第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
),( txyy?
各质点相对平衡位置的 位移波线上各质点平衡 位置
简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐运动时，在介质中所形成的波,
一 平面简谐波的波函数
平面简谐波：波面为平面的简谐波,
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 称为波函数,
),( txy
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数点 O 的振动状态
tAy O?c o s?
点 P
u
x
t
t 时刻点 P 的运动t-x/u时刻点 O 的运动以速度 u 沿
x 轴正向传播的平面简谐波,令原点 O 的初相为零，其振动方程
tAy O?c o s?
)(c o s
u
xtAy
P
点 P 振动方程时间推迟方法第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数点 P 比点 O 落后 的相位 Op
xπ2?
u
x
Tu
xx
p π2π2
)(co s
u
xtAy
p
点 P 振动方程
tAy o?c os?
点 O 振动方程
0,0x
波函数 )(co s
u
xtAy
P
x
*
y
x
u?A
A?
O
相位落后法第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
0,0x
])(co s [
u
xtAy 沿 轴 负 向
u x
)c os ( tAy O点 O 振动方程波函数沿 轴 正 向u x ])(co s [
u
xtAy
y
x
uA
A?
O
如果原点的初相位 不 为零第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
波动方程的其它形式
])(π2c o s [)(
λ
x
T
tAx,ty
)c o s (),( kxtAtxy
π2?k角波数? 质点的振动速度，加速度
])(s in [ uxtAtyv
])(c o s [22
2
u
xtA
t
ya
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数二 波函数的物理意义
])(π2co s [])(co s [ xTtAuxtAy
1 当 x 固定时,波函数表示该点的简谐运动方程，并给出该点与点 O 振动的相位差,
λ
x
u
x π2
（波具有时间的周期性） ),(),( Ttxytxy
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数波线上各点的简谐运动图第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
（波具有空间的周期性） ),(),( txytxy
2 当 一定时，波函数表示该时刻波线上各点相对其平衡位置的位移，即此刻的波形,
t
])(π2co s [])(co s [ xTtAuxtAy
)(π2)( 111 xTtuxt
)(π2)( 222 xTtuxt
21122112 π2π2 xxx
波程差
1221 xxx
x π2
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
y
x
u
O
y
),(),( xxttxt )(π2c o s
x
T
tAy
)(π2)(π2 xxT ttxTt
x
T
t tux
3 若 均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）,tx,
t 时刻 tt 时刻
x?
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数例 1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速,
].)cm01.0()2,5 0 s[(πc o s)cm5( -1-1 xty
解,方法一（比较系数法）,
)(π2c o s?xTtAy
])cm201.0()s22,5 0[(π2c o s)cm5( 1-1- xty
把题中波动方程改写成
s8.0s5.2 2T cm20001.0 cm2 1scm250
T
u?
比较得第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数例 1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速,
].)cm01.0()2,5 0 s[(πc o s)cm5( -1-1 xty
解,方法二（由各物理量的定义解之）,
txt )2,5 0 s[(π])cm01.0()2,5 0 s[(π -11-1-1
π2])cm01.0( 2-1?x cm20012 xx?
])cm01.0()2,5 0 s[(π])cm01.0()2,5 0 s[(π 2-12-11-11-1 xtxt
s8.012 ttT
1
12
12 scm2 5 0
tt
xxu
周期 为相位传播一个波长所需的时间波长 是指同一时刻,波线上相位差为 的两点间的距离,
π2t
cm20012xx
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
])(π2c o s [?
x
T
tAy
1） 波动方程
2
π
例 2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播,已知振幅,,,在 时坐标原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动,求
0?tm0.2m0.1?A s0.2?T
]2π)m0.2s0.2(π2co s [m)0.1( xty
0,0 tyy v
00 xt
解 写出波动方程的标准式
y
A?
O
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
2） 求 波形图,
x)ms i n ( πm)0.1( 1
s0.1?t
])m( π2πco s [m)0.1( 1 xy
波形方程
s0.1?t
]2π)m0.2s0.2(π2co s [m)0.1( xty
o
m/y
m/x2.0
1.0
-1.0
时刻波形图s0.1?t
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
3） 处质点的振动规律并做图,m5.0?x
]π)sc o s [ ( πm)0.1( 1 ty
]2π)m0.2s0.2(π2co s [m)0.1( xty
处质点的振动方程m5.0?x
0
m/y
1.0
-1.0
s/t2.0
O
y
1
2
3
4
*
*
* *
*
*
1
2
3
4
处质点的振动曲线m5.0?x
1.0
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数例 3 一平面简谐波以速度 沿直线传播,波线上点 A 的简谐运动方程,
s/m20?u
ty A )sπ4c o s ()m103( 12
1） 以 A 为坐标原点，写出波动方程
m10 uT?m103 2A s5.0?T 0
)
m10s5.0
(π2c o s)m103( 2 xty
])(π2c o s [?
x
T
tAy
u
ABC D
5m 9m
xo
8m
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
ABAB xx π2 105π2 π?
π?B? ]π)sπ4c o s [ ()m103( 12 ty B
]π)m10s5.0(π2c o s [)m103( 2 xty
2） 以 B 为坐标原点，写出波动方程
u
ABC D
5m 9m
xo
8m
ty A )sπ4c o s ()m103( 12
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
3） 写出传播方向上点 C,点 D 的简谐运动方程
u
ABC D
5m 9m
xo
8m
ty A )sπ4c o s ()m103( 12
点 C 的相位比点 A 超前
]π2)sπ4co s [()m103( 12?ACty C
]π513)sπ4co s [()m103( 12 t
点 D 的相位落后于点 A ]π2)sπ4co s [()m103(
12
ADty D
]π59)sπ4co s [()m103( 12 t
m10
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
4） 分别求出 BC,CD 两点间的相位差
π4.4
10
22π2π2
DCDC xx
u
ABC D
5m 9m
xo
8m
ty A )sπ4c o s ()m103( 12
π6.1108π2π2 CBCB xx
m10
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
1） 给出下列波函数所表示的波的 传播方向和 点的初相位,0?x
)(π2c o s?xTtAy
)(co s uxtAy
2） 平面简谐波的波函数为式中 为正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为 的两点间的相位差,
)c o s( CxBtAy
CBA,,
d
)c o s( CxBtAy )(π2c o s
x
T
tAy
C
π2
BT
π2?
C
B
Tu
dCd π2
讨 论
)π,(向 x 轴 正 向传播
)π,(向 x 轴 负 向传播第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
3 ） 如图简谐波以余弦函数表示，
求 O,a,b,c 各点振动 初相位,
)π~π(
O
y
x
u
a b c
A
A?
t=T/4
t =0
π?o?
2
π?
a?
0?b?
2
π
c?O y
A?
O y
A?
O y
A?
O y
A?
),( txyy?
各质点相对平衡位置的 位移波线上各质点平衡 位置
简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐运动时，在介质中所形成的波,
一 平面简谐波的波函数
平面简谐波：波面为平面的简谐波,
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 称为波函数,
),( txy
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数点 O 的振动状态
tAy O?c o s?
点 P
u
x
t
t 时刻点 P 的运动t-x/u时刻点 O 的运动以速度 u 沿
x 轴正向传播的平面简谐波,令原点 O 的初相为零，其振动方程
tAy O?c o s?
)(c o s
u
xtAy
P
点 P 振动方程时间推迟方法第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数点 P 比点 O 落后 的相位 Op
xπ2?
u
x
Tu
xx
p π2π2
)(co s
u
xtAy
p
点 P 振动方程
tAy o?c os?
点 O 振动方程
0,0x
波函数 )(co s
u
xtAy
P
x
*
y
x
u?A
A?
O
相位落后法第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
0,0x
])(co s [
u
xtAy 沿 轴 负 向
u x
)c os ( tAy O点 O 振动方程波函数沿 轴 正 向u x ])(co s [
u
xtAy
y
x
uA
A?
O
如果原点的初相位 不 为零第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
波动方程的其它形式
])(π2c o s [)(
λ
x
T
tAx,ty
)c o s (),( kxtAtxy
π2?k角波数? 质点的振动速度，加速度
])(s in [ uxtAtyv
])(c o s [22
2
u
xtA
t
ya
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数二 波函数的物理意义
])(π2co s [])(co s [ xTtAuxtAy
1 当 x 固定时,波函数表示该点的简谐运动方程，并给出该点与点 O 振动的相位差,
λ
x
u
x π2
（波具有时间的周期性） ),(),( Ttxytxy
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数波线上各点的简谐运动图第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
（波具有空间的周期性） ),(),( txytxy
2 当 一定时，波函数表示该时刻波线上各点相对其平衡位置的位移，即此刻的波形,
t
])(π2co s [])(co s [ xTtAuxtAy
)(π2)( 111 xTtuxt
)(π2)( 222 xTtuxt
21122112 π2π2 xxx
波程差
1221 xxx
x π2
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
y
x
u
O
y
),(),( xxttxt )(π2c o s
x
T
tAy
)(π2)(π2 xxT ttxTt
x
T
t tux
3 若 均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）,tx,
t 时刻 tt 时刻
x?
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数例 1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速,
].)cm01.0()2,5 0 s[(πc o s)cm5( -1-1 xty
解,方法一（比较系数法）,
)(π2c o s?xTtAy
])cm201.0()s22,5 0[(π2c o s)cm5( 1-1- xty
把题中波动方程改写成
s8.0s5.2 2T cm20001.0 cm2 1scm250
T
u?
比较得第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数例 1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速,
].)cm01.0()2,5 0 s[(πc o s)cm5( -1-1 xty
解,方法二（由各物理量的定义解之）,
txt )2,5 0 s[(π])cm01.0()2,5 0 s[(π -11-1-1
π2])cm01.0( 2-1?x cm20012 xx?
])cm01.0()2,5 0 s[(π])cm01.0()2,5 0 s[(π 2-12-11-11-1 xtxt
s8.012 ttT
1
12
12 scm2 5 0
tt
xxu
周期 为相位传播一个波长所需的时间波长 是指同一时刻,波线上相位差为 的两点间的距离,
π2t
cm20012xx
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
])(π2c o s [?
x
T
tAy
1） 波动方程
2
π
例 2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播,已知振幅,,,在 时坐标原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动,求
0?tm0.2m0.1?A s0.2?T
]2π)m0.2s0.2(π2co s [m)0.1( xty
0,0 tyy v
00 xt
解 写出波动方程的标准式
y
A?
O
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
2） 求 波形图,
x)ms i n ( πm)0.1( 1
s0.1?t
])m( π2πco s [m)0.1( 1 xy
波形方程
s0.1?t
]2π)m0.2s0.2(π2co s [m)0.1( xty
o
m/y
m/x2.0
1.0
-1.0
时刻波形图s0.1?t
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
3） 处质点的振动规律并做图,m5.0?x
]π)sc o s [ ( πm)0.1( 1 ty
]2π)m0.2s0.2(π2co s [m)0.1( xty
处质点的振动方程m5.0?x
0
m/y
1.0
-1.0
s/t2.0
O
y
1
2
3
4
*
*
* *
*
*
1
2
3
4
处质点的振动曲线m5.0?x
1.0
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数例 3 一平面简谐波以速度 沿直线传播,波线上点 A 的简谐运动方程,
s/m20?u
ty A )sπ4c o s ()m103( 12
1） 以 A 为坐标原点，写出波动方程
m10 uT?m103 2A s5.0?T 0
)
m10s5.0
(π2c o s)m103( 2 xty
])(π2c o s [?
x
T
tAy
u
ABC D
5m 9m
xo
8m
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
ABAB xx π2 105π2 π?
π?B? ]π)sπ4c o s [ ()m103( 12 ty B
]π)m10s5.0(π2c o s [)m103( 2 xty
2） 以 B 为坐标原点，写出波动方程
u
ABC D
5m 9m
xo
8m
ty A )sπ4c o s ()m103( 12
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
3） 写出传播方向上点 C,点 D 的简谐运动方程
u
ABC D
5m 9m
xo
8m
ty A )sπ4c o s ()m103( 12
点 C 的相位比点 A 超前
]π2)sπ4co s [()m103( 12?ACty C
]π513)sπ4co s [()m103( 12 t
点 D 的相位落后于点 A ]π2)sπ4co s [()m103(
12
ADty D
]π59)sπ4co s [()m103( 12 t
m10
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
4） 分别求出 BC,CD 两点间的相位差
π4.4
10
22π2π2
DCDC xx
u
ABC D
5m 9m
xo
8m
ty A )sπ4c o s ()m103( 12
π6.1108π2π2 CBCB xx
m10
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
1） 给出下列波函数所表示的波的 传播方向和 点的初相位,0?x
)(π2c o s?xTtAy
)(co s uxtAy
2） 平面简谐波的波函数为式中 为正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为 的两点间的相位差,
)c o s( CxBtAy
CBA,,
d
)c o s( CxBtAy )(π2c o s
x
T
tAy
C
π2
BT
π2?
C
B
Tu
dCd π2
讨 论
)π,(向 x 轴 正 向传播
)π,(向 x 轴 负 向传播第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
3 ） 如图简谐波以余弦函数表示，
求 O,a,b,c 各点振动 初相位,
)π~π(
O
y
x
u
a b c
A
A?
t=T/4
t =0
π?o?
2
π?
a?
0?b?
2
π
c?O y
A?
O y
A?
O y
A?
O y
A?
