第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量以 为原点旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动,
x
A?
o
xo
A?
c os0 Ax?
当 时0?t
0x
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量以 为原点旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动,
x
A?
o
xo
A?
tt?
t
)c os ( tAx
时第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
)c o s( tAx
旋转矢量 的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动,
x
A?
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
A?mv
)2π c o s ( tAv
)c o s (2 tAa
2
n?Aa?
2
π t
mv
v?
x
y
0
A?
t
)c os ( tAx
na
a?
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
（旋转矢量旋转一周所需的时间）
π2?T
用旋转矢量图画简谐运动的 图tx?
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
A
A?
x
2A t
o
a
b
x
AA? 0
讨论? 相位差：表示两个相位之差,
1） 对 同一 简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间,)()(
12 tt
)c o s ( 1 tAx
)c o s ( 2 tAx 12 ttt
at
3
π TTt
6
1
π2
3π
v? 2
A
bt
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
0
x
to
同步
2） 对于两个 同 频率 的简谐运动，相位差表示它们间 步调 上的 差异,（解决振动合成问题）
)c o s ( 111 tAx )c o s ( 222 tAx
)()( 12 tt 12
x
to
为其它超前落后
t
x
o
π 反相第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量例 1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数,物体的质量,
（ 1） 把物体从平衡位置向右拉到 处停下后再释放，求简谐运动方程；
1mN72.0k g20?m
m05.0?x
m05.0?x
10 sm30.0v
（ 3） 如果物体在 处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度,求其运动方程,
2
A（ 2） 求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；
m/x
o
0.05
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
o x
解 （ 1）
1
1
s0.6
kg02.0
mN72.0
m
k?
m05.002
2
02
0 xxA?
v
0t an
0
0
x?
v
π 0 或
A
由旋转矢量图可知
0
)c o s( tAx ])s0.6c o s [ ()m05.0( 1 t
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
o xA
2
A
解 )c o s( tAx
)c o s ( tA
2
1)c o s (
A
xt?
3
π 5
3
π 或?t?
A
3
π?t?由旋转矢量图可知
tA s inv
1sm26.0 （负号表示速度沿 轴负方向）Ox
2
A（ 2） 求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量解
m0707.02
2
02
0
vxA ＇
1t an
0
0
x?
v＇
4
π 3
4
π 或＇
o x
＇A?
4π?
)c o s( tAx
]
4
π)s0.6c o s [ ()m0 7 0 7.0( 1 t
m05.0?x
10 sm30.0v
（ 3） 如果物体在 处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度,求其运动方程,
因为,由旋转矢量图可知 4π＇?00?v
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量例 2 一质量为 的物体作简谐运动，其振幅为,周期为,起始时刻物体在kg01.0m08.0 s4?x m04.0
处，向 轴负方向运动（如图）,试求Ox
（ 1） 时，物体所处的位置和所受的力；s0.1?t
o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
v
解 m08.0?A
1s
2
ππ2
T
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
3
π0
0v?
m04.0,0 xt 代入 )c o s( tAx
c o s)m08.0(m04.0?
3
π
A
3π
]
3
π)s
2
πc o s [ ()m08.0( 1 tx
m08.0?A 1
s
2
ππ2
T
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
v
]
3
π)s
2
πc o s [ ()m08.0( 1 tx
s0.1?t 代入上式得 m0 6 9.0x
xmkxF 2
)m0 6 9.0()s2π)(kg01.0( 21N1070.1 3
kg01.0?m
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
v
（ 2） 由起始位置运动到 处所需要的最短时间,
m04.0x
法一 设由起始位置运动到 处所需要的最短时间为
m04.0x
t
]3π)s2πc os [ ()m08.0(m04.0 1 t
s
2π
3
π
)
2
1
(arc co s
t
s667.0s32
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
解法二
3π3π
起始时刻时刻t
t?
3
π?t? s6 6 7.0s
3
2t
1s
2
π
x
A?
o
xo
A?
c os0 Ax?
当 时0?t
0x
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量以 为原点旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动,
x
A?
o
xo
A?
tt?
t
)c os ( tAx
时第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
)c o s( tAx
旋转矢量 的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动,
x
A?
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
A?mv
)2π c o s ( tAv
)c o s (2 tAa
2
n?Aa?
2
π t
mv
v?
x
y
0
A?
t
)c os ( tAx
na
a?
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
（旋转矢量旋转一周所需的时间）
π2?T
用旋转矢量图画简谐运动的 图tx?
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
A
A?
x
2A t
o
a
b
x
AA? 0
讨论? 相位差：表示两个相位之差,
1） 对 同一 简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间,)()(
12 tt
)c o s ( 1 tAx
)c o s ( 2 tAx 12 ttt
at
3
π TTt
6
1
π2
3π
v? 2
A
bt
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
0
x
to
同步
2） 对于两个 同 频率 的简谐运动，相位差表示它们间 步调 上的 差异,（解决振动合成问题）
)c o s ( 111 tAx )c o s ( 222 tAx
)()( 12 tt 12
x
to
为其它超前落后
t
x
o
π 反相第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量例 1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数,物体的质量,
（ 1） 把物体从平衡位置向右拉到 处停下后再释放，求简谐运动方程；
1mN72.0k g20?m
m05.0?x
m05.0?x
10 sm30.0v
（ 3） 如果物体在 处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度,求其运动方程,
2
A（ 2） 求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；
m/x
o
0.05
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
o x
解 （ 1）
1
1
s0.6
kg02.0
mN72.0
m
k?
m05.002
2
02
0 xxA?
v
0t an
0
0
x?
v
π 0 或
A
由旋转矢量图可知
0
)c o s( tAx ])s0.6c o s [ ()m05.0( 1 t
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
o xA
2
A
解 )c o s( tAx
)c o s ( tA
2
1)c o s (
A
xt?
3
π 5
3
π 或?t?
A
3
π?t?由旋转矢量图可知
tA s inv
1sm26.0 （负号表示速度沿 轴负方向）Ox
2
A（ 2） 求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量解
m0707.02
2
02
0
vxA ＇
1t an
0
0
x?
v＇
4
π 3
4
π 或＇
o x
＇A?
4π?
)c o s( tAx
]
4
π)s0.6c o s [ ()m0 7 0 7.0( 1 t
m05.0?x
10 sm30.0v
（ 3） 如果物体在 处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度,求其运动方程,
因为,由旋转矢量图可知 4π＇?00?v
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量例 2 一质量为 的物体作简谐运动，其振幅为,周期为,起始时刻物体在kg01.0m08.0 s4?x m04.0
处，向 轴负方向运动（如图）,试求Ox
（ 1） 时，物体所处的位置和所受的力；s0.1?t
o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
v
解 m08.0?A
1s
2
ππ2
T
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
3
π0
0v?
m04.0,0 xt 代入 )c o s( tAx
c o s)m08.0(m04.0?
3
π
A
3π
]
3
π)s
2
πc o s [ ()m08.0( 1 tx
m08.0?A 1
s
2
ππ2
T
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
v
]
3
π)s
2
πc o s [ ()m08.0( 1 tx
s0.1?t 代入上式得 m0 6 9.0x
xmkxF 2
)m0 6 9.0()s2π)(kg01.0( 21N1070.1 3
kg01.0?m
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
v
（ 2） 由起始位置运动到 处所需要的最短时间,
m04.0x
法一 设由起始位置运动到 处所需要的最短时间为
m04.0x
t
]3π)s2πc os [ ()m08.0(m04.0 1 t
s
2π
3
π
)
2
1
(arc co s
t
s667.0s32
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
解法二
3π3π
起始时刻时刻t
t?
3
π?t? s6 6 7.0s
3
2t
1s
2
π
