第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
P
z
*O
FdFrMs i n
M?
F?
r?
d
,力臂d
刚体绕 O z 轴旋转,力作用在刚体上点 P,且在转动平面内,为由点 O 到力的作用点 P 的径矢,
F?
r?
FrM
对转轴 Z 的力矩F?
0,0 ii MF 0,0 ii MF
F?F
F?
F
一 力矩
M?
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
z
O
k?
F?
r?
讨论
FFF z
FrkM z
s i n rFM z
zF
F?
1） 若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
F?
2）合 力矩等于各分力矩的 矢量和
321 MMMM
其中 对转轴的力矩为零，故 对转轴的力矩
zF
F?
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
3） 刚体内作用力和 反 作用力的力矩互相 抵消
jiij MM
jr
ir?
i
j
ijF
jiF
d
O
ijM
jiM
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量例 1 有一大型水坝高 110 m、长 1000m，水深 100m，
水面与大坝表面垂直，如图所示,求作用在大坝上的力，
以及这个力对通过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩,
解 设水深 h，坝长 L，在坝面上取面积元作用在此面积元上的力 yLA dd?
ypLApF ddd
y
O
h y
x
Ad
yd
Q
y
O
x
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
)(0 yhgpp
令大气压为,则
0p
yLyhgpF d)]([d 0
2
00 0 2
1d)]([ g L hLhpyLyhgpF h
代入数据，得 N1091.5 10F
ypLApF ddd y
O
h y
x
Ad
yd
100m?h m1000?L
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
FyM dd?
yLyhgpyM d)]([d 0
32
0 6
1
2
1 LhgLhp
h yLyhgpyM 0 0 d)]([?
代入数据，得 mN1014.2 12M
对通过点 Q 的轴的力矩F?d
y
QO
h y ydF?d
yLyhgpF d)]([d 0
100m?h m1000?L
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
O
r? m
z
二 转动定律
F?
tF
nF
s i nrFM?
mrmaF tt
2ie jjjj rmMM
2） 刚体质量元受 外 力,内 力
jFe
jFi
M?
1） 单个质点 与转轴刚性连接
m
外 力矩 内 力矩
2mrM?
2t mrrFM
O
z
jm?
jr
jFe
jFi
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量刚体定轴转动的角加速度与它所受的 合外力矩 成正比,与刚体的 转动惯量 成反比,
αrmMM jj
j
j
j
j
2
ie
0
j
ijjiij MMM?
) αrmM jj
j
j
2
e (
转动定律
JM?
2
j
j
j rmJ
定义转动惯量
mrJ d2
O
z
jm?
jr
jFe
jFi
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
mrJrmJ j
j
j d,
22三 转动惯量
物理 意义,转动惯性的量度,
质量离散分布刚体的转动惯量
2222112 rmrmrmJ j
j
j
转动惯性的计算方法
质量连续分布刚体的转动惯量
mrrmJ j
j
j d
22
：质量元md
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
对质量线分布的刚体：
：质量线密度
lm dd
对质量面分布的刚体：
：质量面密度
Sm dd
对质量体分布的刚体：
：质量体密度
Vm dd
：质量元md
质量连续分布刚体的转动惯量
mrrmJ j
j
j d
22
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
lO′
O
解 设棒的线密度为,取一距离转轴 OO′ 为处的质量元
r
rm dd
l rrJ 0 2 d?
rd
32/
0
2
12
1d2 lrrJ l
2
3
1 ml?
r
rrmrJ ddd 22
例 2 一 质量为,长为 的 均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量,
m l
rd 2l2l? O′
O
2
12
1 ml?
如转轴过端点垂直于棒第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
OR
R
4
0
3 π
2
dπ2 RrrJ R
rdr
例 3 一质量为,半径为 的均匀圆盘，求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量,
m R
解 设圆盘面密度为,
在盘上取半径为,宽为的圆环
r rd
2π Rm
而
rrm dπ2d圆环质量
2
2
1 mRJ?
所以
rrmrJ dπ2dd 32
圆环对轴的转动惯量第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
2mdJJ
CO
四 平行轴定理
P
转动惯量的大小取决于刚体的 质量,形状及转轴的位置,
质量为 的刚体,如果对其质心轴的转动惯量为,则对任一与该轴平行,相距为的转轴的转动惯量
CJ
m
d
d
C O
m
注意
22
2
1 mRmRJ
P
圆盘对 P 轴的转动惯量
R mO
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量竿子长些还是短些较安全
？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量例 4 质量为 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质量为 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物体 B 上,滑轮与绳索间没有滑动,且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计,问：（ 1） 两物体的线加速度为多少？
水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（ 2） 物体 B 从
Bm
Cm
再求线加速度及绳的张力,
静止落下距离 时，
其速率是多少？（ 3）
若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为
fM
y
Am
A
B
C
Am
Bm
Cm
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
A
B
C
Am
Bm
Cm
T1F
T2F?
AP
O x
T1F
NF
Am
y
O
T2F?
BP
Bm
amF AT1?
amFgm BT2B
JRFRF T1T2
Ra?
解 （ 1）隔离物体分别对物体 A,B 及滑轮作受力分析，取坐标如图，
运用牛顿第二定律,转动定律列方程,
T2F
T1F?
CP
CF
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
2CBA
B
mmm
gma
2CBA
BA
T1 mmm
gmmF
2
)2(
CBA
BCA
T2 mmm
gmmmF
如令,可得
0C?m
BA
BA
T2T1 mm
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（ 2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率
2/
22
CBA
B
mmm
gymay
v
A
B
C
Am
Bm
Cm
T1F
T2F?
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
（ 3） 考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩,转动定律
fM
结合（ 1）中其它方程
JMRFRF fT1T2
amF AT1?
amFgm BT2B
Ra?
JMRFRF fT1T2
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量例 5 一长为 质量为 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动,由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链 O 转动,试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度,
l m
解 细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得 NF
Jm g l?s i n
2
1
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量式中
2
3
1 mlJ?
d
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d
d
d
d
d
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得
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2
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由角加速度的定义
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代入初始条件积分 得
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刚体绕 O z 轴旋转,力作用在刚体上点 P,且在转动平面内,为由点 O 到力的作用点 P 的径矢,
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对转轴 Z 的力矩F?
0,0 ii MF 0,0 ii MF
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一 力矩
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
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讨论
FFF z
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F?
1） 若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
F?
2）合 力矩等于各分力矩的 矢量和
321 MMMM
其中 对转轴的力矩为零，故 对转轴的力矩
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
3） 刚体内作用力和 反 作用力的力矩互相 抵消
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量例 1 有一大型水坝高 110 m、长 1000m，水深 100m，
水面与大坝表面垂直，如图所示,求作用在大坝上的力，
以及这个力对通过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩,
解 设水深 h，坝长 L，在坝面上取面积元作用在此面积元上的力 yLA dd?
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
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令大气压为,则
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
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二 转动定律
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2） 刚体质量元受 外 力,内 力
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1） 单个质点 与转轴刚性连接
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外 力矩 内 力矩
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量刚体定轴转动的角加速度与它所受的 合外力矩 成正比,与刚体的 转动惯量 成反比,
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转动定律
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
mrJrmJ j
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j d,
22三 转动惯量
物理 意义,转动惯性的量度,
质量离散分布刚体的转动惯量
2222112 rmrmrmJ j
j
j
转动惯性的计算方法
质量连续分布刚体的转动惯量
mrrmJ j
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：质量元md
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
对质量线分布的刚体：
：质量线密度
lm dd
对质量面分布的刚体：
：质量面密度
Sm dd
对质量体分布的刚体：
：质量体密度
Vm dd
：质量元md
质量连续分布刚体的转动惯量
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22
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
lO′
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解 设棒的线密度为,取一距离转轴 OO′ 为处的质量元
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例 2 一 质量为,长为 的 均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量,
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如转轴过端点垂直于棒第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
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例 3 一质量为,半径为 的均匀圆盘，求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量,
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解 设圆盘面密度为,
在盘上取半径为,宽为的圆环
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所以
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圆环对轴的转动惯量第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
2mdJJ
CO
四 平行轴定理
P
转动惯量的大小取决于刚体的 质量,形状及转轴的位置,
质量为 的刚体,如果对其质心轴的转动惯量为,则对任一与该轴平行,相距为的转轴的转动惯量
CJ
m
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注意
22
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1 mRmRJ
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圆盘对 P 轴的转动惯量
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量竿子长些还是短些较安全
？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量例 4 质量为 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质量为 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物体 B 上,滑轮与绳索间没有滑动,且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计,问：（ 1） 两物体的线加速度为多少？
水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（ 2） 物体 B 从
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再求线加速度及绳的张力,
静止落下距离 时，
其速率是多少？（ 3）
若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
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运用牛顿第二定律,转动定律列方程,
T2F
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
2CBA
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（ 2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
（ 3） 考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩,转动定律
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结合（ 1）中其它方程
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
2/
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量例 5 一长为 质量为 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动,由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链 O 转动,试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度,
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解 细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得 NF
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量式中
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