE m*b ）（ kE
2
02
-
2
0 2
1 k
dk
Edk
dk
dEEkE
b ）（）（）（
0→k 表示能带底能量、用
bE
能量有极小值电子在外电场作用下的加速度、
有效质量、等能面
2、在能带顶部
3、电子有效质量 随电子状态而不同，取决于能带结构的曲率，色散关系愈平缓，能带曲率愈小，有效质量愈大。
4、晶体电子的有效质量与电子惯性质量的区别，就在于有效质量包含了晶体周期场力的作用。
22
+ 2
1= k
mEkE M*t?-）（
*m
=+ ）（ kE 222 1+ kmE
M*t
0<1= 102
2
2
-）（、其中：
dk
Edm
M*?
电子在外电场作用下的加速度、
有效质量、等能面
4、在三维情形下，电子的有效质量比较复杂，表现为一个二级张量，可用矩阵形式表示：
在 空间，适当选取坐标轴的方向可使不为零的矩阵元减少，若,,轴沿着张量的主轴方向，则张量的非对角元为零，倒有效质量张量是对角化的。
xk yk zk
k
=1)m( *
2
2
2
2
2
2
2
00
00
00
1
z
y
x
k
E
k
E
k
E
z
y
x
F
F
F
dt
d
dt
d
dt
d
z
y
x
2
222
2
2
22
22
2
2
2
1
zyzxz
zyyxy
zxyxx
k
E
kk
E
kk
E
kk
E
k
E
kk
E
kk
E
kk
E
k
E
电子在外电场作用下的加速度、
有效质量、等能面三、等能面：
在倒空间中能量相同的点组成的面叫 等能面 。
等能面为对原点对称的两点等能面变为等能线
( ) mkkE 2= 22?
一维情况：
二维情况：
电子在外电场作用下的加速度、
有效质量、等能面三维情况：
1、自由电子等能面为半径为 的球面。
2、当晶体中电子的有效质量为标量时，如前能带低与顶有：
等能面仍为球面。
3、当晶体中电子的有效质量不为标量时，如半导体硅,等能面不为球面而此时为一旋转椭球。
垂直平行 ** mm ≠
222 1+= kmEkE
m*b
）（ 22
+ 2
1= k
mEkE M*t?-）（
cc mEk 2
1=
( ) mkkE 2= 22?
导体、绝缘体和半导体、布洛赫振荡、空穴一、满带不导电
1、满带不导电
e-= ）（）（ ∑- N
i i
ke
1=
2?te）（ -?1
无外场时一维电子的能量与速度有外场时
）（）（ a/nkEkE?2+=
）（）（ kEkE -=
dt
dkF?= =k? =j 0=
导体、绝缘体和半导体、布洛赫振荡、空穴
2、不满带导电
e-= ）（）（ ∑- N
i i
ke
1=
2?te）（ -?1dtdkF?= =k? =j 0=
导体、绝缘体和半导体、布洛赫振荡、空穴
4、由于晶格和外场的作用不能使波矢无限增加。
5、实际的能带之间可能出现相互交叠使禁带消除。
如二价的金属应为绝缘体，而事实上它们具有很好的导电性。
导体、绝缘体和半导体、布洛赫振荡、空穴
6、实际的能带可能产生分裂，在其中产生禁带。
如半导体材料锗和硅，它们都是四价元素，
每个原胞中有两个原子，每个原子有四个价电子，若晶体共有 N个原胞，则共有 8N个价电子，
原子价态包括一个 s态、三个 p态，故第一布里渊区可容纳 8N个能级,16N个价电子，似乎应表现为导电性，事实上这类晶体中原子间相互作用，
使价电子所出能带一分为二，每个能带中包含 4N
个能级，中间有 0.76 eV（锗）,1.15eV（硅）
的禁带，故表现为半导体特征。
导体、绝缘体和半导体、布洛赫振荡、空穴二、导体、绝缘体和半导体价带（价电子所填充的能带）不满的晶体为导体，通常单价金属的价带是半满的。
价带为满带，同时禁带较宽的晶体。
有一类材料，在低温下价带是满的，
但禁带较窄。满带顶附近的电子有可能吸收热量使自身能量增加而到达上面的许可带（热激发），从而使这一能带及其下面的价带变成不满而出现导电性，这类材料叫半导体。
1、导体：
2、绝缘体：
3、半导体：
导体、绝缘体和半导体、布洛赫振荡、空穴三、布洛赫振荡
1、原理：在低温，不考虑散射的理想情况下，原则上恒定电场对波矢将产生持续的影响。当无外场电子填充为半满带时：
正方向电流最大 反方向电流最大电流为零 电流为零周期为
14t
在恒定电场下，电流周期性变化的现象。
02=
1=
≠- ∑ ）（）（ N
i i
kej?
导体、绝缘体和半导体、布洛赫振荡、空穴
2、超晶格及负电阻现象两种几乎不存在任何杂质与缺陷的不同材料交替叠合而成的晶体叫 超晶格。
由于周期大，布里渊区线度缩短，故平衡时处于 空间原点附近的电子在足够的外电场作用下可以容易（进入）第二布里渊区。
电压增加而电流减少的现象叫 负电阻现象 。 20世纪
70年代华裔学者朱兆祥与日本学者江崎一起虽然没有观察到布洛赫振荡现象，却在低稳超晶格中观察到与其机理一致的负电阻现象。
周期为（ a+b）的超晶格以上均是在倒格子空间讨论
k
导体、绝缘体和半导体、布洛赫振荡、空穴四、空穴：
半导体满带顶的电子热激发至上一个空带，而留下来的价带也变为不满，从而对导电有贡献。设有一波矢为 的电子被激发至空带，在外场作用下，有一个波矢为 的电子的速度无法抵消，而使价带中所有电子对电流的总贡献不为零，设因此产生的电流密度为：
上式表明缺少一个速度为 的电子的价带 中余下的所有电子对电流的贡献犹如一个具有正电荷 以同一速度 运动的粒子形成的电流，这一,粒子,称为 空穴 。
ik-
ik
）（）（）（ ii kekej ==′ --
e?
1、空穴：
导体、绝缘体和半导体、布洛赫振荡、空穴
2、外电场中的空穴总之，可将 看作空穴的有效质量，能带中波矢为 的空穴由同一能带中波矢为 的电子缺失产生，其速度为该电子未缺失时在此能带中的速度，在外场作用下表现为单位正电荷、具有正有效质量的粒子。
）（）（、有 kk eh =
=dtd e?
k k
h*m
h?设空穴速度为
）（?em
e*
-1
e*h* mm -=引入
e*
h
m
e
dt
d =，有：
=dtd h?
(能带顶部 )
金 属 的 电 导一、金属的导电性
1、经典物理中的相关定义及结论
2
2=
ne
m
平均自由时间—?m/Eea -=
mEe
-=
mEe2=
-
E=
：两次碰撞之间的末速度 =fua?
：电子定向运动平均速度 =u?
2
+0 fu?
S
IJ =? S/Suen?-= uen?-= E
m
lne?
2=
2
1=、
m
ne
2=
2?
金 属 的 电 导
2、许多金属中的价电子其有效质量很接近自由电子的静止质量，也就是说，金属中的价电子用自由电子模型能很好的描述。
金 属 的 电 导二、费米分布函数在温度 时能量为 的能级被电子所占有的几率可由费米分布函数确定：
1、
2、
3、
T E
1+
1=
Tk
EE
B
F
e
Ef -）（
21= /Ef F ）（、
FET 时的0≠
时0=T
时FEE =
FE绝对零度时的费米能级：
化学势：
1=）（、则 Ef
FEE > 0=）（、则 Ef
FEE <，
均粒子数能量中某一量子态的平—处于—）（ EEf
金 属 的 电 导
4,时的费米分布函数可见在室温下的分布可近似地代之以零温时的阶梯状分布。
我们把 空间中，以原点为球心，
为半径的等能面叫 费米面,该球叫 费米球,叫 费米波矢 。
0≠T
k
/mEk FF 2=
Fk
金 属 的 电 导三、金属电导在外电场 的作用下，若作用时间为 有：
由于散射作用,不会持续变化而会稳定在：
即平均而言两次散射之间电子速度增加：
电流密度：
由运动的时间电子在两次散射之间自—?
t?
me-=
tek ）（ -1=
）（ ek -1=
k
mne
2
= 电子数密度—n
m/ne 2= ）（与经典理论结论比较
km 1=
=j）（ en -
1=
2= ne
m
金 属 的 电 导
1,时，没有电流。
2,实际上是费米面附近电子平均自由运动时间，也即只有接近费米能级的电子对电导才有贡献。
3、在室温时，金属电阻率随温度线性增加。这可以这样理解，在室温时晶格振动符合经典能均分定理，声子数与温度成正比，则也与温度成正比。
0=?
/1
金 属 的 电 导四、低温电阻率
1、低温下，声子对电子的碰撞对电子波矢改变极小低温下，晶格振动微弱，声子能量很低，波矢位于布里渊区中心的声学波，声子对电子的碰撞对电子波矢改变极小。也即低温下的电阻源于能量低、波矢短的声学波声子 对费米面附近 的电子的散射。（费米能级通常为几个电子伏特）
qkk ′+=′,?≈
2
2?
Fk?≈
kk ≈′ ≈q 22 /s i nk?
动量大小为：一次散射使电子改变的
=k ）（?c o sk -1?
22=
2?s i nk?
金 属 的 电 导
2、可以证明低温下，声子数密度正比于,另外，每次声子碰撞的有效性为,即：
故，总的来说低温下，
3、考虑到杂质散射
3T
2T∝
Fk/k
5T∝?
IL +=、
贡献—晶格振动对电阻率的—
量反映不同样品杂质的含右图，两条曲线的差别
）（）（ 0= /TR T
=Fk/k 22 /? 22 Fk/q≈
IL
1+1=1
L
L ne
m
1=
2
可表征样品的纯度霍 尔 效 应一、磁场对晶体中的电子的作用 (自由电子模型 )
Bedtkd
×=?-
m
kE
k
=1=
0=dtdk z
Bkme y-
Bkmedtdk xy =
（自由电子））（ mkkE 2=
22?
=dtdkx
j?Bki?Bk
B
kkk
k?j?i?
B yyzyx -=
00
=×
所以,而,
霍 尔 效 应
c o skk x 垂直=
s i nkk y 垂直=
( )⊥kB 垂直×?
m
eB
dt
d =?
m
eB=?
在 空间电子波矢 绕 以角速度 匀速转动，端点轨迹是与 方向垂直的平面上的一个圆。
m
eB=?k k B?
B?
yk
垂直k
xk?
0=dtdk 垂直如图,
Bkme y-dt
ds i nk ）（ -
⊥
又,所以,=
dt
dk x=dtdkx dtdk y?-=
霍 尔 效 应二、电子在实空间的运动
y
x
m
eB
dt
d -=
x
y
m
eB
dt
d =
0=dtd z?
)k?kj?ki?k(
m
k
m
k
zyx ++=
=
0=dtdkz
Bkmedtdk yx -=
Bkmedtdk xy =
所以,在实空间电子做以磁场方向为轴的螺旋运动。
因为对于 XY平面内的圆周运动,
c o sx ⊥=
s i ny ⊥=
=dtd x? y-= ymeB?-=dtds i n ⊥-
霍 尔 效 应
x
x
y m
e
m
eB?
---
y
y
x
y
m
e
m
eB
dt
d?
--=
z
zz
m
e
dt
d?
--=
0=== dtddtddtd zyx
m
eB
c =?
三、当存在外电场且考虑散射因素达到平衡时
zz m
e -=
xcyy m
e += -
ycxm
e --
平衡时：
回转频率：
=dtd x?
=x?
设散射平均自由时间为,故可认为电子受到 的阻力?
m-
则,
所以,
霍尔效应四、霍尔效应如图，在垂直于电流和磁场组成的平面的 方向出现了横向稳态电场 （霍尔电场），这一现象叫霍尔效应。
0=y?
xcy -=可得：
y
zz m
e -=
xcyy m
e += -
ycxx m
e --=
yy nj-= 0=
因为,
—霍尔电场—x?
霍尔效应
xcy -=前面得：
/jx
ne
Bj x
y -=?所以：
0<
可以得到，当是空穴导电时：
0>1== neBjR
x
y
H
霍尔系数：
m
eB
c =?又，
m/ne 2=
=x? nejem x?=
霍尔系数,=HR
Bjx
y?
ne
1= -
习 题
1,在紧束缚近似下，计算一维单原子链 s态电子的能带函数、
能带电子的速度和有效质量。紧束缚近似下，一维单原子链
s态电子的能带函数为：
解,状态的电子速度：
倒有效质量为：
一维单原子链 s态电子的能带函数、速度和有效质量如图所示。在能带顶和能带底，电子速度为零；在能带函数的拐点处，电子速率最大。能带电子的有效质量，在能带底附近大于零，而在能带顶附近小于零。有效质量函数的复杂变化，体现了晶体周期场力的复杂作用．
kac o sJJE)k(E atss 10 2=
kas i naJ? 12=
kac o saJ 2
2
12=
k
)k(E
1=)k(v
=1-)m( * 2
2
2
1
k
E
k )k(v1=
习 题图示：
习 题
2、对于简单立方晶体，在紧束缚近似下计算 s能带状态电子的速度和有效质量。紧束缚近似下，简单立方晶体的 s能带函数为：
k?
)akc o sakc o sak( c o sJJE)k(E zyxatss 10 2--?
z
y
x
zyzxz
zyyxy
zxyxx
z
y
x
F
F
F
k
E
kk
E
kk
E
kk
E
k
E
kk
E
kk
E
kk
E
k
E
dt
d
dt
d
dt
d
2
222
2
2
22
22
2
2
2
1
习 题解：速度为：
在能带底（ ）＝（ ），有效质量张量为：
)aks i nk?aks i nj?aks i ni?(aJ zyx 12
0=
2
kk
E
β≠α
=*m
2
1
2
2 aJ
1
1
1
00
00
00
)ak( c os
)ak( c os
)ak( c os
z
y
x
zyx k,k,k 000,,
=*m
2
1
2
2 aJ
100
010
001
2
1
2
2= aJ
退化为标量，晶体电子的有效质量大于零。
E)k(v k1?
习 题在能带顶（ ）＝（ ），
量为：
晶体电子在能带顶的有效质量小于零。由运动方程 可见，能带顶电子的加速度方向与外加电场力方向相反。而由牛顿运动方程可知，电子的加速度方向总是与合外力方向相同；但能带顶电子的加速度方向与外加电场力方向不同，是晶体周期场力作用的又一明显体现。
-=*m
2
1
2
2 aJ
100
010
001
2
1
2
2= aJ
-
aaa
,，zyx k,k,k
dt
dmF *?=
有效质量张习 题
3、已知一维晶体的电子能带为：
式中 是晶格常数，试求：
（ 1）能带宽度
（ 2）电子在波矢 状态时的速度
（ 3）能带底部和顶部电子的有效质量
kac o skac o sma)k(E 381872
2?
a
k
习 题解：（ 1）
kas i nkas i n
ma
3
8
32?
kas i nkas i n 34-383?
12
11kac o s
dk )k(dE 时0?
kas i n kasi n 3
8
3
kas i n8 kas i nkas i nkas i n 2312-9,
12
1?
kas i n
12
1?
习 题
kac o skac o sm 3
2
2
9
8
35?
时，1211=kac o s
23
2
2
12
11
8
7 /
m i n ma)k(E)k(E
有极小值：
时，1211= -kac o s
23
2
2
12
11
8
7 /
m a x ma)k(E)k(E
有极大值
23
2 12
112 /
ma
kac o skac o smdk )k(Ed 389
2
2
2?
又、
02433
2
2
2
mdk )k(Ed?
02433
2
2
2
mdk )k(Ed?
)k(E)k(E m i nm a x?:禁带宽习 题证明：体心立方晶体最近邻有 8个原子，
k?aj?ai?aR n 2±2±2±=?
( ) ]akc o se zkkai yx
2+
2 --
∑-- 最近邻
n
n
R
RkieJAE)k(E
0=
( )zyx kkkaie[JAE ++2
0= --
( )zyx kkkaie ++2+ - ( )zyx kkkaie +2+ - ( )zyx kkkaie -+2+
( )zyx kkkaie --2+ ( )zyx kkkaie +2+ --( )zyx kkkaie -- +2+ ( ) ]e zyx kkkai ---2+
( )
22=
+2
0
zkk
ai ak
c o se[JAE yx-- ( ) 2+ 2 zkk
ai ak
c o se yx -
( )
2+
+2 zkkai akc o se yx-
习 题
（ 2）电子在波矢 状态时的速度
（ 3）能带底部和顶部电子的有效质量
k
kas i nkas i nma 3 8123?
时，1211=kac o s
m11338?
时，1211= -kac o s
m
dk
)k(Ed
m *
11
338
2
2
2
顶顶
dk )k(dEk?1 ka3s i nkas i nma 83?
mdk
)k(Ed
24
33 2
2
2?
能带底，
mdk
)k(Ed
24
33 2
2
2?
能带顶，
*m底底
2
2
2
dk
)k(Ed
习 题
4、紧束缚方法可得晶体 s态电子的能带为：
其中,为常数，试证对于体心立方晶体：
并画出沿 方向 的 曲线。
∑-- 最近邻
n
n
R
RkieJAE)k(E
0=
JAE,、0
222
80 akc o sakc o sakc o sJAE)k(E zyx
xk ( )0== zy kk )k()k(E xx?和习 题由于,沿 方向
]akc o sakc o se zxk
ai
x
22+
2-
证毕
0== zy kk xk
( ) 28= 0 xx akc o sJAEkE -- ( ) ( ) 24=1= x
x
x
x
aks i naJ
k
kEk
O a?2a?2- xk
( )xkE
JAE 80 --
JAE 8+0 -
a?2a?2- O
xk
( )xk?
aJ4
aJ4-
224=
20 zyk
ai ak
c o sakc o se[JAE x--
）（ 2228= 0 zyx akc o sakc o sakc o sJAE --
习 题
5、紧束缚方法可得晶体 s态电子的能带为：
其中,为常数，试证对于面心立方晶体：
∑-- 最近邻
n
n
R
RkieJAE)k(E
0=
JAE,、0
22222240
akc o sakc o sakc o sakc o sakc o sakc o sJAE)k(E xzzyyx
习 题证明：面心立方晶体最近邻有 12个原子，
k?j?
a
i?
a
R n 0+2±2±=
k?
a
j?i?
a
R n 2±0+2±=?、
k?
a
j?
a
i?R n 2±2±0=?
∑-- 最近邻
n
n
R
RkieJAE)k(E
0=
( )zy kkaie[JAE +2
0= --
( )zy kkaie +2+ - ( )zy kkaie -2+ ( )zy kkaie --2+
( )zx kkaie +2+ ( )
zx kk
ai
e +2+ -
( )zx kkaie -2+ ( )
zx kk
ai
e --2+
( )xy kkaie +2+ ( )xy kkaie +2+ - ( )xy kkaie -2+ ( ) ]e xx kk
ai --
2+
习 题
)akc o se yk
ai
x
2+
2-
证毕
22=
20 yk
ai ak
c o seJAE z（-- 2+ 2 yk
ai ak
c o se x- 2+ 2 x
kai akc o se z
2+
2 xk
ai ak
c o se z-
2+
2 yk
ai ak
c o se x
224= 0
zy akc o sakc o sJAE （--
22+
zx akc o sakc o s
)akc o sakc o s yx 22+
问题,有效质量是标量吗?
习 题
6、紧束缚方法可得晶体 s态电子的能带为：
其中,为常数，求简立方晶体 s
态电子的能带 的表达式,
∑--
最近邻
n
n
R
RkieJAE)k(E
0=
JAE,、0
)k(E
答案见习题 2
晶体中电子的速度
电子在外电场作用下的加速度，
有效质量，等能面
导体、绝缘体和半导体，布洛赫
振荡，空穴
金属的电导
霍尔效应晶体中电子的速度一、电子处于由波函数 所描述状态时的平均速度动量—?-?i
dx
d
im?
1=若：
能带标号—n
)x(nk?
)x(ue)x( ki k xk =?
L nknk dx)x(?)x(
)x(? nk? ( x)ψ
dx
d
i
1
m nk
xue
dx
d
im nk
i k x1
xu
dx
dexui k e
im nk
i k x
nk
i k x1?
=1 ）（、求,kn?
xuk
i d x
de
m nk
i k x?
xu
i d x
dxkue
m nknk
i k x?
晶体中电子的速度
L nknkn dx)x(?)x(k ）（∴
∫ -L nki k x*nki k x dxxukdxdiemxue ）（）（）（ +1=?
L nk*nk dxxukdxdi(xum ）（））（ 1?
晶体中电子的速度
)x()]x(Vdxdm[ nk2
22
2-2
若：、
)x(ukE nkn ）（? )x(u)]x(Vk
dx
d
im[ nk
2
2 1
2 ）（则：
)x(dxdm nk2
22
2
证明,xue
dx
d
m nk
i k x
2
22
2
xu
dx
dexui k e
dx
d
m nk
i k x
nk
i k x
2
2?
xu
dx
dexu
dx
di k exu
dx
di k exuek
m nk
i k x
nk
i k x
nk
i k x
nk
i k x
2
2
2
2
2
)x(kE nkn?）（
晶体中电子的速度
)x(VkdxdimH? k 2
2 1
2 ）（设：
的本征值。的电子的能量也为支能带中波矢为表明第 kH?kn ′
)x(ukE nkn ）（ )x(u)]x(Vk
dx
d
im[ nk
2
2 1
2∴ ）（
)x(ukE)x(uH? nknnkk ）（则,
xuki d xdem nki k x
22
2
xukdxdikdxdem nki k x
2
2
22
22?
晶体中电子的速度
kkdxdim?）（ +1+
2?
kkdxdimH k?）（ 1
2
kdkdE kn?）（+
按）和（、将变化一小量、设波矢 kH?kEkk ′3?
以上的高次项泰勒展开，略去二次及
）（ kkE n?+ ）（ kE n=
)x(VkkdxdimH? kk +++12=′ 2
2
+ ）（
)x(Vkdxdim ++12= 2
2
）（?
kkH
晶体中电子的速度
)x(ukE nkn ）（
kdkdE kn ）（
根据一级微扰理论有：
）（ kkE n
L nknk kdxxukdxdixum ）（））（（ 1
2?
kkkE nn ）（）（?
)x(uH? nkk?
而 ）（,kkE n ）（ kE n
）（ kE n?
晶体中电子的速度二、电子处于由 所描述状态时的平均速度特点
1、
2、电子平均速度随 变化而变化，
即产生加速度。
3、图示
4、三维时有：
)x(nk?
的奇函数是）即（）（ kkk --∴ =
k
）（）（ kk
）（）（ kE1k k
）、、（）（ zyxikE1k
i
i
dk
dE1k
）（?
的偶函数有：）即能量是（）（由于 kkEkE -=
电子在外电场作用下的加速度、
有效质量、等能面一、经典理论、量子理论、准经典理论经典理论动量速度动力学规律
-?i
dx
d
im?
1=
dk
dEk
1=）（?
准动量—k?
m
dtFdE?=
dt
dk
dk
dE
dt
dEF ==?
dt
dp
dt
dkF ==?
量子理论 准经典理论电子在外电场作用下的加速度、
有效质量、等能面
1、动量为晶体准动量，不是电子的真实动量
2,不是动量的本征值,也不是动量算符的本征函数
k? )x(nk?
注意：
电子在外电场作用下的加速度、
有效质量、等能面二、有效质量
1、在能带底部
Fdk Ed 2
2
2
1=
dt
dmF *?=、
”表示底部、,-
2
02
2
2
1 k
dk
EdE
b ）（
01 1-02
2
2
）（、其中：
dk
Edm
m*?
dt
dkF?=
=dtd? dtdkdk Ed 2
21
1
2
2
2
1= -）（
dk
Edm *
22
2
1 k
mE m*b ）（ kE
2
02
-
2
0 2
1 k
dk
Edk
dk
dEEkE
b ）（）（）（
0→k 表示能带底能量、用
bE
能量有极小值电子在外电场作用下的加速度、
有效质量、等能面
2、在能带顶部
3、电子有效质量 随电子状态而不同，取决于能带结构的曲率，色散关系愈平缓，能带曲率愈小，有效质量愈大。
4、晶体电子的有效质量与电子惯性质量的区别，就在于有效质量包含了晶体周期场力的作用。
22
+ 2
1= k
mEkE M*t?-）（
*m
=+ ）（ kE 222 1+ kmE
M*t
0<1= 102
2
2
-）（、其中：
dk
Edm
M*?
电子在外电场作用下的加速度、
有效质量、等能面
4、在三维情形下，电子的有效质量比较复杂，表现为一个二级张量，可用矩阵形式表示：
在 空间，适当选取坐标轴的方向可使不为零的矩阵元减少，若,,轴沿着张量的主轴方向，则张量的非对角元为零，倒有效质量张量是对角化的。
xk yk zk
k
=1)m( *
2
2
2
2
2
2
2
00
00
00
1
z
y
x
k
E
k
E
k
E
z
y
x
F
F
F
dt
d
dt
d
dt
d
z
y
x
2
222
2
2
22
22
2
2
2
1
zyzxz
zyyxy
zxyxx
k
E
kk
E
kk
E
kk
E
k
E
kk
E
kk
E
kk
E
k
E
电子在外电场作用下的加速度、
有效质量、等能面三、等能面：
在倒空间中能量相同的点组成的面叫 等能面 。
等能面为对原点对称的两点等能面变为等能线
( ) mkkE 2= 22?
一维情况：
二维情况：
电子在外电场作用下的加速度、
有效质量、等能面三维情况：
1、自由电子等能面为半径为 的球面。
2、当晶体中电子的有效质量为标量时，如前能带低与顶有：
等能面仍为球面。
3、当晶体中电子的有效质量不为标量时，如半导体硅,等能面不为球面而此时为一旋转椭球。
垂直平行 ** mm ≠
222 1+= kmEkE
m*b
）（ 22
+ 2
1= k
mEkE M*t?-）（
cc mEk 2
1=
( ) mkkE 2= 22?
导体、绝缘体和半导体、布洛赫振荡、空穴一、满带不导电
1、满带不导电
e-= ）（）（ ∑- N
i i
ke
1=
2?te）（ -?1
无外场时一维电子的能量与速度有外场时
）（）（ a/nkEkE?2+=
）（）（ kEkE -=
dt
dkF?= =k? =j 0=
导体、绝缘体和半导体、布洛赫振荡、空穴
2、不满带导电
e-= ）（）（ ∑- N
i i
ke
1=
2?te）（ -?1dtdkF?= =k? =j 0=
导体、绝缘体和半导体、布洛赫振荡、空穴
4、由于晶格和外场的作用不能使波矢无限增加。
5、实际的能带之间可能出现相互交叠使禁带消除。
如二价的金属应为绝缘体，而事实上它们具有很好的导电性。
导体、绝缘体和半导体、布洛赫振荡、空穴
6、实际的能带可能产生分裂，在其中产生禁带。
如半导体材料锗和硅，它们都是四价元素，
每个原胞中有两个原子，每个原子有四个价电子，若晶体共有 N个原胞，则共有 8N个价电子，
原子价态包括一个 s态、三个 p态，故第一布里渊区可容纳 8N个能级,16N个价电子，似乎应表现为导电性，事实上这类晶体中原子间相互作用，
使价电子所出能带一分为二，每个能带中包含 4N
个能级，中间有 0.76 eV（锗）,1.15eV（硅）
的禁带，故表现为半导体特征。
导体、绝缘体和半导体、布洛赫振荡、空穴二、导体、绝缘体和半导体价带（价电子所填充的能带）不满的晶体为导体，通常单价金属的价带是半满的。
价带为满带，同时禁带较宽的晶体。
有一类材料，在低温下价带是满的，
但禁带较窄。满带顶附近的电子有可能吸收热量使自身能量增加而到达上面的许可带（热激发），从而使这一能带及其下面的价带变成不满而出现导电性，这类材料叫半导体。
1、导体：
2、绝缘体：
3、半导体：
导体、绝缘体和半导体、布洛赫振荡、空穴三、布洛赫振荡
1、原理：在低温，不考虑散射的理想情况下，原则上恒定电场对波矢将产生持续的影响。当无外场电子填充为半满带时：
正方向电流最大 反方向电流最大电流为零 电流为零周期为
14t
在恒定电场下，电流周期性变化的现象。
02=
1=
≠- ∑ ）（）（ N
i i
kej?
导体、绝缘体和半导体、布洛赫振荡、空穴
2、超晶格及负电阻现象两种几乎不存在任何杂质与缺陷的不同材料交替叠合而成的晶体叫 超晶格。
由于周期大，布里渊区线度缩短，故平衡时处于 空间原点附近的电子在足够的外电场作用下可以容易（进入）第二布里渊区。
电压增加而电流减少的现象叫 负电阻现象 。 20世纪
70年代华裔学者朱兆祥与日本学者江崎一起虽然没有观察到布洛赫振荡现象，却在低稳超晶格中观察到与其机理一致的负电阻现象。
周期为（ a+b）的超晶格以上均是在倒格子空间讨论
k
导体、绝缘体和半导体、布洛赫振荡、空穴四、空穴：
半导体满带顶的电子热激发至上一个空带，而留下来的价带也变为不满，从而对导电有贡献。设有一波矢为 的电子被激发至空带，在外场作用下，有一个波矢为 的电子的速度无法抵消，而使价带中所有电子对电流的总贡献不为零，设因此产生的电流密度为：
上式表明缺少一个速度为 的电子的价带 中余下的所有电子对电流的贡献犹如一个具有正电荷 以同一速度 运动的粒子形成的电流，这一,粒子,称为 空穴 。
ik-
ik
）（）（）（ ii kekej ==′ --
e?
1、空穴：
导体、绝缘体和半导体、布洛赫振荡、空穴
2、外电场中的空穴总之，可将 看作空穴的有效质量，能带中波矢为 的空穴由同一能带中波矢为 的电子缺失产生，其速度为该电子未缺失时在此能带中的速度，在外场作用下表现为单位正电荷、具有正有效质量的粒子。
）（）（、有 kk eh =
=dtd e?
k k
h*m
h?设空穴速度为
）（?em
e*
-1
e*h* mm -=引入
e*
h
m
e
dt
d =，有：
=dtd h?
(能带顶部 )
金 属 的 电 导一、金属的导电性
1、经典物理中的相关定义及结论
2
2=
ne
m
平均自由时间—?m/Eea -=
mEe
-=
mEe2=
-
E=
：两次碰撞之间的末速度 =fua?
：电子定向运动平均速度 =u?
2
+0 fu?
S
IJ =? S/Suen?-= uen?-= E
m
lne?
2=
2
1=、
m
ne
2=
2?
金 属 的 电 导
2、许多金属中的价电子其有效质量很接近自由电子的静止质量，也就是说，金属中的价电子用自由电子模型能很好的描述。
金 属 的 电 导二、费米分布函数在温度 时能量为 的能级被电子所占有的几率可由费米分布函数确定：
1、
2、
3、
T E
1+
1=
Tk
EE
B
F
e
Ef -）（
21= /Ef F ）（、
FET 时的0≠
时0=T
时FEE =
FE绝对零度时的费米能级：
化学势：
1=）（、则 Ef
FEE > 0=）（、则 Ef
FEE <，
均粒子数能量中某一量子态的平—处于—）（ EEf
金 属 的 电 导
4,时的费米分布函数可见在室温下的分布可近似地代之以零温时的阶梯状分布。
我们把 空间中，以原点为球心，
为半径的等能面叫 费米面,该球叫 费米球,叫 费米波矢 。
0≠T
k
/mEk FF 2=
Fk
金 属 的 电 导三、金属电导在外电场 的作用下，若作用时间为 有：
由于散射作用,不会持续变化而会稳定在：
即平均而言两次散射之间电子速度增加：
电流密度：
由运动的时间电子在两次散射之间自—?
t?
me-=
tek ）（ -1=
）（ ek -1=
k
mne
2
= 电子数密度—n
m/ne 2= ）（与经典理论结论比较
km 1=
=j）（ en -
1=
2= ne
m
金 属 的 电 导
1,时，没有电流。
2,实际上是费米面附近电子平均自由运动时间，也即只有接近费米能级的电子对电导才有贡献。
3、在室温时，金属电阻率随温度线性增加。这可以这样理解，在室温时晶格振动符合经典能均分定理，声子数与温度成正比，则也与温度成正比。
0=?
/1
金 属 的 电 导四、低温电阻率
1、低温下，声子对电子的碰撞对电子波矢改变极小低温下，晶格振动微弱，声子能量很低，波矢位于布里渊区中心的声学波，声子对电子的碰撞对电子波矢改变极小。也即低温下的电阻源于能量低、波矢短的声学波声子 对费米面附近 的电子的散射。（费米能级通常为几个电子伏特）
qkk ′+=′,?≈
2
2?
Fk?≈
kk ≈′ ≈q 22 /s i nk?
动量大小为：一次散射使电子改变的
=k ）（?c o sk -1?
22=
2?s i nk?
金 属 的 电 导
2、可以证明低温下，声子数密度正比于,另外，每次声子碰撞的有效性为,即：
故，总的来说低温下，
3、考虑到杂质散射
3T
2T∝
Fk/k
5T∝?
IL +=、
贡献—晶格振动对电阻率的—
量反映不同样品杂质的含右图，两条曲线的差别
）（）（ 0= /TR T
=Fk/k 22 /? 22 Fk/q≈
IL
1+1=1
L
L ne
m
1=
2
可表征样品的纯度霍 尔 效 应一、磁场对晶体中的电子的作用 (自由电子模型 )
Bedtkd
×=?-
m
kE
k
=1=
0=dtdk z
Bkme y-
Bkmedtdk xy =
（自由电子））（ mkkE 2=
22?
=dtdkx
j?Bki?Bk
B
kkk
k?j?i?
B yyzyx -=
00
=×
所以,而,
霍 尔 效 应
c o skk x 垂直=
s i nkk y 垂直=
( )⊥kB 垂直×?
m
eB
dt
d =?
m
eB=?
在 空间电子波矢 绕 以角速度 匀速转动，端点轨迹是与 方向垂直的平面上的一个圆。
m
eB=?k k B?
B?
yk
垂直k
xk?
0=dtdk 垂直如图,
Bkme y-dt
ds i nk ）（ -
⊥
又,所以,=
dt
dk x=dtdkx dtdk y?-=
霍 尔 效 应二、电子在实空间的运动
y
x
m
eB
dt
d -=
x
y
m
eB
dt
d =
0=dtd z?
)k?kj?ki?k(
m
k
m
k
zyx ++=
=
0=dtdkz
Bkmedtdk yx -=
Bkmedtdk xy =
所以,在实空间电子做以磁场方向为轴的螺旋运动。
因为对于 XY平面内的圆周运动,
c o sx ⊥=
s i ny ⊥=
=dtd x? y-= ymeB?-=dtds i n ⊥-
霍 尔 效 应
x
x
y m
e
m
eB?
---
y
y
x
y
m
e
m
eB
dt
d?
--=
z
zz
m
e
dt
d?
--=
0=== dtddtddtd zyx
m
eB
c =?
三、当存在外电场且考虑散射因素达到平衡时
zz m
e -=
xcyy m
e += -
ycxm
e --
平衡时：
回转频率：
=dtd x?
=x?
设散射平均自由时间为,故可认为电子受到 的阻力?
m-
则,
所以,
霍尔效应四、霍尔效应如图，在垂直于电流和磁场组成的平面的 方向出现了横向稳态电场 （霍尔电场），这一现象叫霍尔效应。
0=y?
xcy -=可得：
y
zz m
e -=
xcyy m
e += -
ycxx m
e --=
yy nj-= 0=
因为,
—霍尔电场—x?
霍尔效应
xcy -=前面得：
/jx
ne
Bj x
y -=?所以：
0<
可以得到，当是空穴导电时：
0>1== neBjR
x
y
H
霍尔系数：
m
eB
c =?又，
m/ne 2=
=x? nejem x?=
霍尔系数,=HR
Bjx
y?
ne
1= -
习 题
1,在紧束缚近似下，计算一维单原子链 s态电子的能带函数、
能带电子的速度和有效质量。紧束缚近似下，一维单原子链
s态电子的能带函数为：
解,状态的电子速度：
倒有效质量为：
一维单原子链 s态电子的能带函数、速度和有效质量如图所示。在能带顶和能带底，电子速度为零；在能带函数的拐点处，电子速率最大。能带电子的有效质量，在能带底附近大于零，而在能带顶附近小于零。有效质量函数的复杂变化，体现了晶体周期场力的复杂作用．
kac o sJJE)k(E atss 10 2=
kas i naJ? 12=
kac o saJ 2
2
12=
k
)k(E
1=)k(v
=1-)m( * 2
2
2
1
k
E
k )k(v1=
习 题图示：
习 题
2、对于简单立方晶体，在紧束缚近似下计算 s能带状态电子的速度和有效质量。紧束缚近似下，简单立方晶体的 s能带函数为：
k?
)akc o sakc o sak( c o sJJE)k(E zyxatss 10 2--?
z
y
x
zyzxz
zyyxy
zxyxx
z
y
x
F
F
F
k
E
kk
E
kk
E
kk
E
k
E
kk
E
kk
E
kk
E
k
E
dt
d
dt
d
dt
d
2
222
2
2
22
22
2
2
2
1
习 题解：速度为：
在能带底（ ）＝（ ），有效质量张量为：
)aks i nk?aks i nj?aks i ni?(aJ zyx 12
0=
2
kk
E
β≠α
=*m
2
1
2
2 aJ
1
1
1
00
00
00
)ak( c os
)ak( c os
)ak( c os
z
y
x
zyx k,k,k 000,,
=*m
2
1
2
2 aJ
100
010
001
2
1
2
2= aJ
退化为标量，晶体电子的有效质量大于零。
E)k(v k1?
习 题在能带顶（ ）＝（ ），
量为：
晶体电子在能带顶的有效质量小于零。由运动方程 可见，能带顶电子的加速度方向与外加电场力方向相反。而由牛顿运动方程可知，电子的加速度方向总是与合外力方向相同；但能带顶电子的加速度方向与外加电场力方向不同，是晶体周期场力作用的又一明显体现。
-=*m
2
1
2
2 aJ
100
010
001
2
1
2
2= aJ
-
aaa
,，zyx k,k,k
dt
dmF *?=
有效质量张习 题
3、已知一维晶体的电子能带为：
式中 是晶格常数，试求：
（ 1）能带宽度
（ 2）电子在波矢 状态时的速度
（ 3）能带底部和顶部电子的有效质量
kac o skac o sma)k(E 381872
2?
a
k
习 题解：（ 1）
kas i nkas i n
ma
3
8
32?
kas i nkas i n 34-383?
12
11kac o s
dk )k(dE 时0?
kas i n kasi n 3
8
3
kas i n8 kas i nkas i nkas i n 2312-9,
12
1?
kas i n
12
1?
习 题
kac o skac o sm 3
2
2
9
8
35?
时，1211=kac o s
23
2
2
12
11
8
7 /
m i n ma)k(E)k(E
有极小值：
时，1211= -kac o s
23
2
2
12
11
8
7 /
m a x ma)k(E)k(E
有极大值
23
2 12
112 /
ma
kac o skac o smdk )k(Ed 389
2
2
2?
又、
02433
2
2
2
mdk )k(Ed?
02433
2
2
2
mdk )k(Ed?
)k(E)k(E m i nm a x?:禁带宽习 题证明：体心立方晶体最近邻有 8个原子，
k?aj?ai?aR n 2±2±2±=?
( ) ]akc o se zkkai yx
2+
2 --
∑-- 最近邻
n
n
R
RkieJAE)k(E
0=
( )zyx kkkaie[JAE ++2
0= --
( )zyx kkkaie ++2+ - ( )zyx kkkaie +2+ - ( )zyx kkkaie -+2+
( )zyx kkkaie --2+ ( )zyx kkkaie +2+ --( )zyx kkkaie -- +2+ ( ) ]e zyx kkkai ---2+
( )
22=
+2
0
zkk
ai ak
c o se[JAE yx-- ( ) 2+ 2 zkk
ai ak
c o se yx -
( )
2+
+2 zkkai akc o se yx-
习 题
（ 2）电子在波矢 状态时的速度
（ 3）能带底部和顶部电子的有效质量
k
kas i nkas i nma 3 8123?
时，1211=kac o s
m11338?
时，1211= -kac o s
m
dk
)k(Ed
m *
11
338
2
2
2
顶顶
dk )k(dEk?1 ka3s i nkas i nma 83?
mdk
)k(Ed
24
33 2
2
2?
能带底，
mdk
)k(Ed
24
33 2
2
2?
能带顶，
*m底底
2
2
2
dk
)k(Ed
习 题
4、紧束缚方法可得晶体 s态电子的能带为：
其中,为常数，试证对于体心立方晶体：
并画出沿 方向 的 曲线。
∑-- 最近邻
n
n
R
RkieJAE)k(E
0=
JAE,、0
222
80 akc o sakc o sakc o sJAE)k(E zyx
xk ( )0== zy kk )k()k(E xx?和习 题由于,沿 方向
]akc o sakc o se zxk
ai
x
22+
2-
证毕
0== zy kk xk
( ) 28= 0 xx akc o sJAEkE -- ( ) ( ) 24=1= x
x
x
x
aks i naJ
k
kEk
O a?2a?2- xk
( )xkE
JAE 80 --
JAE 8+0 -
a?2a?2- O
xk
( )xk?
aJ4
aJ4-
224=
20 zyk
ai ak
c o sakc o se[JAE x--
）（ 2228= 0 zyx akc o sakc o sakc o sJAE --
习 题
5、紧束缚方法可得晶体 s态电子的能带为：
其中,为常数，试证对于面心立方晶体：
∑-- 最近邻
n
n
R
RkieJAE)k(E
0=
JAE,、0
22222240
akc o sakc o sakc o sakc o sakc o sakc o sJAE)k(E xzzyyx
习 题证明：面心立方晶体最近邻有 12个原子，
k?j?
a
i?
a
R n 0+2±2±=
k?
a
j?i?
a
R n 2±0+2±=?、
k?
a
j?
a
i?R n 2±2±0=?
∑-- 最近邻
n
n
R
RkieJAE)k(E
0=
( )zy kkaie[JAE +2
0= --
( )zy kkaie +2+ - ( )zy kkaie -2+ ( )zy kkaie --2+
( )zx kkaie +2+ ( )
zx kk
ai
e +2+ -
( )zx kkaie -2+ ( )
zx kk
ai
e --2+
( )xy kkaie +2+ ( )xy kkaie +2+ - ( )xy kkaie -2+ ( ) ]e xx kk
ai --
2+
习 题
)akc o se yk
ai
x
2+
2-
证毕
22=
20 yk
ai ak
c o seJAE z（-- 2+ 2 yk
ai ak
c o se x- 2+ 2 x
kai akc o se z
2+
2 xk
ai ak
c o se z-
2+
2 yk
ai ak
c o se x
224= 0
zy akc o sakc o sJAE （--
22+
zx akc o sakc o s
)akc o sakc o s yx 22+
问题,有效质量是标量吗?
习 题
6、紧束缚方法可得晶体 s态电子的能带为：
其中,为常数，求简立方晶体 s
态电子的能带 的表达式,
∑--
最近邻
n
n
R
RkieJAE)k(E
0=
JAE,、0
)k(E
答案见习题 2
