第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、
角动量定理,
ip? jp?
0,0 p
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
22k vv mEmp质点 运动状态的描述力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理,
22k JEJL
刚体 定轴转动运动状态的描述
0,0 p
第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律
v?
1 质点的角动量
v mrprL v?
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质点以角速度 作半径为 的圆运动，相对圆心的角动量
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z
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m
质量为 的质点以速度在空间运动，某时刻相对原点
O 的位矢为,质点相对于原点的角动量
m
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s i nvrmL?大小的方向符合右手法则,L?
第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律
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作用于质点的合力对 参考点 O
的力矩,等于质点对该点 O 的 角动量 随时间的 变化率,
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0,
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2 质点的角动量定理
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第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该参考点 O 的角动量为一恒矢量,
LM,0
恒矢量冲量矩 tMt
t d
2
1?
质点的角动量定理,对同一参考点 O,质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量,
12d
2
1
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3 质点的角动量守恒定律
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d
第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律例 1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内,一质量为 m 的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动,小球开始时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上 ),
然后从 A 点开始下滑,设小球与圆环间的摩擦略去不计,求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度,
解 小球受重力和支持力作用,支持力的力矩为零,
重力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理
c osm gRM?
t
Lm g R
d
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第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律
t
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dco sd 32 gRmLL?
得由题设条件积分上式
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2123 )s i n2(?gmRL? 21)s i n2(
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第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律例 2 一质量 的登月飞船,在离月球表面高度 处绕月球作圆周运动,飞船采用如下登月方式,当飞船位于点 A 时,它向外侧短时间喷气,使飞船与月球相切地到达点 B,且 OA 与
OB 垂直,飞船所喷气体相对飞船的速度为
,已知月球半径 ;
在飞船登月过程中,月球的重力加速度视为常量
.
试问登月飞船在登月过程中所需消耗燃料的质量是多少?m?
0v
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B
Bv?
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h
O
R
A
kg1020.1 4m
km100?h
14 sm1000.1u
km1 7 0 0?R
2sm62.1g
第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律解 设飞船在点 A 的速度,月球质量 mM,
由万有引力和牛顿定律 0v
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已知求 所需消耗燃料的质量,m?
第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律得
121
2
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21)( 22
0 vvvA
RmhRm Bvv )(0
1sm1 7 0 9)( RhR
0B vv
得当飞船在 A点以相对速度向外喷气的短时间里,飞船的质量减少了 Δm而为,并获得速度的增量,使飞船的速度变为,其值为 v
Av
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u
质量 在 A 点和 B 点只受有心力作用,角动量守恒'm
0v
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B
Bv?
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h
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R
A
第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律飞船在 A点喷出气体后,在到达月球的过程中,机械能守恒
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第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1 刚体定轴转动的角动量
i
iiii
i
i rmrmL )(
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2 刚体定轴转动的角动量定理
12
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非刚体定轴转动的角动量定理
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第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律,
内力矩不改变系统的角动量,
守 恒条件 0?M
若 不变,不变；若 变,也变，但 不变,J
JL?J
刚体定轴转动的角动量定理
12
2
1
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t
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
0?M 常量JL，则若讨论
exin MM 在 冲击 等问题中 L 常量第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律有许多现象都可以用角动量守恒来说明,
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律
能量守恒定律
角动量守恒定律
电荷守恒定律
质量守恒定律
宇称守恒定律等
花样滑冰
跳水运动员跳水第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律被 中 香 炉惯性导航仪（陀螺）
角动量守恒定律在技术中的应用第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律例 3 质量很小长度为 l的均匀细杆,可绕过其中心 O
并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动,当细杆静止于水平位置时,有一只小虫以速率 垂直落在距点 O为 l/4 处,并背离点 O 向细杆的端点 A 爬行,设小虫与细杆的质量均为
m.问,欲使细杆以恒定的角速度转动,小虫应以多大速率向细杆端点爬行?
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22
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1
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7
12 v
解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律
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由角动量定理
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第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律例 4 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下落到跷板的一端 A,并把跷板另一端的演员 N弹了起来,设跷板是匀质的,长度为 l,质量为,跷板可绕中部支撑点 C
在竖直平面内转动,演员的质量均为 m.假定演员 M落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞,问演员 N可弹起多高?
l l/2
C A
B
M
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h
解 碰撞前 M 落在
A点的速度
21
M )2( gh?v
碰撞后的瞬间,M、
N具有相同的线速度
2
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第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律把 M,N和跷板作为一个系统,角动量守恒
21
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22k vv mEmp质点 运动状态的描述力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理,
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刚体 定轴转动运动状态的描述
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第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律
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1 质点的角动量
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质点以角速度 作半径为 的圆运动，相对圆心的角动量
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质量为 的质点以速度在空间运动，某时刻相对原点
O 的位矢为,质点相对于原点的角动量
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第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律
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第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该参考点 O 的角动量为一恒矢量,
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质点的角动量定理,对同一参考点 O,质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量,
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第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律例 1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内,一质量为 m 的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动,小球开始时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上 ),
然后从 A 点开始下滑,设小球与圆环间的摩擦略去不计,求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度,
解 小球受重力和支持力作用,支持力的力矩为零,
重力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理
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第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律
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第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律例 2 一质量 的登月飞船,在离月球表面高度 处绕月球作圆周运动,飞船采用如下登月方式,当飞船位于点 A 时,它向外侧短时间喷气,使飞船与月球相切地到达点 B,且 OA 与
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在飞船登月过程中,月球的重力加速度视为常量
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第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律解 设飞船在点 A 的速度,月球质量 mM,
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已知求 所需消耗燃料的质量,m?
第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律得
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得当飞船在 A点以相对速度向外喷气的短时间里,飞船的质量减少了 Δm而为,并获得速度的增量,使飞船的速度变为,其值为 v
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第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1 刚体定轴转动的角动量
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2 刚体定轴转动的角动量定理
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角动量守恒定律是自然界的一个基本定律,
内力矩不改变系统的角动量,
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自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律
能量守恒定律
角动量守恒定律
电荷守恒定律
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宇称守恒定律等
花样滑冰
跳水运动员跳水第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律被 中 香 炉惯性导航仪（陀螺）
角动量守恒定律在技术中的应用第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律例 3 质量很小长度为 l的均匀细杆,可绕过其中心 O
并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动,当细杆静止于水平位置时,有一只小虫以速率 垂直落在距点 O为 l/4 处,并背离点 O 向细杆的端点 A 爬行,设小虫与细杆的质量均为
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解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律
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由角动量定理
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在竖直平面内转动,演员的质量均为 m.假定演员 M落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞,问演员 N可弹起多高?
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解 碰撞前 M 落在
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碰撞后的瞬间,M、
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第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律把 M,N和跷板作为一个系统,角动量守恒
21
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