第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成
1? 1A
1x x
0
一 两个同方向同频率简谐运动的合成
21 xxx
2211
2211
c o sc o s
s i ns i nt a n
AA
AA
)c o s(2 12212221 AAAAA
)c o s( tAx
)c o s ( 111 tAx
)c o s ( 222 tAx
A?
x2x
2A
2?
两个 同 方向 同 频率简谐运动 合成后仍为 简谐 运动第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成
x x
t
o o
π212 k
)c os ()( 21 tAAx
A
21 AAA
1A
2A
T
1） 相位差 π2
12 k ),2 1 0(,，k
)c o s(2 12212221 AAAAA讨论第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成
x x
t
o o
21 AAA
2
π)c os ()( 12 tAAx?
)c o s(2 12212221 AAAAA
T
2A
2?
1A
A
2） 相位差 π)12(
12 k ),1 0(,k
tAx?c o s11?
)πc o s (22 tAx?
第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成
3） 一般情况
2121 AAAAA
21 AAA
2） 相位差
1） 相位差
21 AAA
π212 k )10(?,,k
相互加强相互削弱
π)12(12 k )10(?,,k
第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成
1? 1A
x
o
二 多个同方向同频率简谐运动 的 合成
2A
2?
3A
3?
)c o s( tAx
nxxxx21
)c o s ( 111 tAx
)c o s ( 222 tAx
)c o s ( nnn tAx
A?
多 个 同 方向 同 频率简谐运动 合成 仍为 简谐 运动第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成
1A
2A
3A
4A
xo
5A
0NAAA i i
A?
tAx?co s01?
)c o s (02 tAx
])1(c o s [0 NtAx N
)2c o s (03 tAx
1A
2A
3A
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x
O
5A
6A
0?A
),2,1','( kkNk
2） π'2 kN
1） π2 k
),2,1,0(k
个矢量依次相接构成一个 闭合 的多边形,
N
讨论第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成三 两个同方向不同频率简谐运动的合成频率 较大 而频率之 差很小 的两个 同方向 简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫 拍,
第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成合振动频率振幅部分
tAtAxxx 221121 π2c o sπ2c o s
21 AA? 2112
讨论,的情况
ttAx
2
π2c o s)
2
π2c o s2( 12121
tAtAx 11111 π2c o sc o s
tAtAx 22222 π2c osc os
21 xxx
方法一第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成
π
2
π2 12 T
12
1
T
tAA
2
π2co s2 121
12
2)( 21
1m ax 2 AA?
0m in?A
合振动频率振幅部分
ttAx
2
π2c o s)
2
π2c o s2( 12121
振幅振动频率拍频 （振幅变化的频率）
第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成
x
o
c o s2 212221 AAAAA
)()( 1212 t
2A
2x
2?
x
A?
1A
1x
1?
11t
)()( 1212 t
22t
方法二：旋转矢量合成法
12
021
t)(π 2 12
第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成
2A
2x
2?
x
A?
x
o
1A
1x
1?
12t1?
t)( 12
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c o s2 212221 AAAAA
t)( 12
)
2
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（拍在声学和无线电技术中的应用）
A
xxt 21c o s
2
21
12
拍频
)c o s1(21 AA
振幅振动圆频率第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成四 两个相互垂直的同频率简谐运动的合成
)(s i n)c o s (2 12212
21
2
2
2
2
1
2
AA
xy
A
y
A
x
质点运动轨迹
1） 或 π20
12
x
A
Ay
1
2?
)c o s( 11 tAx
)c o s ( 22 tAy
y
x
1A
2A
o
（椭圆方程）
讨论第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成
y
x
1A
2A
o
2） π
12 xA
Ay
1
2
3） 2π
12
12
2
2
2
1
2
A
y
A
x
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)
2
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)(s i n)c o s (2 12212
21
2
2
2
2
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A
y
A
x
x
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o
第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成用旋转矢量描绘振动合成图第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成简谐运动的合成图两相互垂直同频率不同相位差第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成五 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成
)c o s ( 111 tAx
)c o s ( 222 tAy
n
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2
1
2
π,
8
π3,
4
π,
8
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2
01
测量振动频率和相位的方法李 萨 如 图
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0
一 两个同方向同频率简谐运动的合成
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)c o s( tAx
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两个 同 方向 同 频率简谐运动 合成后仍为 简谐 运动第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成
x x
t
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π212 k
)c os ()( 21 tAAx
A
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1A
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T
1） 相位差 π2
12 k ),2 1 0(,，k
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2） 相位差 π)12(
12 k ),1 0(,k
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)πc o s (22 tAx?
第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成
3） 一般情况
2121 AAAAA
21 AAA
2） 相位差
1） 相位差
21 AAA
π212 k )10(?,,k
相互加强相互削弱
π)12(12 k )10(?,,k
第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成
1? 1A
x
o
二 多个同方向同频率简谐运动 的 合成
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)c o s ( 111 tAx
)c o s ( 222 tAx
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多 个 同 方向 同 频率简谐运动 合成 仍为 简谐 运动第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成
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2） π'2 kN
1） π2 k
),2,1,0(k
个矢量依次相接构成一个 闭合 的多边形,
N
讨论第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成三 两个同方向不同频率简谐运动的合成频率 较大 而频率之 差很小 的两个 同方向 简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫 拍,
第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成合振动频率振幅部分
tAtAxxx 221121 π2c o sπ2c o s
21 AA? 2112
讨论,的情况
ttAx
2
π2c o s)
2
π2c o s2( 12121
tAtAx 11111 π2c o sc o s
tAtAx 22222 π2c osc os
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方法一第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成
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2
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合振动频率振幅部分
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π2c o s2( 12121
振幅振动频率拍频 （振幅变化的频率）
第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成
x
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)()( 1212 t
2A
2x
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方法二：旋转矢量合成法
12
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第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成
2A
2x
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（拍在声学和无线电技术中的应用）
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振幅振动圆频率第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成四 两个相互垂直的同频率简谐运动的合成
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质点运动轨迹
1） 或 π20
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（椭圆方程）
讨论第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成
y
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第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成用旋转矢量描绘振动合成图第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成简谐运动的合成图两相互垂直同频率不同相位差第十四章 机械振动14 – 6 简谐运动的合成五 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成
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测量振动频率和相位的方法李 萨 如 图
