第二章 晶体中的电子和声子
概述
布洛赫定理
布里渊区
克龙尼克 — 潘尼问题
许可带与禁带
一维布拉菲格子的晶格振动
一维复式格子的晶格振动
声子
习题概 述一、
二、晶体中的晶格运动格子本身固定不动，而格子中的原子实则在格点附近往复振动，通常用,声子,来表示晶格振动的能量量子。
晶体中的价电子原子实（晶格）
晶体概 述三、晶体中的电子运动
1、自由电子理论 （关于 金属 的最早的晶体电子理论）
（ 1）经典理论本世纪初，由特鲁德 — 洛沦兹提出的能很好解释金属的导电、导热等现象的关于金属电子运动的微观理论。其假设金属中的自由电子服从玻尔兹曼统计，能均分定理。
根据能均分定理,N个价电子组成的电子气，有 3N个自由度，它们对热容量的贡献应是 3N,但实验表明却只有理论值的百分之一，这似乎电子没有热运动。即经典理论不能解释为什么电子对金属的热容量没有贡献。
Bk
局限性,
概 述
（ 2）现代金属电子理论量子力学建立以后，人们认识到电子的运动不服从经典统计，而是服从量子统计的费米 — 狄喇克统计分布。索末非计算了量子的电子气体的热容量，解决了经典理论的困难。
（ 3）自由电子理论的 局限性：
自由电子理论很好地解决了金属的导电、导热及热容量等问题。但对晶体为什么有结合力，晶体从导电性看为什么可以分为导体、半导体、绝缘体却不能解释。
概 述
2、能带理论布洛赫和布里渊等人研究了在周期性势场中电子的运动特征，把晶体中的价电子看作在由其它所有的晶格和电子产生的周期性势场中运动，为能带理论确立了基础。能带理论是晶体中电子能量状态的近似理论，建立在绝热、周期场和单电子近似这三个近似处理上,
（ 1）因为电子与原子核质量相差很大，电子的运动速度远远大于原子核的运动速度，可以把电子的运动与原子核的运动分解开来处理；讨论电子的运动时，可以认为原子核始终不动，电子处于固定的核势场中，这就是绝热近似。
其具体假设如下：
概 述
（ 2）在一般的温度下，晶格振动的幅度不大，对晶格周期性势场的偏离很小；可以近似地认为所有的原子核都处于平衡位置，这就是周期场近似。
（ 3）晶体中的电子很多，对于这样一个多体系统，直接求解显然是不可能的；但是，每一个电子都是处于相同的其它电子的平均场中，利用该平均场，多电子问题就化为单电子问题，
这就是单电子近似，又称为哈特里－福克自洽场近似。
晶体中的电子许可能级，既不是象孤立原子中分立的电子能级，也不是象无限空间中自由电子具有的连续能级，而是由一定能量范围准连续分布的能带。利用能带特征，威耳逊提出了金属和绝缘体的区别，并预言了半导体的存在。
晶体的 能带理论得出,
概 述四、晶体宏观特性分析如前述，晶体的许多宏观特性都与价电子和声子的运动状态及它们之间的相互作用有关，通常分析价电子的状态时，认为原子实处在格点位置或平衡位置，而将晶格振动对价电子状态的影响归结为电子 — 声子间的相互作用。以下首先通过在绝热、周期场和单电子近似解薛定谔方程得到晶体中电子运动波函数满足的规律和能带理论；然后只考虑最近邻原子间相互作用得到晶体晶格振动的规律及提出声子概念。
布洛赫定理一、晶体中电子运动的定态薛定谔方程一维情况下：
)r(?
动量—?-?i 动能—22
m2?-
拉普拉斯算符—2
2
2
2
2
2
2 ++=
zyx?
哈密顿算符—)r(Vm2H? 22-?
）（）（周期性势场，—）（ nRrVrVrV
)x(E)x(H
zk?yj?xi
)]rVm2[ 22-? )r(E
、)x(Vdxdm2H? 222- ）（）（ xVaxV
布洛赫定理二、哈密顿算符 与平移算符
1、平移算符
2、哈密顿算符 与平移算符 对易（则具有共同的本征函数）
证明：
H? nT?
nT?
nn T?H?H?T
H?
nT?
xf)x(V
dx
d
m2T
2
22
n
）（ xf ）（ naxf
xfH?T?n
naxf)nax(Vnaxd
d
naxd
d
m2
2
xfT?)x(Vdxdm2 n222?
xfT?H? n?
布洛赫定理二、哈密顿算符 与平移算符
3、平移算符 的本征值设 为哈密顿算符与平移算符的共同本征函数。
显然：
故,即本征值 只能有这样的形式：
H?
nT?
nT? n?
、nin e
)x(?
mnT?T?
)x()x(T? nn = )x()x(T? mm =
)x()x(T?T? mnmn =
)x(mn
mnmn =+ n?
mnT nmT?T )x(T? mn?
、nan 为比例常数。
布洛赫定理三、周期性边界条件
1、确定系数若晶体由 N个原胞组成,我们设想一无限排列的晶体由以实际晶体为大单元在空间重复排列而成。
由晶体的周期性，考虑一维情况，有：
该式常被称为周期性边界条件。此即：
)x(?
)Nax()x( +=
、s2Na
、)x(e Nai 1e Nai)x(T?N? )x(N
所以,s
Na
2?整数、—s
布洛赫定理
2、布洛赫定理设晶体的长度为 L，则,L=Na、所以：
、sL2k
、sL2
=1 )x(T
iknan e则数，其量纲为长度单位的倒相同，通常令：与倒格矢和波矢的单位
。满足 )x(e)ax( i k a
理，表示的规律叫布洛赫定晶体中电子波函数用 )x(ue)x( i k x
叫布洛赫函数，波函数 )x(ue)x( i k x 为一平面波。ik xe
时，、可见,)x(u)ax(u)x(ue)x( i k x =+=?
)x(eika?=+ )ax(?
布洛赫定理
3、布洛赫定理的含义晶体电子波函数具有周期性调幅平面波的形式。在相邻原胞中的对应点，波函数只差一位相因子,波函数的模相同。一般地,与波矢 有关，故常记为,则一维晶体电子波函数表示为：
推广到三维情况有：
)r(e)Rr( kRkink n=+
ikae
)x(u k )x(uk
)x(ue)x( ki k xk =?
)x(ue)x( ik x=?
)r(u)Rr(u)r(ue)r( knkkrkik =+=?,?
成分。应当带有原子波函数的
，其波函数应类似运动时，势场起伏不大当晶体中电子在原子间
)r(u k，故周期性函数近时应受到较强的作用平面波，当与原子实接布 里 渊 区
1、对于一维情况，有：
显然,具有相同的,为了使 与 一一对应，我们把波矢值限制在倒格子空间的范围内,这个区间叫 第一布里渊区 。
上图中还画出了第二、第三布里渊区,由于波矢只能取 的整数倍，则每个波矢代表点在倒空间占据的空间为 。于是在第一布里渊区内共有个波矢代表点。
为整数。、,ssLke i k n an 2==
为整数）（和 hahkkk?2+=′ n?
k n?
），（ aa-
a?2
L/?2
L/?2
a/L= N?L2/]aa[ ）（ --
0a?3- a?3a?2a?a?-a?2-
k?区1区2 区2 区3区3
为一 维倒格矢。
332211 ++= bnbnbnK
02/KkK ii ）（
可以得到布里渊区的界面方程：
kkjkikk zyx ++=
布 里 渊 区布 里 渊 区取一个倒格点作为原点，则原点与其最近临的倒格点之间的垂直平分线或垂直平分面围成的面积或体积为第一布里渊区。至于第二、三等布里渊区的边界也由倒格矢的垂直平分线或垂直平分面围成。
2、布里渊区的选取：
0a?3- a?3a?2a?a?-a?2-
k?区1区2 区2 区3区3
画第一布里渊区的方法与步骤：
1、选定正格子基矢
2、计算出相应倒格子基矢
3、写出倒格矢
4、画出倒格子空间中的距原点最近邻的倒格点和次近邻的倒格点
5、连接出倒格矢，画出其中垂线（面），得出布里渊区
332211 ++= bnbnbnK
布 里 渊 区布 里 渊 区
3、体心立方结构倒格矢：
）（
）（
）（
213
312
321
+
2
=
+
2
=
+
2
=
ee
a
b
ee
a
b
ee
a
b
个倒格点：最近 12
( )0112,，a? ( )0112,，a? ( )0112,，a?
( )1012,，a? ( )1012,，a? ( )1012,，a? ( )1012,，
a
( )1102,，a? ( )1102,，a? ( )1102,，a? ( )1102,，a?
12面体
332211n bnbnbnK
121231132 ennennenna2 ）（）（）（
( )0112,，a?
布 里 渊 区
3、面心立方结构
332211n bnbnbnK
倒格矢：
）（
）（
）（
3213
3212
3211
+
2
=
+
2
=
++
2
=
eee
a
b
eee
a
b
eee
a
b
-
-
-
个倒格点：个倒格点及次近最近 68
( )1112,，a? ( )1112,，a? ( )1112,，
a
( )1112,，a? ( )1112,，a? ( )1112,，
a
( )1112,，
a
( )0022,，a? ( )0022,，a? ( )0202,，a? ( )0202,，a?
( )2002,，a? ( )2002,，
a
14面体
[ ]132123211321 ++++++2= ennnennnennna ）（）（）（ ---?
( )1112,，a?
布 里 渊 区在第一布里渊区中，波矢代表点的总数都等于晶体所包含的原胞数。每个代表点所占的倒空间体积为,在倒空间中代表点的分布密度为,
V/32 ）（?
32 ）（?/V
克龙尼克 -潘尼问题一、概述对一般的晶体周期势场，能量本征方程的分析是比较繁杂的，我们一般采用一些简化方法进行分析：
（ 1）等深等宽周期性势阱近似即克龙尼克 -潘尼模型
（ 2）晶体势场的周期起伏比较弱时（大多数金属），
将周期势场可以看作是对自由电子情况的微扰即近自由电子近似
（ 3）晶体势场的周期起伏很大（惰性元素），晶体中的电子比较紧地束缚于某一原子附近，周期势场可以看作是氢原子势场的微扰即紧束缚近似克龙尼克 -潘尼问题二、自由电子模型利用量子力学理论，自由电子哈密顿算符的本征函数是平面波：
本征值：
此即自由电子能量与波矢的关系 —— 色散关系：
)x(VdxdmH 2
22
2-
ik x
k eL
1=0?
m
kE
k 2=
22?
0?）（,xV
克龙尼克 -潘尼问题三、克龙尼克 -潘尼问题
1、克龙尼克 -潘尼势
ancxncV
c1nxanc0xV
0 〈〈，
）〈（〈，）（
克龙尼克 -潘尼问题
2、能带的形成 (接近势能底部的电子能量 )
kac o sKac o sKas i nKaP
2= 2 /abFPE
m
F -=
2
22?
0
22
+=2 VEmK?
红线部分为
K
可取值均是与能量有关的量,KF
( ) Kac o sKas i nKaPKf +=
克龙尼克 -潘尼问题
3,克龙尼克 -潘尼势的色散关系简约区图,将色散关系移至第一布里渊区表示。
）（一维）（）（ a/nkEkE?2±=
）（三维）（）（ hKkEkE
克龙尼克 -潘尼问题色散关系特点：
（ 1）能量范围由许可带和禁带即能带构成，禁带出现在布里渊区之间的交界处，每个许可带可看成 N（晶胞数）个能级（简并）构成。
（ 2）色散关系在倒空间对原点对称，即：
（ 3）色散关系或能带结构在波矢空间具有倒格子周期性：
）（）（ kEkE -=
）（一维）（）（ a/nkEkE?2±=
）（三维）（）（ hKkEkE ±=
许可带与禁带
1、关于能级的简并与分裂对于由 N个原子组成的布拉菲格子，每个原子能级都对应于晶体中的一个由 N个能级组成的能带；每个能带由 N个能级简并而成。
2、许可带的宽度与原子间的相互作用有关，相互作用越强，能带越宽。如紧束缚的原子间没有相互作用，则无能带出现；内层电子所处的能带窄、价电子所处能带宽。
许可带与禁带
3、禁带出现在布里渊区的边缘 的理解设想有波矢为 的自由电子由外部沿图示方向射入周期为 的一维布拉菲格子，则散射波对于两相临格点的位相差为：
这即为布拉格反射极大条件：
此时，
这说明 的电子将遭受全反射，不能进入晶体中，实际上是电子不能处于这样的能量中（禁带）。
a
ak
=
n?
a2k
090
ak
=
m/aE 2= 220 ）（
ak
a2a2k
sind2 321 hhh
ad?,a2
k
2,1n?、
一维布拉菲格子的晶格振动一、原子间的相互作用
1、相互作用势
2、原子间相互作用力、
dr
rdurf ）（）（ -=
一维布拉菲格子的晶格振动二、简谐近似
1、简谐近似下的原子间作用力
+21++= 22
2
0 00 rr dr
ud
dr
dururu ）（）（）（）（
0=0r)drdU( 02
2
= r)dr Ud(?
的三次方及高次方项）（略去 20 21+= )r(U)r(U
）（ xf
+= 0rr
d
dU--? x-?
dx
dU-
一维布拉菲格子的晶格振动
2、只考虑 最近邻原子 间相互作用和 简谐近似 时原子动力学方程
2n
2
dt
xdm
)xxx( nnn 2+= 11+ --?
)xx( 1nn --? )xx( 1nn ---?1n,nf -?1n,nf?
一维布拉菲格子的晶格振动
3、格波设简谐波（格波）的试解为：
显然 与 的（色散）关系具有明显的周期性：
我们限制 在 内，此即第一布里渊区。
ni q ai q an x)ee(x)(m 2+=2 --
)qa(s i nm)qac o s(m 24=12= 22 -
|)qas in (|m 22=
)tq n a(in Aex?-=
a/qa/ 〈≤-
q
q
有相同的与 a/nqqq 2+=′
一维布拉菲格子的晶格振动二、周期性边界条件确定波矢在边界上应有：
这与电子态一样，是周期性势场特性的反映。
nNn xx sNa
2?
代表点的数目：在第一布里渊区内波矢
12
22
-
a41
问题,两种格波都可表示相同的晶格振动,连续介质内波的传播有否此特点？
波。为整数）对应相同的格（与 nnaqq?2+
)tq n a(in Aex?-=
1e iq N a?、即 sL2 为整数,s?q
N?
L
2/
a
2
5
a4
2、
12 qq - a2
一维复式格子的晶格振动一、一维双原子链基由质量为 M和 m的两个不同原子组成，原子间间距为 a，周期为 2a。
第 n个原胞一维复式格子的晶格振动二、运动方程及其试解在 简谐近似和最近邻近似 下，第 个原胞原子的牛顿运动方程为：
n
)xx()xx(dtxdM nnnnn 21+22+21+22 1+22 = ----
)xx()xx(dt xdm nnnnn 1221+22222 = -----
)tnaq(in Aex?-22 =
]ta)n(q[in Bex?-1+21+2 =
0=22 2 B)qac o s(A)m( --
0=2+2 2 B)M(A)qac o s( --
A,B不同时为零的条件：
0=22 22 2
2
Mqac o s
qac o sm
--
--
]qac o smMMmMm[mM / 21222± 22++±+= ）（）（
设,
一维复式格子的晶格振动第一布里渊区内的波矢与频率的色散关系：
]qac o smMMmMm[mM / 21222± 22++±+= ）（）（
+?
_?
一维复式格子的晶格振动三、声频支与光频支
1、在第一布里渊区边界
2、在第一布里渊区中心
M/m a x 2=2 -
m/m in 2=+2
m i nm a x +22 〈-
mM
Mmq
m a x
+2=0=0=
+2,,-
]qac o smMMmMm[mM / 21222± 22++±+= ）（）（
)a2、复式格子周期为?
aq(,2±=
一维复式格子的晶格振动
3、
22
2=
m
qac o sB/A
-
0=22 2 B)qac o s(A)m( --
]qac o smMMmMm[mM / 21222± 22++±+= ）（）（
0=2+2 2 B)M(A)qac o s( -
22
2=
M
qac o sA/B
-或一维复式格子的晶格振动
（ 1）长波近似即波矢取接近布里渊区中心附近，
a、当 时,,这说明原胞内两个原子 振幅 相同,位相差,振动情况一致，反应原胞的整体运动。
1)BA(
22
2=
m
qac o sB/A
-
0q →
0
0qa?
]qa2c o smM2MmMm[mM 2/1222 ）（）（
一维复式格子的晶格振动此时，
色散关系,
0q →
qaMm 2
2/1
2
2 qas i nMm
mM411Mm[
mM ）（）（
( ),qas i nMm mM 时《）（当 1+4 22
])qac o smMMmMm[mM / 21222 22+++= ）－（（－
222 aq
Mm
2
nxn nxxx ！！ 112 111 2
一维复式格子的晶格振动群速度,为一常数由于可以用声波激发频率为 的晶格振动，
故 被称为声频支,
而相应的格波也称声学波。
aMm 2dqd
一维复式格子的晶格振动
b、当 时，长波近似，
由于,表明原胞质心保持静止，
反应原胞中原子间的相对运动。由于可以用光波激发频率为 的晶格振动，故 被称为光频支，而相应的格波也称光学波。
m
M)
B
A(
则,0MBmA
0qa?
mM
Mm2
m a x22
0MBmA
2M2
qac o s2A/B
一维复式格子的晶格振动
（ 2）短波近似即波矢在布里渊区边界附近，有：
表明质量为 M的原子静止而质量为 m的原子振动或情形相反。
0)AB(
0)BA(
a2q
2m2
qac o s2B/A
M/2m a x2
m/2m in2
2M2
qac o s2A/B
一维复式格子的晶格振动
4、一般地，布拉菲格子只有声频支，而复式格子既有声频支又有光频支。
5、频率支的数目与 原胞内 原子运动的自由度数目相同，其中声频支的个数与原胞质心自由度数目相同、其余的为光频支。
6、格波波矢数 等于晶体 原胞数 N；对于三维情况，如果我们将由一对频率与波矢所确定的格波或晶格振动称为一种振动模式，则格波模式数则为
3nN，这恰为晶体中 所有原子运动自由度数 的总和。
q
声 子一、两个简谐振动的耦合考虑有两个自由度的弹簧振子体系，质量与劲度系数相同，均为 m与 k，它们由一劲度系数为 K的弹簧相连而使彼此的振动耦合。
1、没有耦合时，体系能量：
2、当耦合存在时：
令：
这表明耦合后体系的能量可化为两个 独立 谐振子的能量，
其频率为：
2120 21+= ）（ xxKEE -
2/x
2/x
212
211
）（
）（
2
222
2
1210 kx2
1
dt
dxm
2
1kx
2
1
dt
dxm
2
1E ）（）（
22222121 K2k21dtdm21k21dtdm21E ）（）（）（
m/Kkm/k ）（,2+== 21 21,、
则：
叫简正频率。
声 子二、由 N个原胞组成的晶体晶格振动三维晶体中有 3nN个振动模式，每一个模式都有各自的振幅和位相，实际振动情况是许多模式振动的叠加，极为复杂。在简谐近似下，整个晶体的晶格振动与质点系的微振动本质上是类似，可以作线性变化转化为 3nN个简正坐标，各自以其简正频率作独立谐振动，即转化为 3nN个简正模式即 3nN 个格波形式，于是晶格振动的总能量为：
根据量子力学结论，一角频率为 的谐振动，其能量为：
也就是说振子能量是以 为最小单位变化的,为零点振动能。则：
∑ N
i
iE
3
1=
=?
）（ 21+= n
21
∑ N
i
iinE
3
1= 2
1+=）（
声 子三、声子的概念晶格振动的能量量子叫 声子,能量为,动量为为声子数，随温度的高低而增减。
1、声子是一种准粒子。格波是描述晶体中原子的集体运动，声子是格波能量的激发单元，不代表真实的粒子，但有粒子的属性。声子与光子不同，声子依赖于晶格，跑不出来。它只是一种描述，描述复杂的集体运动，是将整体运动状态当作粒子来考虑。
2、声子的动量与能量只有在布里渊区里才是一一对应的，
因为 对应相同的 。
3、晶体中晶格振动对电子的影响可简化为具有一定动量与能量的声子与电子的碰撞。
∑ N
i
iinE
3
1= 2
1+=）（
i
q?
in
（任意倒格矢）与 hKqq +
习 题
1、一维周期场中电子波函数 满足布洛赫定理，
若晶格常数是,电子波函数为：
（ 1）
（ 2）
（ 3）
试求电子在这些状态中的波矢 。
xk?
a
( ) xas inxk =
( ) xac o sixk 3=
( ) ( ) ( )是某个确定函数flaxfx
l
l
k ∑
∞→
0→
-=?
k
( ) ( )xuex i k xk =?布洛赫定理：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xexueeaxueax ki k ai k xi k aaxikk ==+=+ +
习 题解：（ 1）
（ 2）
（ 3）
axk
xeax ki k ak
axk
1e ik a
l
l
alxf
1e ika
xasin xasinaxasin
ak
,只在第一布里渊区讨论ka、1e ik a
axa3c osi
3x
a
3c o si x
a
3co si
ka、
ak
、
xk
l
l
laxf
0ka?,0k?、
axk
l
l
alaxf
l
l
a1lxf
习 题
2、画出二维正方晶格的布里渊区构图
x
O
y
j?aa =2?
k?1n? 0?
i?aa1
( )
( )021 021 ×?
×2=
n?aa
n?ab
( )
( )021 102 ×?
×2=
n?aa
an?b
i?a?2=
j?a?2=
a
习 题
）（ 2KkK ii
inak[jnina xxyx ）（）（ 2?2+?+2 0=2?2++ ]jnak yy?）（?
02/KkK ii ）（
布里渊区的界面方程：
iK?
jkikk yx
ja2nia2n yx
习 题
1±=yn、
2n y、
1nx 0ny?,0nx?或、
1nx 1n y、
2nx 0=yn,0n x?或、
O
0=2 n+na2+kn+kn y
2
x
2
yyxx ×
xk
yk
a2
1=k
x
2?±
a2
1=k
y
2?±、
ak=k yx
2±± -
a=k x
2±
a=k y
2±、
习 题图：
第一布里渊区第二布里渊区第三布里渊区习 题
3、平面正三角形晶格，相邻原子间的间距是,试求：
（ 1）正格子和倒格子基矢
（ 2）画出第一个布里渊区的形状解,（ 1） 如图取正格子基矢 和及直角坐标系。
a
1a
2a
x
y
60
1a
2a
i?aa =1?
i?a21a 2
k?n? 1=0
j?a23?
021 n?aa
100
0
2
3
2
00
= a
a
a
2a
2
3?
习 题
j?2ai?a23 -?
j?
a3
2i?
a
2 -?
j?
a3
4
02 n?a?
100
0a
2
3
2
a
k?j?i?
10 an
00a
100
k?j?i?
j?a?
021
02
1 n?aa
n?a2b
021 102 n?aa
an?2b
习 题
( )
( ) j?ai?an?aa
n?a
b
3
322
=
×?
×2
=
021
02
1
-
( )
( ) j?an?aa
an?
b
3
34
=
×?
×2
=
021
10
2
（ 2）
倒格矢：
2211 += bnbnK
j?
a3
2n
a3
4ni?
a
2n 121?
习 题倒格子空间距原点最近的四个点和次近邻的两点：
1n1
0n2?
0n1?
1n2
1nn 21?、
1nn 21、
j?ai?aK 322=1 -? j?
ai
aK
3
2+2=
2
-?
j?aK 34=3 j?aK 34=4?-
j?ai?aK 32+2=5
j?ai?aK 322=6 --?
y
x
1K
2K
3K
4K
5K
6K a
2?
a3
230
习 题
4、证明在一维布里渊区边界上电子能量取极值。
证明：
）（）（ a/nkEkE nn?2±=?
）（）（ kEkE nn -=
dk
a/nkdE
dk
kdE nn ）（）（?2±=∴
dk
kdE
dk
kdE nn ）（）（ --=
nak?±=在布里渊区边界，
习 题
dk
n
a
dE
dk
n
a
n
a
dE
dk
n
a
dE nnn ）（）（）（
=
2
±
=
±
∴
dk
n
a
dE
dk
n
a
dE nn ）（）（
-=
±
0=
±
dk
n
a
dE n ）（
比较得：
上能量取极值即在布里渊区边界 nak?±=
习 题
5、长度为 的一维单原子链，原子质量为,原子的平衡间距为,设近邻原子之间的相互作用势能为：
在简谐近似下表示为,为两原子间距离的变化。其中 。求近邻及简谐近似下晶格振动的色散关系 。
L m
a
c o sA)a(U -=+
)2/1(A)a(U 2 --
0>A
)q(?
习 题解：
A-=
)xxx(A nnn 2+ 11+ -
)tq n a(iBe?-
|qas in|mA 22
- )a(U +
=2
2
dt
xdm n
=nx
=)q(?
=f
习 题
6、质量均为 m的两种原子构成一维线性链，原子间距为,力常数交错地为 和 。 在最近邻近似下求出该一维原子链晶格振动的色散关系。
a10
10?10
na2 an ）（ 1+2an ）（ 12 - an ）（ 2+2
）（ ABeBeAm i q ai q a 11+10=2 -- -‘
0=1110+
2
BmAee i q ai q a ）（）（---
）（ nnnn xxxdt xdm 2121+222
2
11+10= -?
）（ 1+222+22 1+2
2
1110+= nnnn xxxdtxdm -?
)tnaq(in Aex?-22 =
]ta)n(q[in Bex?-1+21+2 =
6、解令：
）（ BAeAeBm i q ai q a 1110+=2 -- -
0=+1011
2
BeeAm i q ai q a ）（）（ ---
0=10++1011 2
2
））（（）（ i q ai q ai q ai q a eeeem ----
01qa2c o s20m22m
2
2
42
）（
0qa2c o s20101mm22121 2
422
）（
A,B不同时为零的条件：
0=
1110+
+1011
2
2
）（）（
）（）（
m
ee
ee
m
i q ai q a
i q ai q a
-
-
-
-
]qac o s[m ）（ 1220+11±11= 2 -?
]qas i n[m ）（2121401±111= -?
）（）（（ 1220×4+22±222= 2
2
2
2
2
2
± -qac o s
mmm
m
习 题
7、电子在其周期性势场中的势能为：
且,是常数。用近自由电子模型求出晶体能带的第一、二个禁带宽度。
提示：第 个禁带宽度为其势能傅立叶级数系数的两倍 。势能傅立叶级数为：
bxb20
bxbm
2
1
b2xb0
xV 2?
nV2
b4a
0
])nax(b[m21)x(V 222?
bnaxba)1n(
bnaxbna
xiG
l
le)lc o sls i n
l(l
bmbm)x(V
22
22+
6
1=
22
22
0
22
-∑
≠
n
la2G l
习 题解：因为：
所以：
第一禁带宽度：
第二禁带宽度：
xiG
l
le)
lc o sls i n
l(l
bmbm)x(V
22
22+
6
1=
22
22
0
22
-∑
≠
la2G l
3
22
2 =2?
bmV
3
22
1
8=2
bmV
习 题
8、对于体积为 V的 NaCl晶体，原胞体积为 Ω,则该晶体包含的原胞数目为,晶格振动有 支声频支、有 支光频支，晶格振动的总模式数为 。
9、含有 N个原胞的金刚石晶体和二维蜂巢晶格，分别指出其原胞内原子数、格波支数、声学波支数、光学波支数和总格波数。
习 题
8、解：对于体积为 V的 NaCl晶体，原胞体积为 Ω,则该晶体包含的原胞数目为 V/ Ω,晶格振动有 3 支声频支、有 3 支光频支，晶格振动的总模式数为 6N 。
9、解：含有 N个原胞的金刚石晶体和二维蜂巢晶格，
其原胞内原子数分别为 2,2；格波频率支数分别为
6,4；声频支支数分别为 3,2；光频支支数分别为
3,2；总格波数分别为 6N,4N。
概述
布洛赫定理
布里渊区
克龙尼克 — 潘尼问题
许可带与禁带
一维布拉菲格子的晶格振动
一维复式格子的晶格振动
声子
习题概 述一、
二、晶体中的晶格运动格子本身固定不动，而格子中的原子实则在格点附近往复振动，通常用,声子,来表示晶格振动的能量量子。
晶体中的价电子原子实（晶格）
晶体概 述三、晶体中的电子运动
1、自由电子理论 （关于 金属 的最早的晶体电子理论）
（ 1）经典理论本世纪初，由特鲁德 — 洛沦兹提出的能很好解释金属的导电、导热等现象的关于金属电子运动的微观理论。其假设金属中的自由电子服从玻尔兹曼统计，能均分定理。
根据能均分定理,N个价电子组成的电子气，有 3N个自由度，它们对热容量的贡献应是 3N,但实验表明却只有理论值的百分之一，这似乎电子没有热运动。即经典理论不能解释为什么电子对金属的热容量没有贡献。
Bk
局限性,
概 述
（ 2）现代金属电子理论量子力学建立以后，人们认识到电子的运动不服从经典统计，而是服从量子统计的费米 — 狄喇克统计分布。索末非计算了量子的电子气体的热容量，解决了经典理论的困难。
（ 3）自由电子理论的 局限性：
自由电子理论很好地解决了金属的导电、导热及热容量等问题。但对晶体为什么有结合力，晶体从导电性看为什么可以分为导体、半导体、绝缘体却不能解释。
概 述
2、能带理论布洛赫和布里渊等人研究了在周期性势场中电子的运动特征，把晶体中的价电子看作在由其它所有的晶格和电子产生的周期性势场中运动，为能带理论确立了基础。能带理论是晶体中电子能量状态的近似理论，建立在绝热、周期场和单电子近似这三个近似处理上,
（ 1）因为电子与原子核质量相差很大，电子的运动速度远远大于原子核的运动速度，可以把电子的运动与原子核的运动分解开来处理；讨论电子的运动时，可以认为原子核始终不动，电子处于固定的核势场中，这就是绝热近似。
其具体假设如下：
概 述
（ 2）在一般的温度下，晶格振动的幅度不大，对晶格周期性势场的偏离很小；可以近似地认为所有的原子核都处于平衡位置，这就是周期场近似。
（ 3）晶体中的电子很多，对于这样一个多体系统，直接求解显然是不可能的；但是，每一个电子都是处于相同的其它电子的平均场中，利用该平均场，多电子问题就化为单电子问题，
这就是单电子近似，又称为哈特里－福克自洽场近似。
晶体中的电子许可能级，既不是象孤立原子中分立的电子能级，也不是象无限空间中自由电子具有的连续能级，而是由一定能量范围准连续分布的能带。利用能带特征，威耳逊提出了金属和绝缘体的区别，并预言了半导体的存在。
晶体的 能带理论得出,
概 述四、晶体宏观特性分析如前述，晶体的许多宏观特性都与价电子和声子的运动状态及它们之间的相互作用有关，通常分析价电子的状态时，认为原子实处在格点位置或平衡位置，而将晶格振动对价电子状态的影响归结为电子 — 声子间的相互作用。以下首先通过在绝热、周期场和单电子近似解薛定谔方程得到晶体中电子运动波函数满足的规律和能带理论；然后只考虑最近邻原子间相互作用得到晶体晶格振动的规律及提出声子概念。
布洛赫定理一、晶体中电子运动的定态薛定谔方程一维情况下：
)r(?
动量—?-?i 动能—22
m2?-
拉普拉斯算符—2
2
2
2
2
2
2 ++=
zyx?
哈密顿算符—)r(Vm2H? 22-?
）（）（周期性势场，—）（ nRrVrVrV
)x(E)x(H
zk?yj?xi
)]rVm2[ 22-? )r(E
、)x(Vdxdm2H? 222- ）（）（ xVaxV
布洛赫定理二、哈密顿算符 与平移算符
1、平移算符
2、哈密顿算符 与平移算符 对易（则具有共同的本征函数）
证明：
H? nT?
nT?
nn T?H?H?T
H?
nT?
xf)x(V
dx
d
m2T
2
22
n
）（ xf ）（ naxf
xfH?T?n
naxf)nax(Vnaxd
d
naxd
d
m2
2
xfT?)x(Vdxdm2 n222?
xfT?H? n?
布洛赫定理二、哈密顿算符 与平移算符
3、平移算符 的本征值设 为哈密顿算符与平移算符的共同本征函数。
显然：
故,即本征值 只能有这样的形式：
H?
nT?
nT? n?
、nin e
)x(?
mnT?T?
)x()x(T? nn = )x()x(T? mm =
)x()x(T?T? mnmn =
)x(mn
mnmn =+ n?
mnT nmT?T )x(T? mn?
、nan 为比例常数。
布洛赫定理三、周期性边界条件
1、确定系数若晶体由 N个原胞组成,我们设想一无限排列的晶体由以实际晶体为大单元在空间重复排列而成。
由晶体的周期性，考虑一维情况，有：
该式常被称为周期性边界条件。此即：
)x(?
)Nax()x( +=
、s2Na
、)x(e Nai 1e Nai)x(T?N? )x(N
所以,s
Na
2?整数、—s
布洛赫定理
2、布洛赫定理设晶体的长度为 L，则,L=Na、所以：
、sL2k
、sL2
=1 )x(T
iknan e则数，其量纲为长度单位的倒相同，通常令：与倒格矢和波矢的单位
。满足 )x(e)ax( i k a
理，表示的规律叫布洛赫定晶体中电子波函数用 )x(ue)x( i k x
叫布洛赫函数，波函数 )x(ue)x( i k x 为一平面波。ik xe
时，、可见,)x(u)ax(u)x(ue)x( i k x =+=?
)x(eika?=+ )ax(?
布洛赫定理
3、布洛赫定理的含义晶体电子波函数具有周期性调幅平面波的形式。在相邻原胞中的对应点，波函数只差一位相因子,波函数的模相同。一般地,与波矢 有关，故常记为,则一维晶体电子波函数表示为：
推广到三维情况有：
)r(e)Rr( kRkink n=+
ikae
)x(u k )x(uk
)x(ue)x( ki k xk =?
)x(ue)x( ik x=?
)r(u)Rr(u)r(ue)r( knkkrkik =+=?,?
成分。应当带有原子波函数的
，其波函数应类似运动时，势场起伏不大当晶体中电子在原子间
)r(u k，故周期性函数近时应受到较强的作用平面波，当与原子实接布 里 渊 区
1、对于一维情况，有：
显然,具有相同的,为了使 与 一一对应，我们把波矢值限制在倒格子空间的范围内,这个区间叫 第一布里渊区 。
上图中还画出了第二、第三布里渊区,由于波矢只能取 的整数倍，则每个波矢代表点在倒空间占据的空间为 。于是在第一布里渊区内共有个波矢代表点。
为整数。、,ssLke i k n an 2==
为整数）（和 hahkkk?2+=′ n?
k n?
），（ aa-
a?2
L/?2
L/?2
a/L= N?L2/]aa[ ）（ --
0a?3- a?3a?2a?a?-a?2-
k?区1区2 区2 区3区3
为一 维倒格矢。
332211 ++= bnbnbnK
02/KkK ii ）（
可以得到布里渊区的界面方程：
kkjkikk zyx ++=
布 里 渊 区布 里 渊 区取一个倒格点作为原点，则原点与其最近临的倒格点之间的垂直平分线或垂直平分面围成的面积或体积为第一布里渊区。至于第二、三等布里渊区的边界也由倒格矢的垂直平分线或垂直平分面围成。
2、布里渊区的选取：
0a?3- a?3a?2a?a?-a?2-
k?区1区2 区2 区3区3
画第一布里渊区的方法与步骤：
1、选定正格子基矢
2、计算出相应倒格子基矢
3、写出倒格矢
4、画出倒格子空间中的距原点最近邻的倒格点和次近邻的倒格点
5、连接出倒格矢，画出其中垂线（面），得出布里渊区
332211 ++= bnbnbnK
布 里 渊 区布 里 渊 区
3、体心立方结构倒格矢：
）（
）（
）（
213
312
321
+
2
=
+
2
=
+
2
=
ee
a
b
ee
a
b
ee
a
b
个倒格点：最近 12
( )0112,，a? ( )0112,，a? ( )0112,，a?
( )1012,，a? ( )1012,，a? ( )1012,，a? ( )1012,，
a
( )1102,，a? ( )1102,，a? ( )1102,，a? ( )1102,，a?
12面体
332211n bnbnbnK
121231132 ennennenna2 ）（）（）（
( )0112,，a?
布 里 渊 区
3、面心立方结构
332211n bnbnbnK
倒格矢：
）（
）（
）（
3213
3212
3211
+
2
=
+
2
=
++
2
=
eee
a
b
eee
a
b
eee
a
b
-
-
-
个倒格点：个倒格点及次近最近 68
( )1112,，a? ( )1112,，a? ( )1112,，
a
( )1112,，a? ( )1112,，a? ( )1112,，
a
( )1112,，
a
( )0022,，a? ( )0022,，a? ( )0202,，a? ( )0202,，a?
( )2002,，a? ( )2002,，
a
14面体
[ ]132123211321 ++++++2= ennnennnennna ）（）（）（ ---?
( )1112,，a?
布 里 渊 区在第一布里渊区中，波矢代表点的总数都等于晶体所包含的原胞数。每个代表点所占的倒空间体积为,在倒空间中代表点的分布密度为,
V/32 ）（?
32 ）（?/V
克龙尼克 -潘尼问题一、概述对一般的晶体周期势场，能量本征方程的分析是比较繁杂的，我们一般采用一些简化方法进行分析：
（ 1）等深等宽周期性势阱近似即克龙尼克 -潘尼模型
（ 2）晶体势场的周期起伏比较弱时（大多数金属），
将周期势场可以看作是对自由电子情况的微扰即近自由电子近似
（ 3）晶体势场的周期起伏很大（惰性元素），晶体中的电子比较紧地束缚于某一原子附近，周期势场可以看作是氢原子势场的微扰即紧束缚近似克龙尼克 -潘尼问题二、自由电子模型利用量子力学理论，自由电子哈密顿算符的本征函数是平面波：
本征值：
此即自由电子能量与波矢的关系 —— 色散关系：
)x(VdxdmH 2
22
2-
ik x
k eL
1=0?
m
kE
k 2=
22?
0?）（,xV
克龙尼克 -潘尼问题三、克龙尼克 -潘尼问题
1、克龙尼克 -潘尼势
ancxncV
c1nxanc0xV
0 〈〈，
）〈（〈，）（
克龙尼克 -潘尼问题
2、能带的形成 (接近势能底部的电子能量 )
kac o sKac o sKas i nKaP
2= 2 /abFPE
m
F -=
2
22?
0
22
+=2 VEmK?
红线部分为
K
可取值均是与能量有关的量,KF
( ) Kac o sKas i nKaPKf +=
克龙尼克 -潘尼问题
3,克龙尼克 -潘尼势的色散关系简约区图,将色散关系移至第一布里渊区表示。
）（一维）（）（ a/nkEkE?2±=
）（三维）（）（ hKkEkE
克龙尼克 -潘尼问题色散关系特点：
（ 1）能量范围由许可带和禁带即能带构成，禁带出现在布里渊区之间的交界处，每个许可带可看成 N（晶胞数）个能级（简并）构成。
（ 2）色散关系在倒空间对原点对称，即：
（ 3）色散关系或能带结构在波矢空间具有倒格子周期性：
）（）（ kEkE -=
）（一维）（）（ a/nkEkE?2±=
）（三维）（）（ hKkEkE ±=
许可带与禁带
1、关于能级的简并与分裂对于由 N个原子组成的布拉菲格子，每个原子能级都对应于晶体中的一个由 N个能级组成的能带；每个能带由 N个能级简并而成。
2、许可带的宽度与原子间的相互作用有关，相互作用越强，能带越宽。如紧束缚的原子间没有相互作用，则无能带出现；内层电子所处的能带窄、价电子所处能带宽。
许可带与禁带
3、禁带出现在布里渊区的边缘 的理解设想有波矢为 的自由电子由外部沿图示方向射入周期为 的一维布拉菲格子，则散射波对于两相临格点的位相差为：
这即为布拉格反射极大条件：
此时，
这说明 的电子将遭受全反射，不能进入晶体中，实际上是电子不能处于这样的能量中（禁带）。
a
ak
=
n?
a2k
090
ak
=
m/aE 2= 220 ）（
ak
a2a2k
sind2 321 hhh
ad?,a2
k
2,1n?、
一维布拉菲格子的晶格振动一、原子间的相互作用
1、相互作用势
2、原子间相互作用力、
dr
rdurf ）（）（ -=
一维布拉菲格子的晶格振动二、简谐近似
1、简谐近似下的原子间作用力
+21++= 22
2
0 00 rr dr
ud
dr
dururu ）（）（）（）（
0=0r)drdU( 02
2
= r)dr Ud(?
的三次方及高次方项）（略去 20 21+= )r(U)r(U
）（ xf
+= 0rr
d
dU--? x-?
dx
dU-
一维布拉菲格子的晶格振动
2、只考虑 最近邻原子 间相互作用和 简谐近似 时原子动力学方程
2n
2
dt
xdm
)xxx( nnn 2+= 11+ --?
)xx( 1nn --? )xx( 1nn ---?1n,nf -?1n,nf?
一维布拉菲格子的晶格振动
3、格波设简谐波（格波）的试解为：
显然 与 的（色散）关系具有明显的周期性：
我们限制 在 内，此即第一布里渊区。
ni q ai q an x)ee(x)(m 2+=2 --
)qa(s i nm)qac o s(m 24=12= 22 -
|)qas in (|m 22=
)tq n a(in Aex?-=
a/qa/ 〈≤-
q
q
有相同的与 a/nqqq 2+=′
一维布拉菲格子的晶格振动二、周期性边界条件确定波矢在边界上应有：
这与电子态一样，是周期性势场特性的反映。
nNn xx sNa
2?
代表点的数目：在第一布里渊区内波矢
12
22
-
a41
问题,两种格波都可表示相同的晶格振动,连续介质内波的传播有否此特点？
波。为整数）对应相同的格（与 nnaqq?2+
)tq n a(in Aex?-=
1e iq N a?、即 sL2 为整数,s?q
N?
L
2/
a
2
5
a4
2、
12 qq - a2
一维复式格子的晶格振动一、一维双原子链基由质量为 M和 m的两个不同原子组成，原子间间距为 a，周期为 2a。
第 n个原胞一维复式格子的晶格振动二、运动方程及其试解在 简谐近似和最近邻近似 下，第 个原胞原子的牛顿运动方程为：
n
)xx()xx(dtxdM nnnnn 21+22+21+22 1+22 = ----
)xx()xx(dt xdm nnnnn 1221+22222 = -----
)tnaq(in Aex?-22 =
]ta)n(q[in Bex?-1+21+2 =
0=22 2 B)qac o s(A)m( --
0=2+2 2 B)M(A)qac o s( --
A,B不同时为零的条件：
0=22 22 2
2
Mqac o s
qac o sm
--
--
]qac o smMMmMm[mM / 21222± 22++±+= ）（）（
设,
一维复式格子的晶格振动第一布里渊区内的波矢与频率的色散关系：
]qac o smMMmMm[mM / 21222± 22++±+= ）（）（
+?
_?
一维复式格子的晶格振动三、声频支与光频支
1、在第一布里渊区边界
2、在第一布里渊区中心
M/m a x 2=2 -
m/m in 2=+2
m i nm a x +22 〈-
mM
Mmq
m a x
+2=0=0=
+2,,-
]qac o smMMmMm[mM / 21222± 22++±+= ）（）（
)a2、复式格子周期为?
aq(,2±=
一维复式格子的晶格振动
3、
22
2=
m
qac o sB/A
-
0=22 2 B)qac o s(A)m( --
]qac o smMMmMm[mM / 21222± 22++±+= ）（）（
0=2+2 2 B)M(A)qac o s( -
22
2=
M
qac o sA/B
-或一维复式格子的晶格振动
（ 1）长波近似即波矢取接近布里渊区中心附近，
a、当 时,,这说明原胞内两个原子 振幅 相同,位相差,振动情况一致，反应原胞的整体运动。
1)BA(
22
2=
m
qac o sB/A
-
0q →
0
0qa?
]qa2c o smM2MmMm[mM 2/1222 ）（）（
一维复式格子的晶格振动此时，
色散关系,
0q →
qaMm 2
2/1
2
2 qas i nMm
mM411Mm[
mM ）（）（
( ),qas i nMm mM 时《）（当 1+4 22
])qac o smMMmMm[mM / 21222 22+++= ）－（（－
222 aq
Mm
2
nxn nxxx ！！ 112 111 2
一维复式格子的晶格振动群速度,为一常数由于可以用声波激发频率为 的晶格振动，
故 被称为声频支,
而相应的格波也称声学波。
aMm 2dqd
一维复式格子的晶格振动
b、当 时，长波近似，
由于,表明原胞质心保持静止，
反应原胞中原子间的相对运动。由于可以用光波激发频率为 的晶格振动，故 被称为光频支，而相应的格波也称光学波。
m
M)
B
A(
则,0MBmA
0qa?
mM
Mm2
m a x22
0MBmA
2M2
qac o s2A/B
一维复式格子的晶格振动
（ 2）短波近似即波矢在布里渊区边界附近，有：
表明质量为 M的原子静止而质量为 m的原子振动或情形相反。
0)AB(
0)BA(
a2q
2m2
qac o s2B/A
M/2m a x2
m/2m in2
2M2
qac o s2A/B
一维复式格子的晶格振动
4、一般地，布拉菲格子只有声频支，而复式格子既有声频支又有光频支。
5、频率支的数目与 原胞内 原子运动的自由度数目相同，其中声频支的个数与原胞质心自由度数目相同、其余的为光频支。
6、格波波矢数 等于晶体 原胞数 N；对于三维情况，如果我们将由一对频率与波矢所确定的格波或晶格振动称为一种振动模式，则格波模式数则为
3nN，这恰为晶体中 所有原子运动自由度数 的总和。
q
声 子一、两个简谐振动的耦合考虑有两个自由度的弹簧振子体系，质量与劲度系数相同，均为 m与 k，它们由一劲度系数为 K的弹簧相连而使彼此的振动耦合。
1、没有耦合时，体系能量：
2、当耦合存在时：
令：
这表明耦合后体系的能量可化为两个 独立 谐振子的能量，
其频率为：
2120 21+= ）（ xxKEE -
2/x
2/x
212
211
）（
）（
2
222
2
1210 kx2
1
dt
dxm
2
1kx
2
1
dt
dxm
2
1E ）（）（
22222121 K2k21dtdm21k21dtdm21E ）（）（）（
m/Kkm/k ）（,2+== 21 21,、
则：
叫简正频率。
声 子二、由 N个原胞组成的晶体晶格振动三维晶体中有 3nN个振动模式，每一个模式都有各自的振幅和位相，实际振动情况是许多模式振动的叠加，极为复杂。在简谐近似下，整个晶体的晶格振动与质点系的微振动本质上是类似，可以作线性变化转化为 3nN个简正坐标，各自以其简正频率作独立谐振动，即转化为 3nN个简正模式即 3nN 个格波形式，于是晶格振动的总能量为：
根据量子力学结论，一角频率为 的谐振动，其能量为：
也就是说振子能量是以 为最小单位变化的,为零点振动能。则：
∑ N
i
iE
3
1=
=?
）（ 21+= n
21
∑ N
i
iinE
3
1= 2
1+=）（
声 子三、声子的概念晶格振动的能量量子叫 声子,能量为,动量为为声子数，随温度的高低而增减。
1、声子是一种准粒子。格波是描述晶体中原子的集体运动，声子是格波能量的激发单元，不代表真实的粒子，但有粒子的属性。声子与光子不同，声子依赖于晶格，跑不出来。它只是一种描述，描述复杂的集体运动，是将整体运动状态当作粒子来考虑。
2、声子的动量与能量只有在布里渊区里才是一一对应的，
因为 对应相同的 。
3、晶体中晶格振动对电子的影响可简化为具有一定动量与能量的声子与电子的碰撞。
∑ N
i
iinE
3
1= 2
1+=）（
i
q?
in
（任意倒格矢）与 hKqq +
习 题
1、一维周期场中电子波函数 满足布洛赫定理，
若晶格常数是,电子波函数为：
（ 1）
（ 2）
（ 3）
试求电子在这些状态中的波矢 。
xk?
a
( ) xas inxk =
( ) xac o sixk 3=
( ) ( ) ( )是某个确定函数flaxfx
l
l
k ∑
∞→
0→
-=?
k
( ) ( )xuex i k xk =?布洛赫定理：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xexueeaxueax ki k ai k xi k aaxikk ==+=+ +
习 题解：（ 1）
（ 2）
（ 3）
axk
xeax ki k ak
axk
1e ik a
l
l
alxf
1e ika
xasin xasinaxasin
ak
,只在第一布里渊区讨论ka、1e ik a
axa3c osi
3x
a
3c o si x
a
3co si
ka、
ak
、
xk
l
l
laxf
0ka?,0k?、
axk
l
l
alaxf
l
l
a1lxf
习 题
2、画出二维正方晶格的布里渊区构图
x
O
y
j?aa =2?
k?1n? 0?
i?aa1
( )
( )021 021 ×?
×2=
n?aa
n?ab
( )
( )021 102 ×?
×2=
n?aa
an?b
i?a?2=
j?a?2=
a
习 题
）（ 2KkK ii
inak[jnina xxyx ）（）（ 2?2+?+2 0=2?2++ ]jnak yy?）（?
02/KkK ii ）（
布里渊区的界面方程：
iK?
jkikk yx
ja2nia2n yx
习 题
1±=yn、
2n y、
1nx 0ny?,0nx?或、
1nx 1n y、
2nx 0=yn,0n x?或、
O
0=2 n+na2+kn+kn y
2
x
2
yyxx ×
xk
yk
a2
1=k
x
2?±
a2
1=k
y
2?±、
ak=k yx
2±± -
a=k x
2±
a=k y
2±、
习 题图：
第一布里渊区第二布里渊区第三布里渊区习 题
3、平面正三角形晶格，相邻原子间的间距是,试求：
（ 1）正格子和倒格子基矢
（ 2）画出第一个布里渊区的形状解,（ 1） 如图取正格子基矢 和及直角坐标系。
a
1a
2a
x
y
60
1a
2a
i?aa =1?
i?a21a 2
k?n? 1=0
j?a23?
021 n?aa
100
0
2
3
2
00
= a
a
a
2a
2
3?
习 题
j?2ai?a23 -?
j?
a3
2i?
a
2 -?
j?
a3
4
02 n?a?
100
0a
2
3
2
a
k?j?i?
10 an
00a
100
k?j?i?
j?a?
021
02
1 n?aa
n?a2b
021 102 n?aa
an?2b
习 题
( )
( ) j?ai?an?aa
n?a
b
3
322
=
×?
×2
=
021
02
1
-
( )
( ) j?an?aa
an?
b
3
34
=
×?
×2
=
021
10
2
（ 2）
倒格矢：
2211 += bnbnK
j?
a3
2n
a3
4ni?
a
2n 121?
习 题倒格子空间距原点最近的四个点和次近邻的两点：
1n1
0n2?
0n1?
1n2
1nn 21?、
1nn 21、
j?ai?aK 322=1 -? j?
ai
aK
3
2+2=
2
-?
j?aK 34=3 j?aK 34=4?-
j?ai?aK 32+2=5
j?ai?aK 322=6 --?
y
x
1K
2K
3K
4K
5K
6K a
2?
a3
230
习 题
4、证明在一维布里渊区边界上电子能量取极值。
证明：
）（）（ a/nkEkE nn?2±=?
）（）（ kEkE nn -=
dk
a/nkdE
dk
kdE nn ）（）（?2±=∴
dk
kdE
dk
kdE nn ）（）（ --=
nak?±=在布里渊区边界，
习 题
dk
n
a
dE
dk
n
a
n
a
dE
dk
n
a
dE nnn ）（）（）（
=
2
±
=
±
∴
dk
n
a
dE
dk
n
a
dE nn ）（）（
-=
±
0=
±
dk
n
a
dE n ）（
比较得：
上能量取极值即在布里渊区边界 nak?±=
习 题
5、长度为 的一维单原子链，原子质量为,原子的平衡间距为,设近邻原子之间的相互作用势能为：
在简谐近似下表示为,为两原子间距离的变化。其中 。求近邻及简谐近似下晶格振动的色散关系 。
L m
a
c o sA)a(U -=+
)2/1(A)a(U 2 --
0>A
)q(?
习 题解：
A-=
)xxx(A nnn 2+ 11+ -
)tq n a(iBe?-
|qas in|mA 22
- )a(U +
=2
2
dt
xdm n
=nx
=)q(?
=f
习 题
6、质量均为 m的两种原子构成一维线性链，原子间距为,力常数交错地为 和 。 在最近邻近似下求出该一维原子链晶格振动的色散关系。
a10
10?10
na2 an ）（ 1+2an ）（ 12 - an ）（ 2+2
）（ ABeBeAm i q ai q a 11+10=2 -- -‘
0=1110+
2
BmAee i q ai q a ）（）（---
）（ nnnn xxxdt xdm 2121+222
2
11+10= -?
）（ 1+222+22 1+2
2
1110+= nnnn xxxdtxdm -?
)tnaq(in Aex?-22 =
]ta)n(q[in Bex?-1+21+2 =
6、解令：
）（ BAeAeBm i q ai q a 1110+=2 -- -
0=+1011
2
BeeAm i q ai q a ）（）（ ---
0=10++1011 2
2
））（（）（ i q ai q ai q ai q a eeeem ----
01qa2c o s20m22m
2
2
42
）（
0qa2c o s20101mm22121 2
422
）（
A,B不同时为零的条件：
0=
1110+
+1011
2
2
）（）（
）（）（
m
ee
ee
m
i q ai q a
i q ai q a
-
-
-
-
]qac o s[m ）（ 1220+11±11= 2 -?
]qas i n[m ）（2121401±111= -?
）（）（（ 1220×4+22±222= 2
2
2
2
2
2
± -qac o s
mmm
m
习 题
7、电子在其周期性势场中的势能为：
且,是常数。用近自由电子模型求出晶体能带的第一、二个禁带宽度。
提示：第 个禁带宽度为其势能傅立叶级数系数的两倍 。势能傅立叶级数为：
bxb20
bxbm
2
1
b2xb0
xV 2?
nV2
b4a
0
])nax(b[m21)x(V 222?
bnaxba)1n(
bnaxbna
xiG
l
le)lc o sls i n
l(l
bmbm)x(V
22
22+
6
1=
22
22
0
22
-∑
≠
n
la2G l
习 题解：因为：
所以：
第一禁带宽度：
第二禁带宽度：
xiG
l
le)
lc o sls i n
l(l
bmbm)x(V
22
22+
6
1=
22
22
0
22
-∑
≠
la2G l
3
22
2 =2?
bmV
3
22
1
8=2
bmV
习 题
8、对于体积为 V的 NaCl晶体，原胞体积为 Ω,则该晶体包含的原胞数目为,晶格振动有 支声频支、有 支光频支，晶格振动的总模式数为 。
9、含有 N个原胞的金刚石晶体和二维蜂巢晶格，分别指出其原胞内原子数、格波支数、声学波支数、光学波支数和总格波数。
习 题
8、解：对于体积为 V的 NaCl晶体，原胞体积为 Ω,则该晶体包含的原胞数目为 V/ Ω,晶格振动有 3 支声频支、有 3 支光频支，晶格振动的总模式数为 6N 。
9、解：含有 N个原胞的金刚石晶体和二维蜂巢晶格，
其原胞内原子数分别为 2,2；格波频率支数分别为
6,4；声频支支数分别为 3,2；光频支支数分别为
3,2；总格波数分别为 6N,4N。
